Problemas y cuestiones de derivadas de funciones:

Ejercicios de funciones:
1º
Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ( x)  x 2  1
en los puntos (1, f (1)) y (2, f (2)).
2º
Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ( x ) 
1
x 1
en el punto de abscisa x = 2.
3º
Determina el valor de a sabiendo que las rectas tangentes a la gráfica de
f ( x)  ax3  x 2  ax  1 en los puntos de abscisas x = 1 y x = 2 son paralelas.
4º
Calcula la ecuación de la recta tangente en algún punto a la gráfica de la función
f ( x)  x 3 que sea paralela a la recta y = 3x + 1.
5º
Dadas las funciones
f ( x)  x 2  1 y g ( x)  3x 3  x 2
calcula la derivada de las funciones f(x) + g(x), f(x)g(x), f(x)[g(x)]2,
f ( x)
y
g ( x)
f(x)g(x).
6º
Calcula la derivada de los siguientes polinomios:
a)
f ( x)  4x 5  3x 3  2x 2  x  5
b)
c)
d)
7º


f ( x)  x  5 3x
f ( x)  3 x 5  6

2
f ( x)  x  2x  1x  3
5
2
Para las siguientes funciones, determina el rango de valores de la variable x para
el que está bien definida la función inversa; calcula ésta, su dominio de
definición y su derivada.
a)
f ( x)  e x4
b)
f ( x)  ln 1  x 2
x4
f ( x) 
c)
x2

8º
10

Calcula la derivada de las siguientes funciones:
x
e)
f ( x) 
a)
5
3
x 8
f)
1
f ( x) 
b)
g)
x2
x2  5
f ( x)  2
c)
h)
x 4
4
2
i)
x x
f ( x) 
d)
j)
x2
f ( x)  log3 ( x 2  5)
f ( x)  73x
2
ln(x  1)
1
f ( x)  ln 2
x 8
2
7 x2
x 1
f ( x)  e
f ( x)  senx 2 
f ( x)  sen 2 x
k)
l)
m)
9º
f ( x) 
6e x
x
x 1
x 1
f ( x)  2
f ( x)  ( x  2) x1
1
5
n)
f ( x)  x (1  x 2 ) 7
o)
f ( x)  ln x  1  x 2


Para la función:
 x 2  1 si
x2

f ( x)  2 x  1 si 2  x  4
 5
si
x4

a)
b)
10º
Dada la función:
a)
b)
11º
Estudiar razonadamente su continuidad en .
Hallar la ecuación de la recta tangente a dicha función cuando x = 2.
 4
si x  0

f ( x)   x  2
 2 2 x si x  0
Estudie la continuidad de esta función en  y analice su comportamiento
en los posibles puntos de discontinuidad.
Calcule la función derivada de f(x).
Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: g  x  
hx  x sin x .
1
y
x
12º
Estudia el crecimiento y decrecimiento de una función cuya función derivada
viene dada gráficamente por la recta que pasa por los puntos  1,0 y 0,1 .
13º
Dada la función
x  1
 2x  a
 2
f  x    x  2  1  x  1
 log x
x 1

(Donde log x representa el logaritmo neperiano)
a)
Calcula el valor de a para que f sea continua en x = 1
b)
Representa gráficamente la función anterior si a = 3
c)
Justifica la existencia, o no, de derivada en los puntos x = 1 y x = 1 para
la función obtenida en el apartado anterior.
14º
Se considera la función y 
5x 2  8x  3
3x 2  2
Determina:
a)
Su dominio de definición.
b)
Los puntos, o el punto, en los que la función se anula.
c)
Los intervalos en los que la función es creciente o decreciente, así como
aquellos puntos en los que alcanza un máximo o un mínimo.
d)
15º
16º
17º
Ecuaciones de las asíntotas, si es que las hay.
Dada la función f x   2 x 3  3x 2  12x  4 , se pide:
a)
Pendiente de la tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa
x = 2.
b)
Escribir los intervalos en donde la función f sea creciente y en donde sea
decreciente.
c)
Determinar los valores de x en los que la función f alcanza un máximo
relativo y un mínimo relativo, respectivamente. ¿Cuánto vale la función
en esos puntos?
3
 3
si
x
 x
2

3
Dada la función f  x   2 x  1 si   x  0
2
 2
x0
 x  1 si

Se pide:
a)
Estudiar la continuidad de f.
b)
Representación gráfica de f.
c)
Área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje OX y la recta x = 3.
El beneficio y, en millones, de una sociedad en función de la inversión, x, en
millones, viene dado por y  x 2  2 x  7 .
Obtén la derivada del beneficio, y, respecto a la inversión, x, cuando la inversión
es de 2 millones y cuando la inversión es de 3 millones. Utiliza las derivadas
obtenidas para calcular, aproximadamente, el beneficio cuando la inversión es de
2,01 millones y cuando la inversión es de 3,02 millones.
18º
El consumo de combustible (en centenares de litros) de cierta aeronave durante
un total de 5 horas de vuelo, viene dado por la función:
5t
si 0  t  1

  t 2  4t  2 si 1  t  2,5

C t   
5,75
si 2,5  t  4

28,75  5,75t si 4  t  5
a)
Representa dicha función.
b)
Interpreta la gráfica obtenida.
19º
a)
b)
t2
, estudia: cortes con los ejes, crecimiento y
1 t2
decrecimiento, asíntotas.
Si y  f t  , t  0 , nos da la relación entre los beneficios (en millones de
pesetas) obtenidos por la venta de un producto y el tiempo t (en años) que
este lleva en el mercado, ¿durante cuánto tiempo no se superó el medio
millón de pesetas de beneficios?
Dada la función f t  
20º
Considera la función f  x   ax 
21º
 1 
Calcula y simplifica la derivada de la función f x   ln 2  .
x 
22º
Sea la función: f x  
1
. Determina los valores del parámetro a para
x
los cuales la función es decreciente en el punto de abscisa x = 2.
a)
b)
c)
23º
26º
 x2
si x  2
 x  1
f x    2
 3 x  2 x si x  2
 x  2
Estudia si f es continua en el punto x = 2.
Calcula la ecuación de la recta tangente a f en x = 3.
Calcula sus asíntotas oblicuas.
x 1
. Se pide:
x2  8
Cortes de su gráfica con los ejes y dominio de definición.
Asíntotas y regiones.
Máximos y mínimos.
Representación aproximada de la gráfica de la función.
Se considera la función: f  x  
a)
b)
c)
d)
25º
x2
Calcula sus asíntotas horizontales y verticales.
Calcula sus máximos, mínimos y puntos de inflexión.
Represéntala gráficamente (basándote en los resultados de los apartados
anteriores y cualquier otro que puedas necesitar)
Se considera la función:
a)
b)
c)
24º
x  12
Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
1
f x   4  2 x  ln
a)
1 x
3
2
b)
g x  sen 2x  1
c)
Aplicando la definición de derivada,
hx  x 2  2 x en x = 2.
calcula la derivada de
Considera la función polinómica de tercer grado f x  ax3  bx2  cx  d ,
siendo a, b, c y d parámetros reales.
Se pide:
a)
Determina los valores del parámetro para que f x  tenga un máximo en
el punto (0,4) y un mínimo en el punto (2,0).
b)
Para a = b = c = d = 1, razona si f x  tiene puntos de inflexión y, en
caso afirmativo, calcúlalos.