Una demostración del volumen y la medida superficial de la bola

REVISTA DE LA ESCUELA DE FÍSICA, UNAH • Vol. IV, No. 1 • 25-28
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Una demostración del volumen y la medida superficial de
la bola unidad
Marlon Josué Recarte
Universidad Nacional Autónoma de Honduras en el Valle de Sula, mail: [email protected]
Recibido: 06 de Febrero de 2016 / Aceptado: 01 de Mayo de 2016
Resumen
In statistical physics it is necesary express some results using the volume of a hypersphere, which is a generalization
of a sphere for a dimention larger than three. On the other hand, different models of the shape of the universe has
been proposed, particularly some of then consider a curved shape and can be modeled as a hypersphere. In this
paper we focus on obtaining the volume and surface measurement of a hypersphere of unit radius often called unit ball.
Keywords: Hypersphere, unit ball
En fı́sica estadı́stica a menudo se tiene la necesidad de expresar algunos resultados utilizando el volumen
de una hiperesfera, que es una generalización de una esfera para dimensiones mayores a tres. Por otro lado, existen
diversos modelos sobre la forma del universo, particularmente algunos consideran una forma curva y dicha forma
puede ser modelada como una hiperesfera. En este trabajo nos concentramos en obtener el volumen y la medida
superficial de una hiperesfera de radio unitario llamada muchas veces bola unidad.
Palabras claves: Hiperesfera, bola unidad
I.
y
Esfera y bola unidad
enotemos B d la bola unitaria en el espacio euclı́deo
Rd , definida como:
n
o
B d = x = (x1 , x2 . . . , xd ) ∈ Rd : kxk ≤ 1
D
x
z
donde k · k denota la norma usual euclı́dea
q
kxk = x21 + · · · + x2d
Denotamos S d−1 la esfera unidad,
n
o
S d−1 = x ∈ Rd : kxk = 1
Al considerar d = 1 la bola unidad es un intervalo,
para d = 2 se tiene un cı́rculo y para d = 3 una esfera,
ver figura 1.
x
x
y
Figura 1: Bolas unitarias para d=1,2,3.
A. Área superficial y volumen de la bola unidad
En la literatura existen diversas pruebas para el cálculo del volumen y la medida superficial de la bola unidad
(llamada algunas veces la d–esfera). El artı́culo clásico
de Blumenson [3] presenta las coordenadas esféricas ndimensionales o coordenadas polares generalizadas (que
presentaremos luego) incluyendo además una deducción
de la medida superficial y el volumen a partir de un cambio de variable en dichas coordenadas. Muller [5] presenta
una prueba del mismo resultado a partir de una relación de recurrencia. Smith y Vamanamurthy [6] aborda
ese problema utilizando múltiples técnicas de cálculo. La
demostración que presento en este artı́culo utiliza el trun-
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camiento de un elemento del espacio euclideo, este tipo
de cambio de variable (junto con las propiedades de las
funciones Beta y Gamma) es útil en la teorı́a de polinomios ortogonales multivariables para probar relaciones de
ortogonalidad (ver [4]) y [2]).
Consideremos la integral sobre la bola unidad, dicha
integral representa el volumen de la d-esfera:
Z
Vd =
d
Y
Z
dV =
Bd
Bd
Retomando la integral inicial, tendremos:
Vd =
B d j =1
Z
1
=
d
Y
−1 j =1
dxj
d Z
Y
j =1
d Z
Y
=
Vd
1
(1 − yj2 )
d−j
2
(1 − yj2 )
d−j
2
(1 − yj2 )
j =1 −1
d Z
Y
=
1
d
Y
=
Bd
1 − kx(d) k2 =
2d−j +1
d
Y
1
B (a, b) =
d−j
2
dt
1
t
d−j
2
(1 − t)
d−j
2
dt.
ta−1 (1 − t)b−1 dt,
0
obteniéndose
Vd =
d
Y
2
d−j +1
j =1
(1 − yi2 )
d
Y
B
j =1
d−j
d−j
+ 1,
+1
2
2
2d−j +1 =
j =1
=
d−1
Y
d
Y
(1 − yi2 )
i=1
i
2
= (1 − yd−1
) 1 − kx(d−2) k2 ,
ahora probémoslo para i = d:
1 − kx(d) k2 = (1 − yd2 ) 1 − kx(d−1) k2
= (1 − yd2 )
d−1
Y
d
Y
B
(1 − yi2 )
d−j
d−j
+ 1,
+1
2
2
d−1
Y
d
Y
(1 − yj2 )
d−j
2
B
k =0
k
k
+ 1, + 1 .
2
2
Γ (a) Γ (b)
,
Γ (a + b)
B
d−1
YΓ
k
k
+ 1, + 1 =
2
2
=
.
j =1
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k
2
+ 1 Γ k2 + 1
Γ (k + 2)
dY
+1 Γ k Γ k
2
2
k =0
Notemos que:
=
=
d−1
Y
0
k =0
2
deducimos que
(1 − yi2 )
1
2k + 1 ,
Usando la relación entre las funciones beta B (a, b) y
gamma Γ(a).
Z ∞
Γ (a) =
ta−1 e−t dt,
i=1
1 − kx(j−1) k2
d−1
Y
k =0
B (a, b) =
i=1
=
j =1
h
j =1
(1 − t)
j =1 0
j =1
d
Y
Supongamos que es válido para i = d − 1
d Y
d−j
2
d Z
Y
i=1
1 − kx(d−1) k
dyj
Calcularemos cada producto por separado:
Aseveramos que
dyj .
La expresión anterior queda en términos la función Beta
B (a, b) que está definida por:
entonces se verifica que:
1 − kx(0) k2 =1
1 − kx(1) k2 =(1 − y12 )(1 − y22 )
1 − kx(3) k2 =(1 − y12 )(1 − y22 )(1 − y32 )
2
d−j
2
2d−j +1 t
Z
dyj
j =1 0
Necesitamos hacer uso de la siguiente fórmula:
Z
Z
f (x)dx =
f (x(d−1) , xd ) dx
Sea yi ∈ R tales que se cumple
q
xi = yi 1 − kx(i−1) k2
dxj
Al realizar el cambio de variable, 2t = 1 − yj
Nótese que x(d) = x.
1
j =1 −1
x(j ) = (x1 , x2 , · · · , xj ) para 1 ≤ j ≤ d
Bd
d
Y
Z
=
Asociado con x = (x1 , x2 , · · · , xd ) ∈ Rd para cada j,
definimos x(j ) , el truncamiento de x, esto es: x(0) = 0,
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k =2
Γ (k )
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Al usar la fórmula de duplicación de la función gamma
(Ver [1])
√
k
k 1
Γ
Γ
+
= 21−k π Γ(k ),
2
2 2
Ahora calcularemos la medida superficial de la bola
unidad, σd .
v
u
Z
d−1
u
Y
X dxn 2 d−1
t
1+
dxj
σd = 2
dxi
B d−1
j =1
i=1
se tiene
d−1
Y
27
B
k =0
k
k
+ 1, + 1
2
2
=
dY
+1
Para calcular la integral anterior basta con notar que
v
u
d−1
u
X dxn 2
1
t1 +
=q
dxi
1 + kx(d−1) k2
i=1
k
k
2 Γ 2
Γ
Γ (k )
k =2
√
21−k π Γ k2
=
Γ k2 + 12
k =2
dY
+1
dY
+1
=
21−k
k =2
Γ
+1
√ dY
π
k =2
k =2
dY
+1
1
=
dY
+1
d+2
2
21−k
k =2
=
Γ
dY
+1
k
2
k
2
√
+
1
2
debido a esto se tiene
21−k
k =2
−1 i=1
π
k =2
j =1 −1
d−1
Y
d
Y
B d j =1
dxj =
Γ
π
1
(1 − yi2 )− 2
d−1
Y
(1 − yj2 )
d−1−j
2
dyj
j =1
(1 − yj2 )
d−j−2
2
dyj
La integral anterior es similar a la que se desarrolló
en el cálculo del volumen Vd , entonces si z = yd−1
2k+1 = 1.
Por lo anterior podemos concluir finalmente que
Vd =
d−1
YZ 1
=2
k =0
Z
1 d−1
Y
Z
σd = 2
Es fácil comprobar que
dY
+1
(1 − yi2 )−1/2
i=1
Γ
d−1
Y
σd = 2
d−1
YZ 1
j =1 −1
d
2
d+2
2
(1)
Z
1
(1 − yj2 )
1
(1 − z 2 )− 2 dz
=2
−1
En la figura 2 observamos el gráfico del volumen de la
bola unidad para diferentes dimensiones; notemos que el
volumen máximo se obtiene para d = 6.
d−j−2
2
dyj
d−2
YZ 1
j =1 −1
(1 − yj2 )
d−2−j
2
dyj
Al usar (1) se obtiene
d−2
d
2π 2
π 2
σd = 2π = Γ d2
Γ d2
Al considerar el comportamiento asintótico de la función gamma (ver [1]) se tiene que Vd → 0 cuando d −→ ∞.
(2)
El gráfico de la medida superficial se muestra en la
figura 3.
5
30
Medida superficial
Volumen
4
3
2
1
0
2
4
6
dimensión d
8
20
10
10
0
0
Figura 2: Gráfico del volumén de la bola unidad para diferentes valores de d.
2
4
6
dimensión d
8
10
Figura 3: Gráfico de la medida superficial para diferentes
valores de d.
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B. Coordenadas esféricas generalizadas
28
además
Z
σd =
S d−1 .
Sea x = rξ, ξ ∈
Se definen las coordenadas
esféricas generalizadas como una extensión a las coordenadas polares (d = 2) y las coordenadas esféricas (d = 3)
(ver [3])
=
=
..
.
=
=
x1
x2
xd−1
xd
con r > 0,
d
V =
r sin(θd−1 ) cos(θd−2 ),
r sin(θd−1 ) . . . sin(θ2 ) cos(θ1 ),
r sin(θd−1 ) . . . sin(θ2 ) sin(θ1 ),
para j = 1, . . . , d − 1.
Puede demostrarse que el Jacobiano de esta transformación es igual a
J = rn−1
d−2
Y
sin θd−j
d−j−1
rn−1 drdω,
j =1
sin θd−j
[1] M. ABRAMOWITZ and I. STEGUN. Handbook of
Mathematical functions, 9th. ed. Dover Publ, New
York, 1970.
[2] K. ATKINSON and W. HAN. Spherical Harmonics
and Approximations on the Unit Sphere: An Introduction. Lecture Notes in Mathematics, New York,
2012.
[3] L. E. BLUMENSON. A derivation of n–dimentional
spherical coordinates. The American Mathematical
Monthly. 67, pages 63–66, January 1960.
[5] C. MULLER. Spherical Harmonics. Springer-Verlag,
Berlin, 1966.
Bd
donde
d−2
Y
Referencias
[4] F. DAI and Y. XU. Approximation Theory and Harmonic Analysis on Spheres and Balls. Springer Monographs in Mathematics, New York, 2013.
Nótese que
Vd =
d+2
2
.
j =1
Z
Γ
π2
Rd .
Al considerar R = 1 se verifica el resultado obtenido
en (1).
0 ≤ θi ≤ π para 2 ≤ i ≤ d − 2.
Vale la pena comentar que las definiciones para las
coordenadas esféricas generalizadas también se pueden
expresar como:
q
xj = r2 − kx(j−1) k2 cos(θd−j )
dω =
Puede comprobarse que al utilizar las coordenadas
esféricas generalizadas se obtiene el volumen de la d-esfera
de radio R
r cos(θd−1 ),
0 ≤ θ1 ≤ 2π,
dω.
S d−1
d−j−1
dθ1 dθ2 · · · dθd−1 .
[6] D. SMITH and M. VAMANAMURTHY. How small
is a unit ball? Mathematics Magazine, 62(2):101–107,
1989.
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