UNIDAD 6 - Producción Producción: En la tutoría de ayer 23/10/07 comenzaremos la teoría sobre la empresa. El herramental es el mismo y los enfoques son parecidos:.... tratamiento con ecuaciones diferenciales y/o la combinada de Lagrange, pero ahora para maximizar la producción y el beneficio o para minimizar el costo... El temario es Producción con Un solo Factor variable y otros fijos (su máximo etc.); con Dos Factores variables (con curvas de indiferencia que ahora simplemente llamaremos isocuantas); también veremos la función con rendimientos constantes que identificaron Coob-Douglas en 1950 usando la del suizo Euler de 1800. Luego Costos: fijos y variables, que podemos distinguir en total, medio y marginal (interesa el costo marginal y el mínimo medio); aplicando el enfoque analítico de las derivadas conocido, juntamente con su equivalente de la geometría “del total, medio y marginal”. Luego Beneficios: el objetivo básico de la empresa es generalmente maximizar el beneficio, siendo el BT = IT – CT (que se calcula con primer derivada = 0 y segunda negativa...) Y se verá esto tanto en el caso general de cualquier empresa; como en el caso especial de la empresa competitiva (muy pequeña entre muchos vendedores y muchos compradores); y en el caso particular de la empresa sobredimensionada que actúa competitivamente según Eiras (utilizado para denuncias antidumping en el mercado internacional que fueron defendidas ante las autoridades de los EEUU). Se resalta que es muy importante identificar bien el mercado competitivo, ya que es la base de las leyes comerciales domésticas de todos los países, igual que de la legislación sobre comercio internacional. Un alumno presente hizo este resumen abreviado de la clase de hoy: Producción con un solo factor variable (y otros fijos que se reemplazan en la función) Se comienza definiendo el producto total, el medio y el marginal. El total simplemente que depende el factor variable X (por ej. trabajo o capital) Q N Q= F(x) M PT=Q I X factor variable PM= Q/x (el medio o promedio) I N PM PMg = ∆Q (el marginal) X M PMg Etapas I II III ∆X La producción total aumenta según el uso del factor variable; primero más que proporcionalmente y luego menos que proporcionalmente (punto de inflexión i), hasta un máximo M; luego disminuye, cae o decae. El promedio o PM es máximo en N (máxima tangente desde el origen a la curva Q); por eso en el enfoque unitario abajo la curva del PM tienen máximo en N. El Prod. Marginal PMg es máximo en i del enfoque total e igualmente en i del enfoque unitario. El PMg en el punto N coincide con el máximo PM.... (por eso las dos curvas se intersectan en N del enfoque untario). El PMg es nulo en M en los dos enfoques graficos. Etapa I : Rendimientos crecientes hasta N. Si el objetivo es maximizar la producción es irracional autolimitarse a contratar y producir en esta etapa. Etapa II: Rendimientos decrecientes (Etapa económicamente significativa) (de N hasta M) Etapa III: Rendimiento negativo . No tiene sentido producir con rendimientos negativos ya que gasta en factor pero decae la producción). Este analisis geométrico y analíticos es lo que en Baumol en TEAO llama el “X” Total, Medio y Marginal (que uds. tienen en esos gráficos manuscritos improvisados de los sitios web mostrando la analogía grafica para utilidad, ingresos, producción, costos, beneficios) Ejercicio con un solo factor variable Supongamos que Q = -1/5 x3y + 3x2y + 2xy Siendo x variable con y = 5 1) reemplazo el factor fijo Q= -x3 + 15x2 + 10x Ahora queda un solo factor (el variable) Tengo que ubicar la etapa significativa para informar a la empresa el nivel a contratar entre N y M (como todavía no incluimos precio del factor o costos aun no podemos informarle el punto de equilibrio o de máximo beneficio) Objetivo N = producción significativa contratando no meno de N en factor: que según el gra´fico puede calcularse de dos maneras: Tengo 2 maneras Max. PM PM = PMg PM = Q/x = -x2 + 15x + 10 PMg = Q´ = -3x2 + 30x +10 con PM´= 0 y PM´´< 0 -x2+15x+10 = -3x2+30x+10 2x2-15x = 0 o 2x-15=0 2x = 15 x = 7,5 N=7,5 No contratar menos de 7,5 Tanpoco se debe contratar mas factor que hasta M: y mirando el grafico se calcula M= Max.PT o PMg= 0 Q´= 0 y Q´´< 0 PMg= 0 -3x2 +30x +10 = 0 Necesito Ruffini porque tengo la constante 10 X= -30± √ 302-4(-3)*10 = ±10,3 2*(-3) M= 10,3 No contratar más de 10,3 Producción con 2 factores variables Q= 3xy funcion de producción (que graficamos como isocuanta despejando Y) Px = $6 Py = $8 M = $ 60 presupuesto L= Q + λ(RP) = 3xy + (6x + 8y -60) Paso 1 I) L`x = 0 L`y = 0 L`λ= 0 *4 *3 12y = 9x 3/4x = y 3y + 6λ = 0 3x + 8λ = 0 6x + 8y – 60 = 0 12y + 24λ = 0 9x + 24λ = 0 Reemplazo 6x + 8y – 60 = 0 6x + 8 (3/4x) = 60 12x = 60 x=5 despejo y = 3/4 *5 y = 3,75 Q= 3xy = 3(5)3,75 = 56 toneladas Capital Y Q = 100 30 3,75 Q = 56 X trabajo 5 60 RECTA DE PRSUPUESTO = $60 Segunda condición II) Es realmente máximo H= L11 L21 L31 L12 L22 L32 L13 L23 L33 0 3 6 0 3 3 0 8 3 0 6 8 0 6 8 = 0 + 144 + 144 – 0 – 0 – 0 = 288 positivo y entonces Max Q = 56 toneladas de trigo Problema dual ¿Mínimo costo para 56 ton? Si no lo supieramos veriamos que es $60; iguamente si la condicion o restricción de producción fuera otro tonelaje: ¿Min.costo p/Q = 80 toneladas? L = M + λ (RQ=80) L = 6x + 8y + λ (3xy – 80) I) L`x = 6x + 3yλ = 0 L`y = 8y + 3xλ = 0 L`λ = 3xy – 80 = 0 - Hay que despejar λ Multiplico * x/y el primero Y queda 6 y/x + 3xλ = 0 EL segundo queda igual 8y + 3xλ = 0 6 y/x = 8 x = 6/8 y Nueva relación de intercambio - Reemplazo en la tercer línea 3 .(6/8y).y = 80 18/18 y2 = 640/18 y = √32 y = 5,65 Según esa relación de intercambio x = 6/8 (5,65) x = 4,24 M = $6 * (4,24) * $8 * (5,65) M = $ 70,64 (correccion aquí .... es $70,64) El presupuesto para producir 80 toneladas aumenta poco porque hay rendimientos crecientes (según indica el orden 2 que suman los exponentes de Q). ( 80 ton cuestan $70 y antes 56 ton costaban $ 60, es decir producir 42% mas solo cuesta 17% mas) FUNCION COBB - DOUGLAS Lean en el “33resumenes de clases.doc” ..... como el pícaro Douglas usó la funcion de Euler para explicar que tanto en algunas empresas como en las cuentas nacionales de los paises (según censos de 1880 a 1930) los rendimientos eran constantes ¡!! Y se podian resumir con esta funcion lineal y homogénea (un solo termino de grado o potencia uno) Q = x1/4 * y 3/4 ( LAS POTENCIAS SUMAN uno.... 1 ) Ejemplo con funcion objetivo según esta producción y restricción de presupuesto por $400 Q = 2t1/4 * c3/4 Pt = $4 Pc = $6 M (presupuesto) = $400 con CF = $80 Además hay información de costos y precio de factores........... Es una función lineal, homogénea ya que todos sus terminos (hay uno solo) tienen potencia 1 Aplicamos derivadas para buscar el máximo a producir (tal como en la utilidad de la unidad 5.... con derivadas o con la combinada de Lagrange) a) TMS (tasa marginal de sustitución) = Pt / Pc PMg t = Pt = 4 PMg c Pc 6 PMg t = 1/4( 2t -3/4 c3/4) = 4 PMg c = 3/4 ( 2t1/4 c-1/4) = 6 le baje una unidad al exponente de C 1/2 c 3/4 c 1/4 = (subi c -1/4 sumando y baje t -3/4 sumando) 6/4 t 1/4 t 3/4 1/2 c = 4 3/2 t 6 3c = 6t c= 2t b) 4(t) + 6 (c) =400- 80 el costo variable mas el fijo 4 t + 6 (2t) = 320 16t = 320 t = 320 / 16 Reemplazo c = 2(20) t = 20 c = 40 Entonces Q = 2 (20)1/4 (40)3/4 Q = 67 toneladas Con $400 el máximo a producir es de 67 toneladas Problema dual ¿Min. costo para Q = 100 toneladas? Funcion objetivo según el presupuesto y condicion o Restricción de producir 100 ton Q = 2 t1/4 c 3/4 = 100 = 2 t1/4 (2t)3/4 = 100 = 2 t1/4 * 2 3/4 * t3/4 = 100 = 2t 4√23 = 100 =t 100 2 4√8 = 100 = 30 2,17 Entonces = c = 2*30 c = 60 por consiguiente M = $4 (30) + $6 (60) + 80 fijos M = 560 CF = 80 CV = 480 COSTOS Con ese resultado ya podemos comenzar el estudio de los costos, graficando los fijos y los variables: Es decir que en cuanto al costo de esta producción se tiene: CT= 560 CF = 80 CV = 480 En la ordenada medimos $ y/o costos; en la abscisa medimos toneladas producidas: $ C = 560 CV = 480 CF = 80 Q