Tarea 3 de Geometrıa Algebraica 1.

Tarea 3 de Geometrı́a Algebraica
1.- Sea K un campo algebraicamente cerrado. Determina un conjunto generador para el
ideal de anulamiento de las siguientes curvas:
C := {(t, t2 , t3 ) ∈ A3K | t ∈ K} y D := {(t3 , t4 , t5 ) ∈ A3K | t ∈ K}.
2.- Sea K un campo . Demuestra que todo ideal máximo m en K[X1 , ..., Xn ] está generado
por n polinomios. Cuantos ceros tiene m en AnL donde L es la cerradura algebraica de K.
3.- a) Describe el conjunto nulidad Vk = V(Ik ) (k = 1, 2) de los ideales
I1 = (X2 , X3 ) , I2 = (X1 , X2 · X3 )
en K[X1 , ..., Xn ] donde K es un campo.
b) Determina un conjunto mı́nimo de generadores para el ideal de anulamiento de V1 ∪ V2 .
4.- Sea L un campo algebraicamente cerrado de caracteristica p > 0, sea q := pm y
V = AnFq el espacio de puntos Fq -racionales de AnL . (Recuerda que Fq es el campo finito
con q elementos.) Muestra entonces que V es una variedad algebraica con ideal de anulamiento
I(V ) = ({Xiq − Xi }i=1,...,n )
5.- Muestra que V (x + xy, y + xy, x2 , y 2 ) = V (x, y).
6.- Muestra que I(V (xl , y m )) = (x, y) para cualquier par de enteros positivos l, m.