Modelo de Thomson El modelo atómico de Thomson es una teoría

Modelo de Thomson
El modelo atómico de Thomson es una teoría sobre la estructura atómica propuesta en
1904 por Joseph John Thomson, quien descubrió el electrón en 1898.
El átomo está compuesto por electrones de carga negativa en un átomo positivo, embebidos
en éste al igual que las pasas de un budín.
Figura 1.
Este modelo del átomo es estable bajo fuerzas eléctricas.
Scattering Rutherford
Figura 2.
Partículas α emitidas por una fuente radiactiva inciden sobre una placa de oro delgada.
Las partículas α producen un destello pequeño pero visible cuando chocan con la pantalla
fluorescente. Sorprendentemente las partículas α se deflectaron fuertemente y algunas se
devolvieron.
Este experimento muestra que las cargas positivas del átomo están concentradas en un
volumen extraordinariamente pequeño, el núcleo.
Figura 3. (a) Modelo de Thomson (b) Una partícula α incidente será desviada θ ≪ 1◦
Consideremos una partícula de masa m que se acerca desde infinito hacia el origen en presencia
de un potencial central V (r). Queremos encontrar la sección eficaz diferencial para este
proceso. Como el potencial es central, se conserva el momentum angular de la partícula, l.
Se tiene que:l = mr 2 φ̇
l2
1
2
+ V (r)
E = m ṙ +
2mr 2
2
r l2
2
r 2m E − 2m r2 − V (r)
dr ṙ
= =
dφ φ˙
l
χ = |π − 2φ0|
Figura 4.
Notar que la trayectoria de la partícula es simétrico alrededor de rmin(radio mínimo).ρ es el
parámetro de impacto.
Z
φ0 = l
1
2
E = 2 mv∞
, l = mρv∞, φ0 = ρ
R
∞
rmin
∞
rmin
dr
r 2
l
r 2 2m E − 2m r2 − V (r)
dr
r
r2
1−
ρ2
r2
−2
V (r)
2
m v∞
Consideremos un haz de partículas incidentes con velocidad v∞. Dado que tienen ρ diferentes,
dN
serán dispersadas en ángulos distintos. Se define la sección eficaz diferencial por:dσ = n
dN : número de partículas dispersadas por unidad de tiempo entre los ángulos χ y χ + dχ.
n: número de partículas incidentes, por unidad de tiempo, por unidad de área transversal del
haz. Se supone una densidad transversal uniforme.
Figura 5. Fuerza sobre una carga puntual debida a una distribución uniforme de carga de radio R.
Supongamos que la relación entre ρ y χ es uno a uno.
dρ dN = n2πρdρ , dσ = 2πρdρ = 2πρ(χ) dχ dχ
Usando el elemento de ángulo sólido dΩ = 2π sen χdχ,
α
Scattering Rutherford: V (r) = r , φ0 = ρ
φ0 = ρ
R
umin
du
q
0
1 − ρ2u2 − 2
α
ρ u + m v2
∞ρ
2
=
r
1+
R
2 2
α
u
2
m v∞
α
2
ρ
m v∞
,1 − ρ u
2
∞
rmin
r2
αmin = 0,φ0 = α(u = 0) = arccos
s
α
2 ρ
m v∞
1+
1−
ρ2
r2
−2
α
− 2 m v2 u = 1 +
∞
2 2
r
α
2 ρ
m v∞
2


, u= r
α
2 r
m v∞
α
2
ρ
m v∞
α
− 2 m v2 u =
∞

1
dr
cos α,1 − ρ u

ρ(χ) d ρ dσ= sen χ d χ dΩ
2
1+
−ρ
2
u+
α
2
ρ
mv∞
α
2
ρ2
m v∞
2
2 sen 2α,
Figura 6.
2
ρ =
α2
2
4 tan
2
m v∞
φ0 =
α2
2 χ
,
4 cotan
2
m2v∞
ρ=
α
χ
2 cotan 2 (1)
m v∞
2
dρ χ
χ
α
2
dχ =2π
dσ = 2πρ(χ)
cotan
cosec
dχ =
4
dχ 2
2
m2v∞
α2
χ
dχ
π 2 4 cos
2 sen χ 3
m v∞
2
χ
2
2
cos
χ
dσ
α
α
4
cosec
=
=
χ
4
2
2
dΩ 2m2v∞
2mv∞
sen 2 3sen(χ)
2
(1)
1
Esta es la fórmula de Rutherford. Para un núcleo de carga Ze, α = 2kZe2, k = 4πε
0
Figura 7. Dos partículas α con iguales energías cinéticas se aproximan a un núcleo de carga Q = Ze.
con parámetros de impacto ρ1 = b1, ρ2 = b2, con b2 > b1. De acuerdo a la ecuación (1), χ1 = θ1 > χ2 = θ2.
En general, todas las partículas α con parámetro de impacto menor a ρ tendrán un ángulo de dispersión χ
mayor al dado por (1). πρ2 es la sección eficaz para dispersión por ángulos superiores a χ.
Figura 8. Número total de átomos en la capa delgada en el área cubierta por el haz es nAt donde n es el
número de átomos por unidad de volumen, A es el área cubierta por el haz y t es el grosor de la película.
• n=núcleos por unidad de volumen=
ρ
g
cm
NA(átomos/mol)
3
M (g/mol)
=
ρNA
átomos/cm3
M
• I0 = número de α/(área*tiempo)
• I0πb2=número de α/(tiempo) con ángulo de dispersión χ mayor o igual al de la ecuación
(1).
• I0πb2/I0 = πb2= sección eficaz para ángulo de dispersión χ mayor o igual al de la ecuación
(1).
• f = fracción de partículas α para ángulo de dispersión χ mayor o igual al de la ecuación
(1), dispersadas por todos los núcleos de la muestra=πb2tn
Ejemplo 1
Fracción dispersada f :Calcular la fracción de un haz incidente de partículas α de energía
cinética K = 5Mev que Geiger y Marsden esperaban encontrar con θ > 90◦ después de chocar
con una capa de Oro(Z=79) de grosor 10−6m.
Para el Oro: ρ = 19.3g/cm3,NA = 6.02 × 1023átomos/mol(número de Avogadro),M =
197g/mol(masa molar del oro).
ρNA
M
= 5.9 × 1022átomos/cm3
θ
α
1
α
2k Ze2
2. b = m v2 cotan 2 ,α = 2kZe2, k = 4πε ,b = m v2 = 2K = 2.28 × 10−14m
1.
∞
0
∞
3. f = πb2tn = 9.6 × 10−5 ≃ 10−4
4. f está de acuerdo con Geiger y Marsden que midieron 1 en 8000 en su primera medida.
Mostrar que el número de partículas α detectadas por ángulo sólido dΩ es
1
I0A nt k Ze2 2
(2), A es el área del detector, I0 es la intensidad del haz de
∆N = r2
θ
2K
sen4
2
partículas α, t es el grosor de la lámina. r es la distancia entre la lámina y el detector.K es
la energía cinética de las partículas α.
2
α
dσ
4 θ
1. dΩ = 2m v2 cosec 2
∞
2. df = dσtn
3. dN = I0dσtn=número de partículas/tiempo que salen con ángulo sólido dΩ. Después del
choque las partículas se mueven en línea recta.
4. A una distancia r de la lámina, el número de partículas que atraviesa un área transversal
es
N
r2dΩ
5. ∆N =
dN
I0tn dσ
A
=
2
r dΩ
r 2 dΩ
=
I0tn A
r2
α
2
2m v∞
2
cosec4
θ
2
=
I0t nA
r2
α
2
2m v∞
2
1
sen4
θ
2
Figura 9. Datos de Geiger y Marsden para dispersión desde Oro y Plata.
Gráfico es log-log. El ángulo de dispersión decrece hacia abajo en el eje vertical.
Figura 10. Geiger y Marsden midieron la dependencia de ∆N en t
dado por la ecuación (2).
Tamaño del núcleo
Figura 11. (a)Si la partícula α no penetra el núcleo, éste se describe como una carga puntual situada en el
origen
(b) Si la partícula α entra al interior del núcleo, la ley de dispersión de Rutherford deja de ser válida.
• El núcleo no es puntual. Tiene radio rn. Este se puede determinar calculando la distancia
de mínima aproximación de la partícula α en un choque frontal:
• La energía total se conserva: E = K + U , K:Energía cinética, U : Energía potencial,
U=
2Ze2k
r
• Evaluando en r = ∞, E = Ki. Evaluando en rd(distancia de aproximación mínima), K = 0
U=
2Ze2k
rd
• rd =
2Ze2k
,
Ki
• Para Ki = 7.7Mev, Z = 79, se obtiene rd = 3 × 10−14m. El radio del núcleo de oro no
supera rd.
Figura 12. Datos obtenidos por el grupo
de Rutherford para dispersión en ángulos grandes
fijos, como función de rd.
Ejemplo