Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GRUPO DE INVESTIGACIÓN DESARROLLO DE AUTOFORMACIÓN CAFAM DRAGONES DE LA MATEMÁTICA BIENVENIDOS AL MUNDO DE LAS INECUACIONES Y SUS PROPIEDADES. ESTE MÓDULO TIENE EL FIN DE AFIANZAR CONOCIMIENTOS VISTOS EN LA UNIDAD DIDACTICA DE CLASE. ESTUDIAR LOS EJEMPLOS RESUELTOS PASO A PASO HASTA DOMINAR LAS INECUACIONES. LO MÁS IMPORTANTE SERAN LAS APLICACIONES EN EL PROXIMO MODULO LAS ESTUDIAREMOS. 3. MARCO TEORICO Definiciones: Ley de la tricotomía: "Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones: Propiedades de las desigualdades Teorema1-Propiedad transitiva: Teorema2-Suma: Ejemplo ilustrativo: Ejemplo ilustrativo: Teorema3-Multiplicación por un número Teorema4: positivo: Ejemplo ilustrativo: Ejemplo ilustrativo: Los Teoremas 1 a 4 también son válidos si se cambia ">" por "<" Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GRUPO DE INVESTIGACIÓN DESARROLLO DE AUTOFORMACIÓN CAFAM DRAGONES DE LA MATEMÁTICA Teorema5: Teorema6: "Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad, se cambia el sentido de la desigualdad". Teorema7: Teorema8: Teorema9: Teorema10: Teorema11: Inecuaciones lineales: Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente). Ejemplo: Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GRUPO DE INVESTIGACIÓN DESARROLLO DE AUTOFORMACIÓN CAFAM DRAGONES DE LA MATEMÁTICA Inecuaciones lineales que comprenden valores absolutos: Inecuaciones cuadráticas: Las inecuaciones cuadráticas presentan, o se pueden reducir a, las formas: El modo de solucionar estas inecuaciones es similar al utilizado para resolver Ecuaciones cuadráticas. Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GRUPO DE INVESTIGACIÓN DESARROLLO DE AUTOFORMACIÓN CAFAM DRAGONES DE LA MATEMÁTICA Ejemplo: Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GRUPO DE INVESTIGACIÓN DESARROLLO DE AUTOFORMACIÓN CAFAM DRAGONES DE LA MATEMÁTICA Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 6 resuelva las inecuaciones propuestas y de la solución en tres formas diferentes: desigualdades, intervalos, gráfica. Solu ciones Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GRUPO DE INVESTIGACIÓN DESARROLLO DE AUTOFORMACIÓN CAFAM DRAGONES DE LA MATEMÁTICA Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GRUPO DE INVESTIGACIÓN DESARROLLO DE AUTOFORMACIÓN CAFAM DRAGONES DE LA MATEMÁTICA Método gráfico: en el proceso de factorizar una inecuación cuadrática nos resultan inecuaciones de la forma La solución de esta inecuación también se puede hallar utilizando un método gráfico, conocido coloquialmente como el "Método de las cruces o del cementerio". La eficacia del "Método de las cruces" se manifiesta cuando deseamos resolver una inecuación de grado n > 2, o sea, cuando al factorizar nos resulta una inecuación de la forma Procedimiento en el método gráfico Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GRUPO DE INVESTIGACIÓN DESARROLLO DE AUTOFORMACIÓN CAFAM DRAGONES DE LA MATEMÁTICA 1. Se factoriza el polinomio 2. Se organizan los factores de tal modo que la incógnita quede escrita en la parte izquierda de cada paréntesis y con signo positivo 3. Se traza una recta real por cada factor y una recta real adicional para el resultado 4. Se calculan las raíces contenidas en cada factor 5. Se ubican en cada recta real las respectivas raíces calculadas en el paso anterior 6. Se trazan rectas verticales por cada punto-raíz 7. A la izquierda de cada raíz ubicada en su respectiva recta, se señala con un signo menos y a la derecha con un signo más 8. Aplicando la "Ley de los signos" se halla el resultado de multiplicar los signos de cada columna, dicho resultado se escribe en el lugar correspondiente de la recta real de resultados 9. Si el sentido de la inecuación es >, la solución estará constituida por todos los intervalos, en la recta resultado, señalados con el signo más; en cambio si el sentido de la inecuación es <, la solución será la unión de los intervalos señalados con el signo menos. Ejemplo ilustrativo: Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GRUPO DE INVESTIGACIÓN DESARROLLO DE AUTOFORMACIÓN CAFAM DRAGONES DE LA MATEMÁTICA Inecuaciones que contienen fracciones: El "Método de las cruces" se puede extender a la solución de inecuaciones que contienen fracciones algebraicas. Lo primero que debemos hacer es excluir los números reales que hacen que los denominadores se anulen. Luego, pasamos todas las fracciones y demás expresiones algebraicas al miembro izquierdo de la desigualdad (en el miembro derecho queda, por supuesto 0). El próximo paso consiste en reducir las expresiones algebraicas en el miembro izquierdo a una sola fracción. Por último, después de factorizar tanto el numerador como el denominador aplicamos el "Método del cementerio", pero teniendo en cuenta los factores del numerador como los del denominador. Ejemplo: Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GRUPO DE INVESTIGACIÓN DESARROLLO DE AUTOFORMACIÓN CAFAM DRAGONES DE LA MATEMÁTICA Nota: en la representación gráfica de las soluciones se pueden emplear paréntesis para indicar que el extremo del intervalo no está incluido en la solución; y se pueden usar corchetes para indicar que el extremo si está incluido. En los ejercicios resueltos que presento a continuación voy a representar gráficamente la solución usando paréntesis (, ); y corchetes [, ]. Ejercicios resueltos Resolver las siguientes desigualdades aplicando el método gráfico Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GRUPO DE INVESTIGACIÓN DESARROLLO DE AUTOFORMACIÓN CAFAM DRAGONES DE LA MATEMÁTICA Soluciones Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GRUPO DE INVESTIGACIÓN DESARROLLO DE AUTOFORMACIÓN CAFAM DRAGONES DE LA MATEMÁTICA EJERCICIOS PROPUESTOS Resuelva las inecuaciones propuestas y de la solución en tres formas diferentes: desigualdades, intervalos, gráfica. 1. 3x + 6 > 2x + 12 2. 4x - 8 > 3x - 14 Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GRUPO DE INVESTIGACIÓN DESARROLLO DE AUTOFORMACIÓN CAFAM DRAGONES DE LA MATEMÁTICA 3. 10x + 24 < 16x + 12 4. - 2x + 3 > - 3x - 1 5. 5(x + 6) - 5 > - 10 6. 6 + 3(x + 1) > 7 + 4(x - 1) 7. 5 - [ 2x + (x + 2) ] < 4 8. 2x - 3 - 4(x2 - 5) > 20 + 5x - 4x2 9. 7x(2x +5) - 5x(2x + 3) < (2x + 4)2 10. (4x + 2)(4x + 9) ≤ (4x + 6)2 11. x2 − 6x + 8 > 0 12. 2x2 + 2x +1 ≥ 0 13. 3x2 + x +1 > 0 14. 47x2 + 21x − 28 < 0 15. 5 –x2 + 4x − 7 < 0 4. ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN A partir de la entrega de la guía INECUACIONES Y DEIGUALDADES, el estudiante genera un plan de acción con estrategias claras para mejorar y aclarar dudas sobre los conceptos relacionados. 5. CRITERIO E INSTRUMENTO DE EVALUACION Desarrollo de la actividad presentada a partir de los siguientes criterios: Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GRUPO DE INVESTIGACIÓN DESARROLLO DE AUTOFORMACIÓN CAFAM DRAGONES DE LA MATEMÁTICA . Coherencia de la temática determinada. . Participación de los estudiantes. . Desarrollo de la prueba escrita. . Desarrollo de guía para tiempo extra clase. 1. BIBLIOGRAFIA - Pre cálculo James Stewart 5a Edición - Calculo diferencial Larson-Spevak 3a ed. Escrito Lic. Diego Armando Sierra Ramírez [email protected] WILLIAM LÓPEZ www.Matematicascafam.jimdo.com Las matemáticas son divertidas cuando las estudiamos y logramos solucionar problemas, les encontramos sentidos y anhelamos nuevos retos. Éxitos les desea el grupo de investigación los dragones Dorados de la Matemática.