Cálculo Infinitesimal: grupo piloto Tema 8: Integral de

Cálculo Infinitesimal: grupo piloto
Curso 2006/07
Tema 8: Integral de Riemann.
A. Objetivos. Al finalizar el tema, los estudiantes deberán ser capaces de:
• Entender las definiciones de sumas superiores e inferiores.
• Entender el criterio de integrabilidad de Riemann.
• Determinar si una función es integrable.
• Aplicar las propiedades de las integrales definidas, el teorema fundamental del cálculo
y sus consecuencias.
• Evaluar integrales impropias.
• Determinar el carácter de una integral impropia.
B. Contenidos.
Construción y definición de la integral Riemann. Propiedades de la integral definida.
Teorema fundamental del Cálculo Infinitesimal. Cálculo de integrales definidas.
Integrales impropias de primera especie. Integrales impropias de de segunda especie.
Integral de función no acotada en intervalo no acotado.
C. Trabajo personal del alumno.
• Estudio del capítulo 12 del libro Teoría y problemas de Análisis Matemático en una
variable. Alfonsa García y otros. Ed. Clagsa salvo la sección 4.
• Comprensión de los siguientes problemas resueltos del capítulo 12: 1, 2, 5, 17 y 22.
• Estudio de las secciones 1,2 y 3 del capítulo 18.
• Comprensión de los siguientes problemas resueltos del capítulo 18: 1, 2, 3, 4 y 5.
• Evaluación continua. Se deben entregar resueltos los siguientes problemas:
ƒ 2, 4, 8 apartado b) y 9 apartado b).
D. Problemas
1. Probar que
∫
1
0
e − nx
π
dx ≤
para todo n natural.
2
x +1
4
4
2. Sea la función
⎧⎪2 si x ∈ [1, 2]
f ( x) = ⎨
⎪⎩1 si x ∈ ( 2,3]
entonces, la función F ( x ) =
∫
x
f ( t ) dt es continua en [1,3] y derivable en (1,3) .
1
3. Sea F ( x) =
∫
x
0
t ⋅ E (t )dt , donde E ( t ) = [t ] = parte entera de t . Se pide:
a) ¿Es F (x ) continua en el intervalo [0,3] ?
Integral de Riemann
Grupo piloto
b) ¿Es F (x ) derivable en el intervalo (0,3) ?.
c) Determinar F ( x ) en forma no integral.
∫
4. Estudiar si x = 0 es el máximo de la función F ( x ) =
∫
5. Calcular lim
x
−1
t 5et dt
x ∈ [ −1,1] .
x2
sen t 3 dt
0
x 6 Ln (1 + x 2 )
x →0
6. Calcular:
∫
a)
3
x ⋅ Ln x dx
b)
1
∫
π 3
1
dx
cos x
π 6
7. Calcular, si existen, las siguientes integrales:
1.
∫
∞
e
−7 x
dx
2.
3
∫
∞
7x
e dx
∫
3.
5
∞
sen x ⋅ cos x dx
0
8. Estudiar la convergencia o divergencia de las integrales:
c)
∫
∞
0
dx
2x
e + 3x + 5
d)
∫
∞
2
x3 + 1
dx
x5 − 7
9. Estudiar la convergencia o divergencia de las integrales siguientes:
a)
∫
3
0
5x + 1
dx
9 − x2
b)
∫
5
2
dx
x 4 − 16
dx
E. Derive
Práctica 8: Integración y aplicaciones de la integral.
F. Autoevaluación
Integral de Riemann.
Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
1.
f continua en [ a, b ] ⇒ f integrable en [ a, b ]
V
F
2.
f derivable en [ a, b ] ⇒ f integrable en [ a, b ]
V
F
3.
f integrable en [ a, b ] ⇒ f continua en [ a, b ]
V
F
4.
f integrable en [ a, b ] ⇒ f integrable en [ a, b ]
V
F
5.
f acotada en [ a, b ] y P partición de [ a, b ] ⇒ L( f , P) ≤ U ( f , P )
V
F
V
F
6. Si f continua en [ a, b ] ⇒ F ( x) = ∫ f (t )dt es derivable en [ a, b ]
x
a
2
Integral de Riemann
Grupo piloto
7. Si f integrable en [ a, b ] ⇒ F ( x) = ∫ f (t )dt es derivable en [ a, b ]
V
F
8. Si f integrable en [ a, b ] ⇒ F ( x) = ∫ f (t )dt es continua en [ a, b ]
V
F
V
F
(ax 3 + bx 2 + cx)dx = 2 ∫ bx 2 dx
V
F
11. La función [ x ] no es integrable en [ 0, 2]
V
F
V
F
V
F
V
F
x
a
x
a
3
3
⎛ cos x dt ⎞
⎛ cos x dt ⎞
9. F ( x) = ⎜ ∫
⇒ F '( x) =
⎟
⎜∫
2
2
2 ⎟
⎝ a 1+ t ⎠
1 + ( cos x ) ⎝ a 1 + t ⎠
10.
∫
3
−3
2
3
−3
12. La integral impropia
∫
+∞
∫
+∞
1
1
dx converge para p > 1 y diverge para
xp
p ≤ 1.
13. La integral impropia
1
14.
∫
+∞
−∞
ex
dx =
1 + e2 x
∫
dx
4 + 5x2
ex
dx +
2x
−∞ 1 + e
0
∫
+∞
0
es convergente.
ex
π
dx =
2x
1+ e
2
3