Relaciones y Funciones

Matemáticas Discretas
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Relaciones y Funciones
Relaciones y Funciones
OBJETIVOS
Unidad
Tema
Subtema
Objetivos
IV Relaciones y funciones
4.1 Relaciones
4.2 Funciones
• Entender y definir el concepto de relación así como las
diferentes representaciones de una relación
• Entender, aprender y utilizar las propiedades de las relaciones
• Conocer y clasificar los tipos de relaciones:
o De equivalencia
o De orden
o Función
• Graficar una relación
• Entender y definir el concepto de función
• Conocer y utilizar los tipos de funciones
o Biyectiva
o Inyectiva
o Suprayectiva
• Conocer y obtener de una función
o La función inversa
o Una función compuesta
• Conocer y diseñar funciones recursivas
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Relaciones y Funciones
4.1 Relaciones
4.1.1 Definición de Relación
El concepto de relación surge de manera natural en el análisis de un sistema.
Un ejemplo, en los números Naturales se establece la relación “… es menor que ...”.
Bajo esta relación R el número 2 se relaciona con el 3: 2 es menor que 3, pero no
así al contrario (3 no es menor que 2).
Una relación es binaria cuando se establece entre dos objetos. Un ejemplo:
R: x < y.
Una relación es un conjunto de pares ordenados. Un par ordenado (también
llamada pareja ordenada) consta de dos elementos: (a, b) en donde el orden en que
aparece (primero a, después b) indica la relación: a Rb de a con b.
Una relación asocia un elemento de un conjunto A con un elemento de otro
conjunto B o con un elemento del mismo conjunto A.
Ejemplos:
* Para A= {a, b, c}
R1= {(a, a) (a, b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c)}
⇒ R1 = A × A
* Para A = {España, Inglaterra, Italia}
B= {Paris, Roma, Madrid}
R2: (España, Paris) (Inglaterra, Roma) (Italia, Madrid)
* R3: (Pepe, María) (Pepe, Laura) (Pepe, Tere)
Esta relación puede ser: ... hermano de...
Otro ejemplo:
A = {Familia Rodríguez}
Miembro
Edad
Peso
Estatura
Papá Alfonso
(A) 42
77
1.80
Mamá Beatriz
(B) 40
57
1.68
Hijo 1 Carlos
(C) 19
61
1.88
Hijo 2 David
(D) 17
66
1.63
Hijo 3 Elena
(E) 15
48
1.53
R1: … es papá de … (A, C) (A, D) (A, E)
R2: … es mas alto que … (C, A) (C, B) (C, D) (C, E) (A, B) (A, D) (A, E) (B, D)
(B, E) (D, E).
R3: … es mas grande que … (A, B) (B, C) (C, D) (D, E), (A, C) (B, D) (C, E), (A, D)
(B, E) (A, E)
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Representaciones gráficas de relaciones
Gráfica de relaciones no numéricas
Diagrama de flechas
1
2
3
4
( x, y ) ( y , y ) ( y , z ) ( z, x )
Relación: ...es más grande que...
Nomenclatura para relaciones (R)
• R = {( x, y ) / x < y} relación: x < y
• Es menor que = {( x, y ) / x < y}
• x R y si R: ...es menor que...
Definición:
Sea R una relación ⇒ a R b = (a, b) ∈ R
Ejemplo:
R = {( x, y ), ( y, z ), ( y, y ), ( z, z )}
es verdadera?
no
z Ry
y
R z es verdadera?
Si
Si xRy, xRz, zRy, yRz, zRz, son verdaderas, ¿Cuál es la relación R?
R = {(x, y ), ( x, z ), (z , y ), ( y, z ), (z , z )}
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Clasificación de relaciones
- Relaciones de equivalencia
- Relaciones de orden
- Funciones
1. Relaciones de equivalencia
Características (propiedades)
1) Reflexividad: xRx : ∀x ∈ S ⇒ xRx
( x está relacionada con x )
Ejemplo: El conjunto de alumnos que se encuentra en su salón de clase
S = {Pedro, Javier, Esteban}
R : está en la misma habitación
Pedro R Pedro → reflexividad
2) Simetría: ∀x, y ∈ S . Si x R y ⇒ y R x
Ejemplo: Pedro R Javier ⇒ Javier R Pedro
3) Transitiva: ∀x, y, z ∈ S Si xRy y yRz ⇒ xRz
Pedro R Javier y Javier R Esteban ⇒ Pedro R Esteban
Definición:
Una relación R , definida sobre un conjunto S es una relación de equivalencia ⇔
tienen las tres propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva
Ejemplos:
R:x < y
Reflexiva?
S = {a, b, c}
R = {(a, a ), (c, c ), (a, c ), (c, a )}
R:x≤ y
3<3
Reflexiva?
3≤3
Reflexiva?
aRa
Simétrica?
Transitiva?
5<6⇒3<6
3<5 y 5<3
3<5
Simétrica?
Transitiva?
3≤5 y 5≤3
3≤5
5≤6⇒3≤ 6
cRc
Simétrica?
Transitiva?
bRb
aRc
aRc
cRa
cRb → no
aRb → no
Relación equivalente
X tiene la misma paridad (que sea par o impar)
3 tiene la misma paridad que 3 → Reflexiva
3 tiene la misma paridad que 5
Simétrica
5 tiene la misma paridad que 3
5 tiene la misma paridad que 7
Transitiva
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Relación de orden parcial
En matemáticas, una relación binaria R sobre un conjunto X es
antisimétrica si se cumple que para todo a y b pertenecientes a X si a está
relacionado con b y b está relacionado con a entonces a = b.
En notación de conjuntos:
.
La relación ser más alto que es una relación antisimétrica dado que a es
más alto que b y b es más alto que a no pueden cumplirse al mismo tiempo.
Nótese que la antisimetría no es lo opuesto de la simetría ( a Rb y b Ra
implican b = a). Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo
tiempo (como la relación de igualdad), relaciones que no son simétricas ni
antisimétricas (como la relación de divisibilidad), relaciones que son simétricas
pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n), y relaciones
que son antisimétricas pero no simétricas (la relación "es menor que" ).
La relación ser menor o igual también es antisimétrica dado que si a es
menor o igual que b y b es menor o igual que a es porque a = b.
Una relación que es reflexiva, antisimétrica y transitiva es llamada un orden
parcial.
En resume: cuando en una relación se tiene que a Rb y b Ra es porque el
elemento a es igual al elemento b.
Ejemplo:
A = {1,2,3,4,6,12} conjunto de divisores positivos enteros de 12
xRy → x divide exactamente a y
A → A : xRy
⎧(1,1)(1,2 )(1,3)(1,4 )(1,6 )(1,12 )⎫
⎪
⎪(2,2 )(2,4 )(2,6 )(2,12 )
⎪⎪
⎪⎪
R = ⎨(3,3)(3,6 )(3,12 )
⎬
⎪
⎪(4,4 )(4,12 )
⎪
⎪
⎪⎭
⎪⎩(6,6 )(6,12 )
Si x divide a y exactamente ⇒ y = ax
Si y divide a z exactamente ⇒ z = by
z = b(ax )
z = bax z
Reflexiva sí es porque 1R1, 2R2, ….
Transitiva
⇒ x divide exactamente a z
Si aRb ⇒ bRa
simétrica
antisimétrica
Si aRb y bRa ⇒ a = b
Si a está en relación con b
b está en relación con a ↔ a = b
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4.2 Funciones
Intuitivamente una función es una regla que asocia elementos de un
conjunto A con elementos de un conjunto B de modo que el elemento del conjunto
A se asocia con uno y sólo un elemento del segundo conjunto.
En otras palabras, una función es una máquina que transforma elementos en
otros elementos y cada elemento puede transformarse en un único elemento, no en
dos o tres.
Definición:
Sean A y B dos conjuntos. Una función de A en B es un conjunto de pares
ordenadas de A x B (a, b) con la propiedad de que cada elemento de A es el primer
componente de una pareja ordenada y para todo a ∈ A, si (a, b) y (a, c) pertenece a
f entonces b = c (porque a no se repite en otra pareja)
A: Dominio de la función
B: Codominio
Imagen son los elementos de B que forman el segundo componente de la
pareja ordenada.
Ejemplo:
A= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {conjunto de calificaciones en base a 10}
B= {NA, S, B, MB} = {conjunto de símbolos que representan un
rendimiento escolar
A × B son todas las posibles relaciones
⎧(0, NA)(1, NA)
⎪(0, S )(1, S )
⎪
A× B = ⎨
⎪(0, B )(1, B )
⎪⎩(0, MB )(1, MB )
...
(10, NA)
(10, S )
(10, B )
(10, MB )
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪⎭
A × B = 44 parejas
⇒
Si NA = no acreditada
calificación 0 - 5
⇒
calificación 6 - 7
Si S = suficiente
⇒
Si B = bien
calificación 8 - 9
⇒
Si MB = muy bien
calificación 10
⇒ es una función porque a cada elemento de A corresponde solo uno de B a
la relación se le llama regla de correspondencia f , entonces, b = f(a) un elemento
del conjunto B está en función de un elemento del conjunto A.
R:
Nomenclatura
y = f (x)
Dominio de una función es el conjunto de los valores que puede tomar x o que
toma x para que exista la función.
Codominio o rango de una función es el conjunto de los valores que se obtienen al
sustituir los valores del dominio en la función.
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Tipos de funciones
Función Inyectiva:
A una función en la que a cualquiera par de elementos diferentes del
dominio les corresponde imágenes diferentes se le llama función inyectiva
(significa uno a uno)
Un ejemplo es la función cuadrática y = ax 2 + bx + c cuyo dominio y cuyo
codominio son los reales. Así, para y = 3x 2 + 2 x + 1 cuya gráfica es
la función no toma los valores menores a -2.
Función Suprayectiva:
Si todo elemento del codominio de una función f es imagen de al menos un
elemento de su dominio, entonces f es una función suprayectiva
Las funciones trigonométrica (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y
cosecante) son del tipo suprayectiva (o sobreyectiva). El dominio son los reales y el
codominio es [-1, 1] por lo que para más de un valor de x le corresponde el mismo
valor de y.
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Función Biyectiva:
Una función que es suprayectiva e inyectiva se llama Biyectiva.
Ejemplo de esta función es la función lineal: y = mx + b cuyo dominio y cuyo
codominio son los reales. Para cada valor de x le corresponde solo uno de y. Todos
los valores del codominio son la imagen de un valor y solo uno del dominio.
Otras funciones
Función Entero Mayor
⎡x ⎤ : (función techo) redondea hacia el siguiente entero. Ejemplos:
y = ⎡3.01⎤ = 4
y = ⎡3.51⎤ = 4
y = ⎡3.91⎤ = 4
y = ⎡− 3.01⎤ = − 3
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y = ⎡− 3.51⎤ = − 3
y = ⎡− 3.91⎤ = − 3
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Función Entero Menor
⎣x ⎦ : (función suelo) redondea hacia el entero. Ejemplos:
y = ⎣3.01⎦ = 3
y = ⎣3.51⎦ = 3
y = ⎣3.91⎦ = 3
y = ⎣− 3.01⎦ = − 4
y = ⎣− 3.51⎦ = − 4
y = ⎣− 3.91⎦ = − 4
Función Truncar
TRUNC ( x) : da como resultado la parte entera. Ejemplos:
y = trunc(3.01) = 3
y = trunc(3.51) = 3
y = trunc(3.91) = 3
y = trunc(−3.01) = −3
y = trunc(−3.51) = −3
y = trunc(.3.91) = −3
Función Compuesta: fog
Si f : A → B y g : B → C la función compuesta
fog (a ) = f (g (a ))∀a ∈ A . Ejemplo:
fog : A → C
se define
A = {1,2,3,4,5} B = {w, x, y, z} C = {a, b, c}
Si f = {(1, w)(2, x )(3, y )(4, z )(5, z )} y g = {(w, a )(x, b )( y, c )(z, c )}
f :A→ B
g:B→C
fog : A → C{(1, a )(2, b )(3, c )(4, c )(5, c )}
Función Inversa
Si f es una función uno a uno, entonces la inversa de f , denotada por f −1 es:
f −1 = {( y, x) /( x, y ) está en f }
Propiedades:
Si f −1 existe entonces:
•
f −1 es una función uno a uno
• El dominio de f −1 es el rango de f
• El rango de f −1 es el dominio de f
Determinación de la inversa de una función f :
1. Encontrar el dominio de f y determinar que es una función uno a
uno. Si f no es una función uno a uno, entonces no existe f −1
2. Resolver para x la ecuación y = f (x) . El resultado es una ecuación
de la forma x = f −1 ( y ).
3. Intercambiar x y y en la ecuación encontrada. Esto expresa a f −1
como una función de x .
4. Encontrar el dominio y el rango de f −1 .
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Ejemplo:
Encontrar f −1 para f ( x) = x − 1
Solución:
1. Dominio de f : [1, ∞) rango: y ≥ 0 , por lo tanto f −1 existe.
y=
x −1
2. Despejar x : y 2 = x − 1
x = y2 + 1
3. Intercambiar: y = f −1 = x 2 + 1
4. Dominio y rango de f −1 : dominio : x ≥ 0 , rango y ≥ 1
f ( x) =
x −1
x = y2 +1
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Función Recursiva
Una función recursiva es aquella que depende de valores precedentes
(anteriores).
Debe contener:
Condiciones iniciales
Procedimiento
Condición de término
Ejemplos:
Subrutina fibonacci (L1 , L2 , n, L )
Definición de variables
L = L1 + L2
Si n > 2 entonces
L1 = L2
L2 = L
n = n −1
llamar fibonacci
(L1 , L2 , n, L )
si no
regresar
Función factorial (n, fac )
Definición de variables
Si n = 0 entonces
fac = 1
regresar fac ;
Si no
si n > 1 entonces
fac = fac ∗ n
n = n −1
fac = función factorial (n, fac )
regresar fac ;
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4.3 Historia9
La palabra función fue introducida en 1694 por Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646 – 1716) para designar una cantidad asociada con una curva. En el año 1718,
Bernoulli (1667 – 1748) consideraba una función como una expresión algebraica
formada por constantes y variables. Las ecuaciones o fórmulas con constantes y
variables surgieron con Leonahard Euler (1797 – 1783). Su definición de función es
la que generalmente se encuentra en los libros de matemáticas a nivel de enseñanza
media. En 1734 Euler y Alexis Clairaut (1713 - 1765) introdujeron la notación
f (x) .
La idea de Euler permaneció intacta hasta la época de Jean Baptiste Joseph
Fourier (1768 – 1830) quien encontró la necesidad de un tipo más general de
función en su estudio de series trigonométricas. En 1837, Meter Gustav Lejeune
Dirichlet (1805 – 1859) estableció una formulación más rigurosa de los conceptos
de variable, función y correspondencia entre la variable independiente y la variable
dependiente. El trabajo de Dirichlet enfatiza la relación entre dos conjuntos de
números y no pide la existencia de una fórmula o expresión que relaciones a los dos
conjuntos. Con los desarrollos de la teoría de conjuntos de George Cantor, se llegó a
una generalización de la función como un tipo de relación particular.
Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646 – 1716)
9
[Grimaldi, 308]
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