INTEGRALES MÚLTIPLES PARA FUNCIONES f : R2 → R Definición 1. Una región R ⊂ R2 es un subconjunto compacto tal que tomando cuadrı́culas de R2 con áreas chicas, la difernecia entre el área total de aquellos elementos de la cuadrı́cula contenidos en R y aquellos que intersectn a R puede hacerse tan pequeña como se requiera. Teorema 1. Sea f : R → R una región. Entonces existe I ∈ R que satisface que para todo > 0 existe δ > 0 tal que para toda cuadrı́cula Rij de R2 con áreaRij < δ es se tiene que X f (xij )áreaRij − I < , Rij ⊂R donde xij es cualquier elemento de Rij . ¨ Este I se denota f (x, y)dxdy R Teorema 2 (Teorema de Fubini). Si R = [a, b] × [c, d] y f es continua, entonces ¨ ˆ b ˆ d f (x, y)dxdy = f (x, y)dy dx. R a c Cambio de variable en integrales múltiples Teorema 3. Sea f : R2 → R continua y Φ : U → R2 una aplicación inyectiva con DΦ(u, v) un isomorfismo lineal. Si R es una región contenida en U, entonces ¨ ¨ f (x, y)dxdy = f ◦ Φ(u, v)JΦ (u, v)dudv Φ(R) R donde JΦ (u, v) = |detDΦ(u, v)| Ejemplo 1. Sea R = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 ≤ 1} y f (x, y) = x2 . Entonces si tomamos Φ : R2 to R2 (r, θ) 7→ (r cos θ, r sen θ) 1 Entonces estamos (casi, ¿por qué “casi¿) en las condiciones del teorema 3 con Φ−1 (R) = {(r, θ) ; 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π}. Entonces JΦ (r, θ) = r y ˆ 1 ˆ ¨ 2 2 (r cos θ)rdθ dr f (x, y)dxdy = 0 R 2π 0 ˆ 1 r3 dr = = π 0 π 4 Ejemplo 2. Cambio a lineales Integrales múltiples para funciones f : Rn → R Los teoremas para integrales de funciones de dos variables se extienden de manera natural a integrales de funciones de n variables: Teorema 4 (Teorema de Fubini). Sea f : Rn → R continua y R = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ], entonces ˆ ¨ ˆ b1 ˆ bn ··· f (x1 , · · · , xn )dx1 , · · · , dxn = f (x1 , · · · , xn )dxn · · · dx1 . ··· R a1 an Teorema 5 (Cambio de variable). Sea f : Rn → R continua, Φ : Rn → Rn , y R es una región contenida en Rn . Si Φ es una aplicación inyectiva con DΦ(u1 , · · · , un ) un isomorfismo lineal para (u1 , · · · , un ) ∈ R. Entonces ˆ ¨ ˆ ¨ ··· f (x1 , · · · , xn )dx1 , · · · , dxn = · · · f ◦Φ(u1 , · · · , un )JΦ (u1 , · · · , un )du1 · · · dun Φ(R) R donde JΦ (u1 , · · · , un ) = |detDΦ(u1 , · · · , un )| . Ejemplo 3 (Cambio a coordenadas cilindricas). La función que da las coordenadas cilı́ndricas en R3 es Φ : U ⊂ R3 to R3 (r, θ, z) → 7 (r cos θ, r sen θ, z) 2 con r ≥ 0. Se tiene que el jacobiano está dado por cos θ −r sen θ 0 sen θ r cos θ 0 = r 0 0 1 donde U = {(r, θ, z) ; r > 0, 0 < θ < 2π, z ∈ R}. Al igual que el caso de 2 variables hay un problema cuando en la frontera pero esta dificultad se resuelve fácilmente. Ejemplo 4 (Cambio a coordenadas esfericas). En este caso Φ : U ⊂ R3 to R3 (r, θ, φ) → 7 (r cos θ sen φ, r sen θ sen φ, r cos φ) donde U = {(r, θ, φ) ; r > 0, 0 < θ < 2π, 0 < φ jacobiano está dado por cos θ sen φ −r sen θ sen φ r cos θ cos φ sen θ sen φ r cos θ sen φ r sen θ cos φ cos φ 0 −r sen φ 3 < π}. Se tiene que el = r2 sen φ.