Ejercicios de Estad´ıstica y Probabilidad (1/3)

Ejercicios de Estadı́stica y Probabilidad (1/3)
Profr. Fausto Cervantes Ortiz
Medidas de tendencia central y de dispersión
1. Se registran las siguientes mediciones para el tiempo de secado (en horas) de cierta marca de pintura
esmaltada.
3.4
2.8
4.4
2.5
3.3
4.0
4.8
5.6
5.2
2.9
3.7
3.0
3.6
2.8
4.8
Suponga que las mediciones constituyen una muestra aleatoria simple.
a) ¿Cuál es el tamaño de la muestra anterior?
R: 15
b) Calcule la media de la muestra para estos datos.
c) Calcule la mediana de la muestra.
R: 3.787
R: 3.6
d ) Calcule la varianza de la muestra y la desviación estándar de la muestra.
R: 0.943, 0.971
2. Se utiliza cierto polı́mero para los sistemas de evacuación de los aviones. Es importante que el polı́mero sea
resistente al proceso de envejecimiento. Se utilizaron veinte especı́menes del polı́mero en un experimento.
Diez se asignaron aleatoriamente para exponerse al proceso de acelerado, el cual implica la exposición a
altas temperaturas durante 10 dı́as. Se hicieron las mediciones de resistencia a la tensión de los especı́menes
y se registraron los siguientes datos sobre resistencia a la tensión en psi.
Sin envejecimiento acelerado:
227
218
222
216
218
229
217
228
225
221
Con envejecimiento acelerado:
219
218
214
203
215
204
211
201
209
205
a) Calcule la resistencia a la tensión de la media de la muestra en ambas muestras. R: 209.90, 222.10
b) Calcule la mediana de ambas. Discutir la similitud o falta de similitud entre la media y la mediana
de cada grupo.
R: 210.00, 221.50
c) Calcule la varianza de la muestra y su desviación estándar en cuanto a la resistencia a la tensión en
ambas muestras.
R: 23.62, 4.86; 42.12, 6.49
3. En un estudio realizado por el Departamento de Ingenierı́a Mecánica del Tecnológico de Virginia, se
compararon las varillas de acero que abastecen dos compañı́as diferentes. Se fabricaron diez resortes de
muestra con las varillas de metal proporcionadas por cada una de las compañı́as y se registraron sus
medidas de flexibilidad. A continuación se presentan los datos.
Compañı́a A:
1
9.3
6.7
8.8
8.0
6.8
6.5
8.7
9.2
8.5
7.0
Compañı́a B:
11.0
9.7
9.8
11.0
9.9
11.1
10.2
10.2
10.1
9.6
a) Calcule la media y la mediana de la muestra para los datos de ambas compañı́as. R: 7.950, 8.250;
10.260, 10.150
b) Calcule tanto la media como la varianza de la flexibilidad para las compañı́as A y B.
1.099; 0.3249, 0.570
R: 1.2078,
4. Veinte adultos hombres de entre 30 y 40 años de edad participaron en un estudio para evaluar el efecto
de cierto régimen de salud, que incluye dieta y ejercicio, en el colesterol sanguı́neo. Se eligieron diez
aleatoriamente para el grupo de control y los otros diez se asignaron para tomar parte en el régimen
como grupo de tratamiento durante un periodo de 6 meses. Los siguientes datos muestran la reducción
en el colesterol que experimentaron en ese periodo los 20 sujetos:
Grupo de control:
7
5
3
22
-4
-7
14
9
2
5
Grupo de tratamiento:
-6
12
5
37
9
5
4
3
4
3
a) Calcule la media y la mediana para ambos grupos.
R: 5.60, 5.00; 7.60, 4.50
b) Explique por qué la diferencia en la media sugiere una conclusión acerca del efecto del régimen, en
tanto que la diferencia en las medianas o las medias recortadas sugiere una conclusión diferente. R:
por la presencia del valor extremo 37
c) Calcule la varianza de la muestra y la desviación estándar de la muestra para ambos grupos.
69.38, 8.33; 128.04, 11.32
R:
5. La resistencia a la tensión del caucho de silicón se considera una función de la temperatura de vulcanizado. Se llevó a cabo un estudio donde muestras de 12 especı́menes del caucho se prepararon utilizando
temperaturas de vulcanizado de 20 ◦ C y 40 ◦ C. Los siguientes datos presentan los valores de resistencia
a la tensión en megapascales.
20 ◦ C:
2.07
2.05
2.14
2.18
2.22
2.09
2.03
2.14
2.21
2.11
2.03
2.02
2.15
2.42
2.49
2.08
2.03
2.42
2.37
2.29
2.05
2.01
45 ◦ C:
2.52
1.99
a) Calcule la resistencia a la tensión de la media de la muestra para ambas muestras.
2.2350
R: 2.10750,
b) ¿Parece que la temperatura de vulcanizado tiene influencia en la resistencia a la tensión según la
gráfica? Argumente.
R: Sı́, la tensión aumenta con la temperatura
2
c) ¿Qué parece estar influido por un incremento en la temperatura de vulcanizado?
de la resistencia a la tensión
R: La variación
d ) Calcule la desviación estándar de la muestra en la resistencia a la tensión para las muestras, separadamente para ambas temperaturas. ¿Parece que un incremento en la temperatura influye en la
variabilidad de la resistencia a la tensión? Explique. R: 0.005, 0.071; 0.0413, 0.2032. Sı́, la tensión
crece con la temperatura
6. Un fabricante de componentes electrónicos se interesa en determinar el tiempo de vida de cierto tipo de
baterı́a. La que sigue es una muestra, en horas de vida:
123, 116, 122, 110, 175, 126, 125, 111, 118, 117.
a) Encuentre la media y la mediana de la muestra.
R: 124.3, 120
b) ¿Qué caracterı́stica en este conjunto de datos es la responsable de la diferencia sustancial entre ambas?
R: el valor extremo 175
7. Un fabricante de neumáticos quiere determinar el diámetro interior de un neumático de cierto grado de
calidad. Idealmente el diámetro serı́a de 570 mm. Los datos son los siguientes:
572, 572, 573, 568, 569, 575, 565, 570.
a) Encuentre la media y la mediana de la muestra.
b) Encuentre la varianza, la desviación estándar y el rango de la muestra.
R: 570.5, 571
R: 10, 3.162, 10
c) Usando los estadı́sticos calculados en los incisos a) y b) ¿qué puede comentar acerca de la calidad
de los neumáticos?
R: la variación de diámetro es demasiado grande
Análisis gráfico
1. Las siguientes puntuaciones representan la calificación en el examen final para un curso de estadı́stica
elemental:
23
52
81
55
78
41
88
89
15
69
60
70
95
76
25
71
62
76
79
74
79
82
41
52
80
83
74
84
34
63
32
36
65
10
98
54
43
48
67
80
57
80
92
64
81
64
60
84
17
85
74
77
85
75
67
72
78
90
82
61
a) Elabore un diagrama de tallo y hojas para las calificaciones del examen, donde los tallos sean 1, 2,
3,..., 9.
b) Determine una distribución de frecuencias relativas.
c) Elabore un histograma de frecuencias relativas, trazar un estimado de la gráfica de la distribución
y discutir la asimetrı́a de la distribución.
d ) Calcule la media, la mediana y la desviación estándar de la muestra.
R: 2.797, 2.227, 6.3
2. Los siguientes datos representan la duración de vida, en años, medida al décimo más cercano, de 30
bombas de combustible similares.
3
2.0
0.2
1.5
4.5
1.0
3.0
6.0
4.0
0.3
6.0
0.3
5.5
5.9
1.5
5.6
3.3
6.5
1.8
0.5
6.0
1.3
0.2
4.7
2.5
1.2
0.4
2.3
0.7
5.0
0.2
a) Construya un diagrama de tallo y hojas para la vida, en años, de las bombas de combustible,
utilizando el dı́gito a la izquierda del punto decimal como el tallo para cada observación.
b) Determine una distribución de frecuencias relativas.
c) Calcule la media, el rango y la desviación estándar de la muestra.
R: 2.7967, 6.3, 2.2273
3. Se registraron los contenidos de nicotina, en miligramos, en 40 cigarrillos de cierta marca, como sigue:
1.09
1.74
1.58
2.11
1.64
1.79
1.37
1.75
1.92
1.47
2.03
1.86
0.72
2.46
1.93
1.63
2.31
1.97
1.70
1.90
1.69
1.88
1.40
2.37
1.79
0.85
2.17
1.68
1.85
2.08
1.64
1.75
2.28
1.24
2.55
1.51
1.82
1.67
2.09
1.69
a) Encuentre la media y la mediana de la muestra.
b) Calcule la desviación estándar de la muestra.
R: 1.7742, 1.77
R: 0.3905
4. Los siguientes datos constituyen mediciones del diámetro de 36 cabezas de remache en centésimos de una
pulgada.
6.72
6.62
6.73
6.66
6.76
6.79
6.77
6.75
6.80
6.62
6.67
6.78
6.82
6.66
6.72
6.72
6.70
6.66
6.70
6.66
6.76
6.76
6.72
6.76
6.78
6.64
6.76
6.70
6.74
6.76
6.70
6.76
6.68
6.78
6.81
6.72
a) Calcule la media y la desviación estándar de la muestra.
R: 6.7261, 0.0536
b) Construya un histograma de frecuencias relativas para los datos.
c) Comente sobre si habrı́a una indicación clara o no de que la muestra proviene de una población que
describe una distribución en forma de campana.
5. En 20 automóviles elegidos aleatoriamente, se tomaron las emisiones de hidrocarburos en velocidad en
vacı́o, en partes por millón (ppm), para modelos de 1980 y 1990.
Modelos 1980:
141
494
200
190
359
306
223
300
247
210
188
435
940
105
940
241
882
880
241
380
Modelos 1990:
140
60
220
380
160
20
400
200
20
95
217
175
20
360
58
85
223
70
235
65
4
a) Calcule la media de la muestra para los dos años y sobreponer las dos medias en las gráficas.
395.10, 160.15
R:
b) Comente sobre lo que indica la gráfica de puntos, respecto de si cambiaron o no las emisiones de la
población de 1980 a 1990. Utilice el concepto de variabilidad en la respuesta a este inciso.
R:
disminuyó la media y la variabilidad
6. Los siguientes son datos históricos de los sueldos del personal (dólares por alumno) en 30 escuelas seleccionadas de la región este de Estados Unidos a principios de la década de 1970.
3.79
2.45
3.36
3.14
1.84
3.85
2.99
2.14
2.05
3.54
2.52
2.44
2.77
2.67
2.89
2.37
3.22
2.10
2.91
2.52
2.83
2.68
2.75
3.71
3.10
2.71
3.13
3.51
3.57
3.37
a) Calcule la media y la desviación estándar de la muestra.
R: 2.8973, 0.5415
b) Con los datos elabore un histograma de frecuencias relativas.
c) Construya un diagrama de tallo y hojas con los datos.
7. El siguiente conjunto de datos se relaciona con el ejercicio anterior y representa el porcentaje de las
familias que se ubican en el nivel superior de ingresos en las mismas escuelas individuales y con el mismo
orden del ejercicio 1.24.
72.2
25.1
54.2
26.2
8.6
89.2
31.9
55.1
21.5
27.3
22.3
17.9
26.5
9.4
29.1
24.1
26.5
8.5
20.4
14.5
19.2
20.7
58.2
55.4
12.8
38.1
13.9
59.1
68.1
43.3
a) Calcule la media de la muestra.
R: 33.31
b) Calcule la mediana de la muestra.
R: 26.35
c) Construya un histograma de frecuencias relativas con los datos.
d ) Determine la media recortada 10 %. Compare con los resultados de los incisos a) y b) y exprese su
comentario.
R: 30.97
8. Se realizó un estudio para determinar la influencia del desgaste, y, de un cojinete como una función de la
carga, x, sobre el cojinete. Se utiliza un diseño experimental para este estudio. Se emplearon tres niveles
de carga: 700 lb, 1000 lb y 1300 lb. Se utilizaron cuatro especı́menes en cada nivel y las medias muestrales
fueron, respectivamente, 210, 325 y 375.
a) Grafique el promedio de desgaste contra la carga.
b) A partir de la gráfica del inciso anterior, ¿parece que haya una relación entre desgaste y carga?
c) Suponga que tenemos los siguientes valores individuales de desgaste para cada uno de los cuatro
especı́menes en los respectivos niveles de carga.
y1
y2
y3
y4
700
145
105
260
330
ȳ1 = 210
5
x
1000
250
195
375
480
ȳ2 = 325
1300
150
180
420
750
ȳ3 = 375
Grafique los resultados para todos los especı́menes contra los tres valores de carga.
d ) A partir de la gráfica del inciso anterior, ¿parece que haya una relación clara? Si la respuesta es
diferente de la del inciso b), explique por qué.
Espacio muestral y eventos
1. Liste los elementos de cada uno de los siguientes espacios muéstrales:
a) el conjunto de números enteros entre 1 y 50 que son divisibles entre 8; R: S = {8, 16, 24, 32, 40, 48}
b) el conjunto S = {x | x2 + 4x − 5 = 0};
R: S = {−5, 1}
c) el conjunto de resultados cuando se lanza una moneda al aire hasta que aparecen un sol o tres
águilas;
R: S = {s, as, aas, aaa}
d ) el conjunto S = {x | xes un continente};
Antártida }
R: S = { América, África, Asia, Europa, Oceanı́a,
e) el conjunto S = {x | 2x − 4 > 0 y x < 1}.
R: ∅
2. Utilice el método de la regla para describir el espacio muestral S, que consiste en todos los puntos del
primer cuadrante dentro de un cı́rculo de radio 3 con centro en el origen. R: S = {(x, y)| x2 + y 2 = 9}
3. ¿Cuáles de los siguientes eventos son iguales?
a) A = {1, 3};
b) B = {x|x es un número de un dado};
c) C = {x|x2 − 4x + 3 = 0};
d ) D = {x|x es el número de soles cuando se lanzan seis monedas al aire}.
R: A = C
4. Un experimento implica lanzar un par de dados, uno verde y uno rojo, y registrar los números que salen.
Si x es igual al resultado en el dado verde y y es el resultado en el dado rojo, describa el espacio muestral
S
a) mediante la lista de los elementos (x, y);
R:
R: {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),
(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),
(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
R: {(x, y)|x, y = 1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) usando el método de la regla.
c) liste los elementos que corresponden al evento A de que la suma sea mayor que 8;
A ={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
R:
d ) liste los elementos que corresponden al evento B de que ocurra un 2 en cualquiera de los dos dados;
R: B ={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}
e) liste los elementos que corresponden al evento C de que salga un número mayor que 4 en el dado
verde;
R: C ={(5,1),(5,2), (5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
f ) liste los elementos que corresponden al evento A ∩ C,
A ∩ C ={(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
R:
g) liste los elementos que corresponden al evento A ∩ B,
R: A ∩ B = ∅
h) liste los elementos que corresponden al evento B ∩ C,
R: B ∩ C ={(5,2),(6,2)}
i ) construya un diagrama de Venn para ilustrar la intersecciones y uniones de los eventos A, B y C.
5. Un experimento consiste en lanzar un dado y después lanzar una moneda una vez, si el número en el
dado es par. Si el número en el dado es impar, la moneda se lanza dos veces. Use la notación 4s, por
ejemplo, para denotar el resultado de que el dado muestre 4 y después la moneda salga sol, y 3sa para
denotar el resultado de que el dado muestre 3 seguido por un sol y después un águila en la moneda:
6
a) construya un diagrama de árbol y listar los 18 elementos del espacio muestral S.
R:
S = {1ss, 1sa, 1as, 1aa, 2s, 2a, 3ss, 3sa, 3as, 3aa, 4s, 4a, 5ss, 5sa, 5as, 5aa, 6s, 6a}
b) liste los elementos que corresponden al evento A de que en el dado salga un número menor que 3;
R: A = {1ss, 1sa, 1as, 1aa, 2s, 2a}
c) liste los elementos que corresponden al evento B de que ocurran 2 águilas; R: B = {1aa, 3aa, 5aa}
d ) liste los elementos que corresponden al evento A0 ,
R: S = {3aa, 5aa}
0
0
e) liste los elementos que corresponden al evento A ∩ B,
R: A ∩ B = {3aa, 5aa}
f ) liste los elementos que corresponden al evento A ∪ B.
R:
S = {1ss, 1sa, 1as, 1aa, 2s, 2a, 3ss, 3aa, 5aa}
6. Se seleccionan dos jurados de cuatro suplentes para servir en un juicio por homicidio. Usando la notación
A1 A3 , por ejemplo, para denotar el evento simple de que se seleccionen los suplentes 1 y 3, liste los 6
elementos del espacio muestral S.
R: {A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A2 A3 , A2 A4 , A3 A4 }
7. Se estudian los efectos del ejercicio y la dieta como posibles sustitutos de el medicamento para bajar la
presión sanguı́nea. Se utilizarán tres grupos de individuos para estudiar el efecto del ejercicio. El grupo
uno es sedentario, mientras que el grupo dos camina, y el grupo tres nada una hora al dı́a. La mitad
de cada uno de los tres grupos de ejercicio tendrá una dieta sin sal. Un grupo adicional de individuos
no hará ejercicio ni restringirá su consumo de sal, pero tomará el medicamento estándar. Use Z para
sedentario, W para caminante, S para nadador, Y para sal, N para sin sal, M para medicamento, y F
para sin medicamentos.
a) muestre todos los elementos del espacio muestral S
R:
{ZY F, ZN F, W Y F, W N F, SY F, SN F, ZY M }
b) dado que A es el conjunto de individuos sin medicamento y B es el conjunto de caminantes, liste los
elementos de A ∪ B
R: {ZY F, ZN F, W Y F, W N F, SY F, SN F }
c) liste los elementos de A ∩ B
R: {W Y F, SY F }
8. Construya un diagrama de Venn para ilustrar las posibles intersecciones y uniones para los siguientes
eventos relativos al espacio muestral que consiste en todos los automóviles fabricados en Estados Unidos.
F : cuatro puertas,
S: techo corredizo,
P : dirección hidráulica.
9. Si S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 4, 5} y D = {1, 6, 7},
liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
A ∪ C;
A ∩ B;
C 0;
(C 0 ∩ D) ∪ B;
(S ∩ C)0 ;
A ∩ C ∩ D0 .
R: {0, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
R: ∅
R: {0, 1, 6, 7, 8, 9}
R: {1, 3, 5, 6, 7, 9}
R: {0, 1, 6, 7, 8, 9}
R: {2, 4}
10. Considere el espacio muestral S = cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxı́geno, zinc y los eventos A
= cobre, sodio, zinc, B = sodio, nitrógeno, potasio, C = oxı́geno. Liste los elementos de los conjuntos
que corresponden a los siguientes eventos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
A0 ;
A ∪ C;
(A ∩ B 0 ) ∪ C 0 ;
B0 ∩ C 0;
A ∩ B ∩ C;
(A0 ∪ B 0 ) ∩ (A0 ∩ C).
R: {nitrógeno, potasio, uranio, oxı́geno}
R: {cobre, sodio, oxı́geno, zinc}
R: {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, zinc}
R: {cobre, uranio, zinc}
R: ∅
R: {oxı́geno}
7
Conteo
1. A los participantes de una convención se les ofrecen seis recorridos a sitios de interés cada uno de los tres
dı́as. ¿De cuántas maneras se puede acomodar una persona para ir a uno de los recorridos planeados por
la convención?
R: 18
2. En un estudio médico los pacientes se clasifican en 8 formas de acuerdo con su tipo sanguı́neo: AB + ,
AB − , A+ , A− , B + , B − , O+ u O− ; y también de acuerdo con su presión sanguı́nea: baja, normal o alta.
Encuentre el número de formas en las que se puede clasificar a un paciente.
R: 24
3. Si un experimento consiste en lanzar un dado y después extraer una letra al azar del alfabeto español,
¿cuántos puntos habrá en el espacio muestral?
R: 162
4. Un estudio en California concluyó que al seguir siete sencillas reglas para la salud, la vida de un hombre
se puede prolongar 11 años en promedio y la vida de una mujer 7 años. Estas 7 reglas son: no fumar, hacer
ejercicio, uso moderado del alcohol, dormir siete u ocho horas, mantener el peso adecuado, desayunar y
no ingerir alimentos entre comidas. De cuántas formas puede una persona adoptar cinco de esas reglas a
seguir:
a) ¿Si la persona actualmente infringe las siete reglas?
R: 21
b) ¿Si la persona nunca bebe y siempre desayuna?
R: 10
5. Un urbanista de un nuevo fraccionamiento ofrece a un futuro comprador de una casa la elección de 4
diseños, 3 diferentes sistemas de calefacción, un garaje o cobertizo, y un patio o un porche cubierto. ¿De
cuántos planes diferentes dispone el comprador?
R: 28
6. Un medicamento contra el asma se puede adquirir de 5 diferentes laboratorios en forma de lı́quido,
comprimidos o cápsulas, todas en concentración normal o alta. ¿De cuántas formas diferentes un doctor
puede recetar la medicina a un paciente que sufre de asma?
R: 30
7. En un estudio económico de combustibles, cada uno de 3 autos de carreras se prueba con 5 marcas
diferentes de gasolina en 7 lugares de prueba que se localizan en diferentes regiones del paı́s. Si se
utilizan 2 pilotos en el estudio y las pruebas se realizan una vez bajo cada uno de los distintos grupos de
condiciones, ¿cuántas pruebas se necesitan?
R: 210
8. ¿De cuántas formas distintas se puede responder una prueba de falso-verdadero que consta de 9 preguntas?
R: 512
9. Si una prueba de opción múltiple consiste en 5 preguntas, cada una con 4 respuestas posibles de las cuales
sólo 1 es correcta,
a) ¿de cuántas formas diferentes un estudiante puede elegir una respuesta a cada pregunta?
R: 1024
b) ¿de cuántas maneras un estudiante puede elegir una respuesta a cada pregunta y tener incorrectas
todas las respuestas?
R: 243
10. a) ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden hacer con las letras de la palabra columna?
b) ¿Cuántas de estas permutaciones comienzan con la letra m?
R: 5040
R: 720
11. Un testigo de un accidente de tránsito, en el cual huyó el culpable, dice a la policı́a que el número de
la matrı́cula contenı́a las letras RLH seguidas de 3 dı́gitos, cuyo primer número es un 5. Si el testigo
no puede recordar los últimos 2 dı́gitos, pero tiene la certeza de que los 3 eran diferentes, encuentre el
número máximo de matrı́culas de automóvil que la policı́a tiene que verificar.
R: 72
12. a) ¿De cuántas maneras se pueden formar 6 personas para abordar un autobús? b) Si 3 personas especı́ficas, de las 6, insisten en estar una después de la otra, ¿cuántas maneras son posibles? c) Si 2 personas
especı́ficas, de las 6, rehusan seguir una a la otra, ¿cuántas maneras son posibles?
R: 720, 144, 480
13. Un contratista desea construir 9 casas, cada una con diferente diseño. ¿De cuántas formas puede colocar
estas casas en una calle si hay 6 lotes en un lado de la calle y 3 en el lado opuesto?
R: 362880
8
14. a) ¿Cuántos números de tres dı́gitos se pueden formar con los dı́gitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, si cada dı́gito se
puede usar sólo una vez? b) ¿Cuántos de estos números son impares? c) ¿Cuántos son mayores que 330?
R: 210, 90, 60
15. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 4 niños y 5 niñas en una fila, si unos y otras se deben alternar?
R: 2880
16. Cuatro matrimonios compran 8 lugares en la misma fila para un concierto. ¿De cuántas maneras diferentes
se pueden sentar a) sin restricciones? b) si cada pareja se sienta junta? c) si todos los hombres se sientan
juntos a la derecha de todas las mujeres?
R: 40320, 48, 576
17. En un concurso regional de ortografı́a, los 8 finalistas son 3 niños y 5 niñas. Encuentre el número de puntos
muestrales en el espacio muestral S para el número de ordenamientos posibles al final del concurso para
a) los 8 finalistas; b) las primeras 3 posiciones.
R: 40320, 336
18. ¿De cuántas formas de pueden llenar las cinco posiciones iniciales en un equipo de baloncesto con 8
jugadores que pueden jugar cualquiera de las posiciones?
R: 56
19. Encuentre el número de formas en que 6 profesores se pueden asignar a 4 secciones de un curso introductorio de psicologı́a, si ningún profesor se asigna a más de una sección.
R:
360
20. Se sacan 3 billetes de loterı́a para el primer, segundo y tercer premios de un grupo de 40 boletos. Encuentre
el número de puntos muéstrales en S para dar los 3 premios, si cada concursante sólo tiene un billete. R:
59280
21. ¿De cuántas maneras se pueden plantar 5 árboles diferentes en un cı́rculo?
R: 24
22. ¿De cuántas formas se puede acomodar en cı́rculo una caravana de ocho carretas que proviene de Arizona?
R: 5040
23. ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden hacer con las letras de la palabra, infinito?
R: 3360
24. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 3 robles, 4 pinos y 2 arces a lo largo de la lı́nea divisoria de una
propiedad, si no se distingue entre árboles del mismo tipo?
R: 1260
25. Una universidad participa en 12 juegos de fútbol durante una temporada. ¿De cuántas formas puede el
equipo terminar la temporada con 7 ganados, 3 perdidos y 2 empates?
R: 7920
26. Nueve personas se dirigen a esquiar en tres automóviles que llevan 2, 4 y 5 pasajeros, respectivamente.
¿De cuántas maneras es posible transportar a las 9 personas hasta el albergue en todos los autos?
R:
27. ¿Cuántas formas hay para seleccionar a 3 candidatos de 8 recién graduados igualmente calificados para
las vacantes de una empresa contable?
R: 56
28. ¿Cuántas formas hay en que dos estudiantes no tengan la misma fecha de cumpleaños en un grupo de
365!
60?
R: (365−60)!
Probabilidad de un evento
1. Encuentre los errores en cada una de las siguientes aseveraciones:
a) Las probabilidades de que un vendedor de automóviles venda 0, 1, 2 o 3 unidades en un dı́aP
dado de
febrero son 0.19, 0.38, 0.29 y 0.15, respectivamente.
R:
P >1
P
b) La probabilidad de que llueva mañana es 0.40 y la probabilidad de que no llueva es 0.52. R:
P <1
c) Las probabilidades de que una impresora cometa 0, 1, 2, 3 o 4 o más errores al imprimir un documento
son 0.19, 0.34, -0.25, 0.43 y 0.29, respectivamente.
R: probabilidad negativa
d) Al sacar una carta de una baraja en un solo intento la probabilidad de seleccionar corazones es 1/4,
la probabilidad de seleccionar una carta negra es 1/2, y la probabilidad de seleccionar una carta negra
de corazones es 1/8.
R: P (negra ∩ corazones) = 0
9
2. Suponga que todos los elementos de S en el ejercicio 2.8 de la página 38 tienen la misma probabilidad de
ocurrencia y encuentre
a) la probabilidad del evento A;
R: 5/18
b) la probabilidad del evento C;
R: 1/3
c) la probabilidad del evento A ∩ C.
R: 7/36
3. Una caja contiene 500 sobres, de los cuales 75 contienen $100 en efectivo, 150 contienen $25 y 275 contienen
$10. Se puede comprar un sobre en $25. ¿Cuál es el espacio muestral para las diferentes cantidades de
dinero? Asigne probabilidades a los puntos muéstrales y después encuentre la probabilidad de que el
primer sobre que se compre contenga menos de $100.
R: 10, 25, 100; P (10) = 11/20, P (25) = 3/10,
P (100) = 15/100; 17/20
4. Suponga que en un grupo de último año de facultad de 500 estudiantes se encuentra que 210 fuman,
258 consumen bebidas alcohólicas, 216 comen entre comidas, 122 fuman y consumen bebidas alcohólicas,
83 comen entre comidas y consumen bebidas alcohólicas, 97 fuman y comen entre comidas, y 52 tienen
esos tres hábitos nocivos para la salud. Si se selecciona al azar a un miembro de este grupo, encuentre la
probabilidad de que el estudiante
a) fume pero no consuma bebidas alcohólicas;
R: 88/500
b) coma entre comidas y consuma bebidas alcohólicas pero no fume;
R: 219/500
c) ni fume ni coma entre comidas.
R: 169/500
5. La probabilidad de que una industria estadounidense se ubique en Shanghai, China, es 0.7, la probabilidad
de que se ubique en Beijin, China, es 0.4 y la probabilidad de que se ubique en Shanghai o Beijin o en
ambas es 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que la industria se ubique
a) en ambas ciudades?
R: 0.3
b) en ninguna de esas ciudades?
R: 0.2
6. De experiencias pasadas un agente bursátil considera que con las condiciones económicas actuales un
cliente invertirá en bonos libres de impuestos con una probabilidad de 0.6, que invertirá en fondos mutualistas con una probabilidad de 0.3 y que invertirá en ambos con una probabilidad de 0.15. Encuentre
la probabilidad de que un cliente invierta
a) en bonos libres de impuestos o en fondos mutualistas;
R: 0.75
b) en ninguno de esos instrumentos.
R: 0.25
7. Si se elige al azar una letra del alfabeto en español (esto incluye la ñ), encuentre la probabilidad de que
la letra
a) sea una vocal;
R: 5/27
b) esté listada en algún lugar antes de la letra j;
R: 9/27
c) esté listada en algún lugar después de la letra g.
R: 20/27
8. Un fabricante de automóviles está preocupado por el posible retiro de su sedán de cuatro puertas con
mayor venta. Si hubiera un retiro, existe una probabilidad de 0.25 de que haya un defecto en el sistema
de frenos, de 0.18 en la transmisión, de 0.17 en el sistema de combustible y de 0.40 en alguna otra área.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el defecto esté en los frenos o en el sistema de combustible, si la
probabilidad de defectos simultáneos en ambos sistemas es 0.15?
R: 0.27
6) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya defecto en los frenos o en el sistema de combustible? R: 0.73
9. Si cada artı́culo codificado en un catálogo empieza con 3 letras distintas seguidas por 4 dı́gitos distintos
de cero, encuentre la probabilidad de seleccionar aleatoriamente uno de estos artı́culos codificados que
tenga como primera letra una vocal y el último dı́gito sea par.
R: 10/117
10
10. Se lanza un par de dados. Encuentre la probabilidad de obtener
a) un total de 8;
R: 5/36
b) a lo más un total de 5.
R: 5/18
11. Se sacan dos cartas sucesivamente de una baraja sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas
cartas sean mayores que 2 y menores que 8?
R: 95/663
12. Si se toman 3 libros al azar de un librero que contiene 5 novelas, 3 libros de poemas y 1 diccionario, ¿cuál
es la probabilidad de que
a) se seleccione el diccionario?
R: 1/84
b) se seleccionen 2 novelas y 1 libro de poemas?
R:1/36
13. En una mano de póquer que consiste en 5 cartas, encuentre la probabilidad de tener
a) 3 ases;
R: 94/54145
b) 4 cartas de corazones y 1 de tréboles.
R: 143/39984
14. En un juego de Yahtzee, donde se lanzan 5 dados de forma simultánea, encuentre la probabilidad de
obtener 4 del mismo tipo.
R:
15. En una clase de 100 estudiantes graduados de preparatoria, 54 estudiaron matemáticas; 69, historia,
y 35 cursaron matemáticas e historia. Si se selecciona al azar uno de estos estudiantes, encuentre la
probabilidad de que
a) el estudiante haya cursado matemáticas o historia;
R: 22/25
b) el estudiante no haya llevado ninguna de estas materias;
R: 3/25
c) el estudiante haya cursado historia pero no matemáticas.
R: 17/50
16. La empresa Dom’s Pizza utiliza pruebas de sabor y el análisis estadı́stico de los datos antes de comercializar cualquier producto nuevo. Considere un estudio que incluye tres tipos de pastas (delgada, delgada
con ajo y orégano, y delgada con trozos de queso). Dom’s también estudia tres salsas (estándar, una
nueva salsa con más ajo y una nueva salsa con alba-haca fresca).
a) ¿Cuántas combinaciones de pasta y salsa se incluyen?
R: 9
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un juez tenga una pasta delgada sencilla con salsa estándar en su
primera prueba de sabor?
R: 1/9
17. De acuerdo con Consumer Digest (julio/agosto de 1996), la ubicación probable de las pc en una casa son:
Dormitorio de adultos: 0.03 Dormitorio de niños: 0.15 Otro dormitorio: 0.14 Oficina o estudio: 0.40 Otra
habitación 0.28
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una pc esté en un dormitorio?
R: 0.32
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no esté en un dormitorio
R: 0.68
c) Suponga que se selecciona una familia al azar entre las familias con una pc; ¿en qué habitación se
esperarı́a encontrar la pc?
R: oficina o estudio
18. El interés se enfoca en la vida de un componente electrónico. Suponga que se sabe que la probabilidad
de que el componente funcione más de 6000 horas es 0.42. Suponga, además, que la probabilidad de que
el componente no dure más de 4000 horas es 0.04.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la vida del componente sea menor o igual a 6000 horas?
R:
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la vida sea mayor que 4000 horas?
R:
Sea A el evento de que el componente falle en una prueba especı́fica y B el evento de que el componente
se deforme pero en realidad no falle. El evento A ocurre con una probabilidad de 0.20 y el evento B
ocurre con una probabilidad de 0.35.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el componente no falle en la prueba?
11
R: 0.8
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el componente funcione perfectamente bien (es decir, que ni se deforme
ni que falle en la prueba)?
R: 0.45
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el componente falle o se deforme en la prueba?
R: 0.55
19. En las fábricas a los trabajadores constantemente se les motiva para que practiquen la tolerancia cero
para prevenir los accidentes en el lugar de trabajo. Los accidentes pueden ocurrir porque el ambiente
o las condiciones laborales son inseguros en sı́ mismos. Por otro lado, los accidentes pueden ocurrir
por negligencia o simplemente por fallas humanas. Además, los horarios de trabajo de 7:00 a.m. a 3:00
p.m. (turno matutino), de 3:00 p.m. a 11:00 p.m. (turno vespertino) y de 11:00 p.m. a 7:00 a.m. (turno
nocturno) pueden ser un factor. El año pasado ocurrieron 300 accidentes. Los porcentajes de los accidentes
por la combinación de condiciones son como sigue:
Turno
Matutino
Vespertino
Nocturno
Condiciones
inseguras
5%
6%
2%
Fallas
humanas
32 %
25 %
30 %
Si se elige aleatoriamente un reporte de accidente de entre los 300 reportes,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido en el turno nocturno?
R:
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido debido a una falla humana?
R:
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido debido a las condiciones inseguras?
R:
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido durante los turnos vespertino o nocturno?
R:
20. El interés se enfoca en la naturaleza de un horno que se compra en una tienda por departamentos
especı́fica. Puede ser de gas o eléctrico. Considere la decisión tomada por seis clientes distintos.
a) Suponga que la probabilidad de que, a lo más, dos de esos individuos compren un horno eléctrico es
0.40. ¿Cuál será la probabilidad de que al menos tres compren un horno eléctrico?
R:
b) Suponga que se sabe que la probabilidad de que los seis compren el horno eléctrico es 0.007, mientras
que 0.104 es la probabilidad de que los seis compren el horno de gas. ¿Cuál es la probabilidad de que al
menos se compre un horno de cada tipo?
R:
21. En muchas industrias es común que se utilicen máquinas para llenar los envases de un producto. Esto
ocurre tanto en la industria alimentaria como en otras áreas cuyos productos son de uso doméstico, como
los detergentes. Dichas máquinas no son perfectas y, de hecho, podrı́an A cumplir las especificaciones de
llenado, B quedar por debajo del llenado establecido y C llenar de más. Por lo general, se busca evitar la
práctica de llenado insuficiente. Sea P (B) = 0.001, mientras que P (A) = 0.990.
a) Determine P (C).
R: 0.009
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina no dé llenado insuficiente?
R: 0.999
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina llene de más o de menos?
R: 0.01
Suponga que se producen 50,000 bolsas de detergente por semana y también que las bolsas con llenado
insuficiente se devuelven con la petición de reembolsar al cliente el precio de compra. Suponga que se
sabe que el costo de producción es de $4.00 por bolsa, en tanto que el precio de compra es de $4.50 por
bolsa.
a) ¿Cuál es la utilidad semanal cuando no se tienen bolsas defectuosas?
b) ¿Cuál es la pérdida en utilidades esperada debido al llenado insuficiente?
R: 25 000
R: 250
Como sugerirı́a la situación del ejercicio, a menudo los procedimientos estadı́sticos se utilizan para control
de calidad (es decir, control de calidad industrial). A veces, el peso de un producto es una variable
importante que hay que controlar. Se dan especificaciones de peso para ciertos productos empacados,
12
y si un paquete está muy ligero o muy pesado se rechaza. Los datos históricos sugieren que 0.95 es
la probabilidad de que el producto cumpla con las especificaciones de peso; mientras que 0.002 es la
probabilidad de que el producto esté muy ligero. Por cada uno de los productos empacados el fabricante
invierte $20.00 en producción y el precio de compra para el consumidor son $25.00.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete elegido aleatoriamente de la lı́nea de producción esté muy
pesado?
R: 0.048
b) Por cada 10,000 paquetes que se venden, ¿que utilidad recibirá el fabricante si todos los paquetes
cumplen con las especificaciones de peso?
R: $50000
c) Considerando que los paquetes defectuosos se rechazan y pierden todo su valor, ¿en cuánto se reduce
la utilidad por cada 10,000 paquetes debido a que no cumplen con las especificaciones?
R: $12500
22. Demuestre que P (A0 ∩ B 0 ) = 1 + P (A ∩ B) − P (A) − P (B)
Probabilidad condicional
1. Si R es el evento de que un convicto cometiera un robo a mano armada y D es el evento de que el convicto
promoviera el consumo de drogas, exprese en palabras lo que en probabilidades se indica como
a) P (R|D);
R: robo y drogas
0
b) P (D |R);
0
R: robo, pero no drogas
0
c) P (R |D ).
R: ni robo ni drogas
2. Una clase de fı́sica avanzada se compone de 10 estudiantes de primer año, 30 del último año y 10
graduados. Las calificaciones finales muestran que 3 estudiantes de primer año, 10 del último año y 5 de
los graduados obtuvieron A en el curso. Si se elige un estudiante al azar de esta clase y se encuentra que
es uno de los que obtuvieron A, ¿cuál es la probabilidad de que él o ella sea un estudiante de último año?
R: 5/9
3. Una muestra aleatoria de 200 adultos se clasifica a continuación por sexo y nivel de educación.
Educación Hombre Mujer Primaria 38 45 Secundaria 28 50 Universidad 22 17
Si se elige una persona al azar de este grupo, encuentre la probabilidad de que
a) la persona sea hombre, dado que la persona tiene educación secundaria;
b) la persona no tiene un grado universitario, dado que la persona es mujer.
R: 14/39
R: 95/112
4. En un experimento para estudiar la relación de la hipertensión arterial con los hábitos de fumar, se reúnen
los siguientes datos para 180 individuos:
No Fumadores Fumadores fumadores moderados empedernidos
H 21 36 30 NH 48 26 19
donde H y NH en la tabla representan Hipertensión y Sin hipertensión, respectivamente. Si se selecciona
uno de estos individuos al azar, encuentre la probabilidad de que la persona
a) sufra hipertensión, dado que la persona es un fumador empedernido;
R: 30/49
b) sea un no fumador, dado que la persona no sufre de hipertensión.
R: 16/31
5. En el último año de una clase de bachillerato con 100 estudiantes, 42 cursaron matemáticas; 68, psicologı́a;
54, historia; 22, matemáticas e historia; 25, matemáticas y psicologı́a, 7 historia pero ni matemáticas ni
psicologı́a; 10, las tres materias; y 8 no tomaron ninguna de las tres. Si se selecciona un estudiante al
azar, encuentre la probabilidad de que
a) una persona inscrita en psicologı́a curse las tres materias;
b) una persona que no se inscribió en psicologı́a curse historia y matemáticas.
13
R: 5/34
R: 3/8
6. Un fabricante de una vacuna para la gripe se interesa en la calidad de su suero. Tres departamentos
diferentes procesan los lotes de suero y tienen tasas de rechazo de 0.10, 0.08 y 0.12, respectivamente. Las
inspecciones de los tres departamentos son secuenciales e independientes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote de suero sobreviva a la primera inspección departamental,
pero sea rechazado por el segundo departamento?
R: 0.072
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote de suero sea rechazado por el tercer departamento? R: 0.099
7. En USA Today (5 de septiembre de 1996) se listaron como sigue los resultados de una encuesta sobre el
uso de ropa para dormir mientras se viaja:
Hombre Mujer Total Ropa interior 0.220 0.024 0.244 Camisón 0.002 0.180 0.182 Nada 0.160 0.018 0.178
Pijama 0.102 0.073 0.175 Camiseta 0.046 0.088 0.134 Otros 0.084 0.003 0.087
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un viajero sea una mujer que duerme desnuda?
R: 0.018
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un viajero sea hombre?
R: 0.614
c) Suponiendo que el viajero sea hombre, ¿cuál es la probabilidad de que duerma en pijama?
R: 0.166
d) ¿Cuál es la probabilidad de que un viajero sea hombre si duerme en pijama o en camiseta? R: 0.479
8. La probabilidad de que un automóvil al que se llena el tanque de gasolina también necesite un cambio
de aceite es 0.25, la probabilidad de que necesite un nuevo filtro de aceite es 0.40, y la probabilidad de
que necesite cambio de aceite y filtro es 0.14.
a) Si se tiene que cambiar el aceite, ¿cuál es la probabilidad de que se necesite un nuevo filtro? R: 0.56
b) Si necesita un nuevo filtro de aceite, ¿cuál es la probabilidad de que se tenga que cambiar el aceite?
R: 0.35
9. La probabilidad de que un hombre casado vea cierto programa de televisión es 0.4 y la probabilidad de
que una mujer casada vea el programa es 0.5. La probabilidad de que un hombre vea el programa, dado
que su esposa lo hace, es 0.7. Encuentre la probabilidad de que
a) un matrimonio vea el programa;
R: 0.35
b) una esposa vea el programa dado que su esposo lo ve;
R: 0.875
c) al menos 1 persona de un matrimonio vea el programa.
R: 0.55
10. Para matrimonios que viven en cierto suburbio, la probabilidad de que el esposo vote en un referéndum
es 0.21, la probabilidad de que su esposa vote es 0.28 y la probabilidad de que ambos voten es 0.15. ¿Cuál
es la probabilidad de que
a) al menos un miembro de un matrimonio vote?
R: 0.34
b) una esposa vote, dado que su esposo votará?
R: 5/7
c) un esposo vote, dado que su esposa no vota?
R: 1/12
11. La probabilidad de que un vehı́culo que entra a las Cavernas Luray tenga matrı́cula de Canadá es 0.12,
la probabilidad de que sea una casa rodante es 0.28, y la probabilidad de que sea una casa rodante con
matrı́cula de Canadá es 0.09. ¿Cuál es la probabilidad de que
a) una casa rodante que entra a las Cavernas Luray tenga matrı́cula de Canadá?
b) un vehı́culo con matrı́cula de Canadá que entra a las Cavernas Luray sea una casa rodante?
R: 9/28
R: 3/4
c) un vehı́culo que entra a las Cavernas Luray no tenga matrı́cula de Canadá o que no sea una casa
rodante?
R: 0.91
12. La probabilidad de que el jefe de familia esté en casa cuando llame un representante de marketing es 0.4.
Dado que el jefe de familia está en casa, la probabilidad de que se compren bienes de la compañı́a es 0.3.
Encuentre la probabilidad de que el jefe de familia esté en casa y se compren bienes de la compañı́a. R:
0.12
14
13. La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una enfermedad especı́fica es 0.7. Dado
que el doctor hace un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente entable una demanda
legal es 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el doctor haga un diagnóstico incorrecto y el paciente lo
demande?
R: 0.27
14. En 1970, 11 % de los estadounidenses completaron cuatro años de universidad, de los cuales 43 % eran
mujeres. En 1990, 22 % de los estadounidenses completaron cuatro años de universidad, de los cuales 53 %
fueron mujeres. (Time, 19 de enero de 1996.)
a) Dado que una persona completó cuatro años de universidad en 1970, ¿cuál es la probabilidad de que
la persona sea mujer?
R: 0.43
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer terminara cuatro años de universidad en 1990?
R: 0.12
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en 1990 un hombre no haya terminado la universidad?
R: 0.90
15. Un agente de bienes raı́ces tiene ocho llaves maestras para abrir varias casas nuevas. Sólo 1 llave maestra
abrirá cualesquiera de las casas. Si 40 % de estas casas por lo general se dejan abiertas, ¿cuál es la
probabilidad de que el agente de bienes raı́ces pueda entrar en una casa especı́fica, si selecciona 3 llaves
maestras al azar antes de salir de la oficina?
R: 0.625
16. Antes de la distribución de cierto software estadı́stico se prueba la precisión de cada cuarto disco compacto
(cd). El proceso de prueba consiste en correr cuatro programas independientes y verificar los resultados.
La tasa de falla para los 4 programas de prueba son 0.01, 0.03, 0.02 y 0.01, respectivamente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cd que se pruebe falle cualquier prueba?
b) Dado que se prueba un cd, ¿cuál es la probabilidad de que falle el programa 2 o 3?
c) En una muestra de 100, ¿cuántos cd esperarı́a que se rechazaran?
d) Dado que un cd está defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que se pruebe?
R: 0.07
R: 0.0484
R: 7
R: 0.25
17. Una ciudad tiene dos carros de bomberos que operan de forma independiente. La probabilidad de que un
carro especı́fico esté disponible cuando se le necesite es 0.96.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno esté disponible cuando se les necesite?
R: 0.0016
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un carro de bomberos esté disponible cuando se le necesite? R: 0.9984
18. La probabilidad de que Tom viva 20 años más es 0.7, y la probabilidad de que Nancy viva 20 años más
es 0.9. Si suponemos independencia para ambos, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno viva 20 años
más?
R: 0.03
19. Un neceser contiene 2 frascos de aspirina y 3 frascos de comprimidos para la tiroides. Un segundo bolso
grande contiene 3 frascos de aspirinas, 2 frascos de comprimidos para la tiroides y 1 frasco de pastillas
laxantes. Si se saca 1 frasco al azar de cada equipaje, encuentre la probabilidad de que
a) ambos frascos contengan comprimidos para la tiroides;
b) ningún frasco contenga comprimidos para la tiroides;
c) los 2 frascos contengan cosas diferentes.
R: 1/5
R: 4/15
R: 3/5
20. La probabilidad de que una persona que visita a su dentista necesite rayos X es 0.6, la probabilidad de
que una persona que necesite una placa de rayos X también tenga una amalgama es 0.3, y la probabilidad
de que una persona que tenga una placa de rayos X y una amalgama también tenga una extracción dental
es 0.1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que visita a su dentista tenga una placa de rayos X,
una amalgama y una extracción dental?
R: 0.018
21. Encuentre la posibilidad de seleccionar aleatoriamente 4 litros de leche en buenas condiciones sucesivamente de un refrigerador que contiene 20 litros, de los cuales 5 están echados a perder.
R:
91/323
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Regla de Bayes
1. En cierta región del paı́s se sabe por experiencia que la probabilidad de seleccionar un adulto mayor de
40 años de edad con cáncer es 0.05. Si la probabilidad de que un doctor diagnostique de forma correcta
que una persona con cáncer tiene la enfermedad es 0.78, y la probabilidad de que diagnostique de forma
incorrecta que una persona sin cáncer tiene la enfermedad es 0.06, ¿cuál es la probabilidad de que a una
persona se le diagnostique cáncer?
R: 0.96
2. La policı́a planea hacer cumplir los lı́mites de velocidad usando un sistema de radar en 4 diferentes puntos
dentro de la ciudad. Las trampas de radar en cada uno de los sitios L L2, L3 y L4 operan 40, 30, 20 y
30 % del tiempo, y si una persona maneja a gran velocidad cuando va a su trabajo tiene las probabilidades
de 0.2, 0.1, 0.5 y 0.2, respectivamente, de pasar por esos lugares. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba
una multa por conducir con exceso de velocidad?
R: 0.27
3. Refiérase al ejercicio 2.101. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona a la que se le diagnostica cáncer
realmente tenga la enfermedad?
R: 0.40625
4. Si en el ejercicio 2.102 la persona es multada por conducir con exceso de velocidad en su camino al
trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que pase por el sistema de radar que se ubica en L2?
R: 1/9
5. Suponga que los cuatro inspectores de una fábrica de pelı́cula colocan la fecha de caducidad en cada
paquete de pelı́cula al final de la lı́nea de montaje. John, quien coloca la fecha de caducidad en 20 % de
los paquetes, no la pone una vez en cada 200 paquetes; Tom, quien la coloca en 60 % de los paquetes,
no la coloca una vez en cada 100 paquetes; Jeff, quien la coloca en 15 % de los paquetes, no lo hace
una vez en cada 90 paquetes; y Pat, que fecha 5 % de los paquetes, falla una vez en cada 200 paquetes.
Si un consumidor se queja de que su paquete de pelı́cula no muestra la fecha de caducidad, ¿cuál es la
probabilidad de que haya sido inspeccionado por John?
R: 0.1124
6. Una compañı́a telefónica regional opera tres estaciones de retransmisión idénticas en diferentes sitios.
Durante un periodo de un año, el número de desperfectos reportados por cada estación y las causas se
muestran a continuación.
R: 0.2632
Estaciones A B C Problemas con el suministro de electricidad 2 1 1 Desperfecto de la computadora 4 3
2 Fallas del equipo eléctrico 5 4 2 Fallas ocasionadas por otros errores humanos 7 7 5
Suponga que se reporta una falla y que se encuentra que fue ocasionada por otros errores humanos. ¿Cuál
es la probabilidad de que provenga de la estación C?
7. La contaminación de los rı́os en Estados Unidos es un problema desde hace varios años. Considere los
siguientes eventos:
A = {El rı́o está contaminado.}
B = {Una prueba en una muestra de agua detecta contaminación.}
C = {Se permite la pesca.}
Suponga P (A) = 0,3, P (B|A) = 0,75, P (B|A0 ) = 0,20, P (C|A ∩ B) = 0,20, P (C|A0 ∩ B) = 0,15,
P (C|A ∩ B 0 ) = 0,80 y P (C|A0 ∩ B) = 0,90.
a) Encuentre P (A ∩ B ∩ C).
R: 0.045
b) Encuentre P (B 0 ∩ C).
R: 0.564
c) Encuentre P (C).
R: 0.630
d) Encuentre la probabilidad de que el rı́o esté contaminado, dado que se permite la pesca y que la prueba
de la muestra no detecta contaminación.
R: 0.1064
8. Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pintura látex y semiesmaltada. Con base en las
ventas de largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre pintura látex es 0.75. De los que compran
pintura de látex, 60 % también compran rodillos. Pero 30 % de los compradores de pintura semiesmaltada
compran rodillos. Un comprador que se selecciona al azar compra un rodillo y una lata de pintura. ¿Cuál
es la probabilidad de que sea pintura látex?
R: 0.857
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