 xLnxdx

TALLER DE CÁLCULO PARA ADMINISTRADORES
(MA-43)
CICLO 2006-I
Semana 11
Tutor: Lucho Canales
I. Calcula
1.

4.

7.
x2
dx
3x  2
2.

x 2 e 3 x dx
5.

3
1
0
1
3

3/ 2
k
e 2
3
1
10
0
( 2 x  1) dx 
x5
dx
3x  2
( 20  t ) e  0,1t dt
3.

6.

e2
e
e
1
dx
x Lnx
xLnxdx
3
4
Determina el valor de k
II. Plantee la(s) integral(es) que determinan el área de la región encerrada por las gráficas de las
funciones
a. Encontrar el área de la región limitada por las curvas: y = - x2 + 4; y = x + 2; y = 0.
g ( x)  1
x
b. Determine el área de la región limitada por las gráficas de: f ( x)  2 x ,
y
h( x )  x
4
c.
Determine el área de la región limitada por las gráficas de:
d.
g ( x)  x3  x
f ( x)  2 x , g ( x)  ( x  4) 2 y el eje X
f ( x)  x 2  x ,
III. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
1.xdy  2 ydx  ( x x  x)dx 2. x dy  2 y  xe x
dx
3
Si
y (1)  1
3.
-x 2
dy
 x  e 2  xy
dx
4. y´ e
Si y (0)=-1
IV. Problemas
1. En el siguiente modelo, “D” es la deuda nacional, “y” es el ingreso nacional:
dy
dD y (t )
 0,2 y (t ) ; y (0) = 2500; D(0) = 1 000

 30 ;
dt
dt
2
a. Resuelva el modelo
b. ¿Qué sucede a largo plazo con el cociente?
D (t )
Y (t )
2. Suponga que el precio p(t) de determinado artículo varía de modo que su razón de cambio con
respecto al tiempo es proporcional a la escasez D – S, donde D y S son las funciones de
demanda y oferta respectivamente. D(p) = 8 – 2p y S(p) = 2 + p.
a. Si el precio es $5 cuando t = 0 y $3 cuando t = 2, halle p (t)
5y
x3
b. En el largo plazo ¿a qué valor tiende p (t)?
3. Una pequeña ciudad decide efectuar una colecta para comprar un camión recolector de
basura que cuesta $ 70 000. La cantidad inicial en la colecta es de $ 10 000. Con base en
colectas anteriores, se determinó que t meses después del inicio de la colecta, la razón
dx / dt con que se recibe el dinero es proporcional a la diferencia entre la cantidad deseada de $
70 000 y la cantidad total x en caja en ese tiempo. Después de 1 mes se tiene $ 40 000. ¿Cuánto
se tendrá después de 3 meses.
4. Suponga que cuando una maquina tiene “t” años genera ingresos a razón de
R(t)  725018t2 dólares al año y que los costos de operación y de mantenimiento relacionados
con la maquina se acumulan a razón de C(t)  326012t2 dólares al año.
a. ¿Cuántos años transcurren antes que la rentabilidad de la máquina comience a
disminuir?
b. Calcule las ganancias netas generadas por la maquina durante el tiempo obtenido
en la pregunta anterior.
c. Trace las curvas de la tasa de Ingreso R´(t) y de la tasa o razón de costos C´(t), y
sombree la región cuya área representa las ganancias netas calculadas en la parte
(b)
5. Suponga que cuando una maquina tiene “t” años genera ingresos a razón de
R(t )  5000 20t 2 dólares al año y que los costos de operación y de mantenimiento relacionados
con la maquina se acumulan a razón de C(t )  2000 10t 2 dólares al año.
a. ¿Cuántos años transcurren antes que la rentabilidad de la máquina comience a
disminuir?
b. Calcule las ganancias netas generadas por la máquina durante el periodo
determinado en el literal a)
6.Suponga que se demandan q unidades de cierto artículo en el mercado (es decir, se venden)
cuando el precio es p  D(q)  16  3 dólares la unidad y que los fabricantes ofrecen el mismo
q2
1
número de unidades cuando el precio es p  S (q )  (q  1). Calcule el excedente de los
3
productores y consumidores cuando hay equilibrio en el mercado
7. A continuación se muestran valores para la demanda (D) y la oferta (S) de un bien en función
del precio “p” del mismo:
p
D(p)
S(p)
1
7
2,5
6
2
5
Si tanto la demanda como la oferta varían linealmente con el precio y se sabe que el precio
varía de modo que su razón de cambio (respecto al tiempo) es proporcional a la escasez D(p) –
S(p):
a. ¿Para que valores del precio existe escasez?
b. Proporcione la expresión matemática del precio en función del tiempo
8. Las funciones oferta y demanda de cierto producto está dadas por S(q) = 52 + 2q y D(q) =
100 – q2 respectivamente,
a. Determine el excedente de los productores cuando hay equilibrio en el mercado.
b. Esboce las gráficas de ambas funciones en el mismo eje de coordenadas sombree
la región correspondiente al valor obtenido en a.