Difusión Enfoque atomístico

Difusión
Enfoque
Fenomenológico
2da ley de Fick
Ma. Eugenia Noguez Amaya
Objetivos
• Las transformaciones de fase como procesos no estables que
dependen del tiempo
• Modelos cinéticos de difusión
• 2da Ley de Fick (PDE)
• Funciones de 2 variables como solución de la 2da Ley de Fick
• Graficas 3D
• Curvas de nivel
• Secciones
• Series de Taylor
• Función Error
Difusión en estado no
estacionario
• A pesar que la 1era ley de Fick sirve para modelar sistemas en
estado estable, tiene la complicación de tener que medir el
flux 𝐽 lo cual es muy complicado
• Por otra parte las transformaciones de fase no ocurren en
estado estable, ya que bajo las condiciones adecuadas
comienza la transformación hasta que todo el material se
transforma por completo, las transformaciones de fase
dependen del tiempo y se requiere tener información sobre la
cinética
Fusión de una
esfera de metal
Modelo Estadístico estado no
estable (Enfoque atomístico)
• De acuerdo al modelo estadístico posición de un átomo dentro de un
material se puede obtener a partir de sumar los saltos individuales 𝑟𝑖
𝑛
𝑅=
𝑟𝑖
𝑖=0
• Se pude realizar un modelo siguiendo la trayectoria de cada átomo en
el material
• Seria importante saber la distancia hasta donde puede llegar un
átomo por difusión para poder delimitar la zona a modelar
• Además se podría saber hasta donde han ocurrido transformaciones
de fase
𝑅 = 6𝐷𝑡
Dificultades con el modelo
estadístico
• El modelo estadístico da información cinética átomo por
átomo (enfoque atomístico), con lo cual se vuelve muy difícil
modelar un sistema
• La distancia de desplazamiento 𝑅 no se puede asociar
directamente con la transformación.
• Se requiere modelar todos los átomos y calcular la
concentración para saber si la transformación ya se llevo a
cabo o no.
2da Ley de Fick
• La 2da Ley de Fick es una PDE que permite modelar sistemas con
estado no estacionario
• Se puede escribir en términos del Flux o de la concentración
utilizando la 1era ley de Fick
𝜕
𝜕
𝐶 𝑥, 𝑡 = − 𝐽 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕
𝜕
𝜕
𝐶 𝑥, 𝑡 =
𝐷 𝐶 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕2
= 𝐷 2 𝐶 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥
• Al resolver la 2da Ley de Fick se obtiene una función de 2 variables
independientes
• 𝐶 𝑥, 𝑡
2da Ley de Fick
• Para el caso mas general donde tanto el flux 𝐽 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 como la
concentración 𝐶 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 dependen de la posición (𝑥, 𝑦, 𝑧) como
del tiempo 𝑡 se utiliza la notación vectorial para representar la
segunda ley de Fick
𝜕
𝐶 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = −𝛻 ∙ 𝐽 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
𝜕𝑡
• Sustituyendo la 1era Ley de Fick
𝜕
𝐶 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝛻 ∙ 𝐷 𝛻𝐶 𝑥, , 𝑦, 𝑧, 𝑡
𝜕𝑡
Conclusiones importantes de la
2da ley de Fick
• La 2da ley de Fick si da información cinética de las transformaciones
de fase ya que relaciona a 𝐶 𝑥, 𝑡 con el tiempo 𝑡 y además con la
posición 𝑥
• La 2da ley de Fick es solo una PDE a diferencia de la 1era ley de Fick
que eran 3 ecuaciones
𝜕
• La 2 ley de Fick tiene 3 derivadas parciales; dos del tipo y una del
𝜕𝑥
𝜕
tipo .
𝜕𝑡
• Obtener una solución se requiere de 1 condición inicial para la
𝜕
𝜕
derivada y 2 condiciones de frontera una para cada derivada
𝜕𝑡
𝜕𝑥
• Por la forma en que se deduce la 2da ley de Fick toda la información
atomística de la difusión queda contenida en 𝐷 y se supone que el
material es un medio continuo (Sin defectos cristalinos ni bordes de
grano)
• Resolver analíticamente la 2da Ley de Fick que es una PDE requiere
conocimientos avanzados de matemáticas no se realizaran en este
curso, sin embargo si se hará uso de las soluciones.
Graficas de funciones de dos
variables 𝑓(𝑥, 𝑦)
• Las graficas de funciones de
dos variables del tipo 𝑓 𝑥, 𝑦
requieren 3 ejes coordenados
𝑥 , 𝑦, 𝑓
• Debido a que la lectura e
interpretación de graficas con
3 ejes (3D) resulta muy
complicado se utilizan 2 tipos
de graficas (2D)
3
2
1
0
-1
-2
-3
1
2
0
1
3
2
4
3
5
4
y
5
6
6
x
f(x,y)
• Curvas de Nivel
• Secciones
f(x,y)= sen(x)+cos(y)
Graficas de funciones de dos
variables 𝑓(𝑥, 𝑦)
• Las curvas de nivel son las gráficas mas usadas ya que tienen
como ejes a las variables independientes
• 𝑦 vs 𝑥
Curvas de nivel
f(x,y)=sen(x)+cos()
f(x,y)=sen(x)+cos(y)
0.0
0.0
6
1.0
3
0.5
Y Data
f(x,y)
2
-1.0
-1.5
-1.5
0.0
3
0
-1.5
-1.0
0.0
-1
-0.5
-1
-1.0
-2
-0.5
0
-2
-1.5
2
-3
1
3
2
4
3
5
1.0
0.5
-3
1-0.5
-1.0
-0.5
2
1
3
2
1.0
1.5
1.5
4
3
6
6
0.0
0
1
5
4
y
x
0.5
0.0
1
2
y
0
0
1
f(x,y)
0
-0.5 -1.0
0.0
1
-0.5 3
-1.0
0.5
4 -0.5
0.0
-0.5
0.0
1.0
0.0
0.5
1.5
1.5
5
2
1.0
0.5
f(x,y)= sen(x)+cos(y)
1.0
1
2
1.0
4
0.5
0.5
5
5
6
3
X Data
6
4
0.0
x
1.0
0.0
5
6
Graficas de funciones de dos
variables 𝑓(𝑥, 𝑦)
f(x,y)= sen(x)+cos(y)
3
2
1
0
f(x,y)
• Hay dos secciones
-1
• 𝑓 vs 𝑥
• 𝑓 vs 𝑦
-2
-3
1
2
0
1
3
2
4
3
5
4
y
f(x,y)=sen(x)+cos(y)
x
5
6
6
f(x,y)=sen(x)+cos(y)
3
3
2
2
1
f(x,y)
f(x,y)
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
y
x=0
x=1.55
x=2.325
x=3.875
2
3
x
y=0
y=0.775
y=1.55
y=3.1
4
5
6
7
Series de Taylor
• Una serie de Taylor es la representación de una función en
forma de polinomio usando una serie infinita y las derivadas
de la función
• Donde ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑎
∞
∆𝑥 𝑛 𝑑 𝑛
𝑓 𝑎 + ∆𝑥 =
𝑓 𝑎
𝑛! 𝑑𝑥 𝑛
𝑖=0
• Aproximación para 𝑛=1
• 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 = 𝑓 𝑥 +
𝑑
𝑓
𝑑𝑥
𝑥 ∙ ∆𝑥
• Se desarrolla la serie alrededor de un punto 𝑥 y los demás
valores son aproximados, mientras mas lejos del punto 𝑥 la
aproximación requiere mas términos de la serie
Series de Taylor
• Ejemplo
• 𝑓 𝑥 = sen 𝑥
• Tomando 𝑎 = 0
∞
sen 𝑥 =
𝑛=0
−1 𝑛 2𝑛+1 𝑥 𝑥 3 𝑥 5 𝑥 7
𝑥
= − + − +⋯
2𝑛 + 1 !
1! 3! 5! 7!
sen (x)
1.50
1.00
sen (x)
sen (x)
0.50
-6.5
n=0
0.00
-1.5
-0.50
3.5
n=2
n=3
-1.00
-1.50
n=1
x
Funcion error erf(𝑥)
• En las soluciones de la 2da ley de Fick aparece la función error
que esta definida de la siguiente forma
2 𝑥 −𝑡 2
erf 𝑥 =
𝑒 𝑑𝑡
𝜋 0
• Nótese que la integral no se puede resolver de forma analítica
y que la variable independiente 𝑥 se encuentra en el limite
superior de la integral
• Para evaluar algún valor de la función error se puede ocupar
su serie de Taylor alrededor de 0
2
erf 𝑥 =
𝜋
∞
𝑛=0
−1 𝑛 𝑥 2𝑛+1
𝑛! 2𝑛 + 1
2
𝑥1
𝑥3
𝑥5
𝑥7
𝑥9
=
−
+
−
+
+⋯
𝜋 0! ∙ 1 1! ∙ 3 2! ∙ 5 3! ∙ 7 4! ∙ 9
Funcion error erf(𝑥)
• Dominio −∞ < 𝑥 < +∞ , Rango −1 < 𝑦 < 1
• La grafica de la función error es la siguiente
erf(x)
1.00
0.80
0.60
0.40
erf(x)
0.20
-4.00
0.00
-3.00
-2.00
-1.00
-0.20
0.00
-0.40
-0.60
-0.80
-1.00
x
1.00
2.00
3.00
4.00
Funcion error erf(𝑥)
• Propiedad función impar
• erf −𝑥 = − erf(𝑥)
• Limites importantes
• lim erf 𝑥 = 1
𝑥→+∞
• lim erf 𝑥 = −1
𝑥→−∞
• Derivada
•
𝑑
erf
𝑑𝑥
𝑥 =
2 −𝑥 2
𝑒
𝜋
• Integral
•
erf 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 erf 𝑥 +
1 −𝑥 2
𝑒
𝜋
+𝑐
Resumen
• Cinética de las transformaciones de fase como proceso en
estado no estacionario
• Modelo estadístico para estado no estacionario;
interpretación atomística y limitaciones
• Series de Taylor; definición y usos
• 2da Ley de Fick; deducción, expresión en 1D, expresión en 3D,
limitaciones, PDE y tipo de solución 𝐶 𝑥, 𝑡
• Graficas para funciones de 2 variables 𝑓 𝑥, 𝑦 ; esquema 3D,
curvas de nivel (𝑦 vs 𝑥), secciones (𝑓 vs 𝑥) y (𝑓 vs 𝑦)
• Función error erf(𝑥); definición, serie de Taylor, grafica,
propiedad de función impar, limites importantes, derivada e
integral
Actividad 6
• La 2da Ley de Fick se puede resolver analíticamente utilizando
la transformada de Laplace y aplicando la condición inicial.
Como resultado se tiene una ecuación del tipo
• 𝐶 𝑥, 𝑡 = 𝐴 + 𝐵 erf
𝑥
2 𝐷𝑡
• Donde 𝐴 y 𝐵 son constantes de integración que para conocer
su valor se necesitan aplicar 2 condiciones de frontera
• Comprobar que se cumple la 2da Ley de Fick obteniendo los
𝜕2
𝜕
términos 2 𝐶 𝑥, 𝑡 y 𝐶 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥
•
𝜕
𝐶
𝜕𝑡
𝑥, 𝑡 =
𝜕𝑡
𝜕2
𝐷 2𝐶
𝜕𝑥
𝑥, 𝑡
• Encontrar la expresión del flux
• 𝐽𝑥 = −𝐷
𝜕𝐶
𝜕𝑥
Actividad 6
• En una hoja de Calculo obtener una tabla de valores para la función
error de −2 a 2 en intervalos de 0.01
• 𝜃 = erf(𝛽)
• Graficar la función error de −2 a 2 en intervalos de 0.01 y su serie
de Taylor tomando 𝑛 = 0,1, 2 𝑦 3
• erf 𝑥 =
2 𝑥 −𝑡 2
𝑒 𝑑𝑡
𝜋 0
• erf 𝑥 =
2
𝑥1
𝑥3
− 1!∙3
𝜋 0!∙1
=
2
𝜋
+
𝑥5
2!∙5
−1 𝑛 𝑥 2𝑛+1
∞
𝑛=0 𝑛! 2𝑛+1
−
𝑥7
3!∙7
+
𝑥9
4!∙9
+⋯
• Opcional
• Utilizar la herramienta buscar objetivo de Excel para completar la
siguiente tabla con exactitud de 6 cifras decimales
β
θ = erf (β)
0.500001
-0.999990
0.755555
Objetivos Actividad 6 Excel
• Obtener una tabla de valores para evaluar la función error
• Entender el uso de las series de Taylor para evaluar funciones
transcendentales
• Uso de la herramienta Buscar Objetivo