Operaciones básicas con Expresiones Algebraicas

Operaciones básicas con Expresiones Algebraicas
(adición, sustracción, multiplicación y división) y redacta
un informe Teórico práctico donde describas el
procedimiento para realizar cada operación y al menos
una demostración de cada operación descrita.
Operaciones básicas:
 Adición y sustracción.
Para realizar ambas operaciones, se colocan los términos uno
debajo de otro, de modo que cada termino quede de forma
vertical o en forma de columna con su semejante y luego se
reduce a un total, esto si los términos son semejantes.
 Si los términos no son semejantes no se pueden reducir a un total.
 Cuando los elementos son de la misma especie se dice que son
semejantes.
 Cuando los elementos son de diferente especie se dice que no son
semejantes.
Ejemplo:
El conjunto A = 5 Aviones
El conjunto B = 4 Aviones
El conjunto A y el B son de la misma especie, se dice que son
semejantes.
El conjunto C = 3 Carros
El conjunto D = 2 Motores
El conjunto C y D no son semejantes porque pertenecen a
diferentes especies.
Adición.
(5x ³ + 2x ² - x + 7) + ( 3x ² - 4x + 7 ) + ( - x ³ + 4x ² - 8)
Sustracción.
Para restar cambie el signo de cada uno de los términos que va a
restarse y después sume los términos semejantes resultantes.
4x
4
- 2 x ³ + 5x ² - x + 8 ) – ( 3x
4
- 2 x³ + 3x – 4)
Si las expresiones a sumar o restar son polinomios se procede a
ordenar los términos y luego se reducen como hemos vistos en
los ejemplos anteriores.
 Multiplicación de expresiones algebraicas.
Es la suma abreviada de dos o más sumando iguales.
P+P+P+P = 4P.
Para realizar esta operación ha y que hacerlo con la regla de los
signos.
(- X) (- x) = (+ x 2 )
(+ x) (+ x) = (+ x 2 )
(- x) (+ x) = (- x 2 )
(+ x) (- x) = (- x 2 )
Se realiza aplicando la regla de los exponentes que cuando son
de igual base se suman los exponentes, en caso de que no sean
iguales se dejan con sus propios exponentes.
-3a 2 b por 5a 4 b 3 = -15a 6 b 4 (de forma horizontal).
Se multiplican los coeficientes numéricos y se suman los
exponentes, las variables se pasan igual.
EJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio)
A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
B = -5x4
-3x2 + 2x4 - 8 - x3
+ 5x
X
-5x4
______________________________
15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5
A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5
Se multiplica al monomio por cada término del polinomio:
Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar
las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una
multiplicación de potencias de igual base.
También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo
el polinomio entre paréntesis y luego aplicando la propiedad
distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos
resueltos de las dos maneras.
EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos)
A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1
B = 3x - 6
4x3 - 5x2 + 2x + 1
X
(el polinomio A ordenado y completo)
3x - 6 (el polinomio B ordenado y completo)
____________________
-24x3 + 30x2 - 12x - 6
+
12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x
_________________________
12x4 - 39x3 + 36x2- 9x - 6
A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6
A cada término del segundo polinomio ha y que multiplicarlo por
cada término del primer polinomio. Si ambos polinomios están
completos y ordenados, los resultados quedan también
completos y ordenados, y es más fácil ponerlo en columna según
su grado, porque van saliendo en orden. Luego ha y que sumar
los resultados como se suman los polinomios. Es un
procedimiento similar al de la multiplicación de números de
varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan" números a la
columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al
empezar la segunda fila, por la derecha ha y que saltearse una
columna, tal como en la multiplicación de números de varias
cifras, y así se logra que los términos de igual grado queden en
la misma columna.
EJEMPLO 3: (Multiplicació n de polinomios incompletos y
desordenados, completándolos y ordenándolos)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0
( polinomio A completo y ordenado )
X
x2+ 0x + 3
(polinomio B completo y ordenado)
______________________________
15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0
0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x
-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3+0x2
________________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0
A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
Otros ejemplos.
(-9x3).(+3x2) = -27x5
(-9x3).(+2x4) = -18x7
(-9x3).(-8) = +72x3
(-9x3).(-x3) = +9x6
(-9x3).(+5x) = -45x4
(-x).(+3x2) = -3x3
(-x).(+2x4) = -2x5
(-x).(-8) = +8x
(-x).(-x3) = +x4
(-x).(+5x) = -5x2
 División de expresiones algebraicas.
La regla de los signos también se aplica para las divisiones.
(- X) (- x) = (+ x 2 )
(+ x) (+ x) = (+ x 2 )
(- x) (+ x) = (- x 2 )
(+ x) (- x) = (- x 2 )
La división como operación inversa a la multiplicación obedece a
reglas las cuales deben ser cumplidas para llegar al cociente
correcto.
El producto del divisor por el cociente es igual al dividendo,
siempre que el divisor sea diferente de cero.
Regla de los exponentes.
Si son de bases iguales se escribe la misma base con un nuevo
exponente que se obtiene por la diferencia el exponente del
dividendo y el exponente del divisor.
p7 q8 r4 = p7-5 q8-3 r4-2 = p2 q5 r2
p5 q3 r2
Se llama: Término. Un Término separamos de otro, con los signos más o
menos:
Un Término consta de dos partes: numérica y literal.
Numérica: Es el número que va delante de las letras – también se le
llama coeficiente - (si no lleva ninguna cifra, recuerda que lleva el 1).
Literal: Es la compuesta por letras con sus exponentes, si los tienen.
Expresión algebraica:
Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las
operaciones aritméticas.
Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo
término.
Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:
Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.
Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:
Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.
Ejemplo:
Las expresiones algebraicas que contienen cuatro términos se
llaman Polinomios.
Todo polinomio de cuatro términos en adelante se lee según la
cantidad de términos que posee.