Fórmulas de Integración de Newton y Cuadraturas de Gauss

Fórmulas de INTEGRACIÓN CERRADA de NEWTON-COTES
Z
x1
m = 1 −→
f (x)dx =
x0
Z x2
h3
h
(f0 + f1 ) − f (2) (ξ)
2
12
Regla del Trapecio
h
h5
((f0 + f2 ) + 4f1 ) − f (4) (ξ)
Regla de Simpson
3
90
x0
Z x3
3h
3 5 (4)
f (x)dx =
((f0 + f3 ) + 3(f1 + f2 )) −
h f (ξ)
Segunda Regla de Simpson
m = 3 −→
8
80
x0
Z x4
2h
8 7 (6)
f (x)dx =
(7(f0 + f4 ) + 32(f1 + f3 ) + 12f2 ) −
h f (ξ)
Regla de Bode
m = 4 −→
45
945
x0
Z x5
5h
275 7 (6)
m = 5 −→
f (x)dx =
(19(f0 + f5 ) + 75(f1 + f4 ) + 50(f2 + f3 )) −
h f (ξ)
288
12096
x
Z x0 6
9
h
(41(f0 + f6 ) + 216(f1 + f5 ) + 27(f2 + f4 ) + 272f3 ) −
h9 f (8) (ξ)
m = 6 −→
f (x)dx =
140
1400
x0
Z x7
8183 9 (8)
7h
m = 7 −→
f (x)dx =
(751(f0 + f7 ) + 3577(f1 + f6 ) + 1323(f2 + f5 ) + 2989(f3 + f4 )) −
h f (ξ)
17280
518400
x
Z x0 8
4h
m = 8 −→
f (x)dx =
(989(f0 + f8 ) + 5888(f1 + f7 ) − 928(f2 + f6 ) + 10496(f3 + f5 ) − 4540f4 )−
14175
x0
2368 11 (10)
−
h f
(ξ)
467775
Z x9
9h
m = 9 −→
(2857(f0 + f9 ) + 15741(f1 + f8 ) + 1080(f2 + f7 ) + 19344(f3 + f6 )+
f (x)dx =
89600
x0
173 11 (10)
+ 5778(f4 + f5 )) −
h f
(ξ)
14620
Z x10
5h
m = 10 −→
f (x)dx =
(16067(f0 + f10 ) + 106300(f1 + f9 ) − 48525(f2 + f8 ) + 272400(f3 + f7 )+
299376
x0
1346350 13 (12)
− 260550(f4 + f6 ) + 427368f5 ) −
h f
(ξ)
326918592
m = 2 −→
f (x)dx =
Fórmulas de INTEGRACIÓN ABIERTA de NEWTON-COTES
Z
b
m = 0 −→
f (x)dx = 2h f0 +
a
Z
b
m = 1 −→
f (x)dx =
3h
h3
(f0 + f1 ) + f (2) (ξ)
2
4
f (x)dx =
4h
28 5 (4)
(2(f0 + f2 ) − f1 ) +
h f (ξ)
3
90
f (x)dx =
5h
95 5 (4)
(11(f0 + f3 ) + (f1 + f2 )) +
h f (ξ)
24
144
f (x)dx =
6h
41 7 (6)
(11(f0 + f4 ) − 14(f1 + f3 ) + 26f2 ) +
h f (ξ)
20
140
f (x)dx =
7h
5257 7 (6)
(611(f0 + f5 ) − 453(f1 + f4 ) + 562(f2 + f3 )) +
h f (ξ)
1440
8640
f (x)dx =
8h
3956 9 (8)
(460(f0 + f6 ) − 954(f1 + f5 ) + 2196(f2 + f4 ) − 2459f3 ) +
h f (ξ)
945
14175
a
Z
b
m = 2 −→
a
Z
b
m = 3 −→
a
Z
b
m = 4 −→
a
Z
b
m = 5 −→
a
Z
m = 6 −→
a
h3 (2)
f (ξ)
3
b
Fórmulas de INTEGRACIÓN COMPUESTAS
Fórmula Compuesta del Trapecio
Z
b
f (x)dx =
a
´ (b − a)3
h³
f0 + 2f1 + 2f2 + . . . + 2fn−1 + fn −
f (2) (ξ);
2
12n2
h=
b−a
n
Fórmula Compuesta del Simpson
Z
b
f (x)dx =
a
´ (b − a)5
h³
f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + . . . + 2f2n−2 + 4f2n−1 + f2n −
f (4) (ξ);
3
2880n4
h=
b−a
2n
Extrapolación de RICHARDSON
Sea I1 el valor de la integral calculada con n1 puntos y sea I2 el valor de la integral calculada con n2 puntos.
La combinación de fórmulas de integración compuestas con la extrapolación de Richardson conduce a una nueva
aproximación a la integral IR :
Fórmula Compuesta del Trapecio:
IR =
I2 (n2 /n1 )2 − I1
.
(n2 /n1 )2 − 1
Si n2 = 2n1 , entonces IR =
4I2 − I1
3
Fórmula Compuesta de Simpson:
IR =
I2 (n2 /n1 )4 − I1
.
(n2 /n1 )4 − 1
Si n2 = 2n1 , entonces IR =
16I2 − I1
15
Método de Integración de ROMBERG
El algoritmo del método de integración de Romberg combina la fórmula de integración compuesta del trapecio
con la extrapolación de Richardson.
Fase 1)
Ti,1
Fase 2)
´
b − a³
f (a) + f (b)
2
Ã
!
µ
¶
P
−1
X
1
2p + 1
b−a
=
Ti−1,1 + h
f (xp )
siendo xp = a +
h; h =
; P = 2i−1
2
2
P
p=0
T0,1 =
Ti,j =
4j−1 Ti+1,j−1 − Ti,j−1
; i = 0, N − j + 1; j = 0, N + 1.
4j−1 − 1
Cada fila y columna de la matriz que se puede construir con los coeficientes Ti,j converge al valor de la integral
Z
b
I=
f (x)dx.
a
El error de integración es de la forma general
εi,j =
constante(a, b, j) (2j)
f
(ξ),
22ji
ξ ∈ [a, b]
COMPARACIÓN DE CUADRATURAS DE NEWTON-COTES Y FÓRMULAS COMPUESTAS
El Ejemplo consiste en evaluar numéricamente mediante Cuadraturas de Newton-Cotes de distinto
número de puntos y con las fórmulas compuestas del Trapecio y de Simpson el valor de la integral:
Z
+4
−4
1
dx
1 + x2
***************************
Cuadraturas de NEWTON-COTES
***************************
----------------------------------------------------------Puntos Val. Exac.
Val. Aprox
Err. Rel.( %)
----------------------------------------------------------2
2.6516353273
0.4705882353
82.252905200
3
2.6516353273
5.4901960784
-107.049439334
4
2.6516353273
2.2776470588
14.104061168
5
2.6516353273
2.2776470588
14.104061168
6
2.6516353273
2.3722292496
10.537123067
7
2.6516353273
3.3287981275
-25.537553869
8
2.6516353273
2.7997007825
-5.583929797
9
2.6516353273
1.9410943044
26.796332649
10
2.6516353273
2.4308411566
8.326717042
----------------------------------------------------------**********************************************
Formulas Compuestas del Trapecio y Simpson 1/3
**********************************************
------------------------------------------------------------------------------------------------------Fórmula Compuesta del Trapecio
Fórmula Compuesta Simpson 1/3
------------------------------------------------------------------------------------------------------Intervalos Val. Exac.
Puntos Val. Aprox
Err. Rel.( %) Puntos Val. Aprox
Err. Rel.( %)
------------------------------------------------------------------------------------------------------1
2.6516353273
2
0.4705882353
82.252905200
3
5.4901960784
-107.049439334
2
2.6516353273
3
4.2352941176
-59.723853201
5
2.4784313725
6.531967386
3
2.6516353273
4
2.0768627451
21.676154949
7
2.9084215239
-9.684069068
4
2.6516353273
5
2.9176470588
-10.031987760
9
2.5725490196
2.982548426
5
2.6516353273
6
2.5187099403
5.012958820
11
2.6952859224
-1.646176402
6
2.6516353273
7
2.7005318292
-1.844013064
13
2.6332910535
0.691809828
7
2.6516353273
8
2.6200579018
1.190866075
15
2.6602997673
-0.326758355
8
2.6516353273
9
2.6588235294
-0.271085620
17
2.6477345635
0.147107854
9
2.6516353273
10
2.6426739520
0.337956553
19
2.6534158938
-0.067149749
10
2.6516353273
11
2.6511419269
0.018607403
21
2.6508184459
0.030806705
11
2.6516353273
12
2.6480963324
0.133464618
23
2.6520029475
-0.013863904
12
2.6516353273
13
2.6501012474
0.057854105
25
2.6514640295
0.006460083
13
2.6516353273
14
2.6496637693
0.074352533
27
2.6517107066
-0.002842745
14
2.6516353273
15
2.6502393009
0.052647752
29
2.6515989345
0.001372466
15
2.6516353273
16
2.6502787921
0.051158439
31
2.6516503898
-0.000568044
16
2.6516353273
17
2.6505068050
0.042559485
33
2.6516272830
0.000303374
17
2.6516353273
18
2.6506059693
0.038819742
35
2.6516380757
-0.000103647
18
2.6516353273
19
2.6507304083
0.034126827
37
2.6516333457
0.000074734
19
2.6516353273
20
2.6508168216
0.030867960
39
2.6516356461
-0.000012020
20
2.6516353273
21
2.6508993161
0.027756879
41
2.6516347072
0.000023386
25
2.6516353273
26
2.6511633755
0.017798521
51
2.6516352085
0.000004480
30
2.6516353273
31
2.6513074904
0.012363577
61
2.6516352668
0.000002281
40
2.6516353273
41
2.6514508595
0.006956759
81
2.6516353082
0.000000721
50
2.6516353273
51
2.6515172503
0.004452990
101
2.6516353195
0.000000296
100
2.6516353273
101
2.6516058022
0.001113469
201
2.6516353268
0.000000018
200
2.6516353273
201
2.6516279457
0.000278381
401
2.6516353273
0.000000001
400
2.6516353273
401
2.6516334819
0.000069596
801
2.6516353273
0.000000000
800
2.6516353273
801
2.6516348660
0.000017399 1601
2.6516353273
0.000000000
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cuadratura de GAUSS-LEGENDRE
Z
+1
f (z)dz ≈
−1
i=n
X
Z
ωi f (zi )
F (x)dx ≈
a
i=0
µ
Rn =
i=n
b
b−aX
ωi F
2 i=0
(b − a)zi + (b + a)
2
n
i
0
0
0.00000000000000E+00
0.20000000000000E+01
1
0
1
-0.57735026918963E+00
0.57735026918963E+00
0.10000000000000E+01
0.10000000000000E+01
2
0
1
2
-0.77459666924148E+00
0.00000000000000E+00
0.77459666924148E+00
0.55555555555556E+00
0.88888888888889E+00
0.55555555555556E+00
3
0
1
2
3
-0.86113631159405E+00
-0.33998104358486E+00
0.33998104358486E+00
0.86113631159405E+00
0.34785484513745E+00
0.65214515486255E+00
0.65214515486255E+00
0.34785484513745E+00
4
0
1
2
3
4
-0.90617984593866E+00
-0.53846931010568E+00
0.00000000000000E+00
0.53846931010568E+00
0.90617984593866E+00
0.23692688505619E+00
0.47862867049937E+00
0.56888888888889E+00
0.47862867049937E+00
0.23692688505619E+00
5
0
1
2
3
4
5
-0.93246951420315E+00
-0.66120938646626E+00
-0.23861918608320E+00
0.23861918608320E+00
0.66120938646626E+00
0.93246951420315E+00
0.17132449237917E+00
0.36076157304814E+00
0.46791393457269E+00
0.46791393457269E+00
0.36076157304814E+00
0.17132449237917E+00
6
0
1
2
3
4
5
6
-0.94910791234276E+00
-0.74153118559939E+00
-0.40584515137740E+00
0.00000000000000E+00
0.40584515137740E+00
0.74153118559939E+00
0.94910791234276E+00
0.12948496616887E+00
0.27970539148928E+00
0.38183005050512E+00
0.41795918367347E+00
0.38183005050512E+00
0.27970539148928E+00
0.12948496616887E+00
7
0
1
2
3
4
5
6
7
-0.96028985649754E+00
-0.79666647741363E+00
-0.52553240991633E+00
-0.18343464249565E+00
0.18343464249565E+00
0.52553240991633E+00
0.79666647741363E+00
0.96028985649754E+00
0.10122853629038E+00
0.22238103445337E+00
0.31370664587789E+00
0.36268378337836E+00
0.36268378337836E+00
0.31370664587789E+00
0.22238103445337E+00
0.10122853629038E+00
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-0.97390652851717E+00
-0.86506336668898E+00
-0.67940956829902E+00
-0.43339539412925E+00
-0.14887433898163E+00
0.14887433898163E+00
0.43339539412925E+00
0.67940956829902E+00
0.86506336668898E+00
0.97390652851717E+00
0.66671344308688E-01
0.14945134915058E+00
0.21908636251598E+00
0.26926671931000E+00
0.29552422471475E+00
0.29552422471475E+00
0.26926671931000E+00
0.21908636251598E+00
0.14945134915058E+00
0.66671344308688E-01
11
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-0.98156063424672E+00
-0.90411725637047E+00
-0.76990267419431E+00
-0.58731795428662E+00
-0.36783149899818E+00
-0.12523340851147E+00
0.12523340851147E+00
0.36783149899818E+00
0.58731795428662E+00
0.76990267419431E+00
0.90411725637047E+00
0.98156063424672E+00
0.47175336386511E-01
0.10693932599532E+00
0.16007832854335E+00
0.20316742672307E+00
0.23349253653835E+00
0.24914704581340E+00
0.24914704581340E+00
0.23349253653835E+00
0.20316742672307E+00
0.16007832854335E+00
0.10693932599532E+00
0.47175336386511E-01
b−a
2
zi
µ
¶2n+3
ωi
22n+3 ((n + 1)!)4
F (2n+2) (ξ), ξ ∈ [a, b]
(2n + 3)((2n + 2)!)3
¶
Cuadratura de GAUSS-LAGUERRE
Z
∞
e−z f (z)dz ≈
0
i=n
X
Z
ωi f (zi )
i=0
F (x)dx ≈
a
i=n
X
ωi ezi F (a + zi )
i=0
ωi
ωi ezi
n
i
0
0
0.10000000000000E+01
0.10000000000000E+01
0.27182818284590E+01
1
0
1
0.58578643762690E+00
0.34142135623731E+01
0.85355339059327E+00
0.14644660940673E+00
0.15333260331194E+01
0.44509573350546E+01
2
0
1
2
0.41577455678348E+00
0.22942803602790E+01
0.62899450829375E+01
0.71109300992917E+00
0.27851773356924E+00
0.10389256501586E-01
0.10776928592709E+01
0.27621429619016E+01
0.56010946254344E+01
3
0
1
2
3
0.32254768961939E+00
0.17457611011583E+01
0.45366202969211E+01
0.93950709123011E+01
0.60315410434163E+00
0.35741869243780E+00
0.38887908515005E-01
0.53929470556133E-03
0.83273912383789E+00
0.20481024384543E+01
0.36311463058215E+01
0.64871450844077E+01
4
0
1
2
3
4
0.26356031971814E+00
0.14134030591065E+01
0.35964257710407E+01
0.70858100058588E+01
0.12640800844276E+02
0.52175561058281E+00
0.39866681108318E+00
0.75942449681708E-01
0.36117586799221E-02
0.23369972385776E-04
0.67909404220775E+00
0.16384878736027E+01
0.27694432423708E+01
0.43156569009209E+01
0.72191863543545E+01
5
0
1
2
3
4
5
0.22284660417926E+00
0.11889321016726E+01
0.29927363260593E+01
0.57751435691045E+01
0.98374674183826E+01
0.15982873980602E+02
0.45896467394996E+00
0.41700083077212E+00
0.11337338207405E+00
0.10399197453149E-01
0.26101720281493E-03
0.89854790642962E-06
0.57353550742274E+00
0.13692525907123E+01
0.22606845933827E+01
0.33505245823555E+01
0.48868268002108E+01
0.78490159455958E+01
6
0
1
2
3
4
5
6
0.19304367656036E+00
0.10266648953392E+01
0.25678767449507E+01
0.49003530845265E+01
0.81821534445629E+01
0.12734180291798E+02
0.19395727862263E+02
0.40931895170127E+00
0.42183127786172E+00
0.14712634865751E+00
0.20633514468717E-01
0.10740101432807E-02
0.15865464348564E-04
0.31703154789956E-07
0.49647759753997E+00
0.11776430608612E+01
0.19182497816598E+01
0.27718486362321E+01
0.38412491224885E+01
0.53806782079215E+01
0.84054324868284E+01
7
0
1
2
3
4
5
6
7
0.17027963230510E+00
0.90370177679938E+00
0.22510866298661E+01
0.42667001702877E+01
0.70459054023935E+01
0.10758516010181E+02
0.15740678641278E+02
0.22863131736889E+02
0.36918858934164E+00
0.41878678081434E+00
0.17579498663717E+00
0.33343492261216E-01
0.27945362352257E-02
0.90765087733582E-04
0.84857467162725E-06
0.10480011748715E-08
0.43772341049291E+00
0.10338693476656E+01
0.16697097656588E+01
0.23769247017586E+01
0.32085409133479E+01
0.42685755108251E+01
0.58180833686719E+01
0.89062262152922E+01
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.15232222773181E+00
0.80722002274225E+00
0.20051351556193E+01
0.37834739733312E+01
0.62049567778766E+01
0.93729852516876E+01
0.13466236911092E+02
0.18833597788992E+02
0.26374071890927E+02
0.33612642179796E+00
0.41121398042399E+00
0.19928752537089E+00
0.47460562765652E-01
0.55996266107946E-02
0.30524976709321E-03
0.65921230260753E-05
0.41107693303496E-07
0.32908740303507E-10
0.39143112431564E+00
0.92180502852896E+00
0.14801279099429E+01
0.20867708075493E+01
0.27729213897120E+01
0.35916260680923E+01
0.46487660021402E+01
0.62122754197471E+01
0.93632182377058E+01
Rn =
zi
∞
((n + 1)!)2 (2n+2)
f
(ξ), ξ ∈ [0, +∞), f (z) = ez F (a + z)
(2n + 2)!
Cuadratura de GAUSS-HERMITE
Z
∞
e−z
−∞
2
f (z)dz ≈
i=n
X
Z
∞
ωi f (zi )
i=0
−∞
ωi ezi F (zi )
2
i=0
ωi ezi
2
i
0
0
0.00000000000000E+00
0.17724538509055E+01
0.17724538509055E+01
1
0
1
-0.70710678118655E+00
0.70710678118655E+00
0.88622692545276E+00
0.88622692545276E+00
0.14611411826611E+01
0.14611411826611E+01
2
0
1
2
-0.12247448713916E+01
0.00000000000000E+00
0.12247448713916E+01
0.29540897515092E+00
0.11816359006037E+01
0.29540897515092E+00
0.13239311752136E+01
0.11816359006037E+01
0.13239311752136E+01
3
0
1
2
3
-0.16506801238858E+01
-0.52464762327529E+00
0.52464762327529E+00
0.16506801238858E+01
0.81312835447245E-01
0.80491409000551E+00
0.80491409000551E+00
0.81312835447245E-01
0.12402258176958E+01
0.10599644828950E+01
0.10599644828950E+01
0.12402258176958E+01
4
0
1
2
3
4
-0.20201828704561E+01
-0.95857246461382E+00
0.00000000000000E+00
0.95857246461382E+00
0.20201828704561E+01
0.19953242059046E-01
0.39361932315224E+00
0.94530872048294E+00
0.39361932315224E+00
0.19953242059046E-01
0.11814886255360E+01
0.98658099675143E+00
0.94530872048294E+00
0.98658099675143E+00
0.11814886255360E+01
5
0
1
2
3
4
5
-0.23506049736745E+01
-0.13358490740137E+01
-0.43607741192762E+00
0.43607741192762E+00
0.13358490740137E+01
0.23506049736745E+01
0.45300099055088E-02
0.15706732032286E+00
0.72462959522439E+00
0.72462959522439E+00
0.15706732032286E+00
0.45300099055088E-02
0.11369083326745E+01
0.93558055763118E+00
0.87640133443623E+00
0.87640133443623E+00
0.93558055763118E+00
0.11369083326745E+01
6
0
1
2
3
4
5
6
-0.26519613568352E+01
-0.16735516287675E+01
-0.81628788285896E+00
0.00000000000000E+00
0.81628788285896E+00
0.16735516287675E+01
0.26519613568352E+01
0.97178124509952E-03
0.54515582819127E-01
0.42560725261013E+00
0.81026461755681E+00
0.42560725261013E+00
0.54515582819127E-01
0.97178124509952E-03
0.11013307296103E+01
0.89718460022519E+00
0.82868730328364E+00
0.81026461755681E+00
0.82868730328364E+00
0.89718460022519E+00
0.11013307296103E+01
7
0
1
2
3
4
5
6
7
-0.29306374202572E+01
-0.19816567566958E+01
-0.11571937124468E+01
-0.38118699020732E+00
0.38118699020732E+00
0.11571937124468E+01
0.19816567566958E+01
0.29306374202572E+01
0.19960407221137E-03
0.17077983007413E-01
0.20780232581489E+00
0.66114701255824E+00
0.66114701255824E+00
0.20780232581489E+00
0.17077983007413E-01
0.19960407221137E-03
0.10719301442480E+01
0.86675260656338E+00
0.79289004838640E+00
0.76454412865173E+00
0.76454412865173E+00
0.79289004838640E+00
0.86675260656338E+00
0.10719301442480E+01
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-0.34361591188377E+01
-0.25327316742328E+01
-0.17566836492999E+01
-0.10366108297895E+01
-0.34290132722370E+00
0.34290132722370E+00
0.10366108297895E+01
0.17566836492999E+01
0.25327316742328E+01
0.34361591188377E+01
0.76404328552326E-05
0.13436457467812E-02
0.33874394455481E-01
0.24013861108231E+00
0.61086263373533E+00
0.61086263373533E+00
0.24013861108231E+00
0.33874394455481E-01
0.13436457467812E-02
0.76404328552326E-05
0.10254516913657E+01
0.82066612640481E+00
0.74144193194356E+00
0.70329632310491E+00
0.68708185395127E+00
0.68708185395127E+00
0.70329632310491E+00
0.74144193194356E+00
0.82066612640481E+00
0.10254516913657E+01
11
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-0.38897248978698E+01
-0.30206370251209E+01
-0.22795070805011E+01
-0.15976826351526E+01
-0.94778839124016E+00
-0.31424037625436E+00
0.31424037625436E+00
0.94778839124016E+00
0.15976826351526E+01
0.22795070805011E+01
0.30206370251209E+01
0.38897248978698E+01
0.26585516843563E-06
0.85736870435878E-04
0.39053905846291E-02
0.51607985615884E-01
0.26049231026416E+00
0.57013523626248E+00
0.57013523626248E+00
0.26049231026416E+00
0.51607985615884E-01
0.39053905846291E-02
0.85736870435878E-04
0.26585516843563E-06
0.98969904709229E+00
0.78664393946332E+00
0.70522036611222E+00
0.66266277326687E+00
0.63962123202026E+00
0.62930787436949E+00
0.62930787436949E+00
0.63962123202026E+00
0.66266277326687E+00
0.70522036611222E+00
0.78664393946332E+00
0.98969904709229E+00
Rn =
ωi
i=n
X
n
√
zi
F (x)dx ≈
2
π (n + 1)! (2n+2)
f
(ξ), ξ ∈ (−∞, +∞), f (z) = ez F (z)
2n+1 (2n + 2)!
Cuadratura de GAUSS-TCHEBYSHEV
Z
+1
1
p
−1
1 − z2
f (z)dz ≈
i=n
X
Z
i=n
b
ωi f (zi )
F (x)dx ≈
a
i=0
b−aX
ωi
2 i=0
µ
q
1 − zi2 F
(b − a)zi + (b + a)
2
¶
Los puntos y pesos de integración de esta cuadratura se pueden determinar de forma explı́cita:
µ
zi = cos
(2i + 1)π
2n + 2
¶
zi
, ωi =
π
, i = 0, . . . , n;
n+1
i
0
0
0.00000000000000E+00
0.31415926535898E+01
0.31415926535898E+01
1
0
1
-0.70710678118655E+00
0.70710678118655E+00
0.15707963267949E+01
0.15707963267949E+01
0.11107207345396E+01
0.11107207345396E+01
2
0
1
2
-0.86602540378444E+00
0.00000000000000E+00
0.86602540378444E+00
0.10471975511966E+01
0.10471975511966E+01
0.10471975511966E+01
0.52359877559830E+00
0.10471975511966E+01
0.52359877559830E+00
3
0
1
2
3
-0.92387953251129E+00
-0.38268343236509E+00
0.38268343236509E+00
0.92387953251129E+00
0.78539816339745E+00
0.78539816339745E+00
0.78539816339745E+00
0.78539816339745E+00
0.30055886494217E+00
0.72561328803486E+00
0.72561328803486E+00
0.30055886494217E+00
4
0
1
2
3
4
-0.95105651629515E+00
-0.58778525229247E+00
0.00000000000000E+00
0.58778525229247E+00
0.95105651629515E+00
0.62831853071796E+00
0.62831853071796E+00
0.62831853071796E+00
0.62831853071796E+00
0.62831853071796E+00
0.19416110387255E+00
0.50832036923153E+00
0.62831853071796E+00
0.50832036923153E+00
0.19416110387255E+00
5
0
1
2
3
4
5
-0.96592582628907E+00
-0.70710678118655E+00
-0.25881904510252E+00
0.25881904510252E+00
0.70710678118655E+00
0.96592582628907E+00
0.52359877559830E+00
0.52359877559830E+00
0.52359877559830E+00
0.52359877559830E+00
0.52359877559830E+00
0.52359877559830E+00
0.13551733511720E+00
0.37024024484653E+00
0.50575757996373E+00
0.50575757996373E+00
0.37024024484653E+00
0.13551733511720E+00
6
0
1
2
3
4
5
6
-0.97492791218182E+00
-0.78183148246803E+00
-0.43388373911756E+00
0.00000000000000E+00
0.43388373911756E+00
0.78183148246803E+00
0.97492791218182E+00
0.44879895051283E+00
0.44879895051283E+00
0.44879895051283E+00
0.44879895051283E+00
0.44879895051283E+00
0.44879895051283E+00
0.44879895051283E+00
0.99867161626728E-01
0.27982156872965E+00
0.40435388235934E+00
0.44879895051283E+00
0.40435388235934E+00
0.27982156872965E+00
0.99867161626728E-01
7
0
1
2
3
4
5
6
7
-0.98078528040323E+00
-0.83146961230255E+00
-0.55557023301960E+00
-0.19509032201613E+00
0.19509032201613E+00
0.55557023301960E+00
0.83146961230255E+00
0.98078528040323E+00
0.39269908169872E+00
0.39269908169872E+00
0.39269908169872E+00
0.39269908169872E+00
0.39269908169872E+00
0.39269908169872E+00
0.39269908169873E+00
0.39269908169872E+00
0.76611790304042E-01
0.21817192032594E+00
0.32651735321160E+00
0.38515347895797E+00
0.38515347895797E+00
0.32651735321160E+00
0.21817192032594E+00
0.76611790304042E-01
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-0.98768834059514E+00
-0.89100652418837E+00
-0.70710678118655E+00
-0.45399049973955E+00
-0.15643446504023E+00
0.15643446504023E+00
0.45399049973955E+00
0.70710678118655E+00
0.89100652418837E+00
0.98768834059514E+00
0.31415926535898E+00
0.31415926535898E+00
0.31415926535898E+00
0.31415926535898E+00
0.31415926535898E+00
0.31415926535898E+00
0.31415926535898E+00
0.31415926535898E+00
0.31415926535898E+00
0.31415926535898E+00
0.49145336613862E-01
0.14262532187813E+00
0.22214414690792E+00
0.27991795506908E+00
0.31029144348500E+00
0.31029144348500E+00
0.27991795506908E+00
0.22214414690792E+00
0.14262532187813E+00
0.49145336613862E-01
µ
Rn =
b−a
2
ωi
¶
2n+2
2
ωi
p
1 − zi2
n
2π
f (2n+2) (ξ), ξ ∈ [−1, +1]
(2n + 2)!
Cuadratura de GAUSS-RADAU
Z
+1
f (z)dz ≈
−1
i=n
X
Z
b
ωi f (zi ) + Rn
F (x)dx ≈
a
i=0
µ
¶¸
i=n ·
b−aX
(b − a)zi + (b + a)
b−a
ωi F
+
Rn
2 i=0
2
2
n
i
1
0
1
-0.10000000000000E+01
0.33333333333333E+00
0.50000000000000E+00
0.15000000000000E+01
2
0
1
2
-0.10000000000000E+01
-0.28989794855664E+00
0.68989794855664E+00
0.22222222222222E+00
0.10249716523768E+01
0.75280612540093E+00
3
0
1
2
3
-0.10000000000000E+01
-0.57531892352169E+00
0.18106627111853E+00
0.82282408097459E+00
0.12500000000000E+00
0.65768863996012E+00
0.77638693768634E+00
0.44092442235354E+00
4
0
1
2
3
4
-0.10000000000000E+01
-0.72048027131244E+00
-0.16718086473783E+00
0.44631397272375E+00
0.88579160777096E+00
0.80000000000000E-01
0.44620780216714E+00
0.62365304595148E+00
0.56271203029892E+00
0.28742712158245E+00
5
0
1
2
3
4
5
-0.10000000000000E+01
-0.80292982840235E+00
-0.39092854670727E+00
0.12405037950523E+00
0.60397316425278E+00
0.92038028589706E+00
0.55555555555555E-01
0.31964075322051E+00
0.48538718846897E+00
0.52092678318957E+00
0.41690133431191E+00
0.20158838525348E+00
6
0
1
2
3
4
5
6
-0.10000000000000E+01
-0.85389134263948E+00
-0.53846772406011E+00
-0.11734303754310E+00
0.32603061943769E+00
0.70384280066303E+00
0.94136714568043E+00
0.40816326530612E-01
0.23922748922531E+00
0.38094987364423E+00
0.44710982901457E+00
0.42470377900596E+00
0.31820423146730E+00
0.14898847111202E+00
7
0
1
2
3
4
5
6
7
-0.10000000000000E+01
-0.88747487892616E+00
-0.63951861652622E+00
-0.29475056577366E+00
0.94307252661111E-01
0.46842035443082E+00
0.77064189367819E+00
0.95504122712257E+00
0.31250000000000E-01
0.18535815480298E+00
0.30413062064679E+00
0.37651754538912E+00
0.39157216745249E+00
0.34701479563450E+00
0.24964790132987E+00
0.11450881474426E+00
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-0.10000000000000E+01
-0.91073208942006E+00
-0.71126748591571E+00
-0.42635048571114E+00
-0.90373369606853E-01
0.25613567083346E+00
0.57138304120874E+00
0.81735278420041E+00
0.96444016970527E+00
0.24691358024691E-01
0.14765401904632E+00
0.24718937820459E+00
0.31684377567044E+00
0.34827300277297E+00
0.33769396697593E+00
0.28638669635723E+00
0.20055329802455E+00
0.90714504923283E-01
Rn =
zi
ωi
22n+1 (n + 1)(n!)4 (2n+1)
f
(ξ), ξ ∈ [−1, 1]
((2n + 1)!)3
Cuadratura de GAUSS-LOBATTO
Z
+1
f (z)dz ≈
−1
i=n
X
Z
b
ωi f (zi ) + Rn
F (x)dx ≈
a
i=0
µ
¶¸
i=n ·
b−aX
(b − a)zi + (b + a)
b−a
ωi F
+
Rn
2 i=0
2
2
n
i
2
0
1
2
-0.10000000000000E+01
0.00000000000000E+00
0.10000000000000E+01
0.33333333333333E+00
0.13333333333333E+01
0.33333333333333E+00
3
0
1
2
3
-0.10000000000000E+01
-0.44721359549996E+00
0.44721359549996E+00
0.10000000000000E+01
0.16666666666667E+00
0.83333333333333E+00
0.83333333333333E+00
0.16666666666667E+00
4
0
1
2
3
4
-0.10000000000000E+01
-0.65465367070798E+00
0.00000000000000E+00
0.65465367070798E+00
0.10000000000000E+01
0.10000000000000E+00
0.54444444444444E+00
0.71111111111111E+00
0.54444444444444E+00
0.10000000000000E+00
5
0
1
2
3
4
5
-0.10000000000000E+01
-0.76505532392946E+00
-0.28523151648065E+00
0.28523151648065E+00
0.76505532392946E+00
0.10000000000000E+01
0.66666666666666E-01
0.37847495629785E+00
0.55485837703549E+00
0.55485837703549E+00
0.37847495629785E+00
0.66666666666666E-01
6
0
1
2
3
4
5
6
-0.10000000000000E+01
-0.83022389627857E+00
-0.46884879347071E+00
0.00000000000000E+00
0.46884879347071E+00
0.83022389627857E+00
0.10000000000000E+01
0.47619047619048E-01
0.27682604736157E+00
0.43174538120986E+00
0.48761904761905E+00
0.43174538120986E+00
0.27682604736157E+00
0.47619047619048E-01
7
0
1
2
3
4
5
6
7
-0.10000000000000E+01
-0.87174014850961E+00
-0.59170018143314E+00
-0.20929921790248E+00
0.20929921790248E+00
0.59170018143314E+00
0.87174014850961E+00
0.10000000000000E+01
0.35714285714286E-01
0.21070422714351E+00
0.34112269248350E+00
0.41245879465870E+00
0.41245879465870E+00
0.34112269248350E+00
0.21070422714351E+00
0.35714285714286E-01
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-0.10000000000000E+01
-0.89975799541146E+00
-0.67718627951074E+00
-0.36311746382618E+00
0.00000000000000E+00
0.36311746382618E+00
0.67718627951074E+00
0.89975799541146E+00
0.10000000000000E+01
0.27777777777778E-01
0.16549536156081E+00
0.27453871250016E+00
0.34642851097305E+00
0.37151927437642E+00
0.34642851097305E+00
0.27453871250016E+00
0.16549536156081E+00
0.27777777777778E-01
Rn =
zi
ωi
−22n+1 (n + 1)(n!)4 (2n)
f
(ξ), ξ ∈ [−1, 1]
n(2n + 1)((2n)!)3
Generación de PUNTOS y PESOS de Cuadraturas de GAUSS
Se emplea la subrutina DGQRUL de la Librerı́a Matemática IMSL.
Los tipos de Cuadratura (NTYPE) que se pueden generar son:
1
LEGENDRE
2
TCHEBYSHEV de Primera Clase
3
TCHEBYSHEV de Segunda Clase
4
HERMITE
5
JACOBI
6
LAGUERRE
7
COSH
8
RADAU-LEGENDRE
9
LOBATTO-LEGENDRE
Compilación: FOR CUADRATURAS
Linkado: LINK CUADRATURAS, IMSLIBG STATIC/OPT, IMSLPSECT/OPT
1
program CUADRATURAS
parameter (maxdim=30)
implicit real*8(a-h,o-z),integer*4(i-n)
dimension qw(maxdim),qx(maxdim),qxfix(2)
external dgqrul
open(11,file=’puntos.dat’,status=’new’)
write(*,*)’ Tipo de Cuadratura >> ’
read(*,*)ntype
write(*,*)’ Numero de Puntos de la Cuadratura >> ’
read(*,*)npuntos
if(npuntos.gt.maxdim)goto1
nfix=0
itype=ntype
if(ntype.eq.8)then
itype=1
nfix=1
qxfix(1)=-1.0d+00
if(npuntos.le.nfix)goto1
elseif(ntype.eq.9)then
itype=1
nfix=2
qxfix(1)=-1.0d+00
qxfix(2)=+1.0d+00
if(npuntos.le.nfix)goto1
endif
alfa=0.d+00
beta=0.d+00
call dgqrul(npuntos,itype,alfa,beta,nfix,qxfix,qx,qw)
write(11,’(a,i3)’)’ Cuadratura tipo :’, ntype
write(11,’(a,i3)’)’ Numero de puntos :’, npuntos
do i=1,npuntos
write(11,’(8x,i5,2x,e22.14,e22.14)’)i-1,qx(i),qw(i)
enddo
close(11)
end