algunas aplicaciones básicas de la integral de riemann

ALGUNAS APLICACIONES
BÁSICAS DE LA INTEGRAL DE
RIEMANN
(ÁREAS, VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN, LONGITUDES DE
ARCO)
Carmen SÁNCHEZ DÍEZ
AREAS PLANAS:
El concepto de integral definida en el sentido de Riemann está indisolublemente
unido al cálculo de un área plana delimitada por segmentos cualesquiera (no
necesariamente rectilíneos).
El área S barrida por una curva continua sobre un intervalo cerrado [a, b] puede
considerarse igual a la suma de las áreas de los rectángulos de base infinitesimal
que pueden ser construidos en dicho intervalo cubriendo el área S:
S=
∞
b
lim ∑ f ( xi ).∆xi = ∫ f ( x).dx
i =1
a
∆xi → 0
1
Área Barrida sobre un intervalo en el eje de abcisas:
b
S = ∫ f ( x).dx
a
Un área cualquiera se obtiene siempre como suma o resta de áreas barridas sobre
un intervalo en el eje de abcisas:
S=
x20
x30
x30
x10
x20
x10
∫ g ( x).dx + ∫ h( x).dx − ∫ f ( x).dx
2
EL ÁREA DEL CIRCULO:
La ecuación de la circunferencia centrada en el origen con radio R: x + y = R
2
2
2
 y = + R 2 − x 2 (sup er )
 y = − R 2 − x 2 (inf er )
De donde, la curva semicircunferencia será: 
La cuarta parte del círculo que ocupa el primer cuadrante del plano (superior
derecha) está dado por la integral:
R
S 1 = ∫ R 2 − x 2 .dx
4
0
por lo que el área total del círculo será cuatro veces dicha área:
R
S circ = 4.∫ R 2 − x 2 .dx
0
podemos resolver la integral mediante el cambio de variables:
x = R.sen t → dx = R. cos t.dt
con lo cual quedará:
1
π
π
2
2
0
0
S circ = 4.∫ R 2 − R 2 .sen 2 t .R. cos t.dt = 4 R 2 ∫ 1 − sen 2 t . cos t.dt =4 R 2 ∫ . cos 2 t.dt =
0
π
π
π
π
2
1 + cos(2t )
1
cos(2t )
4R
π
.dt =4 R 2 ∫ .dt + 4 R 2 ∫
dt = 2 R 2 .t 02 + (
sen(2t ) = 2.R 2 . + 0 = πR 2
2
2
2
4
2
0
0
0
0
2
= 4R 2 ∫
2
2
π
2
S circ = πR 2
3
VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN:
Entendiendo por volumen de revolución el cuerpo tridimensional engendrado por un
área plana que da vueltas alrededor de un eje (eje de simetría del volumen), se
tienen los volúmenes más conocidos:
-
Cono de revolución: lo engendra el área plana que define un triángulo
rectángulo cuando gira alrededor de uno de sus catetos.
Cilindro de revolución: lo engendra el área plana que define un rectángulo
cuando gira alrededor de uno de sus lados.
Esfera: la engendra un semicírculo cuando gira alrededor del diámetro.
El volumen V de revolución engendrado por el área que define una curva continua
f(x) sobre un intervalo dado del eje de abcisas puede considerarse igual a la suma
de los infinitos cilindros de altura infinitesimal que pueden ser construidos por
cortes perpendiculares al eje de simetría del volumen V (el volumen del cilindro
infinitesimal: superficie de la base –circulo de radio f(xi)- por la altura ∆xi, o sea,
está dado por ∏.f(xi)2.∆xi.
V=
∞
b
lim ∑ π . f ( xi ) 2 .∆xi = π .∫ f ( x) 2 .dx
i =1
a
∆xi → 0
4
EL VOLUMEN DEL CONO:
La curva que barre el área del triángulo sobre el intervalo del eje de abcisas es la
hipotenusa del triángulo rectángulo. Si el cono se coloca en la posición de la figura,
es la recta que pasa por los puntos (0,R) y (h,0), siendo R el radio del cono y h su
altura.
Por consiguiente, la ecuación de la curva es y = −
R
x
h
Y el volumen viene dado por la integral
Vcono
2
πR 2
πR 2
 R 
= π ∫  − x  .dx = 2 ∫ x 2 .dx = 2
h
h 0
h 
0
h
h
h
2
 1 2  πR 1 2 1 2
=
. h = πR h
x
 3 
3
h2 3
0
1
Vcono = πR 2 h
3
5
EL VOLUMEN DE LA ESFERA:
Considerando a la esfera centrada en el origen de coordenadas, el volumen se
obtiene de inmediato resolviendo la correspondiente integral. Si integramos entre
los límites 0 y R, resulta el volumen de la semiesfera, por lo que, multiplicando por
2 se obtiene el volumen de la esfera completa:
R
Vesfer
R
R
R
R
1
= 2π ∫ y .dx = 2π ∫ ( R − x ).dx =2πR ∫ dx − 2π ∫ x .dx = 2πR .x 0 − 2π . x 3 =
3 0
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
R
2
4
= 2πR 3 − πR 3 = πR 3
3
3
4
Vesfer = πR 3
3
6
EL VOLUMEN DEL CILINDRO:
Un cilindro de radio R y altura h es engendrado por el área de un rectángulo de
lados R y h cuando ésta rota alrededor del eje que contiene al lado h.
Considerado el rectángulo en la posición de la figura, la función que barre el área es
ahora la recta horizontal y = R, por lo que el volumen resulta de inmediato:
h
Vcilin = π ∫ y .dx = πR
2
0
h
2
∫ .dx = πR
2
h
.x 0 = πR 2 h
0
Vcilin = πR 2 h
7
LONGITUDES DE ARCO DE CURVA:
La longitud infinitesimal de un arco de curva, dL, puede calcularse mediante el
teorema de Pitágoras con expresión de magnitudes infinitesimales. La longitud de
un arco cualquiera para una curva continua e integrable Riemann, se obtendría
como la suma infinita de tales longitudes infinitesimales de arco.
El elemento infinitesimal de arco, ∆Li, se obtiene de los elementos infinitesimales de
longitud según la dirección de ambos ejes coordenados mediante el teorema de
Pitágoras:
Se tiene, en definitiva:
 ∆y
∆Li = ∆x + ∆y = 1 +  i
 ∆xi
2
i
2
i
2

 ∆y 
∆L
 .∆xi → i = 1 +  i 
∆x i

 ∆x i 
2
En el límite, para cada ∆xi → 0 , se tiene:
dl
=
dx
 ∆y
lim
1 +  i
 ∆xi
∆xi → 0
2


∆y
 = 1 +  lim i
∆xi


2

dy
 = 1 +  
 dx 

2
o sea, es:
2
 dy 
dL = 1 +   .dx
 dx 
de lo cual, al integrar entre dos valores, x1 y x2, de la variable x:
x2
Lx =
1
x2
∫
1 + y ' 2 .dx
x1
8
b
L a = ∫ 1 + ( f ' ( x)) 2 .dx
b
a
LA LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA:
Podemos determinar la longitud de una circunferencia mediante la aplicación de la
anterior integral, sin más que considerar una circunferencia cualquiera con centro
en el origen de coordenadas y determinando la longitud del arco comprendido en el
primero de los cuatro cuadrantes del plano (cuarta parte de la circunferencia).
Multiplicando por 4 el resultado de la integral, esto nos dará la longitud de toda la
circunferencia.
R
L = 4.∫ 1 + y ' 2 .dx
0
Se tiene:
9
x 2 + y 2 = R 2 → 2 x + 2 y. y ' = 0 → y ' = −
x
x2
x2
→ y'2 = 2 → 1 + y'2 = 1 + 2 =
y
y
y
x2 + y2
R
=
2
y
y
o sea:
R
L = 4.∫
0
R
R
R
R
R
1 + y ' .dx = 4.∫ .dx = 4.∫
.dx = 4.∫
2
y
R − x2
0
0
0
2
R
1
x
1−  
R
2
.dx = 4 R.∫
0
x
.d  
R
x
1−  
R
1
2
Haciendo el cambio de variables t=x/R:
1
L = 4 R.∫
0
1
π

= 4 R.arcsent 0 = 4 R.(arcsen1 − arcsen0) = 4 R. − 0  = 2πR
2

1− t
dt
2
L = 2πR
10
SUPERFICIES LATERALES DE REVOLUCIÓN
Del mismo modo que hemos determinado la manera de calcular el volumen de un
cuerpo de revolución considerando sucesivos cortes trasversales perpendiculares al
eje de simetría del volumen escribiendo el volumen del cilindro infinitesimal que
definen dos cortes sucesivos y efectuando una suma infinita, también podemos
determinar el área lateral de todo el cuerpo de revolución considerando la superficie
lateral del cilindro infinitesimal que definen dichos dos cortes sucesivos y realizando
una suma infinita. Quedaría así:
Superficie lateral del cilindro elemental (longitud de la circunferencia de la base por
la generatriz, dl, infinitesimal del cilindro): dS L = 2π . f ( x ).dl
Y siendo
dl = 1 + ( f ' ( x)) 2 .dx , se tendrá:
dS L = 2π . f ( x). 1 + ( f ' ( x)) 2 .dx
Se tiene, en definitiva:
b
S L = 2π ∫ f ( x). 1 + ( f ' ( x)) 2 .dx
a
11
SUPERFICIE LATERAL DE UN CONO DE REVOLUCIÓN:
Se tiene que es y = −
R2
R
R
x + R → y ' = − → y '2 = 2 → 1 + y '2 =
h
h
h
(g
R2 + h2 g
=
h
h
= R 2 + h 2 : generatriz del cono)
Por tanto, la superficie lateral será:
2πRg 1 h 2πRg h
 R
 g
x 0 = −πRg + 2πRg = πRg
S L = 2π ∫  − x + R . .dx = − 2 . x 2 +
0
2
h
h
h
h


0
h
S L = πRg
12
SUPERFICIE DE LA ESFERA:
Podemos calcular la superficie lateral de una semiesfera y multiplicarla por 2.
Quedaría así:
R
S = 2.2π ∫ y 1 + y '2 .dx
0
y siendo:
2 yy'+2 x = 0 → y ' = −
R
x
x2 + y2
R
→ 1 + y '2 =
→ 1 + y '2 =
y
y2
y
R
R
2
se tiene: S = 4π ∫ y. .dx = 4πR.x = 4πR
y
0
0
S = 4πR 2
Carmen SÁNCHEZ DÍEZ
[email protected]
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