Tema 2

SISMOLOGÍA E INGENIERÍA SISMICA
Tema II.
Propagación de ondas sísmicas: Ondas internas.
I. Introducción
II.
Mecánica de un medio elástico.
Ecuación del desplazamiento en un medio
elástico, isótropo, homogéneo e infinito.
Ecuación de Navier.
Ecuación de ondas: Ondas P y ondas S.
Solución de la ecuación de ondas. Frentes de onda y
rayos.
Desplazamiento, velocidad y aceleración.
Ondas Planas.
III. Desplazamientos de las ondas (uP, uS)
Funciones potencialesdel desplazamiento y de
la fuerza.
Expresiones analíticas del desplazamientp.
Geometria del desplazamiento de las ondas P y S.
Funciones potenciales particulares.
IV.
Propiedades de las ondas al cambiar de medio de
propagación.
Principio de Fermat y Ley de Snell
Reflexión y refracción en la superficie de
discontinuidad de dos medios líquidos.
Rayo de incidencianormal (i=0). Incidenciacrítica (ic)
V.
Propagación de los rayos sísmicos. Trayectorias y
tiempos de llegada
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS
SÍSMICAS: ONDAS INTERNAS
Objetivo: Estudiar las ideas más fundamentales de la elasticidad
aplicada al estudio de la propagación en el interior de la Tierra de
las ondas sísmicas
2.2 MECÁNICA DE UN MEDIO ELÁSTICO.
2.2.1 Ecuacion del desplazamiento en un medio elástico, isótropo,
homogéneo e infinito. Ecuación de Navier.
2ª Ley de Newton:
r
r
d
r
∫V FdV + ∫S TdS = dt ∫V ρυdV
F: Fuerzas por unidad de volumen
T: Vector de Esfuerzos (fuerza/superficie)
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.2 MECÁNICA DE UN MEDIO ELÁSTICO. ONDAS INTERNAS
2.2.1 Ecuacion del desplazamiento en un medio elástico, isótropo,
homogéneo e infinito. Ecuación de Navier.
T: se puede expresar en términos del tensor de esfuerzos de
acuerdo con la Ecuación de Cauchy: Ti = τ ij υ j
∂τ ij
r
dV
∫STdS Sustituyo y Aplico T. Gauss τ ij ν j dS =
∫
S
∫
V
Sustituyo y agrupo todo como una integral de volumen ∂τ ij
∂υi
∂υi
dυi
+ Fi = ρ
= ρ
+ νj
∂ xj
dt
∂t
∂ xj
∂x j
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.2 MECÁNICA DE UN MEDIO ELÁSTICO. ONDAS INTERNAS
Ecuaciones de un Medio Elástico
 ∂ ui ∂ u j 
1
Relación esfuerzos y deformaciones: e = 

+
ij

2  ∂ x j ∂ xi 
(Ecuación Constitutiva)
Si el medio es elástico: Ley de Hooke: τ ij = Cijkl ekl
La cte es un tensor de cuarto rango que debido a la simetría tiene
21 elementos distintos. Isotropía que sólo dos son idptes τ ij = δ ij λekk + 2 µ eij
λ y µ coef. de Lamé
Si el medio es homogéneo λ y µ son ctes.
τ ij
µ: módulo de cizalla o rigida y relaciona los esfuerzos y
µij =
2eij
deformaciones cortantes o de cizalla
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.2 MECÁNICA DE UN MEDIO ELÁSTICO. ONDAS INTERNAS
Ecuaciones de un Medio Elástico
2
K: coeficiente volumétrico o de compresibilidad
λ= K− µ
3
∂ u1 ∂ u2 ∂ u3
− P
δV
µ; con θ =
K=
= e11 + e12 + e13 =
+
+
θ
V
∂ x1 ∂ x 2 ∂ x 3
Relación entre elongaciones y contracciones en dos direcciones
perpendiculares lo da el coeficiente de Poisson:
− e22
λ
0 < σ < 1/2
σ=
=
e11
2(λ + µ )
Para la corteza y manto de la Tierra σ = ¼ λ = µ
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.2 MECÁNICA DE UN MEDIO ELÁSTICO. ONDAS INTERNAS
Ecuaciones de un Medio Elástico
∂τ ij
∂υ
∂υi
dυ
+ Fi = ρ i = ρ i + ν j
∂ xj
dt
∂t
∂ xj
1  ∂ ui ∂ u j 

eij = 
+
2  ∂ x j ∂ xi 
F = 0 (No F.Ext)
τ ij = δ ij λekk + 2 µ eij
2r
r r r
∂
u
2r
(λ + µ)∇(∇ ⋅ u ) + µ∇ u = ρ 2
∂t
2r
r
r
∂
u
r
2
2
α ∇θ − β ∇ × ω = 2
∂t
Ec: Navier
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.2.2 Ecuación de ondas: Ondas P y S.
2
∂
θ
1
2
Aplico el operador divergencia ∇ θ = α 2 ∂ t 2 ; con α =
Aplico el operador rotacional λ + 2µ
ρ
2
∂
ω
1
2
∇ ω= 2
con β =
2 ;
β ∂t
ω =∇×u
µ
ρ
Son ecuaciones de onda:
La 1º representa una perturbación elástica de cambio de volumen sin
cambio de forma (onda longitudinal) con velocidad α (Ondas P )
La 2ª representa cambios de forma sin cambio de volumen (ondas
transversales, su velocidad es β (onda S)
Ambas son llamadas Ondas Internas: Propuestas por Poisson(1830) y
Stokes (1849).
ONDA P PROPAGÁNDOSE
ONDA S PROPAGÁNDOSE
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.2.2 Ecuación de ondas: Ondas P y S.
Expresión en función de φ y ψ
u = ∇φ + ∇×ψ
ψ
∂ 2φ
1 ∂ 2φ
2
α ∇ φ= 2 ⇒ ∇ φ= 2
∂t
α ∂ t2
2r
2r
∂
ψ
1
∂
ψ
r
r
β 2∇ 2 ψ = 2 ⇒ ∇ 2 ψ = 2
∂t
β ∂ t2
2
u = uP + uS
2
uP = ∇φ
uS = ∇×ψ
ψ
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.2.3 Soluciones de la ecuación de ondas. Frentes de ondas y Rayos
∂2
1 ∂2
f ( x, t ) = 2
f ( x, t )
2
2
∂x
c ∂t
Ecuación de ondas monodimensional
2
c 2 d 2 R (x)
= −ω 2
2
R ( x ) dx
d 2 R (x)
 ω
2
⇒
=
−
  R = −k R
2
dx
c
d 2 R (x)
ω2
2
2
+ k R ( x ) = 0 con k = 2
dx 2
c
1 d 2 T( t )
= −ω 2
2
T( t ) d t
d 2 T( t )
2
+
ω
T( t ) = 0
2
dt
⇒
d 2 T(t )
= −ω 2 T ( t )
2
dt
f ( x , t ) = A e i ( kx −ωt ) + B e i ( kx +ωt )
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.2.3 Soluciones de la ecuación de ondas. Frentes de ondas y Rayos
f(x,t) = f(x-ct) + f(x+ct) Solución General.
Soluciones particulares
f ( x, t ) = C e i ( kx −ωt +ε )
f (x,t) = C cos[k (x-ct)+ε]
f (x,t) = A cos (kx-ωt)+ B sen (kx-ωt)
ε = tan-1 (B/A)
C2 = A2 + B2
 x t  
f ( x, t ) = C cos 2π −  + ε
 λ T 
Fase: ξ = k ( x – ct) + ε
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.2.3 Soluciones de la ecuación de ondas. Frentes de ondas y Rayos
Frentes de onda y Rayos
f ( x j , t ) = A exp{i(k S( x j ) − ω t + ε)}
S( x j ) =
∂S
ni =
∂S
ω
ε
t1 −
k
k
∂ xi
y
S( x j ) =
ω
ε
t2 −
k
k
: Orientación del Rayo
∂ xi
d x1 d x 2 d x 3
=
=
∂S :Trayectoria de
∂S
∂S
los rayos.
∂ x1 ∂ x 2 ∂ x 3
∆S / ∆t = ω / k = c :
Velocidad de fase
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.2.3 Soluciones de la ecuación de ondas. Frentes de ondas y Rayos
Ondas de varias frecuencias
 ω

1 +∞
f (x i , t ) =
F(ω) expi
S( x i ) − ω t dω
∫
−
∞
2π

  c(ω)
F(ω) = R (ω) + i I(ω) = A(ω)e iΦ ( ω)
F(ω) = ∫
+∞
−∞
f ( t ) e −iωt dt
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.2.4 Desplazamiento, Velocidad y Aceleración
 x  
u ( x , t ) = A cos ω  − t  + ε
 c  
v( x , t ) =
 x  
∂ u (x, t )
= A ω sen ω − t  + ε
∂t
 c  
a (x, t ) =
 x  
∂ v( x , t )
= − A ω2 cos ω − t  + ε
∂t
 c  
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.2.5 Ondas Planas
S(x1 , x2, x3 ) = x1 n1 + x2 n2 + x3 n3 :Ecuación del frente de onda
∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f
1 ∂ 2f
+
+
=
∂ x 12 ∂ x 22 ∂ x 32 c 2 ∂ t 2
φ = A exp{i k α ( n j x j − αt + ε)}
f(xj, t) = A exp {i kj xj - ωt + ε}
rP r r
u = ∇φ = ∇(Aexp{i kα (n jx j − αt + ε)})
uPk = (u1P , uP2 , u3P ) = Ai kα (n1, n2 , n3 ) exp{i kα (n jx j − αt + ε)}
rS r r
u = ∇×ψ
ψ k = B k exp{i k β (n j x j − β t + η)}
u Sk = (u 1S , u S2 , u S3 ) =
= i k β {(B3 n 2 − B 2 n 3 ), (B1n 3 − B3 n 1 ), (B 2 n 1 − B1n 2 )}
exp{i k β (n j x j − βt + η)}
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.2.5 Ondas Planas
La onda P se propaga
en la dirección del rayo.
Onda longitudinal.
La onda S se propaga
perpendicularmente a la
dirección del rayo.
Onda transversal.
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S
ukP = Ak exp i[ k α (ν j x j − αt ) + ε ]
ukS = Bk exp i[ k β (ν j x j − βt ) + η]
r
r
r
u = ∇ φ + ∇ × ψ ; con ∇ ⋅ ψ = 0
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S
Los potenciales φ y ψ son soluciones de la ec. de onda en la forma:
2
1∂ φ
∇ φ=
α ∂ t2
2
2
r
1∂ ψ
∇ ψ=
α ∂ t2
2
r
Si φ y ψ funciones armónicas en el tiempo: φ(xi, t) = φ(xi)exp(jωt)
(∇ 2 + k α2 )φ = 0
(∇ 2 + k β2 ) ψ i = 0
Ec. de Helmholtz
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S
En función de los cosenos directores:
φ = A exp i k α (ν j x j − α t ) + ε
Onda P
(ψ 1 ,ψ 2 ,ψ 3 ) = ( B1 , B2 , B3 ) exp i k β (ν j x j − β t ) + η Onda S
{
u = uP + uS
{
con
}
}
uP = ∇φ y uS=∇×ψ
ψ
De las anteriores ecuaciones se deduce que:
.- Los desplazamientos de las ondas P son longitudinales
coincidentes con la dirección de propagación.
.- Los desplazamientos de las ondas S están en un plano normal
a la dirección de propagación.
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S
En Sismología se acostumbra a
referir los componentes de
los desplazamientos de las ondas P
y S con respecto a un sistema
de ejes geográficos en la dirección
Norte(X1), Oeste(X2) y zénit(X3).
SH
tg ε =
SV
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S
La relación entre la dirección del rayo νi con los cosenos directores:
ν1 = sen i cos α
ν2 = sen i sen α
ν3 = cos i
• La componente SV y la onda P se mueven en el plano de incidencia.
• La componente SH es normal a éste en el plano horizontal.
Si un rayo se propaga en el plano de incidencia (x1 , x3) u1 =
∂φ ∂ ψ
−
= u1P + u1SV
∂ x1 ∂ x 3
u3 =
∂φ ∂ ψ
−
= u3P + u3SV
∂ x3 ∂ x1
u2 = u SH
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S
Si las ondas se propagan en la dirección positiva de x1 y x3 φ = A exp ik α ( seni x1 + cos ix 3 − α t )
ψ = B exp ik β ( seni x1 + cos ix3 − β t )
u2 = C exp ik β ( seni x1 + cos ix3 − β t )
Luego eligiendo un sistema de ejes en el que el rayo esté
contenido en el plano (x1, x3) se simplifica la solución de
muchos problemas de propagación de ondas ya que de esta
forma se pueden estudiar por separado los desplazamientos
en el plano de incidencia (P y SV) y normales a él (SH),
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.4 PROPIEDADES DE LAS ONDAS AL CAMBIAR DE MEDIO
DE PROPAGACIÓN
Ley de Snell:
cos ε
2 sólidos
α
=
cos f
β
=
cos ε ' cos f '
=
α'
β'
Medios líquidos (sólo onda P)
M
2 líquidos
ρ
ρ’
M’
φ = Ao exp ik α (cos ex1 + sen ex 2 − α t ) +
+ A exp ik α (cos ex1 − sen ex 3 − α t )
φ ' = A' exp ik α ' (cos e' x1 − sen e' x 3 − α ' t )
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.4 PROPIEDADES DE LAS ONDAS AL CAMBIAR DE MEDIO
DE PROPAGACIÓN
Definiendo los coeficientes de reflexión V=A/Ao y de
Transmisión W=A/Ao ρ' tg e − ρ tg e'
V =
ρ tg e'+ ρ tg e
2 ρ tg e
W=
ρ tg e'+ ρ ' tg e
Si la incidencia es normal e = π /2
α ' ρ'− αρ
V =
α ' ρ' + αρ
2α ' ρ
W=
α ' ρ' + αρ
Bajo contraste de densidades V 0 y W 1 Mucha Transmisión
Alto contraste de densidades V 1 y W 0
Mucha Reflexión
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.4 PROPIEDADES DE LAS ONDAS AL CAMBIAR DE MEDIO
DE PROPAGACIÓN
Si α’ > α ∃ Angulo límite para los rayos transmitidos ec,
llamado ángulo crítico cos ec = α / α’
El rayo se llama refractado crítico y se propaga paralelo a la
superficie de separación.
Para ángulos e < ec toda la energía se refleja y no existen
rayos transmitidos al medio M’
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.5 PROPAGACIÓN DE LOS RAYOS SÍSMICOS.
TRAYECTORIAS Y TIEMPOS DE LLEGADA
Para deducir la ecuación fundamental que regula la trayectoria
de un rayo sísmico aplicamos el principio de Fermat:
seni
ν
= p
i: ángulo con la vertical en un punto
v : velocidad en dicho punto
v=cte i=cte
p: parámetro del rayo
v=cambia i=cambia
Tierra: v=cambia con la profundidad
Conocidas v(z) y x, se puede obtener
la distancia recorrida a lo largo del rayo S,
la profundidad máxima h y el tiempo t
que tarda en llegar la onda.
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.5 PROPAGACIÓN DE LOS RAYOS SÍSMICOS.
TRAYECTORIAS Y TIEMPOS DE LLEGADA
Capas planas de velocidad constante
Si la dist. epicentral < 500 km Rayos sólo penetran corteza y
parte superior del manto. Consideramos la corteza formada por capas
planas de v = cte.
1) Rayo Directo
2) Rayo Reflejado en la base de la capa
3) Rayo Refractado Crítico a lo largo de
la superficie superior de medio
x
t1 =
v1
2
t2 =
v1
x2
2
H +
4
2
2
x 2 H v 2 − v1
t3 =
+
v2
v1v 2
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
2.5 PROPAGACIÓN DE LOS RAYOS SÍSMICOS.
TRAYECTORIAS Y TIEMPOS DE LLEGADA
Variación continua de la velocidad con la profundidad
En el interior de la Tierra (sobre todo el manto) la velocidad
varía de forma continua con la profundidad.
z dz
S= ∫
0 cos i
h
h
pdz
0
0
η2 − p2
x = 2 ∫ tg i dz = 2 ∫
t = 2∫
h
0
h
dz
= 2∫
0
ν cos i
η 2 dz
η2 − p2
Variación continua de la velocidad con la profundidad
Trayectoria de
Rayos que aumenta
con la profundidad
Domocrona
Curva (p,x) correspondiente
2.5 PROPAGACIÓN DE LOS RAYOS SÍSMICOS.
TRAYECTORIAS Y TIEMPOS DE LLEGADA
Variación continua de la velocidad con la profundidad
Según la figura anterior:
Consideremos dos rayos contiguos de parámetros p y p+dp, que
llegan a distancias x y x-dx, si el recorrido del frente de onda a
lo largo del rayo de parámetro p en un dt es : ds = v dt ds
dt
seni =
=v
dx
dx
Y, por tanto,
dt sen i
=
= p
dx
v
Hay una relación entre la pendiente de la domocrona y p.
Cuando i=90º (pto más profundo del rayo con velocidad vh)
dt
1
= p=
dx
vh
La pendiente de la domocrona es la
inversa de la velocidad máxima que
alcanza el rayo.
2.5 PROPAGACIÓN DE LOS RAYOS SÍSMICOS.
TRAYECTORIAS Y TIEMPOS DE LLEGADA
Variación continua de la velocidad con la profundidad
Asumiendo una distribución de aumento lineal de la velocidad
con la profundidad, en la corteza y manto de la Tierra: v = vo +kz
La trayectoria de rayos es circular con radio igual a h+vo/k,
luego la expresión del tiempo con la distancia será:
2
− 1 kx
t = senh
2v o
k
Medio esférico
Para estudiar comportamiento de ondas sísmicas en el interior
de la Tierra, se ha de considera un medio esférico La
distancia entre dos puntos se toma como la distancia angular
∆ y las domocronicas son ahora (t, ∆)
Medio esférico
Rayos en un medio
esférico de velocidad
constante
Domocrona:
Curva limitada al intervalo
0<∆<π
Sea una esfera homogénea de radio R y velocidad cte v:
2R
∆
t=
sen
v
2
Medio esférico
Trayectoria de un
rayo en regiones esféricas
de velocidad constante
(V1 < V2 < V3)
seni1 sen f
=
v1
v2
Triángulos PQO y SQO
r2 seni2 = r1 sen f r seni
= p
v
Medio esférico
Trayectoria de un rayo en un medio esférico de velocidad
que aumenta de forma continua con la profundidad a lo largo
del radio ds 2 = dr 2 + (r d∆ ) 2
r seni
= p Usando L.Snell
v
r 2 d∆
= p
v ds
ds
Además =
dr
η
η2 − p2
d∆
p
1
=
dr r η 2 − p 2
Medio esférico
Elementos de un rayo
en un medio esférico
de velocidad variable.
Integrando a lo largo del rayo desde
La superficie (ro) al punto más
profundo (rp):
∆ = 2∫
ro
rp
p
dr
r η2 − p2
S = 2∫
rp
ro
η dr
rp
ν η2 − p2
t = 2∫
∆: Distancia angular a la que
aflora el rayo cuyo pto más profundo
está a r = rp del centro.
t: tiempo de recorrido.
S: Distancia recorrida a lo largo del rayo
ro
η dr
η2 − p2
Medio esférico
La distancia rp corresponde al pto del rayo donde i=90º
rp
∆
 p
 ro  Fórmula de
dt
−1
cosh   d∆ = π ln 
= p = ηp =
∫
o
 η1 
 r1  Herglotz-Wiechert
vp
d∆
r1
Resuelta la integral v1 se obtiene de: v1 =
 dt 
 
 d∆  ∆
Distribución de la
Domocrona
Velocidad con el
Rayos
Radio
Aplicación de la fórmula de Herglotz-Wiechert
1
Inversión:
Determinación
de la distrib.
de velocidades
en el interior
de la Tierra
a partir de los
tiempos de
llegada