syllabus Algebra - Udabol Virtual
Anuncio
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
UNIDAD ACADÉMICA SANTA CRUZ
Facultad de Ciencia y Tecnología
Ingeniería en Gas y Petróleo
PRIMER SEMESTRE
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA
ÁLGEBRA
Revisado por: Ing. Maria A. Garcia Zurita
Gestión Académica I/2013
U N
I V E
R S
I D A D
D E
1
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01
VISIÓN DE LA UNIVERSIDAD
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISIÓN DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad
y competitividad al servicio de la sociedad.
Estimado (a) estudiante:
El Syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes,
quienes han puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza
para brindarte una educación de la más alta calidad. Este documento te servirá de guía para
que organices mejor tus procesos de aprendizaje y los hagas mucho más productivos.
Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo.
Aprobado por:
Fecha: Marzo del 2013
SELLO Y FIRMA
JEFATURA DE CARRERA
U N
I V E
R S
I D A D
D E
2
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
Reducción de términos semejantes
Productos y cocientes notables
Factorización
Fracciones Algebraicas
Máximo común divisor y mínimo común
múltiplo
1.10. Operaciones con fracciones algebraicas
1.11. Simplificación de Fracciones
algebraicas.
SYLLABUS
Asignatura:
Código:
Requisito:
Carga Horaria:
Horas Teóricas
Horas Prácticas
Créditos:
I. OBJETIVOS
ASIGNATURA.
Álgebra
MAT – 101A
Ninguno
100 horas
50 horas
50 horas
10
GENERALES
DE
LA
En esta asignatura tenemos objetivos de dos
tipos: uno encaminados a la formación
Científica y otros a la Formación Personal.
Formación Científica: Se pretende que el
alumno domine todo lo relacionado con el
álgebra y su uso en el estudio de los
conjuntos, la lógica y las estructuras
algebraicas.
Al final del curso el estudiante conocerá el
uso de símbolos en la representación de la
realidad. Podrá usar expresiones algebraicas
para resolver problemas. Nos ponemos como
meta que el alumno adquiera nuevos
conceptos, técnicos y resultados que son
importantes para su formación como
universitario, y porque dichos conocimientos
son necesarios para la comprensión de otras
asignaturas del curriculum.
II. PROGRAMA
ASIGNATURA.
ANALÍTICO
DE
LA
UNIDAD I: INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
TEMA I. Introducción al álgebra
1.1. Álgebra
1.2. Propiedades de los números reales
1.3. Expresiones algebraicas
1.4. Operaciones algebraicas
1.4.1. Suma algebraica
1.4.2. Resta algebraica
1.4.3. Multiplicación algebraica
1.4.4. División algebraica
1.4.5. División sintética
U N
I V E
R S
I D A D
TEMA II. Ecuaciones
2.1. Ecuaciones Algebraicas.
2.2. Ecuaciones de primer grado con una
incógnita.
2.3. Problemas de aplicación de ecuaciones
de primer grado con una incógnita.
2.4. Sistema de ecuaciones lineales de 2 x 2
2.4.1. Método de Sustitución.
2.4.2. Método de Reducción.
2.5. Aplicaciones de sistemas de ecuaciones
lineales de 2x2
2.6. Ecuaciones de grado superior
2.6.1. Ecuaciones Cuadráticas
2.6.2. Ecuaciones Polinómicas.
2.7. Ecuaciones exponenciales y
logarítmicas con una incógnita
2.8. Sistema de ecuaciones exponenciales y
logarítmicas de 2 x 2
2.9. Aplicaciones de las Ecuaciones de
grado superior.
TEMA III. Inecuaciones
3.1. Definición y características de los
conjuntos numéricos.
3.1.1. Notación de conjuntos por
extensión.
3.1.2. Notación de conjuntos por
comprensión.
3.2. Desigualdades, teoremas e intervalos.
3.3. Inecuaciones Lineales.
3.4. Inecuaciones de grado superior.
3.5. Inecuaciones con valor absoluto.
3.6. Problemas de Aplicación.
TEMA IV. Logaritmos.
4.1. Leyes de exponentes.
4.2. Problemas de aplicación de leyes
exponenciales.
D E
3
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
4.3. Definición de logaritmo.
4.4. Propiedades de los logaritmos.
4.5. Problemas de aplicación de propiedades
de logaritmos.
TEMA V. Trigonometría
5.1. Definición de Trigonometría
5.2. Círculo y sistema de medición de
ángulos.
5.3. Razones trigonométricas y teorema de
Pitágoras.
5.4. Identidades trigonométricas.
5.5. Ecuaciones trigonométricas.
5.6. Ley de senos y cosenos.
5.7. Aplicación de la trigonometría
TEMA VI. Geometría Plana.
6.1. Definición.
6.2. Sistemas de coordenadas.
6.3. Relaciones y Funciones
6.4. Distancia entre dos puntos.
6.5. La recta.
6.5.1. Pendiente.
6.5.2. Angulo de inclinación.
6.5.3. Ecuaciones de la recta.
6.6. Cónicas.
6.7. La circunferencia: Ecuación general y
radical.
6.8. La parábola: Ecuación general y radical.
6.9. La Elipse: Ecuación general y radical.
6.10. La Hipérbola: Ecuación general y
radical.
III.- ACTIVIDADES A REALIZAR POR LAS BRIGADAS UDABOL
Tipo de Asignatura: De acuerdo a las características de la carrera y de la materia Álgebra es una
materia de TIPO A.
Diagnostico para la detección del problema: En la actualidad los estudiantes de colegios y
estudiantes universitarios en el área de la Ingeniería no valoran la importancia y aplicación de las
materias de las ciencias exactas, como ser Álgebra, Calculo I, Física I, etc. en el diario vivir de la
sociedad en general.
Nombre del proyecto: APLICACIÓN E IMPORTANCIA DE LAS CIENCIAS EXACTAS EN LA
FORMACIÓN PROFESIONAL DEL INGENIERO.
Contribución de la asignatura al proyecto: La asignatura aportara al proyecto, con los trabajos que
serán expuestos en la feria de ciencias exactas, los cuales estarán enfocados específicamente en la
aplicación del Álgebra.
TRABAJO A
REALIZAR POR
LOS ESTUDIANTES
Profundizar los
conceptos y solución
a problemas
específicos del
álgebra.
Identificar en la
ciudad la aplicación e
incidencia del
álgebra.
Plasmar en
maquetas la
actividad anterior
Presentar sus
proyectos en la feria
de ciencias exactas
U N
I V E
LOCALIDAD,
AULA O
LABORATORIO
Aula
INCIDENCIA
SOCIAL
FECHA
PREVISTA
Estudiantes de
Primer Semestre
En el transcurso
del semestre
Calles, Avenidas,
construcciones,
etc.
Estudiantes de
Primer Semestre
Laboratorio
Estudiantes de
Primer Semestre
Semana 14 y 15
Loby de la
Universidad
Alumnos de la
Universidad y
estudiantes de
colegios
24 de Junio
R S
I D A D
D E
4
A Q
U I N O
B O
Semana 10 a la
Semana 14
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
IV. EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES.
DIAGNOSTICA
Se realizará un examen diagnostico el primer
día de clases, así como pregunta de control al
comienzo de cada tema. Se calificarán como
B; R o M. y no se les asignará puntaje.
PROCESUAL
Durante el semestre se realizarán exámenes
prácticos, talleres, exposiciones que serán
propuestos por el docentes, además de Work
Paper, Dif’s y trabajos prácticos que se
especifican en el presente Syllabus, las
cuales tendrán una ponderación de 0 a 50
puntos, tantos en el primer y segundo parcial.
Las actividades de brigadas que se lleven
acabo en el primer y segundo parcial también
serán evaluadas sobre 0 a 50 puntos.
En la tercera etapa los exámenes prácticos,
talleres, exposiciones, Work Paper, Dif’s y
trabajos prácticos tendrán una ponderación
de 0 a 20 puntos, la presentación del proyecto
de la materia en la feria de ciencias exactas
será evaluada sobre 0 a 20 puntos.
Rojo, Armando, Álgebra I, décimo octava
edición, Librería Editorial El Ateneo,
Cochabamba,
2003.
(Signatura
Topográfica: 512 R63 t.1, 512 R63 t.1 c.2)
Gutierrez , Pedro:
La práctica del
Calculo Diferencial e Integral, Editorial
la
Hoguera,
1990.
(Signatura
Topográfica: 515.33 G97 v.1, 515.33
G97 v.2, 515.33 G97 v.1 c.2, 515.33
G97 v.2 c.2)
Baldor, Aurelio: Álgebra, Décimo tercera
edición, México, 1995. (Signatura
Topográfica: 512 B19).
COMPLEMENTARIA.
Cáceres, Braulio: Lógica y Teoría de
Conjuntos., Bolivia, Santa Cruz, 1992.
Ross W: Matemáticas discretas, Editorial.
Prentice Hall, Mexico, 1994.
Lehman, Geometría analítica, México,
Editorial Limusa, 1990.
DE RESULTADOS
Se realizan 3 evaluaciones: 2 parciales con
contenido teórico – práctico los cuales serán
evaluados sobre 50 puntos y el examen final
será evaluado sobre 60 puntos en la tercera
etapa.
V. BIBLIOGRAFÍA
BÁSICA.
Lazo, Sebastián: Álgebra Con Trigonometría y
Geometría, Editorial Soipa Ltda, La Paz,
2006. (Signatura Topográfica: 512.1 L45,
512.1 L45 c.2).
Goñi Galarza, Juan: Álgebra, Latinas
Editores
Oruro,
1993.
(Signatura
Topográfica: 511 G58)
Goñi Galarza, Juan: Geometría plana y
del espacio. Latinas Editores. Oruro. 1999.
(Signatura Topográfica: 516.22 G58)
U N
I V E
R S
I D A D
D E
5
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
VI. PLAN CALENDARIO.
SEMANA
ACTIVIDADES
OBSERVACIONES
TEMA I Introducción al Álgebra:
Clase 1: Introducción al algebra, Propiedades
Clase 2: Expresiones algebraicas
Clase 1: Suma y Resta de expresiones algebraicas
Clase 2: Multiplicación y División de expresiones
algebraicas
Clase 1: Reducción de términos semejantes
Clase 2: Productos y cocientes notables
Clase 1: Fracciones Algebraicas
Clase 2: Simplificación de Fracciones algebraicas.
TEMA II Ecuaciones:
Clase 1: Ecuaciones de primer grado
Clase 2: Problemas de aplicación de ecuaciones de
primer grado con una incógnita.
Clase 1: Sistema de
1ª EVALUACIÓN
ecuaciones lineales
Clase 2: Examen Parcial
Clase 1: Aplicaciones de sistemas de ecuaciones
lineales
Clase 2: Ecuaciones de grado superior
TEMA III. Inecuaciones
Clase 1: Definición y características de los conjuntos
numéricos, Desigualdades, teoremas e intervalos.
Clase 2: Inecuaciones Lineales.
Clase 1: Inecuaciones de grado superior.
Clase 2: Inecuaciones con valor absoluto
TEMA IV Logaritmos:
Clase 1: Leyes de exponentes.
Clase 2: Problemas de aplicación de leyes
exponenciales.
Clase 1: Propiedades de los logaritmos.
Clase 2: Problemas de aplicación de propiedades de
logaritmos
Clase 1: Sistema de
ecuaciones exponenciales
2ª EVALUACIÓN
y logarítmicos
Clase 2: Examen Parcial
TEMA V Trigonometría:
Clase 1: Definición de Trigonometría, razones
trigonométricas
Clase 2: Identidades trigonométricas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
U N
I V E
R S
I D A D
D E
6
A Q
U I N O
B O
Ejercicios sobre el
Tema
Ejercicios sobre el
Tema
Ejercicios sobre el
Tema
Ejercicios sobre el
Tema
Presentación de
notas
Ejercicios sobre el
Tema
Ejercicios sobre el
Tema
Ejercicios sobre el
Tema
Ejercicios sobre el
Tema
Ejercicios sobre el
Tema
Presentación de
notas
Ejercicios sobre el
Tema
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Clase 1: Ecuaciones trigonométricas
Clase 2: Ley de senos.
14
Ejercicios sobre el
Tema
Clase 1: Ley de cosenos.
Clase 2: Aplicación de la trigonometría
TEMA VI Geometría
Clase 1: Definición, Sistemas de coordenadas
Clase 2: Distancia entre dos puntos, La recta.
Clase 1: Ejercicios de la Recta
Clase 2: Conicas
15
16
17
18
EVALUACIÓN FINAL
19
SEGUNDA INSTANCIA
U N
I V E
R S
I D A D
D E
7
A Q
U I N O
Ejercicios sobre el
Tema
Ejercicios sobre el
Tema
Ejercicios sobre el
Tema
Presentación de
notas
Presentación de
notas
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 1
UNIDAD O TEMA: 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
TITULO: I. OPERACIONES ALGEBRAICAS
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer etapa.
1.1. Álgebra
El álgebra es la parte de las matemáticas en la
cual
las
operaciones
aritméticas
son
generalizadas empleando números, letras y
signos. Cada letra o signo representa
simbólicamente un número u otra entidad
matemática. Cuando alguno de los signos
representa un valor desconocido se llama
incógnita o variable.
En álgebra se usan fórmulas para representar
relaciones numéricas. Al igual que en la
aritmética, las operaciones fundamentales del
álgebra son adición, sustracción, multiplicación,
división y cálculo de raíces, generalmente en el
cuerpo de los números reales . La aritmética,
sin embargo, no es capaz de generalizar las
relaciones matemáticas, como el teorema de
Pitágoras, que dice que en un triángulo
rectángulo el área del cuadrado que tiene como
lado la hipotenusa es igual a la suma de las
áreas de los cuadrados cuyos lados son los
catetos. La aritmética sólo da casos particulares
de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que
32 + 42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede
dar una generalización que cumple las
condiciones del teorema:
a2+ b2=c2
El álgebra clásica, que se ocupa de resolver
ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números
específicos y operaciones aritméticas para
determinar cómo usar dichos símbolos. El
álgebra moderna ha evolucionado desde el
álgebra clásica al poner más atención en las
estructuras matemáticas. Los matemáticos
consideran al álgebra moderna como un
U N
I V E
R S
I D A D
D E
8
conjunto de objetos con reglas que los
conectan o relacionan. Así, en su forma más
general, se dice que el álgebra es el idioma de
las matemáticas.
Las operaciones algebraicas son: suma, resta,
multiplicación y división de monomios o
polinomios.
1.2. Propiedades de los números reales
1. La suma y la multiplicación son operaciones
binarias dentro de los números reales .
2. La suma y la multiplicación son
conmutativas.
3. La suma y la multiplicación son asociativas.
4. Los tienen un elemento neutro aditivo
único, a saber, el cero.
5. Los tienen un elemento neutro
multiplicativo único, a saber el uno.
6. Todo número real a tiene un opuesto o
inverso aditivo único, -a.
7. Todo número real a tiene un opuesto o
inverso multiplicativo único, 1/a.
8. Propiedad distributiva del producto sobre la
suma: para cualesquiera números reales a,
b, c:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
9. La suma de dos reales positivos es positiva.
10. El producto de dos reales positivos es
positiva.
11. Ley de la tricotomía: Para todo a є R es
verdadera solamente una de las siguientes
proposiciones:
a) a es positivo
b) -a es positivo; esto es a es negativo.
c) a es cero.
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Ley de exponentes.
Exponentes con la misma base: an.am = an+m
Potencia de potencia: (an)m = an.m
Ley de signos.
Para la suma:
Signos iguales se suman y al resultado
se pone mismo signo.
Signos desiguales se restan, y al
resultado se pone el signo del mayor
(valor absoluto).
Para la multiplicación:
+ * +
+ * - * +
- * -
=
=
=
=
+
+
1.3. Expresiones Algebraicas
Las expresiones algebraicas se clasifican
según su número de términos.
Monomio. Un solo término de la forma axn.
Por ejemplo:
Grado de un monomio. El grado de monomio
es la suma de los exponentes de todas y cada
una de las variables.
Por ejemplo, el grado del monomio 4x3y2 es 5.
Binomio. Suma de dos monomios.
Por ejemplo:
Polinomio. En general, un polinomio es una
función de la forma:
Pn ( x) an xn an1xn1 an2 xn2 ... a1x1 a0 x0
donde x es una variable escalar, n es un entero
no negativo y los a0,...,an son escalares fijos
que reciben el nombre de coeficientes del
polinomio P. La potencia más alta de x (n si el
coeficiente an es distinto de cero) se denomina
grado de P.
Grado de un polinomio: Es el grado (relativo)
del término de mayor grado. También se define
el grado absoluto de un polinomio como el
I V E
R S
I D A D
Teorema del resto
Se llama valor de un polinomio P(x) = a0xn + a1x
n -1
+…+ an -1x + an para x = c, y se designa P(c),
el valor numérico que toma el polinomio cuando
se sustituye la indeterminada, x, por el número
c y se realizan las operaciones. Por ejemplo,
si P(x) = 3x4 - 5x2 + 3x - 20
para x = 2
se obtiene: P(2) = 3·24 - 5·22 + 3·2 - 20 =
14
Al dividir un polinomio P(x) por x - a, puesto que
el divisor es un polinomio de grado 1, el resto
es, necesariamente, de grado cero (es decir, es
un número):
P(x) | x - a
R(x) Q(x)
El teorema del resto afirma que “el resto de
dividir un polinomio P(x) por x - a es,
precisamente, el valor del polinomio cuando x
vale a”, es decir, R = P(a), pues como P(x) =
(x - a)C(x) + R, al darle a x el valor a se obtiene
P(a) = (a - a)C(a) + R = 0 + R = R
1.4. Operaciones algebraicas
Trinomio. Suma de tres monomios.
Por ejemplo:
U N
grado del término cuya suma de exponentes es
el mayor. Esto último se aplica a polinomios de
mas de una variable.
-El término de primer grado se llama
término lineal.
-El término de grado cero se denomina
término independiente.
D E
9
Suma o adición
Para sumar dos polinomios se escriben uno a
continuación de otro, intercalando entre ambos
el signo de la adición, y se reducen términos
semejantes.
Para que entiendas mejor: Para sumar dos
polinomios se agrupan los Términos del mismo
grado y se suman sus coeficientes. El resultado
es otro polinomio.
Ejemplos:
Sean los polinomios: P(x) = -2 x4 +5 x3 – 3 x + 1
Q(x) = 3 x3 – 6 x2 – 5 x – 2
Sumar aplicando la regla
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
P(x) + Q(x) = -2 x4 + (5 + 3) x3 – 6 x2 + (-3 –5)
x + (1 – 2) = -2 x4 +8 x3 – 6 x2 – 8x - 1
Disposición práctica
-2 x4 +5 x3 + 0 x2 – 3 x + 1
3 x3 – 6 x 2 – 5 x – 2
--------------------------------------2 x4 +8 x3 - 6 x2 – 8 x – 1
Resta o sustracción
La sustracción de dos polinomios se realiza
sumando al minuendo el opuesto del
sustraendo.
Ejemplos:
Para restar Q(x) de P(x) se debe sumar a P(x)
el polinomio opuesto de Q(x).
P(x) - Q(x) = P(x) + [- Q(x)]
Sean los polinomios: P(x) = -2 x4 +5 x3 – 3 x + 1
Q(x) = 3 x3 – 6 x2 – 5 x – 2
Determinaremos el polinomio diferencia de dos
formas diferentes.
Aplicando la regla
P(x) - Q(x) = -2 x4 + 5 x3 - 3 x + 1 + (-3) x3 + (
6)x2 + ( 5) x + 2 = -2 x4 +2 x3 + 6 x2 + 2x + 3
Disposición práctica
-2 x4 +5 x3 + 0 x2 – 3 x + 1
-3 x3 + 6 x2 + 5 x + 2
------------------------------------2x4 +2 x3 + 6 x2 + 2 x + 3
Multiplicación
Para la multiplicación se tienen que multiplicar
los términos entre ellos.
Para multiplicar dos polinomios se multiplica
cada término de uno por cada uno de los
términos del otro y luego se suman los
coeficientes de los términos semejantes.
Para operar se deben tener en cuenta la
propiedad distributiva del producto sobre la
suma de números reales y la ley del producto
de potencias de la misma base.
Sean nuevamente los polinomios:
P(x) = -2x4 +5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x2 – x + 2
determinar el polinomio producto P(x).Q(x)
Aplicando la regla
P(x).Q(x) = 3x2 P(x) + (-x) P(x) + 2 P(x)
= (-2x4 +5x3 – 3x + 1) 3x2 + (-2x4 +5x3 – 3x + 1)
(-x) + (-2x4 +5 x3 – 3x + 1) 2 =
U N
I V E
R S
I D A D
D E
10
= - 6x6 + 15x5 - 9x3 + 3x2 + 2x5 – 5x4 + 3x2 – x –
4x4 + 10x3 – 6x + 2 =
= - 6x6 + 17x5 - 9x4 + x3 + 6x2 – 7x + 2
Disposición práctica
-2 x4 +5x3 – 3x + 1
3x2 – x + 2
----------------------------------6x6 + 15x5 + 0x4 – 9x3 + 3x2
2x5 – 5x4 + 0x3 + 3x2 – x
- 4x4 + 10x3 + 0x2 - 6x + 2
---------------------------------------------------- 6x6 + 17x5 – 9x4 + x3 + 6x2 – 7x + 2
División
La división es una operación que tiene por
objeto dado el producto de dos factores
(dividendo) P(x) y el otro de los factores
(divisor) Q(x) hallar el otro tercer factor llamado
(cociente) D(x).
El grado del divisor debe ser menor o igual que
el grado del divisor.
Luego se procede a dividir término a término,
hasta obtener un resto R(x) cuyo grado sea
menor que el grado del divisor.
Si el resto es cero se dice que la división es
exacta.
La reversión de los pasos efectuados en los
cálculos muestra que:
P(x) = D(x) . Q(x) + R(x)
Ejemplo: dividir P(x) entre Q(x)
P(x) = 6x4 + 7x3 + 12x2 + 10x +1
Q(x) = 2x2 +x +4
6x4 + 7x3 + 12x2 +10x +1
–6x4 – 3x3 – 12x2
4x3 + 0x2 + 10x +1
–4x3 – 2x2 – 8x .
–2x2 + 2x +1
2x2 + x + 4
3x + 5
|2x2 +x +4
6x2 +2x -1
Cociente
Residuo
División sintética
Cuando el divisor es un binomio de la forma x –
a se puede aplicar la división sintética:
Ejemplo: dividir 5x3 + 3x2 + 4x + 5 entre x – 2
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
CUESTIONARIO WORK PAPERS # 1
I.
Resolver las siguientes operaciones
algebraicas:
22)
1) 5x +5 – {5x – 4 -[-2x +5- (2 – x)] – 2x }
2) -3x2 +4x – {2x – 7x2 -[-6x +2x2- (5 – x)] – 2x2 }
3) 2xy +5 – {3x – 4 -[-6xy +5x- y(3 – 3x)] – 4x }
4) z3 {– 3x[-2y + 5x – ( 8x +3y )] – Z3 – 2(xy + 3)}
5) (3x +1) – [-4x + 5 - (2 – 8x)] – 5x
6) -3x2 + 4x{2x – 7 -[-( 3x +2 )( 2 – x )] – 2x2 }
7) 4xy - 2{3x – 4[-6xy +5x - 2y(3 – 5x)] – 7xy }
8) (3x - 1)[-2x -4 (2 – x)]
9) (-3x2 + 4x –2)(2x – 7x2 – 2)
10) (2y +5)(–3x – 4)(5x – y)
11) (z3 – 3x2 + 5x – 8)(-3y – 2xy + 3)
12) (a 5b 7 a 4b8 8a 2b5 3a 2b3 ) por
23)
24)
25)
3m 7 11m5 m 4 18m3 8m 3m 2 4 ; entre:
m 4 3m 2 4
x 10 y 10 ; entre: x 2 y 2
x 2a 2 x 2a 3 4x 2a 4 x 2a 7 ; entre:
x a3 x a1 x a2
a x abn1 a x 1b b n ;entre: a b
II. Otros ejercicios
Dados los siguientes polinomios :
(8a3b4 7a5b4 5a 4b6 7a8b4 )
13) (17a 3b 4 c 4a 4b8 c 2 8a 8b5 3a 6b 7 ) por
;
(5a b c 7ab c 13a b 7a b )
14) (2a5b9c9 9a7b2c8 13a2b3 21a4b9 )
(a 5b 7 c 4 a 4b8 8a 2b5c 7 3a 2b3 5a 2b5c 3 )
3 4
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
3 4
2 3
3 7
;
t(x) = x+1
x4 – x2 - 2x – 1 entre x2 + x + 1
x5 + Y5
entre x + Y
x6 + 6x3 – 2x5 – 7x2 – 4x + 6 entre x4 –
3x2 + 2
x4 – 2x2 + 4x – 6 entre x2 + 5
-3x2 + 4x –2
entre
6x – 3
4
xm xm 2 x ; entre: xm x
m6 m5 4m4 4m m2 1 ; entre:
Determine el polinomio que resulta de cada
operación:
a) p(x) + q(x)
b) p(x) - h(x)
c) r(x)× h(x)
d) p(x) ÷ t(x
m 3 m 2 4m 1
U N
I V E
R S
I D A D
D E
11
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 2
UNIDAD O TEMA: 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
TITULO: REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer etapa.
1.5. Tecnicismo Algebraico
Términos Semejantes
Los términos algebraicos que difieren
únicamente en su coeficiente se llaman
términos semejantes, o sea, son semejantes
aquellos términos algebraicos que tienen la
misma parte literal.
Puesto que un término con coeficiente 0 se
reduce a 0, y en un término que contenga un
factor o divisor literal con exponente 0 se
puede sustituir dicho factor o divisor por 1, es
por ellos que se aplica la siguiente Definición:
Dos términos son semejantes cuando son
ambos numéricos o cuando ambos se
componen de los mismos factores o divisores
literales con exponentes correspondientes
iguales. En este último caso los coeficientes
numéricos pueden ser números cualesquiera
distintos de cero.
Ejemplos: Son términos semejantes:
+5
y -2
2ab y -4ab
- 3ª
y 4ª
U N
I V E
R S
I D A D
D E
12
CUESTIONARIO WORK PAPER # 2
Reducir a términos semejantes los
siguientes polinomios.
1.- 7 a – 9b + 6 a – 4 b
2.- a + b – c –b – c + 2 c – a
3.- 5x – 11y – 9 + 20x – 1 – y
4.- - 6m + 8n + 5 – m – n – 6m – 11
5.- - a + b + 2b – 2c + 3ª + 2c – 3b
6.- - 81x + 19y – 30z + 6y + 80x + x – 25y
7.- - 71 a3b – 84 a4b2 + 50 a3b + 84 a4b2 –
45a3b + 18 a3b
8.- 5a2 - 6ab - 8ab + 20 - 5ab – 31 + a2 - ab
9.- x4y - x3y2 + x2y3 - 8x4y - x2y3 - 7x3y2 – 9 +
21x4y - y5 + 50
10.- 0,3a + 0,4b + 0,5c - 0,6a - 0,7b - 0,9c + 3a
- 3b - 3c
11.-
1
1
3
1
3 1
x y 2x 3y x y
2
3
4
6
4 2
12.- 5 x-2y + 3 xy-2 – 2 x-2y + 3 x-2y + 4xy-2
13.- 2 ab-1 + 5 a-1b + 6 a-2b-3 + 6 ab-1 + 3 a-1b
14.- ⅔ xy - ⅛ xy + ½ x2y2 - ¾ xy + 2 x2y2
15.- x-2 + x-1 + 2 x0 + 3 x + 6 x-1 + 2 x-2 + 4 x0
16.- 4 xnym + 2 xnym – 5 x2ym – 3 xnym + 6 x2ym
17.- ⅛ x - ⅜ x + ¾ x - ⅞ x
18.- o.4 x2y + 31 + ⅜ xy2 – 0.6 y3 - ⅔ x2y – 0.2
xy2 + ¼ y3 – 6
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 3
UNIDAD O TEMA: 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
TITULO: PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer etapa.
1.6. Productos Notables.
Se llama productos notables a ciertos
productos que cumplen reglas fijas cuyos
resultado puede ser escrito por simple
inspección, es decir sin verificar la
multiplicación. Entre estos productos tenemos:
binomio al cuadrado, diferencia de cuadrados,
binomio al cubo y producto de dos binomios.
El Binomio al cuadrado es el cuadrado del
primero más el doble producto del primero por
el segundo más el cuadrado del segundo.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Ejemplo:
a) Desarrollar la siguiente expresión
algebraica aplicando el producto notable: el
binomio al cuadrado:
x 1 1 2 a 2
3 a y
2
= 3 a
x 1 2
2
El Binomio al cubo es el cubo del primero
más el triple producto del cuadrado del primero
más el triple producto del primero por el
cuadrado del segundo más el cubo del
segundo.
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Ejemplo:
a) Desarrollar la siguiente expresión algebraica
aplicando el producto notable: diferencia de
cuadrados:
3xy 5x3 =
= 27x 3 y 3 135x 3 y 2 45x 3 y 125x 3
El Cuadrado de un trinomio se desarrolla de
la siguiente manera:
1 4a 4
y
4
La Diferencia de cuadrados llamada también
Binomios Conjugados es el cuadrado del
primero menos el cuadrado del segundo.
(a + b) (a – b) = a² - b²
U N
9x 2 y 2 25
(3xy) 3 3(3xy) 2 (5x) 3(3xy)(5x) 2 (5x) 3
2
1
1
23 a x 1 y 2a 2 y 2a 2
2
2
= 9 x 2 x 2 3 x x 1 y 2 a 2
Ejemplo:
a) Desarrollar
la
siguiente
expresión
algebraica aplicando el producto notable:
diferencia de cuadrados:
(3xy 5)(3xy 5) (3xy) 2 (5) 2
I V E
R S
I D A D
D E
13
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
4) ( 2a – 5b )2
5) ( a – b + c )2
6) ( x + 10y ) ( x – 10y )
7) ( x – 8 ) ( x + 6 )
8) ( 2x + 3 ) ( 5x + 1)
9) ( 2a + b )3
10) ( a – 2b )3
11) ( x + 5 ) ( x2 - 5x + 25 )
12) (6a2+2ab5)3
Cocientes Notables.
Se llama cocientes notables a ciertos cocientes
que obedecen a reglas fijas y que pueden ser
escritos por simple inspección.
Cociente de la diferencia de los cuadrados
de dos cantidades entre la suma o la diferencia
de dos cantidades:
a2 b2
a2 b2
a b ;
ab
ab
ab
Cociente de la suma o diferencia de los
cubos de dos cantidades entre la suma o
diferencia de dos cantidades:
a3 b3
a 2 ab b 2
ab
2. Hallar los siguientes cocientes:
1) 4a2 + 6ab + 8ac
2a
2) 9c2 + 6cd + d2
3c + d
3) x2 – 4xy + 4y2
x – 2y
2
4) a – 64
a+8
5) 25 – y2
5–y
a 3 b3
a 2 ab b 2
a b
Cociente de la suma o diferencia de
potencias iguales de dos cantidades entre la
suma o diferencia de dos cantidades:
Ejemplos:
a4 b4
a 3 a 2 b ab2 b 3
ab
a4 b4
a 3 a 2 b ab2 b 3
ab
6) 3a2b2c2 – 2abc + ab2c
abc
7) 16x4 + 8x2y2 + y4
4x2 + y2
8) 9p – 24pq + 16q2
3p – 4q
9) a4 – 16
a2 + 4
10) 81 – z4
9 – z2
2
a 5 b5
a 4 a 3b a 2 b 2 ab3 b 4
a b
a5 b5
a 4 a 3 b a 2 b 2 ab3 b 4
ab
En resumen:
Los resultados anteriores pueden expresarse
abreviadamente de este modo:
n
n
1. a – b es siempre divisible por a – b, siendo n
2.
3.
4.
Problemas elementales:
1) En un patio rectangular se construye una
piscina cuyas dimensiones se muestran en
la figura. Si el piso alrededor de la piscina
tiene un ancho constante, ¿cuál es el área
total de éste?
cualquier numero par o impar.( –/– siempre + )
an – bn es solo divisible por a + b, cuando n es
un numero par. (–/+ n par)
an + bn es solo divisible por a + b, cuando n es
un numero impar. (+/+ n impar)
an + bn nunca es divisible por a – b ni por a + b,
siendo n un numero par. (+/– nunca)
CUESTIONARIO WORK PAPERS # 3
1. Hallar los siguientes productos:
1) 3x2 ( x – y + z )
2) ( a – b ) ( x+ y )
3) ( a + 3b )2
U N
I V E
R S
I D A D
2)
D E
14
A Q
Demuestre que la diferencia de los
cuadrados de dos números impares
consecutivos es divisible por 8.
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 4
UNIDAD O TEMA: 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
TITULO: Factorización
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primera etapa.
1.7. Descomposición Factorial
La Factorización es la descomposición de una
expresión algebraica de varios términos, en un
producto de factores equivalente.
a2 + ab = a(a + b)
Los factores a y (a + b) que multiplicadas entre
sí dan como producto a2 + ab, son factores o
divisores de a2 + ab, es por ello que
descomponer en factores o factorar una
expresión algebraica es convertirla en el
producto indicado de sus factores.
A continuación resumimos los diez casos más
comunes de Factorización:
CASO I
CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN
POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN
Se trata de encontrar un o más factores
comunes de tipo monomio o polinomio dentro
de una expresión.
a2 + 2 a = a(a + 2 a)
10b – 30 ab2 = 10b(1 – 3ab)
CASO II
FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE
TÉRMINOS
Consiste en encontrar grupos de términos que
contengan factores comunes, que a su vez
volverán a ser factores comunes.
ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)
= x(a + b) + y(a + b)
= (a + b) (x + y)
U N
I V E
R S
I D A D
D E
15
CASO III
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Consiste en encontrar en un trinomio, raíces
cuadradas exactas de dos de sus términos, de
modo que su producto multiplicado por 2 sea
igual al término restante.
25 + 10b + b2
La raiz cuadrada de 25 es 5
La raiz cuadrada de b2 es b
El doble producto de ambos es 2.5.b es 10b
Por tanto se trata de un trinomio cuadrado
perfecto.
25 10b b 2 (a b) 2
CASO IV
DIFERENCIAS
DE
CUADRADOS
PERFECTOS
Se determinan las raíces cuadradas de cada
uno de los términos
Con las raíces obtenidas en el paso anterior se
forma un producto de binomios conjugados
1 – a2 = (1 + a) (1 – a)
16 x2 – 25 y2 = (4x + 5 y2) (4x – 5 y2)
CASO V
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
x4 + x2y2 + y4 no es un cuadrado perfecto ya
que falta en el 2do. Término 2x2y2, por lo tanto
es necesario adicionarle x2y2 pero para que el
trinomio no varíe hay que restarle la misma
cantidad:
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
x4 + x2y2 + y4
+ x2y2
- x2y2
4
2 2
4
x + 2 x y + y – x2y2 = (x4 + 2 x2y2 + y4) – x2y2
= (x2 + y2)2 – x2y2
= (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 –
xy)
= (x2 + xy + y2) (x2 – xy
2
+y )
CASO VI
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
x2 + 5x + 6
El trinomio se descompone en dos binomios
cuyo primer término es la raíz cuadrada de x2 o
sea x:
x2 + 5x + 6 (x
) (x
)
En el primer binomio después de x se pone el
signo + porque el segundo término del trinomio
+ 5x tiene signo +. En el segundo binomio,
después de x, se escribe el signo que resulta
de multiplicar el signo de + 5x por el signo de
+6 y se tiene que + por + da +, o sea:
x2 + 5x +6 (x + ) (x + )
Ahora, como en estos binomios tenemos signos
iguales buscamos dos números que cuya suma
sea 5 y cuyo producto sea 6. Esos números
son 2 y 3, luego:
x2 + 5x + 6 = (x +2) (x + 3)
CASO VII
TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c
6 x2 – 7x – 3
Multipliquemos el trinomio por el coeficiente de
x2 que es 6 y dejando indicado el producto de 6
por 7x se tiene:
36 x2 – 6(7x) – 18,
pero 36x2 = (6x)2 y 6(7x) = 7(6x),
luego podemos escribir:
(6x)2 – 7(6x) – 18
descomponiendo el nuevo trinomio:
(6x - ) (6x + ),
Buscamos dos números cuya diferencia sea 7 y
cuyo producto sea 18. Estos son 9 y 2.
Tendremos entonces: (6x – 9) (6x + 2)
Como habíamos multiplicado el trinomio por 6
al comienzo debemos dividirlo por la misma
cantidad para que no varíe, tendremos:
(6x – 9) (6x+2) = (6x – 9) (6x + 2)=(2x – 3) (3x+
1)
6
3x2
U N
I V E
R S
I D A D
D E
16
por lo tanto: 6x2 – 7x – 3 = (2x – 3)(3x + 1)
CASO VIII
CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
Para que una expresión algebraica ordenada
con respecto a una letra sea el cubo de un
binomio, tiene que cumplir las siguientes
condiciones:
I. Tener cuatro términos (ordenados)
II. Que el primero y el último término sea
cubos perfectos.
III. Que el 2do. término sea más o menos el
triplo del cuadrado de la raíz cúbica del
primer término multiplicado por la raíz
cúbica del último término.
IV. Que el 3er. Término sea más o menos
el triplo de la raíz cúbica del primer
término por el cuadrado de la raíz
cúbica del último.
Ej. Halla si 8x3 + 12x2 + 6x + 1 es el cubo de un
binomio
Veamos si cumple las condiciones expuestas
anteriormente:
- Tiene cuatro términos
- La raíz cúbica de 8 x3 es 2x
La raíz cúbica de 1 es 1
- 3(2x)2 (1) = 12 x2, segundo término
- 3(2x) (1)2 = 6x, tercer término
Cumple las condiciones, y como todos sus
términos son positivos, la expresión es el cubo
de (2x + 1), es decir, de otro modo la expresión
es equivalente a (2x + 1)3
CASO IX
SUMA
O
DIFERENCIA
DE
CUBOS
PERFECTOS
Regla 1: La suma de dos cubos perfectos se
descompone en dos factores:
i. La suma de sus raíces cúbicas
ii. El cuadrado de la primera raíz, menos el
producto de las dos raíces, más el cuadrado
de la segunda raíz.
Ej: x3 + 1
La raíz cúbica de x3 es x; la raíz cúbica de 1 es
1. Según la regla i: x3 + 1 = (x + 1) [x2 – x(1) +
12] = (x + 1) (x2 – x + 1)
Regla 2: La diferencia de dos cubos
perfectos se descompone en dos factores:
i. La diferencia de sus raíces cúbicas.
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
ii. El cuadrado de la primera raíz, más el
producto de las dos raíces, más el cuadrado
de la segunda raíz.
Ej: x3 – 8
La raíz cúbica de x3 es x; la raíz cúbica de 8 es
2.
Según la regla i: x3 – 8 = (x – 2) [x2 + x(2) + 22]
= (x – 2) (x2 + 2x + 4)
CASO X
SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS
IGUALES
Por ejemplo:
m5 + n5
Dividiendo entre m + n los signos del cociente
son alternativamente + y - :
m5 + n5 = m4 – m3n + m2n2 – mn3 + n4,
m+n
luego:
m5 + n5 = (m + n) ( m4 – m3n + m2n2 – nm3 + n4)
La diferencia se realiza con las mismas reglas,
excepto que los signos del cociente son todos
+.
CASOS ESPECIALES
Factorización de polinomios: Para factorizar
un polinomio se utiliza el método de Rufini el
cual consiste en expresar un polinomio en
producto de binomios.
Método de Ruffini
Se aplica a polinomios de grado n. Consiste en
buscar un valor “x=a”; tal que este valor
reemplazado al polinomio da como resultado
cero (Recuerde el teorema del resto). Luego el
término (x - a) será un factor del polinomio
original.
En un polinomio P(x) existirán “n” valores de “x”
según sea el grado del polinomio. Para
factorizar el polinomio utilizando el método de
Rufini se sigue los siguientes pasos:
1. Ordenar
el
polinomio
en
forma
descendente.
2. Copiar los coeficientes del polinomio y si
falta un término asignarle coeficiente cero.
3. Buscar un valor tal que al realizar la
operación se elimine el último término. Se
pueden probar con factores del termino
independiente.
4. Una vez encontrado los valores de “x”
copiarlos como productos de binomios.
U N
I V E
R S
I D A D
D E
17
Ejemplo
x 4 4 x 3 3x 2 4 x 4
Los factores de -4 son 1, -1, 2, -2, 4, -4
1
-4
3
4
-4
.
1
-3
0
4
1
-3
0
4
0
x=2
.
2
-2
-4
1
-1
-2
x=-1 .
-1
2
1
-2
0
Por tanto:
x 4 4x3 3x 2 4 x 4 ( x 1)(x 2)(x 1)(x 2)
x=1
CUESTIONARIO WORK PAPER 4
1. 5 a2 + a
2. m2 + 2mx + x2
3. x2 – 36
4. 9 x2 – xy + y2
5. 27 a3 – 1
6. x5 + m5
7. a3 – 3 a2b + 5 ab2
8. 2 xy – 6y + xz – 3z
9. 4 x4 + 3 x2y2 + y4
10. x8 – 6 x4y4 + y8
11. a2 – a – 30
12. 15 m2 + 11m – 14
13. 8 m3 – 27 y6
14. 16 a2 – 24ab + 9 b2
15. x4 + 4x2 – 21
16. 6 x2 + 19x -20
17. a(x + 1) – b(x + 1) + c(x + 1)
18. 1 – a2b4
19. x6 + 4 x3 – 77
20. 1 + (a – 3)3
21. 343 + 8 a3
22. 6am – 4an – 2n + 3m
23. 16 – (2ª + b)2
24. n2 + n – 42
25. x3 – 64 x4
26. (x + 1)2 – 81
27. a2 – (b + c)2
28. 7 x2 + 31x – 20
29. 81 x4 + 25 y2 – 90 x2y
30. c4 – 4 d4
31. 9 n2 + 4 a2 – 12an
32. x2 + 3x – 18
33. 1 + 18ab + 81 a2b2
34. 4 a6 – 1
35. a4 + 3 a2b – 40 b2
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
36.
37.
38.
39.
8(a + 1)3 – 1
1 + 1000x6
49 a2 – x2 – 9y2 + 6 xy
x2 - y6
4
81
40. x4 + 11 x2 – 390
41. (x + y)2 + x + y
42. a2- b2 + a3 – b3
5. x 4 81
Primera forma:
Ejercicios Resueltos
1. x3 4 x x 2 4 (grupos)
x 4 34 ( x 3)(x3 3x 2 9x 27)
( x 3)[x 2 ( x 3) 9( x 3)]
( x 4x) ( x 4)
x( x 2 4) ( x 2 4)
( x 1)(x 2 4)
( x 1)(x 2)(x 2)
3
2
( x 3)(x 3)(x 2 9)
Otra forma:
x 4 34 ( x 3)(x3 3x 2 9x 27)
( x 3)(x 2 ( x 3) 9( x 3)
( x 3)(x 3)(x 2 9)
De aquí:
x3 4x x2 4 ( x 1)(x 2)(x 2)
6. x 4 4 x 3 3x 2 4 x 4 (Rufini)
2. 2 x 4 32 (combinación)
Los factores de -4 son 1, -1, 2, -2, 4, -4
2x 4 32 2( x 4 16)
2( x 2 4)(x 2 4)
2( x 2 4)(x 2)(x 2)
1
.
1
x=2
.
1
x=-1 .
1
Por tanto:
x=1
De aquí:
2x 2 32 2( x 2 4)(x 2)(x 2)
3. 4 x 2 24x 32 16y 2 16y (combinación)
Sumando y restando 4:
Finalmente:
4. x10 32y 5 (+/+)
R S
-4
4
0
Ejercicios propuestos
1 2 x 2 11x 15 (Trinomio de la forma 2)
Resp. ( x 3)(2 x 5)
2 x 2 xy 2y 2 (Trinomio de la forma 1)
Resp. ( x 2 y)(x y)
4
( x5 2 y)(x 4 2x3 y 4x 2 y 2 8xy3 16y 4 )
I V E
4
0
4
-4
3 x 4 20x 2 64 (Trinomio de la forma 1 y dif.
cuad.)
Resp. ( x 4)(x 2)(x 2) x 2)
4( x 2 y 2)(x 2 y 4)
U N
3
-3
0
-2
-2
2
0
x 4 4x3 3x 2 4 x 4 ( x 1)(x 2)(x 1)(x 2)
4x 2 24x 36 16y 2 16y 4
4( x 2 6x 9 4 y 2 4 y 1)
4 ( x 2 6x 9) (4 y 2 4 y 1)
4 ( x 3)2 (2 y 1)2
4{[(x 3) (2 y 1)][(x 3) (2 y 1)]}
4( x 3 2 y 1)(x 3 2 y 1)
-4
1
-3
2
-1
-1
-2
I D A D
D E
18
A Q
x 2 9 x 6 y 2 (trinomio perf. y dif. cuad.)
Resp. ( x y 3)(x y 3)
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 5
UNIDAD O TEMA: 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
TITULO: FRACCIONES ALGEBRAICAS
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer etapa.
1.8. Fracciones algebraicas
Es el cociente indicado por dos expresiones
algebraicas, como ser:
3x
numerador
5 y denominador
Mínimo Común Múltiplo de monomios
(M.C.M.).- Se factorizan los coeficientes y se
toman los factores con mayor exponente. En el
caso de las literales se toman las literales con
mayor exponente sin que éstas se repitan.
Ejemplo
a) Encontrar el mínimo común múltiplo de los
siguientes monomios:
10 a3 x,
36 a2 m x2 ,
24b2 m4
4a x2 8axy 4a y2 4a( x2 2 xy y2)
( x2 2 xy y2)
2
x x,
2
y y,
(23)(32)(5)
24 (23)(3)
Literales con mayor exponente: a3 x2 b2 m4
Entonces: (23)(32)(5)(a3 x2 b2 m4) 360a3 x2 b2 m4
Mínimo común múltiplo de polinomios
(m.c.m.) En el caso de los polinomios se aplica
la factorización a cada polinomio, luego en
m.c.m. es el producto de los factores primos
comunes y no comunes con su mayor
exponente.
de donde 4a( x2 2xy y2) 22 a( x y)
I V E
R S
2
Por otra parte:
6b2 x 6b2 y
6b2 ( x y) 2.3b 2 ( x y)
Por tanto, el M.C.M. entre ambos polinomios
será:
1.9. Máximo Común Divisor de monomios
(M.C.D.).- Se factoriza cada monomio y se
toman los factores comunes con menor
exponente.
Ejemplo
a) Encontrar el máximo común divisor de las
siguientes expresiones:
12 x2 y z3 ; 18x y2 z ; 24 x3 y z 2
12 x2 y z3 (2)2 (3) x2 y z3
18x y2 z (2)(3)2 x y2 z
24 x3 y z2 (2)3 (3) x3 y z2
M .C.D. (2)(3) xyz 6 xyz
Ejemplo:
U N
2( x)( y) 2 xy
12ab2 ( x y)2
10 (2)(5)
36 (22) (32)
a) Encontrar el mínimo común múltiplo de
los siguientes polinomios:
4a x2 8axy 4a y2 y 6b2 x 6b2 y
I D A D
D E
19
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Simplificación de factores: Sé factoriza tanto
numerador como denominador, se cancelan
los factores iguales y, se agrupan los factores
que quedan, en un solo término.
Ejemplo:
a) Simplificar la siguiente expresión:
4 a 2 b5
6 a 3 b3 m
(2)(2) a 2 b5
4 a 2 b5
2 b2
6 a3 b3 m (2)(3) a3 b3 m 3am
denominador por el numerador del segundo
termino, una vez invertido se factorizan tanto
numerador como denominador y se aplica el
procedimiento de la multiplicación de
fracciones.
CUESTIONARIO WORK PAPER # 5
1. Realizar las siguientes operaciones con
fracciones algebraicas:
1)
1.10. Operaciones Algebraicas
Las operaciones que se puede realizar con dos
o más expresiones algebraicas son: Suma,
Resta, Multiplicación y División.
Suma de fracciones: Se obtiene el común
denominador a través del mínimo común
múltiplo, dicho denominador se dividirá entre
los denominadores de cada fracción; el
cociente que resulte será el nuevo numerador,
el cual se simplificará con términos
semejantes. Una vez simplificado se observa si
el numerador se puede simplificar
2)
1
1
1
2
3x 3 2 x 2 x 1
x
ax
a
ax
a 2 ax
ax x 2
2
a
a 1
2
a 1 (a 1)
(a 1) 3
x
1
4)
2
y
xy y
3x 4 x
2
5)
2
y y 1 y 1
3)
7ab
a2
a b
6)
ab 1 (a b) (a b)
1
yx
3x xy y
7)
2
2
2
2
x y
x3 y3
x xy y
1. Se obtiene el mínimo común múltiplo de los
denominadores
2. Se divide el mínimo común múltiplo entre
cada uno de los denominadores
3. Se multiplica resultado obtenido en el paso
2 por su respectivo numerador.
4. Se sustituyen los nuevos numeradores y
denominador y se procede a la
simplificación.
1 1 x
a b x
a b ab
8)
1
1
2
x2
a 2 b 2 ab a 2 b 2
a2
a b
9) 2a
b 1
b
a b
Resta de fracciones: Se obtiene el mínimo
común múltiplo de los denominadores y se
aplica el procedimiento de la suma recordando
que el sustraendo es afectado por el signo de
la operación.
2 1 2 1
x 2 y 2
y
x
10)
2
2
1
1
y x
x
y
Multiplicación: Se factoriza tanto numerador
como denominador en cada factor de la
multiplicación, se establece la multiplicación de
fracciones numerador por
numerador y
denominador por denominador. Finalmente se
simplifica cada multiplicación.
División: Para realizar la división de
fracciones se cambia la operación de la
división por la multiplicación con solo invertir el
numerador por el denominador y el
U N
I V E
R S
I D A D
D E
20
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
2 1 2 1 x 2 y 2 1 x 2 y 2 1
x 2 y 2
2
2
y
x
y
x
2
2
2
2
(
xy
1
)
(
xy
1
)
1
1
y x
2
2
x
y
x
y
Ejercicios resueltos
x y x y
4x
2
x y x y x y2
2
1. Simplificar
El m.c.m. de los denominadores es (x - y)(x +
y)
( x y) 2 ( x y) 2 4 x 2
=
( x y )(x y )
2
2
2
2
2
= ( x 2 xy y ) ( x 2 xy y ) 4 x =
( x y)(x y)
2
4 x 4 xy
4 x( x y )
4x
=
( x y)(x y)
( x y)(x y)
( x y)
x
x
x
y2 1 x2 y2 1
2 2
y 1 x2 y2 1
2
1
2 1 2 1
x 2 y 2
y
x
2. Simplificar
2
2
1
1
y x
x
y
U N
I V E
R S
I D A D
y2 1 x2 y2 1
x2 y2 1 x2 y2 1
( xy 1) 2 ( xy 1) 2
( xy 1)(xy 1)(xy 1)(xy 1)
2
D E
21
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 6
UNIDAD O TEMA: 2. ECUACIONES
TITULO: ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer período
Ecuaciones algebraicas
Una ecuación algebraica es una igualdad en la
que hay una o varias cantidades desconocidas
llamadas incógnitas y que solo se verifica la
igualdad de la ecuación para determinados
valores de la incógnita.
Las Incógnitas de una ecuación son
representadas por las ultimas letras del
alfabeto: x, y, z, etc.
Transposición de términos
Consiste en cambiar los términos de una
ecuación de un miembro a otro, para realizar
estos cambios se deben cumplir las siguientes
reglas:
1. Toda expresión que este sumando en un
miembro; pasa a restar al otro miembro.
2. Toda expresión que este restando en un
miembro; pasa a sumar al otro miembro.
3. Toda expresión que este multiplicando en
un miembro, pasa al otro miembro a dividir.
4. toda expresión que este dividiendo en un
miembro, pasa al otro miembro a
multiplicar.
Raíces o solución de una ecuación: Las
raíces de una ecuación son valores que
reemplazados en las incógnitas o variables
satisfacen la igualdad de la ecuación. Una
ecuación tiene uno, dos o mas soluciones esto
dependerá del grado de la ecuación.
cuadráticas o de segundo grado y polinómicas
de grado mayores o iguales a 3. El grado de la
ecuación es el mayor exponente que tienen la
variable o exponente.
Ejemplo:
Indicar el grado de las siguientes ecuaciones
5x 3 4
ecuación de 1er grado
2 x 2 3x 6 3
ecuación de 2do grado
7 x 3 3x 2 2 x 6 ecuación de 3er grado
x5 14x 2 11x 340 ecuación de 5º grado
Solución de las ecuaciones
Existe un teorema que indica que el grado de
una ecuación determina el número de
soluciones que tiene la ecuación. En estas
soluciones se incluyen las soluciones
complejas.
Ecuaciones lineales de primer grado con
una incógnita: Son aquellas ecuaciones que
tienen grado uno; para resolver este tipo de
ecuación solo se debe despejar la variable o
incógnita.
Ejemplo:
a) Resolver:
3x 3 9
3x 3 9
3x 9 3
x
Grado de una ecuación: Las ecuación
pueden ser lineales o de primer grado,
U N
I V E
R S
I D A D
D E
22
A Q
12
3
U I N O
x4
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Problemas resueltos y
propuestos
b) Resolver:
( x 3)(x 1)
2
x 3
x 1 2
x3
CUESTIONARIO WORK PAPER # 6
1. Resolver las siguientes ecuaciones
lineales algebraicas
1 ) x 3 3x 5
2) 3(a-4x)+7(2x-a)-5(3x+2a)= 0
3 ) 6 x (2 x 1) {5x [(2 x 1)]}
4 ) 3(2x 1)(x 3) (2x 5)2 {[3( x 5)] 10x2}
2
2
2
5 ) 2 x 7 2( x 4) 4 x 6 7 x 2 6
3
5x
15x
3x
2
6 ) 2 62x 2
3 9 x 1 3x 1
Ejercicio 7.- El hermano mayor de una familia
con tres hermanos tiene 4 años más que el
segundo y este 3 más que el menor. Si entre
todos tiene la edad del padre que tiene 40
años ¿qué edad tiene cada hermano ?
Para resolver estos problemas debemos elegir
algún valor desconocido para llamarle "x". En
este caso llamemos:
x = edad del hermano menor.
A partir de ello expresar los datos del problema
y plantear una igualdad (ecuación) con ellos:
Será:
2. Problemas sobre ecuaciones lineales de
primer grado con una incógnita.
1) Un Hacendado ha comprado caballos y
vacas por $us 40000. Por cada caballo
pagó $us 600 y por cada vaca $us 800. Si
compró 6 vacas menos que caballos,
¿Cuantas vacas y cuantos caballos
compró?
2) En cada día, de lunes a jueves, gano $us 6
más que lo que gano el día anterior. SI el
jueves gané el cuadruplo de lo que gané el
lunes, ¿Cuánto gané cada día?
3) % personas han comprado un negocio
contribuyendo por partes iguales. Si hubiera
habido 2 socios más, cada uno hubiera
pagado $us 800 menos. ¿Cuánto costó el
negocio?
4) Una liebre lleva una ventaja inicial de 60 de
sus saltos a un perro. La liebre da 4 saltos
mientras el perro da 3, pero el perro en 5
saltos avanza tanto como la liebre en 8.
¿Cuántos altos debe dar el perro para
alcanzar a la liebre?
5) Dos autos que llevan la misma velocidad
pasan en el mismo instante por dos puntos,
A y B, distante entre si 186 Km y van uno
hacia el otro. ¿A que distancia de A se
encontraran?
x + 3 : edad del hermano mediano
x+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor
Ecuación: suma de las edades de los
hermanos = 40 ; x + x+3 + x+7 = 40,
Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10,
luego la solución del problema es:
Edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17
años.
Ejercicio 8.- En una caja hay el doble de
caramelos de menta que de fresa y el triple de
caramelos de naranja que de menta y fresa
juntos. Si en total hay 144 caramelos,
¿cuántos hay de cada sabor ?. (Sol: 12, 24,
108).
Ejercicio 10.- Plantea y resuelve los siguientes
problemas:
a) El perímetro de un jardín rectangular es de
58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el
lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín
? (Sol: 9 y 20 m)
b) Halla un número tal que su mitad más su
cuarta parte más 1, sea igual al número
pedido. (Sol: 4).
U N
I V E
R S
I D A D
D E
23
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 7
UNIDAD O TEMA: 2. ECUACIONES
TITULO: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES – ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
FECHA DE ENTREGA
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer período
4(24 5 y) 3 y 19
96 20y 3 y 19
23y 19 96
115
y
23
Sistema de ecuaciones lineales: Para
resolver sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas se los realiza utilizando los
siguientes métodos: Sustitución, Igualación y
Reducción.
y 5
Método de sustitución: Este método consiste
en despejar una incógnita en una ecuación y se
sustituye en la otra ecuación para obtener una
de las variables; una vez obtenida una de las
variables esta se reemplaza en una de las
ecuaciones para obtener la otra variable.
y = -5; reemplazo en la ecuación 1
Ejemplo:
Por lo tanto la solución del sistema de ecuación
a) Determinar los valores de las variables en el
siguiente sistema de ecuación :
es x
2 x 5 y 24
8 x 3 y 19
Despejamos la variable “x” de la primera
ecuación:
2 x 5 y 24
2 x 24 5 y
24 5 y
x
2
Reemplazo la “x” en la segunda ecuación:
8 x 3 y 19
I V E
24 5 y
2
x
24 25
2
x
24 5(5)
2
x
1
2
1
; y 5
2
Método de reducción: Este consiste en
prepararan las dos ecuaciones (multiplicando
por los números convenientes) para que una de
las incógnitas tenga el mismo coeficiente en
ambas, una vez multiplicadas se suman ambas
ecuaciones y desaparece una incógnita de
donde se despeja una de las variables; una vez
obtenida una de las variables esta se
reemplaza en una de las ecuaciones para
obtener la otra variable.
Ejemplo:
a) Determinar los valores de las variables en el
siguiente sistema de ecuaciones:
24 5 y
8
3 y 19
2
U N
x
4 x 2 y 6
6 x y 3
R S
I D A D
D E
24
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Para eliminar la variable “y” multiplicamos por 2 a la segunda ecuación:
4 x 2 y 6
12x 2 y 6
8 x 0 12
12
x
8
x
2) Un tren sale de Cochabamba hacia Santa
Cruz, a 216 km de distancia, a las 9.00 a.m
. Una hora más tarde, un tren sale de Santa
Cruz hacia Cochabamba. Se encuentran al
mediodía. Si el segundo tren hubiese
partido a las 9.00 a.m y el primero a las
10.30 a.m, también se hubieran encontrado
al mediodía. Averigüe la velocidad de cada
tren. (Resp. 36 Km/h, 54 Km/h)
3
2
x = 5; reemplazo en la ecuación 1
4 x 2 y 6
3) Para el día de comienzo del Forum sobre
Ingeniería de Sistemas, se vendieron 1000
boletos. Los asientos de platea costaron 8
Bs., los del medio 6 Bs., y los del fondo 5
Bs.
El número combinado de boletos
vendidos para platea y del medio excedían
por 400 el doble de los boletos del fondo. El
total de ingresos para ese Forum fue de
6280 Bs.. ¿Cuántos boletos se vendieron
de cada uno? (Resp. 240, 560, 200)
3
4 2 y 6 ; 6 2 y 6
2
2 y 6 6
y
12
2
y 6
CUESTIONARIO WORK PAPER # 7
1. Resolver los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
4) En una fábrica de Telecomunicaciones se
fabrican dos tipos de antenas parabólicas
que se venden a 3 y 5 $us,
respectivamente. Si se venden 140 antenas
de los dos tipos, los ingresos obtenidos son
de 526 $us. ¿Cuántas antenas se
vendieron de cada tipo? (Resp. 87, 53)
2 x 5 y 26
3x 4 y 7
7 x 4 y 5
2)
9 x 8 y 13
x 2 y 1
3)
x 3 y 5
1)
5) La familia González, la familia López y el
matrimonio Ugarte almorzaron en el mismo
restaurante. Los González, que comieron 3
bifes, 2 ensaladas y 5 gaseosas, gastaron
53 Bs. Los López que comieron 5 bifes, 3
ensaladas y 9 gaseosas, gastaron 91 Bs.
¿Cuánto gastaron los Ugarte que comieron
entre los dos, 1 bife, 1 ensalada y 1
gaseosa?
2
x 9y 9
4 ) 7
3 x 4 y 7
4
5
5)
x 2y
3
3 5
4x 3y
4
5
7
2. Problemas de aplicación
1) Jorge se arriesga a preguntar la edad de su
novia y ella le responde: Tengo el doble de
la edad que tú tenías cuando yo tenía la
edad que tienes, y cuando tú tengas la
edad que tengo nuestras edades sumarán
U N
I V E
63 años. Halle las edades actuales de los
novios. (Resp. 28, 21)
R S
I D A D
D E
25
6) Roxana cuenta que cuando cumplió años
en el 2005 descubrió que su edad era igual
a la suma de las cifras del año de su
nacimiento. ¿Cuántos años tenía?
7) Las personas que asistieron a un examen
de grado se estrecharon las manos. Uno de
ellos advirtió que los estrechones de mano
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
fueron 66. ¿Cuántas personas asistieron al
examen? (Resp. 12 pers.)
trasladarían a los estudiantes. Se les dieron
2 papeletas rojas a Medicina, 3 papeletas
verdes a Ingeniería y 4 papeletas azules a
Empresariales. En cierto monitoreo con
todos los asientos ocupados, la mitad de
los asientos de Empresariales era igual a
Medicina e Ingeniería juntos. Si las
papeletas totalizaron 3200. ¿Cuántos de
Medicina asistieron a la reunión?
8) Un Docente gasta la mitad de su sueldo
mensualmente en el alquiler de la vivienda
y alimentos de su familia y 3/8 del sueldo
en otros gastos. Al cabo de 5 meses ha
ahorrado 400 Bs.. ¿Cuál es su salario
mensual? (Resp. Bs. 640)
9) Un comerciante de implementos petroleros
vende dos plantas generadoras: la primera
en 8920 $us. y la segunda en 1200 $us.
Según el comerciante , la ganancia por la
segunda planta fue de 40% sobre su precio
de costo y una pérdida de 20% por la venta
de la primera. Determine la ganancia total
obtenida por el comerciante.
10) Un ingeniero se va a retirar del negocio de
las computadoras y las reparte entre sus
cuatro hijos. El primero recibe la mitad, el
segundo la cuarta parte, el tercero la quinta
parte y el último las 7 últimas
computadoras. ¿Cuántas computadoras se
repartieron?
11) El sábado Juan compró 6 disquetes para su
computadora. Dos días después el precio
de los disquetes se redujo en 1.2 Bs. por
unidad. Alida compró 10 disquetes en la
oferta y pagó 4 Bs.. más que Juan por los
disquetes. ¿Cuál era el precio original?
12) Dos remolques deben trasladar cierto
número de equipos petroleros a un mismo
depósito. El primero lo pude hacer tres
veces más rápido que el segundo. Juntos
pueden completar el trabajo en 12 horas.
Determine el tiempo que tardaría cada uno
en trasladar todos los equipos por sí solo.
13) En un prado la hierba crece en todas partes
con igual rapidez y espesura. Se necesitan
70 hombres para cortar en 24 días y 30
hombres para hacerlo en 60 días. ¿Cuántos
hombres serían necesarios para cortar toda
la hierba en 96 días?
14) Durante el día de las Brigadas Udabol se
habilitaron 900 asientos en los micros que
U N
I V E
R S
I D A D
D E
26
15) Isaac Newton nació en el siglo XVII y murió
en el siglo XVIII. Sabiendo que el número
formado por los dos últimos dígitos del año
de nacimiento aumentado en 12 es el doble
del número formado por los dos últimos
dígitos del año de su muerte, u éste último
número aumentado en la unidad es dos
tercios del primero. Determinar, a que edad
murió Newton?
Ecuaciones cuadráticas
Son aquellas ecuaciones que tienen grado dos,
las ecuaciones cuadráticas tienen la siguiente
forma:
ax2 + bx + c = 0 ;
a0
Esta ecuación se resuelve de la siguiente
manera:
(ax) 2 b(ax) ac 0
(ax) 2 b(ax) ac
(ax) 2 b(ax)
b2
b2
ac
4
4
2
b
b2
ax ac
2
4
2
b
b2
ax ac
2
4
ax
b
b 2 4ac
2
4
b
b 2 4ac
ax
2
2
En consecuencia: x
b b 2 4ac
2a
Esta expresión encierra dos fórmulas, que se
pueden expresar en la siguiente forma:
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
x1, 2
–b
Ejemplo:
b2 – 4ac
2a
Una ecuación cuadrática tiene solución real
solo si: (b 2 – 4 a c) 0 esta expresión es
denominado discriminante de la ecuación.
Ejemplo:
a) Resolver la siguiente ecuación cuadrática:
3x2 + 5x 2 = 0
x
–5
5 2 – 4 3 ( – 2)
23
–5
x
x1
x2
25 24
6
–5 7
6
–5 – 7
6
–5 7
6
1
3
–2
b) Resolver la siguiente ecuación cuadrática:
2x2 8x = 0
A veces también es posible resolver la ecuación
cuadrática, factorizando:
2x2 8x =
2 x (x 4) =
2x = 0 x1
x 4 = 0
0
0
= 0
x2 = 4
1. b – 4 a c > 0
y distintas.
2. b 2 – 4 a c = 0
además son reales.
x1 y x2
x1 = x2
Ecuaciones Polinómicas o de grado
superior:
Las ecuaciones polinómicas son igualdades de
grado mayor o igual a 3 y para resolverlas es
recomendable expresar la ecuación en factores
aplicando cualquiera de los casos de
factorización
anteriormente
estudiados,
posteriormente se procede a igualar cada factor
a cero, de donde vamos a obtener cada una de
las raíces de la ecuación.
En el caso de ecuaciones no factorizables por
métodos analíticos, se pueden aplicar procesos
de aproximación denominados “métodos
numéricos”, los cuales permiten obtener
soluciones o “raíces acotadas” de la ecuación.
Uno de estos métodos es el llamado “método
de Newton-Raphson”. Habitualmente estos
métodos requieren de matemáticas avanzadas.
Formula de Newton
CONTINUACIÓN
PAPER # 7
Naturaleza de las raíces: Sea la ecuación: ax2
+ bx + c = 0, con a , b y c números
reales y a0, x1 y x2 sus raíces, entonces:
2
Determinar la naturaleza de las raíces de las
siguiente ecuación cuadrática, sin resolverlas:
x2 +2x + 3 = 0
x2 + 2 x + 3 = 0
b 2 – 4 a c = 22 –4 * 1 * 3 = – 8
Las raíces no son reales. Son complejas
conjugadas
I V E
R S
CUESTIONARIO
y
x 22
1
0
x
7 ) 5x 2 9 x 2 0
8 ) 4 x 4 19x 2 5 0
6) x
D E
27
WORK
1
( x 4) 2
2) (x+5)(x+2) -3(4x-3) = (5-x)2
8x 5
3x 7
3)
5
2x 5
3x 2
2
4 ) x 8 x 15 0
5 ) x 2 2( x 3)
1)
son reales
I D A D
f ( xi )
f ' ( xi )
1) Resolver las siguientes ecuaciones de
segundo grado
3. b 2 – 4 a c < 0 x 1 y x 2 no son
reales, son complejas conjugadas
U N
xi1 xi
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 8
UNIDAD O TEMA: 3. INECUACIONES
TITULO: INECUACIONES
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer período
Desigualdad
A veces se dan condiciones en las que, en
lugar de aparecer el signo igual, se presentan
otros
signos
llamados:
“signos
de
desigualdad”, los cuales permiten establecer
diferencias claras entre ecuaciones e
inecuaciones.
Los símbolos de desigualdad que relacionan
dos o más números o expresiones
matemáticas entre si son los siguientes:
< Menor que,
> Mayor que,
≤ Menor igual que,
Mayor igual que,
Inecuaciones.
Se llama inecuación a una expresión de
algebraica cuyos miembros están relacionados
por uno o varios símbolos de desigualdad.
Ejemplo:
a) 3 + 7 > 6
b) x - 1 < x + 5
Las desigualdades pueden ser ciertas o falsas.
Esta valoración en el caso de las literales
puede depender del valor de la variable. En los
ejemplos considerados, la primera y la cuarta
son ciertas, la segunda falsa, y la tercera
depende del valor que le demos a x.
Intervalo
Los intervalos en IR (números reales) se puede
representar en la recta real, tales que sus
U N
I V E
R S
I D A D
D E
28
extremos pueden ser cerrados, abierto, abierto
a la derecha, abierto a la izquierda. Para hacer
la representación gráfica podemos utilizar la
siguiente simbología:
;] [: Abierto
; [ ]: Cerrado
Solución de una inecuación.
La solución de una inecuación es siempre un
conjunto de valores que pertenece a los
números reales, es te conjunto a veces puede
ser vació; el conjunto de solución son valores
que siempre hacen verdadera la desigualdad
de la inecuación original.
Las inecuaciones según la expresión
algebraica que tienen se clasifican en:
inecuaciones lineales, cuadráticas algebraicas
y de valor absoluto.
Inecuaciones lineales.
Son inecuaciones que poseen incógnita de
primer grado, para resolver solo se debe
despejar la variable “x”; al despejar la variable
se debe tener en cuenta para cualquier
inecuación que al multiplicar por (-1) a una
inecuación se invierte el signo de desigualdad.
Cada valor de la incógnita que satisface la
inecuación se dice que es una solución
particular, y el conjunto de todas las soluciones
particulares se llama solución general o
conjunto solución “C. S.”. Vemos también que
las expresiones de la solución general se
corresponden con la de los intervalos:
] - ∞ ; a [;
A Q
U I N O
x < a; x menor que a
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
] - ∞ ; a]
a
] a ; + ∞ [;
[ a ; + ∞ [;
x ≤ a; x menor igual que
;
x > a; x mayor que a
x ≥ a; x mayor igual que a
CUESTIONARIO WORK PAPER # 8
1. Determinar el conjunto solución de las
siguientes inecuaciones y represente las
respectivas soluciones en la recta real.
Estos intervalos podemos representarlos en la
recta real como se observa en los siguientes
ejemplos.
1 ) x 7 x 3
9
2)
2
x
3 ) 2 x 2 3x 1 3x 2 5 x 2
4 ) 2x 2 2x 6 0
5 ) x 3 5x 2 x 2 6
6 ) x2 x2 3 4
a) Resuelve la siguiente inecuación y
representa en la recta real el conjunto
solución:
3-x>6
3-x>6
-x>6–3
*(-1)
x<-3
x 1
20
x 1
4
2
8)
3x 2 x 1
1
3
9)
x 2 x 1
4
2
3 9
10)
x
x
x5
0
11)
2
x 7 x 12
x4
0
12)
2
x 5x 6
2x
0
13)
16 x 2
x 1
x
14)
2 x 3 x
1
2
3
15)
x 1 x 3 x 2
x 22 x 13 x 24 0
16)
x 2 x 1x 4
7)
-3
C. S.: ] - ∞ ; -3 [
b) Resuelve la siguiente inecuación y
representa en la recta real el conjunto
solución:
2+x≥5
2+x≥7
x ≥ 7-2
x≥5
C. S.: ] - ∞ ; -3 [
Inecuaciones con valor absoluto
Las inecuaciones con valor absoluto tienen dos
formas básicas: x b a y x b a .
1) x b a
Si a < 0, es verdadera para todo x.
Si a = 0, es verdadera para todo x0.
x b a x b a
Si a > 0,
2) x b a
17)
3x 2 x 1
18)
x 2 2x 1
19)
x 2 2 3x 2
20)
x
1
x 1
Si a < 0, no tiene sentido.
Si a = 0, no tiene sentido.
a x b a
Si a > 0,
U N
I V E
R S
I D A D
D E
29
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 9
UNIDAD O TEMA: 4. LOGARITMOS
TITULO: POTENCIACIÓN, RADICACIÓN Y LOGARITMOS
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Segundo Período
Exponente.
Es el número que se coloca como superíndice
de otro número o letra al que se le llamara
base. Si el exponente es entero y positivo
indicara el número de veces que se toma como
factor a la base. Si no existe el exponente, se
supone que esta indicado y, se asume que es
1.
Potencia.
La potencia de un número es el resultado de
tomar al mismo número como base elevado a
un exponente.
Potenciación
Es una operación que tiene por objeto hallar las
potencias de un número.
a b
n
donde: a es la base
n es el exponent e
b es la potencia
Radicación.
Es la operación inversa de la potenciación. Se
conoce el número de veces que se multiplico
(índice de la raíz) y el resultado (radicando),
deseando encontrar el número que se multiplicó
(raíz).
n
b a donde: b es el radicando
n es el índice
a es la raíz
Nota :
Una raíz se puede expresar como una potencia
de exponente fraccionario.
n
a
n m
a a a
m
n
mn
loga b n
a nm
n es el logarit mo
b es el núm ero
a 1
0
a1 a
a b n a n b n
a n
I V E
R S
m
n
Donde:
a es la base
a b n a n b n
U N
b b
m
Logaritmo.
Se denomina logaritmo de un numero, a aquel
exponente al que se debe elevar determinada
base para obtener el numero, es decir
Leyes de exponentes:
a m a n a m n
si n es par b 0
Por definición
loga b n a n b
1
an
I D A D
Nota :
D E
30
A Q
U I N O
a 1; a 0 y b 0
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
antiloga (loga B) B
Ejemplo:
Calcular los siguientes logaritmos:
1) log10 1000 ?
Entonces el resultado será 3 por que 10
elevado al cubo”3” da como resultado
1000.
2) log2 8 ?
Entonces el resultado será 3 por que 2
elevado al cubo”3” da como resultado 8.
3) log4 64 ?
Entonces el resultado será 3 por que 4
elevado al cubo”3” da como resultado
64.
Logaritmo decimal o vulgar
Es aquel que tiene por base el número 10. Al
ser muy usados no escribir la base (log).
Logaritmo Neperiano o Natural
Es aquel que tiene por base el número natural
“e” y se representan por (ln).
Constante natural o número natural ”e”
La constante natural es aquel número denotado
por la letra “e” y cuyo valor es:
e 2.7182188284 6
Propiedades de logaritmos
loga u v loga u loga v
loga 1 0
loga a 1
loga u v loga u loga v
loga a x x
loga u n n loga u
a loga x x
loga n v
logc B
;
logc a
1
loga v
n
loga b
b) 7 x4 21x2 495 x 7
d ) 3x - 81 0
a) 7 x 21
c) 2x 32 0
e) 5
4 x 3
3
f)
2
x 7
625
x2
R S
Ecuaciones logarítmicas:
Es un conjunto de igualdades donde cada una
de ellas posee logaritmos.
Ejemplo:
1)
D E
31
4
2 x.3 x 0
x y
4 9 0
CUESTIONARIO WORK PAPER # 9
1. Simplificar las siguientes expresiones
aplicando leyes de exponentes:
1
logb a
I D A D
9
4
Sistema de ecuaciones exponenciales.
Es un conjunto de igualdades donde cada una
de ellas es una ecuación de tipo exponencial.
Ejemplo:
x . y.z . x
3
2
1
. y 2 .z 3
loga1 (loga B) B
I V E
x5
Ecuaciones logarítmicas:
Se llaman ecuaciones logarítmicas, a aquellas
ecuaciones, que presentan a su incógnita
afectada por un logaritmo.
Para resolver una ecuación logarítmica, se
aplican las propiedades de logaritmos o
antilogaritmos según se precise, como también
los cambios de base que se requieran.
Antilogoaritmo
U N
9
4
log(x) log( y) 2
log(x) log( y) 0
Cambio de base:
loga B
Ecuaciones exponenciales.
Se llaman ecuaciones exponenciales a aquellas
igualdades en las que la variable aparece como
exponente de una determinada base.
Ejemplo:
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
3
.
5
4
3
x .y
2)
x .y
3)
4)
5)
7)
.z
.z
3 x 9
64 0
3) 4
3
5
1
2
x
4. Resolver las siguientes ecuaciones
logarítmicas:
1) log(5x 1) 2 0
x3 y
z
23 1
x y
2
5 4
3
2)
x 1 y 3 z 2
4.x 3 .z
3 x 1 z 4 y 2
3
x 2 y 3
4
3)
3
4)
5)
6)
z 2 y4 x
x 1 y
7)
8)
2
. yx
z
2
5 4
9)
3
2
9)
4
2
100.z. y 3 243x y z
3
2 7 4 2
x5
zy
7
2)
yz 1 x z
2
x
y 2
log( x ) log( y ) 1
1)
2
2
x y 36
2 log(x) log( y ) 1
2) x
y 1
log2 64
log5 100
x
y
3 27 81
3) x
y
25 125 625
2
4) ln e
5) log10 100000
x y
2 7 5
4) x y
3 5 3
3. Resolver las siguientes ecuaciones
exponenciales:
x y
9 2 7
5) x y
7 5 3
x 1
4 32
x 2 1
4 x1 0
2) 2
U N
log7 x 2 5x 7 0
5. Resolver los siguientes sistemas de
ecuaciones logarítmicas exponenciales:
3) log7 2401
1)
log2 log5 log4 log5 ( x 1 0
3
9
log1 ( x 2 7 x 13) 0
2
2. Calcular los siguientes logaritmos:
1)
log5 log4 log3 log2 x 0
x
3 2
3
log3 (4x 5) log3 x 2
log3 x log3 ( x 6) 3
log1 log4 log3 x 1
2
243x. 81.x 6
10)
8)
log2 (8x 3) 9 0
logx 64 3
2
2
5
2 x 6
625 0
x
5) 9 3 6 0
4) 5
2 z 2 3
x y3
z x y
2
x x 2 x 1 y
z 3
2
yx
6)
2
3
1
2
I V E
R S
I D A D
D E
32
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
EJERCICIOS RESUELTOS
2 x1
4 x ·2 3 x ·243
2 x1
3·5
550
3
5·52 x ·52 x 550 // por5
5
2x
25·5 3·52 x 2750
1.
5
x
243
4
2
3
x
243
4
log log
2
3
243
4
x log log
2
3
243
log
2
x
4
log
3
x 16,68478755
( 25 3)52 x 2750
52 x 125
5 2 x 53
2x 3 x
2.
2 2( x
3
2
4 x 6 x 16384
2
2
6 x )
214
2( x 2 6 x) 14
x
10
2 log x 3 log x log10
log x 3 1
log x 2
2 x 2 12x 14 0
x2 6x 7 0
x1 7; x 2 1
3.
2 log x 3 log
5.
x 100
31 x 3x 2
2
6 . lo gx( x 3) lo g(x 1)
3
3x 2
x
3
cam biode variable 3 x t
3
t 2
t
t 2 2t 3 0
x( x 3) ( x 1) 2
x 2 3x x 2 2 x 1
x 1
t1 1 3 x 1; x 0
t 2 3 3 x 3; no existe x
4.
4 x ·2 3x ·243
U N
I V E
R S
I D A D
D E
33
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 10
UNIDAD O TEMA: 5. TRIGONOMETRÍA
TITULO: TRIGONOMETRÍA
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Segundo Período
Trigonometría
Es el estudio de las relaciones numéricas entre
los ángulos y lados de los triángulos.
Medición de ángulos: En Geometría los
ángulos tienen medidas positivas solamente,
en cambio, en Trigonometría un ángulo puede
tener una medida positiva, nula o también
negativa.
El sistema sexagesimal, asigna al ángulo
completo una medida de 360º, existe otro
sistema para medir ángulos, llamado sistema
absoluto, cuya unidad es el radián (rad). Un
ángulo del centro en una circunferencia tiene la
magnitud de 1 rad, si el arco que subtiende
tiene una longitud igual al radio de ésta.
Seno del ángulo en α sen (α):
Cociente entre las longitudes del cateto
opuesto al ángulo en y de la hipotenusa:
sen ( )
b
c
Coseno del ángulo en α cos (α):
Cociente entre las longitudes del cateto
adyacente al ángulo en y de la hipotenusa:
cos ( )
a
c
Tangente del ángulo en α tg (α):
Cociente entre las longitudes del cateto
opuesto y del cateto adyacente al ángulo en α:
tg ( )
b
a
Cotangente del ángulo en α ctg (α): Cociente
entre las longitudes del cateto adyacente y del
cateto opuesto al ángulo en :
ctg ( )
En este sistema el ángulo completo mide 2
rads, por lo tanto:
1 rad equivalente a 180º
Razones trigonométricas en un triangulo
rectángulo.
Un triangulo rectángulo es aquel triangulo en el
cual uno de sus ángulos es de 90º. Dado el
triángulo rectángulo en C se tiene las razones
trigonométrica del seno, coseno, tangente,
cotangente, secante y cosecante.
Secante del ángulo en α sec (α): Cociente
entre las longitudes de la hipotenusa y del
cateto adyacente al ángulo en :
sec ( )
csc ( )
b
α
a
a
I V E
R S
I D A D
D E
34
c
a
Cosecante del ángulo en α csc (α): Cociente
entre las longitudes de la hipotenusa y del
cateto opuesto al ángulo en :
c
U N
a
b
A Q
U I N O
B O
L I V I A
c
b
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Teoremas
En cualquier triangulo rectángulo se cumplen
los siguientes teoremas:
Teorema 1:
La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma
de cuadrados de los otros catetos. Teorema de
Pitágoras
c2 a2 b2
Teorema 2:
Dado un ángulo, el valor de cualquier razón
trigonométrica depende únicamente de la
magnitud de dicho ángulo.
Teorema 3:
Si α + β = 90º, entonces:
sen (α ) = cos (β )
cos (α ) = sen (β )
tg (α ) = ctg (β )
ctg (α ) = tg (β )
sec (α ) = csc (β )
csc (α) = sec (β )
30º
45º
60º
90º
180º
cos (α )
tg (α )
0
0
1
0
6
4
3
2
1
2
3
2
2
2
3
U N
sen( B)
b
1
1
0
indefini
da
0
–1
0
3
I D A D
sen(C )
c
Ley de los cosenos.
La ley de coseno se aplica a cualquier
triangulo oblicuángulo. La ley de coseno se
aplica cuando se conocen las medidas de:
a) Los tres lados.
b) Dos lados y el ángulo comprendido por
ellos.
Dado el triángulo ABC:
3
2
R S
3
2
1
2
I V E
indefini
da
0
Ley de los senos.
La ley de los senos se aplica a cualquier
triangulo
oblicuángulo,
los
triángulos
oblicuángulo son aquellos en que sus ángulos
son diferentes entre si.
La ley de senos se aplica cuando se conocen
las medidas de:
a) Dos lados y uno de los ángulos opuestos
a ellos.
b) Dos ángulos y un lado.
sen ( A )
a
sen (α )
2
–1
Siempre se cumple las siguientes relaciones:
Tabla de razones trigonométricas de
algunos ángulos
0º
3
2
Dado un triángulo ABC cualquiera:
Teorema 4:
Si n Z, entonces:
sen (α + 360º × n ) = sen (α )
cos (α + 360º × n ) = cos (α )
tg (α + 180º × n ) = tg (α )
A
270º
D E
35
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
a 2 b 2 c 2 - 2 b c cos ( A )
Noreste a 500 km/hora. A las 14:00 horas
el avión A encuentra a los sobrevivientes
del helicóptero y llama por radio al avión B
para que acuda y ayude en el rescate. ¿A
qué distancia está el avión B del avión A en
ese instante?
b 2 a 2 c 2 - 2 a c cos ( B )
c 2 a 2 b 2 - 2 a b cos ( C )
CUESTIONARIO WORK PAPER # 10
1. Resolver
los
siguientes
problemas
mediante la aplicación de trigonometría.
1) En un triángulo se conocen 45º ,
105º y c 2 . Determine sus lados y
sus ángulos.
2) Dos lados de un paralelogramo miden 5 m.
Y 8 m., formando un ángulo de 40º.
¿Cuánto miden las diagonales?
3) Desde la cúspide de un faro de 80 m. De
altura, se observan hacia el oeste dos
botes según ángulos de depresión de 60º y
30º. Calcule la distancia que separa a los
botes.
4) Un asta de bandera está enclavada en lo
alto de un edificio. Desde un punto situado
en el suelo, a 12 m. del edificio, se observa
el techo del edificio según un ángulo de
elevación de 30º y la punta del asta según
un ángulo de elevación de 60º. Calcule la
altura del edificio y la longitud del asta.
7) Un observador que se encuentra a 2
kilómetros de distancia de un camino recto,
ve pasar un automóvil frente a él y un
minuto más tarde lo ve pasar bajo un
ángulo 35 a la derecha de la posición
anterior. Calcular la velocidad aproximada
del automóvil.
8) La distancia entre dos edificios de tejado
plano es de 70 mts. Desde la azotea del
menor de los edificios, cuya altura es de 40
mts, se observa a la azotea del otro con un
ángulo de elevación de 50º. ¿Cual es la
altura del edificio más alto?
9) Desde la ventana de un edificio a 43 m de
altura, se observa un auto con un ángulo
de depresión de 45º. ¿A que distancia
desde la base del edificio se encuentra el
automóvil?
10) Dos lados de un paralelogramo miden 9 m.
Y 17 m., formando un ángulo de 40º.
¿Cuánto miden las diagonales?
2. Demostrar las siguientes identidades
trigonométricas
sen cos
1
1
sen
tan
2) tan cot g sec cos ec
5) Desde un punto A situado en el suelo se
observa hacia el norte el campanario de
una iglesia según un ángulo de elevación
de 30º y desde un punto B, situado en el
suelo se observa el campanario hacia el
oeste según un ángulo de elevación de
60º. Si AB = 100 m., calcule la altura del
campanario.
1)
3) (tan cosec ) 2 (sen sec ) 2 1
sec
sen
tan cot
cos ec 1 cot
5)
sec
1 tan
1 sen
cos
6)
cos
1 sen
1 tan2
7) 1 2sen 2
1 tan2
4)
6) A medio día, dos aviones de búsqueda se
disponen a salir de Santiago de Chile para
rastrear un helicóptero que cayó en el
Océano Pacífico. El avión A viaja
directamente al Oeste a una velocidad de
400 km/hora, el avión B viaja hacia el
U N
I V E
R S
I D A D
D E
36
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
1
4) cos 3.sen
1
2 cos ec . cot
sec 1 sec 1
1
1
2 sec 2
9)
1 sen 1 sen
8)
10)
5) cot 2sen(2 ) 1
6) tan2 5 tan 6 0
tan
cot
1 tan cot
1 cot 1 tan
7) sen 2 8sen 12 0
8) cos3 4 cos 0
3. Resolver las siguientes
trigonométricas:
ecuaciones
9) sen(4 ) sen(2 ) 0
1) 2sen 1 0
2) cos
4
10)
0
sen (2 ). cos ec
cot . sec 1
tan
3) tan(80 ) tan
U N
I V E
R S
I D A D
D E
37
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 11
UNIDAD O TEMA: 6. GEOMETRÍA ANALÍTICA
TITULO: GEOMETRÍA ANALÍTICA
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Segundo Período
Geometría analítica
Sistema de coordenadas rectangulares
Un sistema de coordenadas en el plano esta
formado por dos rectas perpendiculares entre
si, llamadas ejes de coordenadas o abscisa
“eje x” y ordenada “eje y” que pertenecen a los
números reales.
Se llama pendiente de una recta a la tangente
del ángulo de inclinación que forma la recta
con el semieje positivo de abscisas, medido
siempre en sentido contrario al de las agujas
y
de un reloj.
y2
B
y
II
y1
I
A α)
x
x1
x2
x
III
IV
Dados dos puntos por los cuales pasa la recta
A, B su pendiente se calcula así:
Distancia entre dos puntos.
La distancia que existe en una línea de
segmentos formados por dos puntos esta
definida por el teorema de Pitágoras que dice:
y
y2
y1
B
A
x1
d
x2
m tan
y 2 y1
x 2 x1
La recta.
La recta es una sucesión de puntos que es
considerada como una trayectoria de puntos
que no cambian de dirección, o bien, en
términos del espacio, es la intersección de dos
planos. Además tenemos los siguientes
conceptos:
x
La recta en un plano cartesiano puede estar
representada por las siguientes ecuaciones
Forma general de la ecuación de la recta:
La encontramos haciendo operaciones
con cualquiera de las formas antes
mencionadas, su representación es:
ax + by + c = 0.
x 2 x1 2 y 2 y1 2
Pendiente de una recta.
U N
I V E
R S
I D A D
D E
38
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Forma pendiente-ordenada, la ecuación
es:
y = mx + b
(b es la intersección con el eje Y).
Forma punto-pendiente, la ecuación es:
y – y1 = m(x – x1).
Forma punto-punto, la ecuación es:
y – y1 = [ (y2 – y1) / (x2 – x1) ] (x – x1)
Forma abscisa-ordenada, la ecuación es:
x/a + y / b = 1
(donde a es la intersección con el eje x y
b la intersección con el eje y).
y y1 mx x1
Donde la pendiente es: m tan
Ecuación de la recta que pasa por dos
puntos.
Esta ecuación esta dada cuando se conoce
dos puntos de la recta P(x1, y1), P(x2, y2).
y
P
y2
Ecuación pendiente-ordenada.
Esta ecuación esta dada cuando se conoce
como datos la pendiente de la recta y la
ordenada.
y1
P
x
x1
x2
y
b
α
.
y 2 y1
, entonces:
x 2 x1
y y1
x x1
y y1 2
x 2 x1
Sea m tan
x
)
y m x b
Donde:
Ecuación abscisa-ordenada.
Esta ecuación esta dada cuando se conoce la
intersección de la recta con el ejex y eje y.
m tan : es la pendiente
b = parámetro lineal por donde la
recta corta al eje y
y
b
Ecuación punto-pendiente.
Esta ecuación esta dada cuando se conoce un
punto de la recta P(x1, y1) y su pendiente de la
recta.
.
.
a
y
y1
a
P
α)
x y
1
a b
x
x1
Donde:
“a” es la abscisa
“b” es la ordenada
U N
I V E
R S
I D A D
D E
39
A Q
U I N O
B O
L I V I A
x
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Rectas paralelas.
Dos rectas son paralelas si y solo si sus
pendientes son iguales es decir:
m1 m2
y
La circunferencia.
Circunferencia es el lugar geométrico de un
punto que se mueve en el plano de tal manera
que se conserva siempre a una distancia
constante de un punto fijo de ese plano; el
punto fijo se llama centro y la distancia
constante radio.
Dada la forma ordinaria (x - h)2 + (y - k)2 = r2
desarrollamos los cuadrados y tenemos:
x
x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2
agrupando términos:
Rectas perpendiculares.
Dos rectas son perpendiculares entre si y solo
si forman un ángulo de intersección de 90°, es
decir:
m1
x2 + y2 + (-2h)x + (-2k)y + (h2 + k2 – r2) = 0
reemplazando tenemos:
x2 + y2 + Dx +Ey + F = 0
1
m2
Por último tenemos:
La ecuación general de la circunferencia:
y
x 2 y 2 Dx Ey F 0
La circunferencia cuyo centro es (h, k) y de
radio r tiene por ecuación: (x - h)2 + (y - k)2 = r2
y recibe el nombre de ecuación en forma
ordinaria.
x
Y
Punto móvil
Ángulo entre dos rectas.
Si dos rectas se intersectan entre si, el ángulo
de intersección entre ambas rectas esta dado
por la siguiente ecuación:
Radio ( r )
Centro (h, k)
y
θ)
X
x
La parábola.
La parábola es el lugar geométrico de un punto
que se mueve en el plano de tal manera que
su distancia de una recta fija situada en el
m m2
arctan 1
1 m1 m 2
U N
I V E
R S
I D A D
D E
40
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
plano es siempre igual a su distancia de un
punto fijo del plano y que no pertenece a la
recta. Al punto fijo se le llama foco y la recta
fija es la directriz. La recta que es
perpendicular a la directriz y que pasa por el
foco se llama eje focal, la intersección de la
parábola con el eje focal se denomina vértice.
La cuerda focal es el segmento de recta
perpendicular al eje focal y que pasa por el
foco, en nuestra gráfica, esta es el lado recto.
Y
Directriz
Vértice (h, k)
Foco(h + p, k)
Directriz x = h – p
Eje focal y = k
Donde 4|p| es la magnitud del lado recto
y siendo |p| la distancia entre el foco y el
vértice.
Si p > 0 la parábola se abre a la derecha.
Si p < 0 la parábola se abre a la izquierda.
La elipse.
La elipse es el lugar geométrico de un punto
que se mueve en el plano de tal manera que
las sumas de sus distancias a dos puntos fijos
de ese plano es siempre igual a una constante
mayor que la distancia entre los dos puntos.
Los dos puntos fijos se llaman focos de la
elipse.
Y
Foco
Lado recto
A
Eje focal
CF
CF
b
X
L
V
F’
C
F
V’
c
Si el eje es paralelo al eje Y la ecuación es de
2
la forma x h 4 p y k y sus elementos
son:
Foco (h, k + p)
Directriz y = k – p
Eje focal x = h
Donde 4|p| es la magnitud del lado
recto y siendo |p| la distancia entre el
foco y el vértice.
Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba.
Si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.
a
A’
X
L’
La ecuación de una elipse con C(h, k) y eje
focal paralelo al eje X es:
x h 2 y k 2
a2
b2
1
La ecuación de una elipse con C(h, k) y eje
focal paralelo al eje Y es:
La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y
eje focal paralelo al eje X es de la forma:
y k 2 4 px h y sus elementos son los
siguientes:
x h2 y k 2
b2
a2
1
En donde para cada elipse, a es la longitud del
semieje mayor, b es la del semieje menor, c es
la distancia del centro hacia cada foco y a, b, c
están ligadas por la siguiente relación:
a 2 b 2 c 2 , en donde c es la distancia desde
el centro de la elipse hacia su foco.
También para cada elipse, la longitud de cada
2b 2
uno de sus lados rectos es: LR
.
a
U N
I V E
R S
I D A D
D E
41
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
La excentricidad de una elipse es: e
y k 2 x h 2
c
.
a
Los elementos de una elipse son los que se
describen en la figura siguiente:
F y F’, focos.
V y V’, vértices
C, centro.
d(V, V’), eje mayor.
CF, lado recto.
d(A, A’) eje menor.
L’, eje normal.
L, eje focal.
a2
b2
1
Sus focos son (h , k + c) y (h, k - c).
Sus vértices son (h - a, k ) y (h + a, k ).
Donde para cada parábola a es la longitud del
semieje transverso, b la del semieje conjugado
y c la distancia del centro a cada foco; a, b, c
están ligadas por la relación c 2 a 2 b 2 .
También para lado recto de la hipérbola, la
longitud de cada uno de sus lados rectos es:
LR
La hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de un
punto que se mueve en el plano de tal manera
que el valor absoluto de la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos del plano,
llamados focos, es igual a una constante
positiva y menor que la distancia entre los
focos.
Y
L’
A
2b 2
.
a
La excentricidad de una elipse es: e
Sus elementos son los que se muestran en la
figura:
F y F’, focos.
V y V’, vértices.
L, eje focal.
VV’, eje transverso.
C, centro.
L’, eje normal.
AA’, eje conjugado.
CF, lado recto.
Las asíntotas de una hipérbola están dadas
por siguiente ecuación: y
L
F
V
V’
C
F’
A’
X
2) Hallar la distancia entre los puntos:
P1 (2, 1); P2 (6, 4).
La ecuación de una hipérbola con centro en el
punto C(h, k), y eje focal paralelo al eje X es de
la forma:
x h2 y k 2
a2
b2
3) Hallar la distancia entre los puntos:
P1 (2, 4); P2 (-6, -3).
1
Sus focos son (h + c, k) y (h .- c, k).
Sus vértices son (h – a, k) y (h + a, k).
La ecuación de una hipérbola centro en el
punto C(h, k), y eje focal paralelo al eje Y es de
la forma:
U N
I V E
b
x h k
a
CUESTIONARIO WORK PAPER # 11
1. Distancia entre dos puntos.
1) Demostrar que las coordenadas de los
siguientes puntos, forman un triangulo
isósceles :
P1 ( - 2 , - 1 ) ; P2 ( 2 , 2 ) ; P3 ( 5 , - 2 )
CF’
CF
c
.
a
R S
I D A D
D E
42
2. Pendientes, ángulos y grafica.
1) Hallar el ángulo de inclinación que tiene
la línea de segmentos formada por los
puntos: (5,2), (3,-4).
2) Hallar la pendiente y el ángulo de
inclinación de la recta 2X + Y – 8 = 0.
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
4X+ 2Y-5=0
3) Hallar el ángulo de intersección de las
rectas
L1: 6X + 3Y – 15 =0
L2: X + 2Y + 2 =0.
3. Distancia entre dos puntos.
1) Demostrar que las coordenadas de los
siguientes puntos, forman un triangulo
isósceles :
P1 ( - 2 , - 1 ) ; P2 ( 2 , 2 ) ; P3 ( 5 , - 2 )
6. La circunferencia con sus respectivas
graficas.
1) Hallar la ecuación de la circunferencia
que tiene su centro en P ( 5 , - 1 ) y u n
radio R= 4
2) Hallar la ecuación de la circunferencia
que tiene centro en P1 (4, 4) y es
tangente al eje X.
2) Hallar la distancia entre los puntos:
P1 (2, 1); P2 (6, 4).
3) Encontrar
la
ecuación
de
la
circunferencia que tiene su centro en el
punto P1 (5, 7) y posee un radio R = 3
3) Hallar la distancia entre los puntos:
P1 (2, 4); P2 (-6, -3).
4. Rectas con sus respectivas grafica.
1) Hallar la ecuación de la recta que pasa
por los puntos P1 ( 3 , 3 ) ; P2 ( 5 , - 3 ) .
7. La parábola con sus respectivas
graficas
1) Hallar la ecuación de la parábola que
tiene vértice en V (3,2) y foco en:
F (5,2).
2) Hallar la ecuación de la recta que pasa
por el punto P1 ( 5 , 4 ) y su pendiente
es: m = -3.
2) Hallar la ecuación de la parábola que
tiene foco en F (6,-2) y por directriz a la
recta X = 2.
3) Hallar la ecuación de la recta que corta
al eje de las abscisa en 3 y la ordenada
en -2.
3) Determinar la ecuación de la parábola
que tiene vértice en V (-5,-3) y tiene
directriz en Y = 4
4) Hallar la ecuación de la recta que corta
a la ordenada en -5 y su pendiente es
2/3
8. Graficar las siguientes cónicas
1) x2 – 4x – 12x + 6 =0
2) y2 +6y +2x -3 = 0
5. Rectas paralelas y perpendiculares con
sus respectivas graficas.
1) Hallar la ecuación de la recta que pasa
por P1 ( 5 , 4 ) y es paralela a la recta
2x + 3y - 9 = 0.
3) x2 + 2x – 7y+2 = 5
4) 9x2 + 4y2 – 36x – 8y – 104 = 0
5) 4x2 – 25y2 – 32x + 50y – 61 = 0
2) Hallar la ecuación de la recta que corta
a la abscisa en -3 y es paralela a la
recta que pasa por los puntos:
P1(0,-2); P2(5,2)
6) 1 6 x 2 + 2 5 y 2 - 1 2 8 x - 3 0 0 y + 7 5 6 = 0
7) 2 5 x 2 + 9 y 2 - 2 2 5 = 0
8) x 2 + 4 y 2 - 4 x - 8 y - 2 8 = 0
3) Hallar la ecuación de la recta que pasa
por la intersección de las rectas:
L1: 7 x + 8 Y - 2 9 = 0
L2:5X+11Y-26=0
y es perpendicular a la recta:
U N
I V E
R S
I D A D
D E
43
9) 5 x 2 - 4 y 2 - 2 0 x + 2 4 y + 2 0 = 0
10) 2 5 x 2 - 4 9 y 2 - 1 0 0 x + 2 9 4 y + 8 8 4 = 0
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF’s # 1
UNIDAD O TEMA: 1
TITULO: OPERACIONES ALGEBRAICAS
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Período
Se pueden aplicar operaciones algebraicas para analizar fenómenos relacionados con su
especialidad, como tarea de investigación busque aplicaciones prácticas de su carrera, para ello
consulte con especialistas de ramo.
.
CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo):
COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):
GRUPO (máximo cinco integrantes):
AP. PATERNO
AP. MATERNO
U N
I V E
R S
I D A D
NOMBRES
D E
44
A Q
U I N O
FIRMA
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF’s # 2
UNIDAD O TEMA: 2
TITULO: ECUACIONES Y PROBLEMAS DE ECUACIONES
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Segundo Período
Las ecuaciones, son herramientas matemáticas, que permite el análisis fenómenos relacionados con
su especialidad, como tarea de investigación busque aplicaciones prácticas de su carrera, para ello
consulte con especialistas de ramo
CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo):
COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):
GRUPO (máximo cinco integrantes):
AP. PATERNO
AP. MATERNO
U N
I V E
R S
I D A D
NOMBRES
D E
45
A Q
U I N O
FIRMA
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF’s # 3
UNIDAD O TEMA: 5
TITULO: APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN Segundo Período:
La trigonometría es una herramienta matemática, que permite el análisis fenómenos relacionados con
su especialidad, como tarea de investigación busque aplicaciones prácticas de su carrera, para ello
consulte con especialistas de ramo
CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo):
COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):
GRUPO (máximo cinco integrantes):
AP. PATERNO
AP. MATERNO
U N
I V E
R S
I D A D
NOMBRES
D E
46
A Q
U I N O
FIRMA
B O
L I V I A