PARTE VERDADERO O FALSO. De las afirmaciones

PARTE VERDADERO O FALSO.
De las afirmaciones siguientes usted deberá decir si cada una de las mismas es verdadera o falsa.
Respuesta correcta
Respuesta incorrecta
No responde
1. Sea un sistema lineal Ax = b donde A es una matriz
4 × 4 de rango 3 , entonces existen vectores b tales
que el sistema de ecuaciones Ax = b es compatible
determinado.
= 1 punto.
= -1 punto.
= 0 puntos.
9. Existe un único plano que contiene a dos rectas que
se cruzan.
10. Sea A una matriz n × n. Si det(A) = 1 entonces
det(−A) = det(A).
2. Si M es una matriz n × n de rango n − 2, entonces
el sistema M x = b es incompatible para todo b.
11. Sea un sistema ortonormal de coordenadas
dado.Sean el plano π que pasa por el punto
P = (1, 1, 1) y tiene vector normal N = (0, −1, 0);
y la recta r que pasa por los puntos A = (3, 2, 1) y
B = (2, 0, −1). Entonces r no corta a π.
3. Si A es una matriz cuadrada con det(A) = 0, entonces el sistema Ax = b solo puede ser incompatible
o compatible indeterminado (dependiendo de b).
4. Si un sistema de ecuaciones Ax = b es compatible
determinado, entonces el sistema homogeneo Ax = 0
tambien lo es.
12. Sea un sistema ortonormal de coordenadas dado.
Sean los planos π : 2x + 3y − z + 5 = 0, y π 0 que
pasa por los puntos (0, 0, 0), (2, 0, 4), (1, −1, −1). Entonces π y π 0 son paralelos.
5. Si M es una matriz real con 3 filas y 5 columnas, el
espacio de filas es un subconjunto de R3 .
6. Sea A una matriz 5 × 4 sin columnas nulas. Si el
sistema de ecuaciones Ax = b es compatible indeterminado con 2 grados de libertad, entonces el rango
de A es 2.
13. Si el rango de una matriz Am×n es m el sistema
AX = b es compatible determinado ∀ b.
14. Si el rango de una matriz Am×n es m el sistema
homogéneo AX = 0 es compatible determinado.
7. Sea {v1 , v2 , v3 , v4 } ⊂ R4 un conjunto L.I. Entonces
{v1 + v4 , v2 + v4 , v3 + v4 } es un conjunto L.I.
15. Considere el sistema lineal formado por las cuatro
ecuaciones que determinan a dos rectas. Si las rectas se cortan, el rango de la matriz del sistema es
tres.
8. Sea un sistema ortonormal de coordenadas dado.
Sean r recta que pasa por el punto P = (0, 0, 2)
y tiene vector director v = (1, 3, 0), r0 la recta que
pasa por el punto Q = (8, 4, 0) y tiene vector director u = (3, −1, −1). Entonces r es perpendicular al
eje Oz y corta al eje Oz, y es perpendicular a r0 y
tambien corta a r0 .
4
16. Sea A = {v1 , vS
2 , v3 } ⊂ R un conjunto L.I. Entonces
el conjunto A {v} es L.I. para cualquier v ∈ R4 .
no .parcial
1
Apellido, Nombre
Firma
PARTE MULTIPLE OPCION
De los siguientes ejercicios con cuatro opciones solo una de las mismas es correcta.
Respuesta correcta
Respuesta incorrecta
No responde
1. Se considera el siguiente enunciado:
= 4 puntos.
= -1.5 puntos.
= 0 puntos.
(d) Las dos rectas se cortan.
4. Sea A = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, a, 2), (1, b, 1, 2), (1, 1, c, 1)}
subconjunto de R4 . Entonces el rango de A es tres
si:
Si A y B son matrices nxn entonces
det(AB) = det(BA)
Indique cual de las siguientes opciones es la correcta.
(a) El enunciado es verdadero y una demostración
correcta es la siguiente: Por ser ambas matrices cuadradas nxn, se cumple que AB = BA.
Luego se tiene que det(AB) = det(BA).
(a) a = 1, c = 1 ,b cualquiera
(b) a 6= 1, b = 1, c cualquiera
(c) c 6= 1, b 6= 1, a cualquiera
(d) a = b = c = 1.
(b) El enunciado es verdadero y una demostracion
correcta es la siguiente: Como AB − BA =
A(B − B) = O, se tiene que det(AB − BA) =
det(O) = 0. Y como det(AB − BA) =
det(AB) − det(BA), se deduce que det(AB) −
det(BA) = 0, de donde det(AB) = det(BA).
5. Sea un sistema ortonormal de coordenadas dado.
Sea el plano π que pasa por el punto P = (−1, 0, 1)
y tiene vector normal N = (1, 2, 2), y el punto
Q = (0, 1, 1), entonces la distancia del punto Q al
plano π, d(Q, π) vale :
(c) El enunciado es verdero y una demostración
es la siguiente: det(AB) = det(A)det(B) =
det(B)det(A) = det(BA).
(a) 0
(b) 1
(d) El enunciado es falso.

x + 5y +4z + 3w =
1



−x − y
+w = −1
2. Sea el sistema
3x + 9y +6z + 6w =
4



2x + 8y +6z + 7w =
4
Sea A la matriz de coeficientes. Entonces
(c) 3
(d) 2
µ 1 0 2 −1 ¶
2 1
6. Sean A y B la matrices A = 13 −1
y B =
−1 6 −1
0 −1 3 4
µ1 2¶
12
y consideramos los conjuntos
36
(a) El sistema es incompatible porque det(A) = 0
03
(b) El sistema es compatible determinado.
X = {b/ el sistemaAx = b es compatible}
Y = {b/ el sistemaBx = b es compatible}.
(c) El sistema es compatible indeterminado.
(d) Ninguna de las opciones es verdadera.
Indique cual de las opciones es correcta:
3. Sean r la recta que pasa por el punto P = (1, 1, 0)
y tiene vector director v = (1, 1, 1); r0 la recta que
pasa por los puntos A = (3, 4, 3), B = (2, 2, 1).
(a) Se cumple X = Y .
(b) Se cumple X ⊂ Y .
Indicar la opción correcta:
(a) Son la misma recta.
(c) Se cumple Y ⊂ X.
(b) Son rectas paralelas pero no son la misma recta.
(d) No existe realción entre los conjuntos X e Y .
(c) Las dos rectas se cruzan sin cortarse.
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