UNIVERSIDAD DE ATACAMA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIVERSIDAD DE ATACAMA
FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
GUÍA 2: PROBABILIDAD
Plan Común de Ingenierı́a
1. En un torneo de baloncesto vacacional participan cuatro universidades: 1, 2, 3 y 4.
En la primera ronda, 1 jugará contra 2 y 3 contra 4. Los dos ganadores jugarán por
el campeonato, y los dos perdedores también jugarán. Un posible resultado se puede
representar por 1324 (1 le gana a 2 y 3 le gana a 4 en la primera ronda, y después 1
derrota a 3 y 2 le gana a 4).
a) Hada una lista de todos los resultados en S.
b) Sea A el evento en que 1 gana el torneo. Haga una lista de los resultados en A.
c) Sea B el evento en que 2 llega a la final. Haga una lista de los eventos en B.
d ) ¿Cuáles son los resultados en A ∪ B y en A ∩ B? ¿Cuáles son los resultados en
A0 ?
2. Una compañı́a de fondo mutualista ofrece a sus clientes varios fondos diferentes: uno de
mercado de dinero, tres fondos diferentes de bonos (a corto, mediano y largo plazos),
dos de acciones (riesgo moderado y alto) y uno balanceado. Entre los clientes que
poseen acciones en uno solo de los fondos, los porcentajes de clientes en los diferentes
fondos son los siguientes:
Mercado de dinero
20 %
Bono a corto plazo
15 %
Bono a mediano plazo 10 %
Bono a largo plazo
5%
Acciones de alto riesgo
Acciones de riesgo moderado
Fondo balanceado
18 %
25 %
7%
Se selecciona al azar un cliente que tenga acciones en sólo uno de los fondos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente tenga acciones en el fondo balanceado?
R: 0,07
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente tenga acciones en un fondo de bonos?
R: 0,30
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA: GUÍA 2
1
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente no tenga acciones en un fondo de acciones?
R: 0,57
3. Se selecciona al azar un alumno de cierta universidad y señalamos como A el evento
en que el individuo seleccionado tiene una tarjeta de crédito Visa y como B el evento
análogo para una MasterCard. Supongamos que P (A) = 0,5, P (B) = 0,4 y P (A∩B) =
0,25.
a) Calcule la probabilidad de que el individuo seleccionado tenga al menos una de
las dos tarjetas; esto es, la probabilidad del evento A ∪ B.
R: 0,65
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo seleccionado no tenga ninguna de
esas tarjetas?
R: 0,35
c) Describa, en términos de A y B, el evento en que el alumno seleccionado tenga una
tarjeta Visa, pero no una MasterCard, y a continuación calcule la probabilidad
del evento.
R: 0,25
4. Una empresa de consultorı́a de computadoras ha licitado en tres proyectos. Supongamos
que A1 = {proyecto iotorgado}, para i = 1, 2, 3, y P (A1 ) = 0,22, P (A2 ) = 0,25 y
P (A3 ) = 0,28, P (A1 ∩ A2 ) = 0,11, P (A1 ∩ A3 ) = 0,05, P (A2 ∩ A3 ) = 0,07, P (A1 ∩
A2 ∩ A3 ) = 0,01. Exprese verbalmente cada uno de los siguientes eventos y calcule la
probabilidad.
a) A1 ∪ A2 .
R: 0,36
b)
A01
∩
A02 .
0
Sugerencia: (A1 ∪ A2 ) =
A01
∩
A02 .
R: 0,64
c) A1 ∪ A2 ∪ A3 .
R: 0,53
d)
A01
e)
A01
∩
A02
∩
A02
∩
A03 .
R: 0,47
∩ A3 .
R: 0,17
f ) (A01 ∩ A02 ) ∪ A3 .
R: 0,75
5. El evento A es que el siguiente libro que salga de una biblioteca pública será de no
ficción y B de ficción. Supongamos que P (A) = 0,35 y P (B) = 0,50.
a) ¿Por qué no es posible que P (A) + P (B) = 1?
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA: GUÍA 2
2
b) Calcule P (A0 ).
R: 0,65
c) Calcule P (A ∪ B).
R: 0,85
d ) Calcule P (A0 ∩ B 0 ).
R: 0,15
6. Una gran empresa ofrece a sus empleados dos planes de seguro contra enfermedades
y dos planes de seguro dental. El plan 1 de ambos tipos es relativamente barato pero
limita la elección de doctores, mientras que el plan 2 es más caro, pero más flexible. La
tabla siguiente muestra los porcentaje de los empleados que han elegido los diversos
planes:
Plan médico
1
2
Plan dental
1
2
25 % 16 %
22 % 37 %
Suponga que se selecciona al azar un empleado para determinar qué plan médico y
dental seleccionó.
a) ¿Cuáles son los cuatro eventos posibles?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado haya elegido el plan más
restringido de cada clase?.
R: 0,25
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado haya elegido el plan dental más
flexible?
R: 0,53
7. Una compañı́a de seguros ofrece cuatro niveles diferentes de deducible: ninguno, bajo,
medio y alto para sus asegurados propietarios de casa; y tres niveles diferentes, bajo,
medio y alto para asegurados propietarios de automóvil. La tabla siguiente muestra
las proporciones para las diversas categorı́as de asegurados que tienen ambos tipos de
seguro. Por ejemplo, la proporción de individuos con casa habitación y deducible bajo
y con automóvil y deducible bajo es 0,06(6 %).
Propietario de casa
Auto
N
L
M
H
L
0,04 0,06 0,05 0,03
M
0,07 0,10 0,20 0,10
H
0,02 0,03 0,15 0,15
Suponga que un individuo seleccionado al azar tiene ambos tipos de pólizas.
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA: GUÍA 2
3
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo un deducible medio de automóvil?¿un
deducible alto de casa habitación?
R: 0,10
b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un deducible bajo de automóvil? y ¿un
deducible bajo de casa habitación?
R: 0,18, 0,19
c) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga la misma categorı́a de deducible de automóvil y de cada habitación?
R: 0,41
d ) Basándonos en las respuestas del inciso (c), ¿cuál es la probabilidad de que las
dos categorı́as sean diferentes?
R: 0,59
e) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga, al menos, un nivel bajo de deducible?
R: 0,31
f ) Según la respuesta del inciso (e), ¿cuál es la probabilidad de que ningún nivel de
deducible sea bajo?
R: 0,69
8. El consejo de estudiantes de ingenierı́a de cierta universidad tiene un representante en
cada una de las cinco ramas principales de ingenierı́a (civil, eléctrica, industrial, de
materiales y mecánica). ¿En cuántas formas se puede:
a) seleccionar presidente y vicepresidente del consejo?
R: 20
b) seleccionar un presidente, vicepresidente y secretario?
R: 60
c) seleccionar dos miembros para el consejo del presidente?
R: 10
9. Una planta de producción emplea a 20 trabajadores en el turno de dı́a, 15 en el segundo
turno y 10 en el de la noche. Un consultor de control de calidad selecciona 6 de estos
trabajadores para hacerles una entrevista a fondo. Supongamos que la selección se hace
en tal forma que cualquier grupo de 6 trabajadores tiene la misma probabilidad de ser
seleccionado, del mismo modo que cualquier otro grupo (seleccionar 6 sin sustitución,
de entre 45).
a) ¿De cuántas maneras se puede seleccionar 6 trabajadores que provengan del turno
de dı́a?¿Cuál es la probabilidad de que los 6 trabajadores seleccionados sean del
turno de dı́a?
R: 38.760, 0,048
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 6 trabajadores seleccionados sean del mismo
turno?
R: 0,0054
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA: GUÍA 2
4
c) ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, dos turnos diferentes sean representados
entre los trabajadores seleccionados?
R: 0,9946
10. En cierta bodega, una caja contiene cuatro focos de 40W , cinco de 60W y seis 75W .
Suponga que se selecciona al azar tres focos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de los focos seleccionados sean
de 75W ?
R: 0,2967
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres focos seleccionados tengan la misma
probabilidad?
R: 0,0747
c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un foco de cada potencia?
R: 0,2637
d ) Ahora suponga que se deben seleccionar los focos, uno por uno, hasta encontrar
uno de 75W . ¿Cuál es la probabilidad de sacar seis focos cuando menos?
R: 0,0421
11. Cierto automóvil deportivo está equipado con transmisión automática o con transmisión manual, y se puede adquirir en uno de cuatro colores. Las probabilidades relevantes de las diversas combinaciones de tipo de transmisión y color son las siguientes:
Tipos de
transmisión
A
M
Blanco
0,15
0,15
Color
Azul Negro Rojo
0,10
0,10
0,10
0,05
0,15
0,20
A = {transmisión automática}, B = {negro}, C = {blanco}.
a) Calcule P (A), P (B) y P (A ∩ B).
R: 0,45, 0,25, 0,10
b) Calcule P (A|B) y P (B|A) y explique qué representa cada una de estas probabilidades.
R: 0,40, 0,2222
c) Calcule e interprete P (A|C) y P (A|C 0 ).
R: 0,50, 0,2143
12. En cierta gasolinera, 40 % de los clientes utilizan gasolina regular sin plomo (A1 ),
35 % gasolina extra sin plomo (A2 ) y 25 % gasolina premium sin plomo (A3 ). De los
clientes que consumen gasolina regular, sólo 30 % llenan sus tanques (evento B). De los
que consumen gasolina extra, 60 % llenan sus tanques, mientras que, de los que usan
premium, 50 % llenan sus tanques.
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA: GUÍA 2
5
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina extra sin plomo
y llene su tanque (A2 ∩ B)?
R: 0,21
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llene el tanque?
R: 0,455
c) Si el siguiente cliente llena el tanque, ¿cuál es la probabilidad de que pida gasolina
regular?, ¿extra? y ¿premium?
R: 0,264, 0,462, 0,274
13. En el ejercicio anterior, considere la siguiente información adicional sobre el uso de las
tarjetas de crédito:
70 % de los clientes que consumen gasolina regular y llenan sus tanques usan
tarjeta de crédito.
50 % de todos los clientes que consumen gasolina regular y no llenan su tanque
usan tarjeta de crédito.
60 % de todos los clientes que consumen gasolina extra y llenan su tanque usan
tarjeta de crédito.
50 % de todos los clientes que consumen gasolina extra y no llenan su tanque usan
tarjeta de crédito.
50 % de todos los clientes que consumen gasolina premium y llenan su tanque
usan tarjeta de crédito.
40 % de todos los clientes que consumen gasolina premium y no llenan su tanque
usan tarjeta de crédito.
Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos para el siguiente cliente
que llegue (un diagrama de árbol puede ser útil).
a) {extra, llena el tanque y usa tarjeta de crédito}.
R: 0,1260
b) {premium, no llena el tanque y usa tarjeta de crédito}.
R: 0,05
c) {premium, y usa tarjata de crédito}.
R: 0,1125
d ) {llena el tanque y usa tarjeta de crédito}.
R: 0,2725
e) {usa tarjeta de crédito}.
R: 0,5325
f ) Si el siguiente cliente usa tarjeta de crédito, ¿cuál es la probabilidad de que haya
pedido gasolina premium?
R: 0,2113
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA: GUÍA 2
6
14. Un ejecutivo de viaje de negocios debe rentar un automóvil en dos ciudades. Sea A el
evento donde al ejecutivo le ofrecen una afinación gratis en la primera ciudad y B el
evento similar en la segunda. Suponga que P (A) = 0,2, P (B) = 0,3 y que A y B son
eventos independientes.
a) Si al ejecutivo no se le ofrece afinación gratis en la primera cuidad, ¿cuál es la
probabilidad de que no se le ofrezca afinación gratis en la segunda? Explique sus
deducciones.
R: 0,7
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al ejecutivo se le ofrezca una afinación gratis al
menos en una de las dos ciudades?
R: 0,44
c) Si se le ofrece una afinación gratis en al menos una de las dos ciudades, ¿cuál es
la probabilidad de que esa oferta sólo sea en al primera ciudad?
R: 0,3182
15. Una costura hecha en una avión necesita 25 remaches. La costura tendrá que volver a
realizarse si cualquiera de los remaches está defectuoso. Suponga que los remaches están
defectuosos independientemente unos de otros, cada uno con la misma probabilidad.
a) Si 14 % de todas las costuras necesitan volver a efectuarse, ¿cuál es la probabilidad
de que un remache esté defectuoso?
R: 0,00601
b) ¿Qué tan pequeña debe ser la probabilidad de un remache defectuoso para asegurar que sólo 10 % de todas las costuras necesiten volver a ejecutarse?
R: 0.00421
16. Sesenta por ciento de todos los vehı́culos examinados en cierto centro de verificación
de emisiones pasa la prueba. Si se supone que vehı́culos sucesivos pasan o no pasan
independientemente uno de otro, calcule las siguientes probabilidades.
a) P (los siguientes tres vehı́culos pasan).
R: 0,216
b) P (al menos uno de los tres siguientes inspeccionados no pasan).
R: 0,784
c) P (exactanmente uno de los tres siguientes inspeccionados pasan).
R: 0,288
d ) P (a lo sumo, uno de los tres vehı́culos inspeccionados pasan).
R: 0,352
e) Dado que al menos uno de los tres vehı́culos pasan la verificación, ¿cuál es la
probabilidad de que los tres pasen (una probabilidad condicional)?
R: 0,231
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA: GUÍA 2
7