La Transformada Z

LA TRANSFORMADA Z
La transformada z es la contraparte en tiempo discreto de la transformada de Laplace en tiempo
continuo, y ambas tienen una relación similar a la transformada de Fourier correspondiente. Una razón
para usar la transformada z es que representa una generalización de la transformada de Fourier que
puede ser aplicada a una más amplia variedad de señales, además que la notación en la solución de
problemas resulta ser más conveniente y simple.
La transformada de Fourier de una señal x[n], según se vio anteriormente, es
(10.1)
La transformada z de esta misma secuencia se define como
(10.2)
en donde z es una variable compleja. Algunas veces resulta conveniente utilizar el operador Z{·} para
representar la transformada z:
(10.3)
La correspondencia entre una secuencia y su transformada z se puede indicar como sigue:
(10.4)
La transformada z, tal como se definió en la Ecuación (10.2), es comúnmente llamada transformada z de
dos lados o bilateral, en contraste, la transformada z de un lado o unilateral se define como
(10.5)
Resulta obvio que las transformadas unilateral y bilateral son equivalentes solo si x[n] = 0 para n < 0.
Este curso se concentrará exclusivamente en las transformadas bilaterales.
Es evidente, al comparar las Ecuaciones (10.1) y (10.2), que existe una relación muy cercana entre la
trasformada de Fourier y la transformada z. Se puede observar que si en la definición de la transformada
z de la Ecuación (10.2) se hace la variable compleja z igual a la variable compleja ejω, se obtiene la
trasformada de Fourier de la Ecuación (10.1). Cuando existe, la transformada de Fourier es simplemente
X(z) con z = ejω. Esto impone la restricción de que z tiene una magnitud unitaria, esto es, para |z| = 1, la
transformada z corresponde a la transformada de Fourier.
Generalizando, z puede ser expresada en forma polar,
(10.6)
De esta manera, la Ecuación (10.2) puede reescribirse como
(10.7)
o
(10.8)
La Ecuación (10.8) puede interpretarse como la transformada de Fourier del producto de la secuencia
original x[n] por la secuencia exponencial r-n. Obviamente, si r = 1, la Ecuación (10.8) será igual a la
transformada de Fourier de x[n].
Ya que la transformada z es una función de una variable compleja, es conveniente describirla e
interpretarla en el plano complejo z (plano z). En el plano z, el contorno correspondiente al caso |z| = 1
es un círculo con radio unitario, tal como se muestra en la Figura 10.1. A este contorno se le conoce
como círculo unitario. La transformada z evaluada en el círculo unitario corresponde al caso de la
transformada de Fourier.
Figura 10.1. Círculo unitario en el plano z.
Nótese que ω es el ángulo entre el vector al punto z en el círculo unitario y el eje real del plano complejo
z. Si se evalúa X(z) en puntos del círculo unitario en el plano z empezando por z = 1 (ω = 0), pasando por
z = j (ω = π/2), hasta llegar a z = -1 (ω = π), se obtiene la transformada de Fourier para el rango de
frecuencias 0 ≤ ω ≤ π. Continuando alrededor del círculo unitario se obtiene la trasformada de Fourier
de ω = π a ω = 2π o, de manera equivalente, de ω = -π a ω = 0.
Así como la transformada de Fourier puede no converger para todas las secuencias, la transformada z no
converge para todas las secuencias o para todos los valores de z. Para toda secuencia, el conjunto de
valores de z para el cual la transformada z converge se llama región de convergencia o, de manera
abreviada en inglés, ROC. Anteriormente se demostró que la transformada de Fourier de una secuencia
x[n] converge en una función continua de ω si x[n] es absolutamente sumable. Si se aplica este criterio a
la Ecuación (10.8), se tiene la condición de convergencia de la transformada z:
(10.9)
Se puede observar en la ecuación anterior que como resultado de la multiplicación de la secuencia
original x[n] por la exponencial real r-n, es posible que la transformada z converja aún si la transformada
de Fourier no lo hace. Por ejemplo, la secuencia x[n] = u[n] no es absolutamente sumable, y, por lo
tanto, la transformada de Fourier no converge de manera absoluta. Sin embargo, r-nu[n] es
absolutamente sumable si r > 1. Esto significa que la transformada z para la secuencia paso unitario
existe en una región de convergencia |z| > 1.
La convergencia de la serie de potencias en la Ecuación (10.2) depende únicamente de |z|, ya que |X(z)|
< ∞ si
(10.10)
En otras palabras, la región de convergencia de la serie de potencias de la Ecuación (10.2) consiste de
todos los valores de z para los cuales la desigualdad de la Ecuación (10.10) se cumple. Entonces, si un
valor de z, dígase, z = z1, está en la ROC, entonces todos los valores de z en el círculo definido por |z| =
|z1| también estarán en la ROC. Como consecuencia de esto, la región de convergencia consistirá de un
anillo en el plano z centrado en el origen. Su límite externo será un círculo (o la ROC puede extenderse
externamente hasta el infinito), y su límite interno será un círculo (o se puede extender internamente
hasta el origen). Esto se ilustra en la Figura 10.2. Si la ROC incluye el círculo unitario, esto implica la
convergencia de la transformada z para |z| = 1, o equivalentemente, que la transformada de Fourier de
la secuencia converge. Contrariamente, si la ROC no incluye el círculo unitario, la transformada de
Fourier no converge de manera absoluta.
Figura 10.2. La región de convergencia (ROC) es un anillo en el plano z.
La serie de potencias de la Ecuación (10.2) es una serie de Laurent. Una serie de Laurent y, por lo tanto,
la transformada z, representa una función analítica en todo punto dentro de la región de convergencia;
por lo tanto, la transformada z y todas sus derivadas deben ser funciones continuas de z dentro de la
región de convergencia. Esto implica que si la región de convergencia incluye el cículo unitario, entonces
la transformada de Fourier y todas sus derivadas con respecto a ω deben ser funciones continuas de ω.
También, en base a lo visto en clases anteriores, la secuencia debe ser absolutamente sumable, es decir,
una secuencia estable.
La transformada z es más útil cuando la suma infinita puede ser expresada en forma cerrada, esto es,
cuando puede ser "sumada" y expresada como una fórmula matemática simple.
Entre las transformadas z más importantes y útiles se encuentran esas para las cuales X(z) es una
función racional dentro de la región de convergencia, esto quiere decir,
(10.11)
donde P(z) y Q(z) son polinomios de z. Los valores de z para los cuales X(z) = 0 se llaman ceros de X(z), y
los valores de z para los cuales X(z) es infinita son llamados polos de X(z). Los polos de X(z) para valores
finitos de z son las raíces del polinomio denominador. Además, los polos pueden ocurrir en z = 0 o z = ∞.
Para transformadas z racionales, existe un número de relaciones importantes entre la localización de los
polos de X(z) y la región de convergencia de la transformada z.
Ejemplo: Suma de dos secuencias exponenciales
Considere que una señal es la suma de las dos exponenciales reales siguientes:
La transformada z, por lo tanto, es
De lo anterior se desprende que la transformada z tiene la propiedad de linealidad, esto es
Si bien la primera secuencia exponencial tiene ROC en |z| > 1/2 y la segunda para |z| > 1/3, la
transformada z de la secuencia x[n], la suma de las dos anteriores, tiene ROC en |z| > 1/2, ya que ambas
secuencias exponenciales tienen en común dicha región de convergencia. En otras, palabras, la ROC de
la x[n] será la intersección de las ROCs de ambas secuencias exponenciales.
La siguiente figura muestra la gráfica de polos-ceros y la ROC para cada secuencia exponencial individual
y para x[n], la suma de ambas.
Gráfica de polos-ceros y ROC de (a) la secuencia
; (b)
; (c)
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El siguiente texto fue tomado de una clase preparada por el Dr. Humberto Ochoa:
A continuación se presenta el caso cuando N = 6:
A continuación se presenta el caso cuando N = 3:
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La Tabla 10.1 muestra los pares de transformada z correspondientes a secuencias comunes. Estos pares
básicos de la transformada z son muy útiles para determinar la transformada z de una secuencia o,
inversamente, determinar la secuencia a partir de una transformada z dada.
Propiedades de la Región de Convergencia (ROC) de la Transformada Z
Anteriormente se vio que la región de convergencia (ROC) de la transformada z depende de la
naturaleza de la señal. Estas propiedades se exponen a continuación. Se asume que la expresión
algebraica de la transformada z en una función racional y que x[n] es una secuencia de amplitud finita,
excepto, posiblemente, en n = -∞ o n = ∞.

Propiedad 1: La ROC es un anillo en el plano z centrado al origen. Esto es 0 ≤ rR < |z| < rL ≤∞.

Propiedad 2: La Transformada de Fourier de x[n] converge absolutamente si y sólo si la ROC de
la transformada z de x[n] incluye al círculo unitario.

Propiedad 3: La ROC no puede contener ningún polo.

Propiedad 4: Si x[n] es una secuencia de duración finita, la ROC será todo el plano z, excepto
posiblemente z = 0 o z = ∞.

Propiedad 5: Si x[n] es una secuencia causal (o, lo que es lo mismo, de lado derecho o lateral
derecha), la ROC es la parte del plano z que se extiende hacia afuera del círculo que pasa por el
polo finito más externo (con magnitud más grande) de X(z) hasta (y posiblemente incluyendo) z
= ∞.

Propiedad 6: Si x[n] es una secuencia no causal (o, lo que es lo mismo, de lado izquierdo o lateral
izquierda), la ROC es la parte del plano z que se encuentra dentro del círculo que pasa por el
polo distinto a cero más interno (con magnitud menor) de X(z) hasta (y posiblemente
incluyendo) z = 0.

Propiedad 7: Si x[n] es una secuencia de doble lado (doble-lateral), por definición de duración
finita, la ROC será un anillo en el plano z delimitado en el interior y exterior por un polo y,de
forma consistente con la propiedad 3, sin incluir ningún polo. Esto es, la ROC es la intersección
de una ROC causal y una ROC nocausal con polos limitando tanto el diámetro interior como el
exterior de la ROC sin incluir ningún polo.

Propiedad 8: La ROC es una región conectada.