Conjuntos1

Conjuntos
Notación de conjuntos
Se utilizarán las letras mayúsculas, tales como A, B y C para nombrar conjuntos. Por
ejemplo:
A  1,2,3
B  2,5,6
C  a, e, i, o, u
D  #, &,*,@
Es bastante corriente dibujar los conjuntos esquemáticamente, una simple curva
cerrada representa el conjunto y en su interior se disponen todos los elementos que
pertenecen a él. A estos esquemas se les denomina diagramas de Venn.
A
B
1
5
2
3
6
D
C
u
a
i
@
o
e
*
#
&
A cada objeto de un conjunto se le llama elemento de él. Se dice que dicho elemento
pertenece al conjunto. Simbólicamente:
3 A
5 A
significa que " el número 3 es un elemento del conjunto A " , o " 3 pertenece a A "
significa que " el número 5 no es un elemento del conjunto A " , o " 5 no pertenece a A"
Conjunto Vacío
Un conjunto que carece de elementos se llama conjunto vacío.
Pero, ¿existen conjuntos vacíos?. ¿Cómo se podrían determinar?
Consideremos el conjunto A formado por todos los triángulos de cuatro lados.
¿Está bien determinado?. ¡Sí! : Podemos saber exactamente si un objeto le pertenece
o no.
Sabemos que ningún triángulo tiene cuatro lados. Por lo tanto este conjunto no tiene
ningún elemento. Es un ejemplo de conjunto vacío.
 es el símbolo utilizado para nombrar al conjunto vacío
 = 
El conjunto B de los números “x” que cumplen : x + 5 = x + 3 , ¿es un conjunto vacío?
Sí porque no existe un número que cumpla esa condición.
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Formas de determinar un conjunto
Ya hemos visto dos formas de determinación de conjuntos. Una forma gráfica
(llamada: diagramas de Venn) y otra listando todos sus elementos entre corchetes
(llamada: por extensión).
Veamos algunos inconvenientes de estas formas. Si un conjunto tiene 4789 elementos,
su representación por diagramas o extensión es posible, pero poco práctica. Peor aún,
si el conjunto que se quiere determinar es infinito, su representación no sería posible.
Existe una tercer forma denominada “por comprensión” que es especialmente
adecuada para representar conjuntos infinitos.
¿Qué significa determinar un conjunto por comprensión?
Por ejemplo, el conjunto {números pares} está bien determinado porque podemos
decidir si un número pertenece o no a él; y además es un conjunto infinito. No se
nombran uno a uno sus elementos sino que se da una propiedad común a todos ellos y
a ningún otro. Esto es representar un conjunto por comprensión.
Hasta ahora se han proporcionado unos pocos ejemplos. ¿En cuál de los ejemplos
anteriores, el conjunto está determinado por comprensión?
Notación para conjuntos determinados por comprensión
Conjunto
Nombre
P   x / x es un número par
Toda “x”
tal que
(que cumple que)

Propiedad, regla
o condición
Veamos otro ejemplo:
Si D es el conjunto de todos los números x tales que x2 = 4 , podemos determinarlo
tanto “por comprensión” como “por extensión”


D  xZ / x  4
2
D   2 , 2
D
y representarlo
2
-2
2
Igualdad de Conjuntos
Diremos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.
Es decir, A=B , sí y sólo si todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B
pertenece a A.
Simbólicamente:
x
para todo elemento x
 x  A  x  B

A=B 
 y  B  y  A

 si y sólo si
 implica que
Consecuencias de la definición de igualdad de conjuntos son:
 Si A = B , las letras A y B son nombres distintos para el mismo
conjunto.
 Existe un único conjunto vacío
 Los conjuntos a , b , c , a , a , b , b , c , c y a , a , c , b , a , c
son él mismo conjunto. (Los tres tienen los mismos elementos. Por lo
tanto no es útil repetir elementos en la escritura por extensión y tampoco
es importante el orden en que se escriben).
Inclusión de Conjuntos
Considere el siguiente ejemplo:
A = 4 , 5 , 7
B
A
2
1
5
4
6
3
7
B=1,2,3,4,5,6,7
Todos los elementos de A son también elementos del conjunto B. Diremos que A está
incluido en B. También decimos que A es subconjunto o parte de B.
En este caso en particular estamos hablando de inclusión estricta.
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Definición de Inclusión: Amplia y Estricta
1) “A” está incluido en sentido amplio en “B”
AB
  x A  x B
2) “A” está incluido en sentido estricto en “B”
A B
En ambos casos
decimos que A es
subconjunto de B.
  x A  x B
 yB / yA
Si todo elemento de A está en B decimos que A está incluido ampliamente en B.
Pero, si además, existe algún elemento de B que no esté en A entonces la inclusión
será estricta.
Ejemplo:
A = {x/ x es múltiplo de 6}
B = {x/ x es múltiplo de 2}
Todo múltiplo de 6 es también un múltiplo de 2 ya que:
6 = 6 . n
6 = (2.3). n = 2 .( 3.n) = 2.m = 2
(donde n es un natural y por lo tanto m también)
Pero no todo múltiplo de 2 es un múltiplo de 6. Por ejemplo 2, 4, 8 etc.
Como todo elemento de A está en B y hay elementos de B que no están en A
podemos decir que A está estrictamente incluido en B.
A B
Notas:
1) Inclusión en sentido amplio contempla la posibilidad de que los conjuntos sean
iguales. Con lo que podemos concluir cosas como:
Todo conjunto está incluido en sí mismo A  A
Todo conjunto es subconjunto de sí mismo
2)   A A
El vacío está incluido en cualquier conjunto.
El vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
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Método de doble inclusión
Si queremos saber si un conjunto “A” es igual a otro “B” podemos intentar verificar si
uno está incluido en el otro y viceversa.
A  B quiere decir que todo elemento de A, está también en B
quiere decir que todo elemento de B, está también en A
BA
Por lo tanto, si estás inclusiones se cumplen simultáneamente, quiere decir que A y B
tienen los mismos elementos y entonces son iguales.
(A  B  B  A )  A  B
Ejercicios:
Indicar si son iguales o no los conjuntos de cada uno de los siguientes pares,
explicando brevemente por qué en cada caso:
i)
A = {x / x es abuelo o abuela de Juan},
B ={x / x es padre o madre de algún tío de Juan};
(Se supone que Juan tiene tíos paternos y maternos).
ii)
A ={x / x es latinoamericano}.
B ={x / x es americano de habla española};
iii) A ={x / x es cuadrilátero de diagonales congruentes},
B ={x / x es rectángulo};
Nota:
Si lo que se quiere demostrar es que dos conjuntos son distintos, es suficiente con que
una de las dos inclusiones no sea cierta.
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Ejemplo:
Sea A =  - 3, 0, 5 , B =  0, 5, - 3 , C =  0, 5  . Entonces, cada una de las proposiciones
siguientes es verdadera:
CA
CB
AB
AB
Ø A
AC
( Se sugiere representar los conjuntos en un diagrama de Venn)
Ejercicio:
Sea M =  - 4, 6 , N =  6, - 4 , y P =  - 4 . Indicar si es verdadero (V) o falso (F).
(A) M  N
(B) P  N
(C) N  P
(D) N  M
(E) Ø  P
(F) M  P
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Operaciones de Conjuntos
En aritmética se estudian operaciones entre números, (Adición, Sustracción, etc.). La
operación numérica de sumar hace corresponder a cada par de números, a, b, un
nuevo número (a+b) que es su suma (resultado de la operación de sumar).
También es posible operar con conjuntos. En este caso, el resultado de operar dos
conjuntos será un nuevo conjunto. Definiremos algunas de las operaciones posibles:
Unión, Intersección, Diferencia, Complemento, Diferencia Simétrica y Producto
Cartesiano.
1) Unión
Definición:
A  B  x / x  A  x  B
Un elemento pertenece a la unión de A y B si está en A o si está en B. Es decir, es
suficiente que sea elemento de alguno de los dos.
Ejemplos:
a) La unión de los conjuntos
A = {1, 2, 3} , B = {a, b, 2} , C = { 3, 4,5}
que se anota A  B  C , es el conjunto {a, b, 1, 2, 3, 4,5}
b) La unión de los conjuntos: P de los enteros pares e I de los enteros
impares,
es el conjunto Z de los números enteros.
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2) Intersección
Definición:
A  B  x / x  A  x  B
Se llama intersección de dos conjuntos A y B (y se anota A  B ) al conjunto cuyos
elementos son los que pertenecen a la vez a A y a B.
Ejemplos:
a) Para la clase de Botánica, cada alumno lleva una flor. Si el conjunto de los que
llevan rosas es
A = {Carol, Matías, Verónica, Leonardo}
y el de quienes llevan flores rojas es
B = {Santiago, Carol, Inés, Leonardo, Rossana}
Podemos determinar el conjunto de los que llevan rosas rojas ?
Sí, es el conjunto
A  B = { Carol, Leonardo}
Con diagramas:
A
B
Matías
Carol
Verónica Leonardo
Inés
Santiago
Rossana
b) Si A = {1, 2, 3, 4} y B ={ -1, 3. 5, 4/2), es A  B = {2, 3).
c) La intersección de A = {1, 2, 3, 4} con el conjunto P de los números pares, es
A  P = {2, 4}.
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d) La intersección de los conjuntos
A = { x / x es entero y x < 7 }, B = {x / x es entero y 3 < x}
es el conjunto AB = {x / x es entero y 3<x<7 } = {4, 5. 6).
e) La intersección de dos rectas secantes a y b es un conjunto unitario {P} cuyo
único elemento P es el punto generalmente llamado punto de intersección de
las rectas.
f) La intersección de el conjunto de los números pares con el conjunto de los
números impares es el conjunto vacío.
3) Diferencia
A – B se lee A diferencia B y significa el conjunto
cuyos elementos pertenecen a A y no pertenecen a
B.
Es decir que, para construirlo considero la lista de elementos de A y saco de ella los
elementos que pertenezcan también a B.
Definición:
A  B  x / x  A  x  B
Ejemplos:
a) Sean K  3, 4,5,6 y T  1, 2,3, 4 entonces K  T  5,6
b)  -  = 
(Los reales que no son irracionales son los racionales)
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4) Complemento
En el caso particular en que un conjunto B esté incluido en otro conjunto A ( B  A ), al
resultado de A – B le llamamos complemento de B en A.
A este conjunto lo escribimos B 'A
B'A  A - B si B  A
Aún si A es igual a B podemos hablar de complemento de B en A , aunque en este caso
sería B'A    .
Si hablamos del complemento de B pero no en otro conjunto específico A, Estamos
nombrando todo elemento que no pertenezca a B.
Podemos pensar en un conjunto universal (referencial para el caso considerado) en el
cual B está incluido.
E : es conjunto universal. En este caso, la zona gris
indica todo lo que no es B
E - B  B´
B'  x / x  B
Ejemplo:
E= {Barajas Españolas} y B={Bastos} entonces B’={Oros, Espadas, Copas}
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Leyes de Morgan
Sean A  E
BE
i)
 A  B'  A'  B'
(el complemento de la unión es la intersección de los
complementos)
Para demostrar que ambos conjuntos son iguales emplearemos el método de la
doble inclusión.
Demostración:
(Directo)
 x  A  x  A´

Def.
 x   A  B'  x  A  B  
 comp.. 
Def.
Def.
 x  B  x  B´
Complemento
Unión



  x  A´  B´
 Def.
Intersección
(Recíproco)
 y  A´ x  A

Def.
 y  A' B'  
 comp..

Def.
 y  B´ x  B
Intersección

ii)
 A  B'  A´  B´


  y  A  B  y   A  B '
Def.
Def.
 Unión
Complemento

(el complemento de la intersección es igual a la
unión de los complementos)
Demostración a cargo del alumno.
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Conjunto de Partes ( )
Se llama conjunto de partes de un conjunto A, al conjunto cuyos elementos son todos
los subconjuntos (o partes) de A.
 (A)  X / X  A
NOTA: El conjunto de partes es, entonces, un conjunto de conjuntos.
Ejemplo: A  a, b, c
Algunos subconjuntos son: a ; a , b; A ; Ø ; etc.
Si queremos hacer una lista de todos los subconjuntos se A, podemos
recurrir a un diagrama de árbol. En dicho diagrama vamos formando
todos los subconjuntos posibles.
c
a, b, c  A
b
c
a, b
c
a, c
SUBCONJUNTOS
a
b
c
a
c
b, c
c
b
b
a
c
c
c
=Ø
b
Entonces:
 (A) =  ;a;b;c;a, b;b, c;a, c;a, b, c
 Son en total 8 conjuntos.
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Observaciones:
1) Si A={a,b,c} ,  (A) tiene 8 elementos
i.
Las únicas partes o subconjuntos de un conjunto unitario U={a} son el
conjunto vacío Ø y el mismo conjunto {a}. Entonces, el conjunto de
partes de {a} es
 U 
= {Ø, a }. Es decir que
 U 
tiene 2
elementos.
ii.
El conjunto de partes de B={a, b} es
 B  =  Ø, a; b; a, b  y
 B  tiene 4 elementos.
En general si el conjunto A tiene n elementos entonces
n
el conjunto (A) tendrá 2 elementos.
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