Parte I. Conjuntos difusos

LÓGICA DIFUSA
ESTALMAT CANTABRIA 2013 ‐ 2014 Lógica difusa con Geogebra Elena Álvarez Saiz ¿Qué figura se representa en las siguientes imágenes? ¿Se podría considerar un “poco” rectángulo o un “casi” círculo? Pensemos en las siguientes situaciones: ‐ Si una persona mide 1’80 metros, ¿es alta? ‐ ¿Qué cantidad de dinero hay que tener para considerar que una persona es rica? ‐
‐
¿Qué significa levantar el pie ligeramente del embrague? ¿Qué temperatura debe haber para definir la sensación de frío? “La lógica clásica es como quien va a una fiesta vestido con un traje negro, una camisa blanca almidonada, una corbata negra, zapatos lustrosos, etcétera. Y la lógica borrosa es un poco como quien va vestido informalmente con vaqueros, camiseta y zapatillas. En el pasado esta ropa informal no habría sido aceptable. Hoy es la otra manera que hay de vestir”. Zadeh, 1984 Parte I. Conjuntos difusos ¿Se pueden definir estos conceptos de forma “clásica”? Los conjuntos clásicos están definidos de tal forma que dividen al universo en dos grupos: los que con toda certeza pertenecen al conjunto (miembros) y los que no pertenecen (no miembros). Por ejemplo, en el conjunto de los números naturales, un conjunto clásico es el de los números pares. Dado cualquier número es posible saber si es par (pertenece al conjunto) o si no es par (no pertenece al conjunto). Sin embargo, en muchos casos resulta difícil determinar la pertenencia o no a un conjunto en cuanto que intervienen consideraciones subjetivas. En el conjunto de los hombres pequeños no puede determinarse un criterio que establezca un límite exacto entre pertenecientes y no pertenecientes al mismo. En estos casos se introduce la vaguedad y desaparece la frontera que divide a los miembros y no miembros de un conjunto. A estos conjuntos se les denomina difusos. Podrá pensarse que en conjuntos como el anterior, el problema reside en que no se ha establecido un criterio para determinar este conjunto. Asi, se puede decir que, por convenio, un hombre pequeño es aquel que no llega a medir los 140 cm de altura. PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014
1
LÓGICA DIFUSA
Sin embargo, si se pretende definir este conjunto de la forma “tradicional” veremos que razonamientos “tradicionales” podrian llevarnos a obtener resultados no adecuados. Por ejemplo, imaginemos una población de personas con la condición de que los haya de todas las tallas intermedias necesarias para realizar el siguiente argumento. Consideremos altura  A  una función que indica la talla en cms de la persona A. Consideremos las siguientes hipótesis: (1) Existe, por lo menos, un hombre pequeño. Llamemos a esa persona PEQ. (2) Para cada persona A se tiene que altura  A   300 (3) Si A es un hombre pequeño y altura B   altura(A) entonces B también es pequeño. Estas tres condiciones parecen perfectamente razonables a partir del acuerdo de que estamos dispuestos a aceptar la existencia de hombres a los que corresponde el adjetivo "pequeño". Añadamos además la siguiente regla: (4) Si A es pequeño y B verifica 0  altura B   altura  A   10 3 entonces B es pequeño. Esta regla se puede interpretar como que se considerará pequeño a todo aquel que, con una regla de medir alturas muy fina, no se distingue de otro que es pequeño. En estas condiciones vamos a ver que todos las personas del conjunto son pequeñas. En efecto, tomamos una persona cualquiera de este conjunto que llamaremos PER. Consideramos: p1 tal que alturap1   altura PEQ   10 3 p2 tal que alturap2   altura p1   10 3 ………………………………………………………………. pn tal que altura pn   altura pn1   10 3 siendo además pn una persona que cumple que alturaPER   altura pn  . Nótese que se llegará a un pn en estas condiciones en 103  alturaPER   altura PEQ   pasos. Aplicando la regla (4) se cumplirá que: 0  altura p1   altura PEQ   10 3  p1 es pequeño 0  altura p2   alturap1   10 3  p2 es pequeño ………………………………………………………………………. . 0  altura pn   altura pn1   10 3  pn es pequeño . Por tanto, PER también es pequeño ya que su altura es menor que la de pn y pn es pequeño. En la deducción anterior se ha utilizado únicamente el razonamiento directo o "modus ponens"1. En principio, se nos hace difícil tener que renunciar, en casos como el mostrado en el ejemplo, de esta regla de deducción tan clásica en Matemática. Por otra parte, el absurdo se produce por aplicación de la condición (4) ya que (1), (2) y (3) únicamente dan significado al concepto pequeño. 1
Modus Ponens.
Regla: Si A entonces B
Hecho: A es cierto
Conclusión: B es cierto
PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014
2
LÓGICA DIFUSA
Desde el punto de vista de la Lógica Clásica se podra decir entonces que lo válido es la negación de (4), es decir que existen dos personas A y B cumpliendo que A es pequeño y B no lo es verificando además que 0  altura  A   altura B   10 3 . Esta afirmación también contradice nuestra intuición. Conclusión.‐ Representando todo concepto por un conjunto clásico y efectuando la deducción por los métodos de la lógica tradicional no se obtienen modelos adecuados para la modelización de conceptos imprecisos. ¿Tiene sentido trabajar con estos conceptos? En numerosas actividades humanas, entre ellas el lenguaje, nos encontraremos siempre con elementos imprecisos. Cuando alguien está aprendiendo a conducir, en un determinado momento puede recibir una orden del instructor como ésta: levante ligera y lentamente el pie del embrague , pero nunca una como ésta: levante el pie 8º a una velocidad de 2º por segundo. Y, sin embargo, el hombre se comporta bien (aprende) con órdenes difusas como las del primer caso, mientras que sería difcil que lo hiciera con las del segundo tipo. ¿Qué es un conjunto difuso? Lofti Asker Zadeh2, matemático, ingeniero e informático nacido en febrero de 1921 fue la persona que introdujo en 1965 la idea de conjuntos difusos sobre la que se construye la lógica difusa. En el enlace http://www.youtube.com/watch?v=DUsHLhn2f‐8 puedes escuchar una entrevista con motivo de la concesión del premio Fundación BBVA Fronteras del conocimiento en la categoría de la Información y de la Comunicación. Mientras que en la teoría clásica se define la pertenencia de los distintos elementos a un conjunto haciéndoles corresponder el valor 1 si pertenecen y cero si no, Zadeh introduce la idea de definir una función que asocie el grado de pertencia al conjunto. El valor uno va asociado a los elementos que con toda seguridad pertenecen al conjunto y cero a los que no, mientras que los valores intermedios se asocian a elementos de pertenencia dudosa. Esta idea implica un cambio de perspectiva frente a la idea clásica de pertenencia y se hace muy costosa inicialmente. No obstante, produce un enriquecimiento notable ya que la primera es un caso particular de la segunda y, en consecuencia, cualquier problema planteado en forma clásica puede también ser resuelto en forma difusa. Esto ha motivado un desarrollo notable de la teoría difusa en los últimos años. 2
Zadeh, L. A. (1965) "Fuzzy sets". Information and Control. 8, 338 - 353
PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014
3
LÓGICA DIFUSA
Algunos ejemplos Números mucho mayores que 1 Cuestión: ¿Es el número 8 un número mucho mayor que 1? Y, ¿el número 100? ¿Es posible determinar un número a partir del cual los números se consideren mayores que 1 y los números menores no lo sean? Para definir este conjunto se ha de considerar: (1) Un conjunto U sobre el cual definir “numeros mayores que 1”, podríamos tomar U el conjunto de los números reales. (2) Una función, que podemos llamar PERTENECE, que dé el grado de pertenencia de un número real al concepto “número mucho mayor que 1”. De esta forma, PERTENECE(x) será el grado en el que el número x es “mucho mayor que 1”. Cuestión: ¿Qué condiciones debería tener PERTENECE(x)? A la hora de considerar la función PERTENECE, podemos pensar que es lógico imponer que PERTENECE sea una función: (1) creciente, es decir, que si x e y son dos números reales cumpliendo que x es menor que y, entonces PERTENECE(x) es menor o igual que PERTENECE(y) (2) nula hasta poco después de 1 (3) que crezca pegada al eje de abscisas y no despeque de él hasta un lugar a convenir a partir del cual el crecimiento sea más rápido hasta llegar a otro lugar, también a convenir, en el que a partir de él valdrá 1. Podemos pensar que la función PERTENECE podría tener una gráfica como la siguiente: Observa que esta función: (1) Es creciente. (2) Es nula hasta el punto (a,0). (3) “Crece pegada” al eje de ascisas y “despega” a partir del punto (a,0) hasta llegar al punto (m,1) en el que después vale 1. Esta función tiene la siguiente expresión: PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014
4
LÓGICA DIFUSA
0
 x a

PERTENECE  x   
m  a
1
si x  a
si a  x  m si x  m
Ejercicio. Vamos a crear con Geogebra esta función. Definimos el valor a a=1.5
Definimos el valor m m=3
Definimos la función PERTENECE PERTENECE(x)=Si[x ≤ a, 0, Si[x ≤ m, (x ‐ a) / (m ‐ a), 1]] Definimos las propiedades del deslizador a Hacemos clic sobre el objeto a y abrimos su cuadro de propiedades para definir que su valor Definimos las propiedades del deslizador m Ejemplo 1: ¿Hay otras posibilidades para definir esta función? Abre el fichero perteneceMAY.html para ver otras funciones con las mismas características. ¿Qué diferencias encuentras entre unas y otras funciones de pertenencia? ¿Cómo afectan los valores de los controles en la gráfica de la función? Números próximos a 0 A la hora de considerar la función de pertenencia a este conjunto difuso, que podemos llamar PROXIMO, parece lógico pensar que ha de cumplir lo siguiente: (1) Debe valer 1 en el punto 0. PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014
5
LÓGICA DIFUSA
(2) Debe ser simétrica respecto del eje de ordenadas, es decir, la función cumplirá que PROXIMO(x)=‐PROXIMO(x). (3) Debe tener un valor máximo en el punto 0. Ejemplo 2: Abre el fichero pertenecePROX.html para ver distinas funciones para la función PROXIMO que respresente este conjunto. ¿Qué diferencias encuentras entre unas y otras funciones? Número natural grande Parece lógico imponer a la función de pertenencia que defina este conjunto las siguientes condiciones: 1. Debe estar definida sobre el conjunto de los números naturales. 2. Debe ser creciente. Cuestión: ¿Qué función se podría considerar? Ejemplo 3: Abre el fichero perteneceGRA.html para ver distinas opciones para la función GRANDE que represente este conjunto difuso. Observación: Con esta única hipótesis, se puede deducir, por ejemplo, que si un número es mayor que uno grande también él es grande. En efecto, si n  m y m es grande con GRANDE n   GRANDE m  cada vez que GRANDE(m) supere un cierto nivel también lo hará GRANDE(n) y, en consecuencia, el carácter de m implica el de n . Niño, joven, adulto, viejo Supongamos que el conjunto sobre el que se definen estos conceptos son las edades: 5, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80. Los grados de pertenencia a los conjuntos se definen en la siguiente tabla. PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014
6
LÓGICA DIFUSA
Elementos (Edad) 5 10 20 30 40 50 60 70 80 Bebé
0 0 0 0 0 0 0 0 0 Joven
1
1
0.8
0.5
0.2
0.1
0
0
0
Adulto
0
0
0.8
1
1
1
1
1
1
Viejo 0 0 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 Tabla 1: Ejemplos de conjuntos difusos. Figura. Representación de los conjuntos Joven y Adulto Ejercicio. Vamos a crear una función de pertenencia a partir de una tabla de valores cuya gráfica sea la poligonal que une esos puntos. Para ello seguiremos los siguientes pasos en Geogebra: Abrimos la hoja de cálculo
Menú: Vista, Opción: Hoja de Cálculo
PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014
7
LÓGICA DIFUSA
Tecleamos en las columnas A y B las abscisa y las ordenadas de los puntos Definimos en la columna C los puntos de la poligonal Tecleamos en la celda C2 lo siguiente
=(A2,B2) y pulsamos la tecla de salto de línea. Arrastramos esta fórmula estirando del cuadrado señalado en la siguiente figura hasta la celda C8 En la columna D definimos la función Escribimos en la celda D2
que une los dos primeros puntos = Si[A2 ≤ x < A3, y(C2) + (x ‐ x(C2)) (y(C3) ‐ y(C2)) / (x(C3) ‐ x(C2)), 0] Definimos el resto de funciones Basta arrastrar la fórmula anterior hasta la celda D7 Definimos la función PERTENECE como la suma de las funciones anteriores En la ventana de comandos se escribe
fun(x) = D2(x) + D3(x) + D4(x) + D5(x) + D6(x)+ D7(x) Definimos un punto px px=2 y cambiamos sus propiedades para que sea un deslizador Definimos un punto M que se mueva M=(px,fun(px))
por los puntos de la gráfica de la función Una vez realizado este ejercicio, abre el fichero edades.html que se ha construido de esta manera y, considerando una persona de 15 años, contesta a la siguiente pregunta: 
¿Con qué grado pertenece a los conjuntos joven y viejo? PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014
8
LÓGICA DIFUSA
¿Se pueden definir operaciones entre conjuntos difusos de forma que extienda las definidas sobre los conjuntos “clásicos”? Para distinguir los conjuntos “clásicos” de los difusos utilizaremos el convenio de poner a los últimos encima de su nombre el símbolo  . Así, consideramos que (1) el conjunto A, será “clásico” 
(2) el conjunto A , será difuso. En este caso la función de pertenencia la escribiremos como  A , de forma que  A  x  será un número, entre 0 y 1, que representará el grado con el x pertenece al 
conjunto difuso A . Subconjunto
Supongamos que se tiene el conjunto de estudiantes de Estalmat de la promoción 13‐14. En ese “universo” se definen los siguientes conjuntos “clásicos”: 
Conjunto A: Los estudiantes que viven en Santander 
Conjunto B: Las alumnas que viven en Santander Es claro que el segundo conjunto es un subconjunto del primero. Ejemplo 4. Puedes ver la representación de este conjunto en el fichero subconjunto.html Cuestión: ¿Cómo se podría definir esta operación entre conjuntos difusos? Es decir, dados dos conjuntos difusos 


A , y B , ¿qué tendrían que cumplir las funciones de pertenencia de esos dos conjuntos para que A fuera un 
subconjunto de B ? Cuestión: En los conjuntos difusos bebé, adulto, joven, viejo, ¿hay algún conjunto difuso que sea subconjunto de otro? Igualdad
Cuestión. ¿Cuándo dos conjuntos “clásicos” son iguales? Cuestión. ¿Cómo se definiría entre conjuntos difusos? PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014
9
LÓGICA DIFUSA
Complementario
Dado un universo U y un conjunto definido sobre él, que podemos llamar A, el complementario “clásico” se define como los elementos de U que no están en A. Ejemplo 5. En el universo U de todos los estudiantes de Estalmat de Cantabria de la promoción 13‐14, dado el conjunto A de todos estudiantes que viven en Santander, su complementario es todos los estudiantes de U que no viven en Santander. En la figura se muestra que de los 15 estudiantes, hay 6 que viven en Santander y 9 que no. Puedes ver en el fichero complementario.html la representación de este conjunto. Cuestión. ¿Cómo definir el complementario de un conjunto difuso? Recuerda que debe cumplir al menos que si el conjuntos es “clasico” debe coincidir con el “complementario clásico”. PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014
10
LÓGICA DIFUSA

Podría considerarse como función de pertenencia al conjunto complementario de A , por ejemplo, la siguiente:  A  x   1   A  x  Ejemplo 6: Siguiendo con los conjuntos de la Tabla 1, el conjunto no viejo será el conjunto no viejo   5,1 , 10,1 ,  20,0.9  ,  30,0.8  ,  40,0.6  , 50,0.4  ,  60,0.2  Cuestión: ¿Qué grado de pertenencia al conjunto difuso “no viejo” tendría una persona de 15 años? Unión
Cuestión. ¿Cómo se define la unión entre conjuntos clásicos? Pon algún algún ejemplo de unión entre conjuntos. Ejemplo 7: Abre el fichero operaciones.html para ver la representación de la unión de dos conjuntos. PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014
11
LÓGICA DIFUSA
¿Qué propiedades tiene la unión de dos conjuntos? Cuestión. ¿Cómo definir la unión de dos conjuntos difusos? Deberá cumplir que: (1) La unión difusa debe generalizar la unión clásica. (2) Debe ser simétrica en el orden en el que se unen los conjuntos. (3) Un decrecimiento en el grado de pertenencia en los conjuntos A y B no debe producir un aumento en el grado de pertenencia en AUB. (4) La unión de un número de conjuntos se puede realizar en el orden que se desee. Podría considerarse, por ejemplo como función de pertenencia al conjunto unión la siguiente:  AB  x   max   A (x), B (x) Ejemplo 8: Siguiendo con los conjuntos de la Tabla 1 el conjunto resultado de unir los conjuntos difusos adulto y joven es lo puedes ver en el fichero edades.html. Cuestión: ¿Qué grado de pertenencia al conjunto difuso “joven o adulto” tendría una persona de 15 años? La intersección
Cuestión. ¿Cómo se define la intersección entre conjuntos clásicos? Pon algún algún ejemplo de intersección entre conjuntos. Ejemplo 9: Abre el fichero operaciones.html para ver la representación de la intersección de dos conjuntos. PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014
12
LÓGICA DIFUSA
¿Qué propiedades tiene la intersección de dos conjuntos? Cuestión. ¿Cómo definir la intersección de dos conjuntos difusos? Deberá cumplir que: (1) La intersección difusa debe generalizar la intersección clásica. (2) Debe ser simétrica en el orden en el que se intersequen los conjuntos. (3) Un decrecimiento en el grado de pertenencia en los conjuntos A y B no debe producir un aumento en el grado de pertenencia en AUB. (4) La intersección de un número de conjuntos se puede realizar en el orden que se desee. Podría considerarse como función de pertenencia al conjunto unión, por ejemplo, la siguiente:  AB  x   min  A (x), B (x)  Ejemplo 10: Siguiendo con los conjuntos de la Tabla 1 el conjunto resultado de intersecar los conjuntos difusos adulto y joven lo puedes ver en el fichero edades.html. PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014
13
LÓGICA DIFUSA
Nota: La teoría original de conjuntos difusos propuesta por Zadeh estableció como definiciones de unión, intersección y complementación las indicadas en este tema. Estas funciones son generalizaciones de las definidas en el caso de los conjuntos ordinarios. Sin embargo, no son las únicas posibles. Para cada una de las tres operaciones existen diferentes clases de funciones que, satisfaciendo ciertas propiedades axiomáticas, pueden considerarse también generalizaciones. ¿Cómo definir una relación difusa entre conjuntos difusos? Una relación clásica representa la presencia o ausencia de asociación, interacción o interconexión entre dos elementos de dos o más conjuntos. Este concepto puede ser generalizado de forma que pueda permitir varios grados de interacción en dicha relación. Estos grados de asociación pueden representarse mediante relaciones difusas del mismo modo que se representa el grado de pertenencia en los conjuntos difusos. Así, igual que los conjuntos difusos eran una generalización de los conjuntos clásicos la relación clásica puede considerarse como un caso particular de relaciones difusas. Relaciones difusas entre conjuntos clásicos
Ejemplo 11: Supongamos que tenemos los conjuntos X={Inglés, Francés} Y={dólar, libra, franco, marco} Z={Estados Unidos, Francia, Canadá, Gran Bretaña, España} Podemos definir la relación que a cada país le asocie la moneda que se utilizaba antes de la llegada del euro y su idioma. Se puede escribir estas relaciones de la siguiente manera: EEUU Francia Canada Gran Bretaña España
dólar
libra
franco
marco
1

0
0

0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0

0
0

0
Inglés
EEUU Francia Canada Gran Bretaña España
dólar
libra
franco
marco
0

0
0

0
0 1 0 0

0 0 0 0
1 0 0 0

0 0 0 0
Francés
Nota: Observa que estas relaciones se podrían escribir si se conocieran las siguientes ternas: (moneda, pais, PERTENECE(moneda,pais)) siendo PERTENECE la función que vale 1 si la moneda se utilizó en el pais y 0 en caso contrario. Esta forma de representar las relaciones clásicas pueden ser generalizadas para permitir grados de pertenencia dentro de la relación. La relación entre la estación del año en que nos encontramos y el calor o frio que se siente es subjetiva y, por tanto, difusa. Una determinada persona podra expresarla explicitamente así: PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014
14
LÓGICA DIFUSA
U=estaciones={primera, verano, otoño, invierno} V={calor, frío} calor frío
primavera  0.7 0.4 


verano
0   1
 0.6 0.5 
otoño


invierno
 0.1 1 
Relaciones entre conjuntos difusos
Vamos ahora a generalizar esta idea para intentar definir una relación difusa entre conjuntos difusos. 

A partir de dos conjuntos difusos difusos A y B , definidos respectivamente sobre U y V, se intentará definir 
otro que se llamará producto cartesiano y que escribiremos como AxB . Este conjunto tiene como función de 
pertenencia aquella que asigna a cada par ordenado (x,y) el valor mínimo con el x pertenece a A e y pertenece a 
B . 



AxB  a,b,min   A  a , B b   / a  U, b  V Ejemplo 12: Considerando el ejemplo anterior, tomamos U=estaciones={primera (p), verano (v), otoño (o), invierno (i)} V={temperatura superior a 20 grados (T1), temperatura igual o inferior a 20 grados (T2)} y los conjuntos difusos: 
A  estaciones frías={(p, 0.3), (v, 0.1), (o, 0.4), (i, 0.9)} 
B  sensación de frío ={(T1, 0.4), (T2, 0.8)} 


El grado de pertenencia a AxB del par (p, T1) es 0.3 ya que p pertenece a A con grado 0.3, T1 pertenece a B con grado 0.4 y el mínimo de esos dos valores es 0.2 Cualquier subconjunto del producto cartesiano es un relación entre los conjuntos difusos, una de ellas es el propio producto cartesiano T1 T2
Relación R 
p  0.3

v  0.1
o  0.4

i  0.4
0.3 

0.1  0.4 

0.8 
Cuestión.‐ ¿Qué podría representar la relación anterior? PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014
15
LÓGICA DIFUSA
Consideremos ahora el universo W={bañador (b), traje(t), abrigo(a)} y el conjunto difuso definido sobre él siguiente: 
C  ropa que abriga ={(b, 0.1), (t, 0.5), (a, 0.9)} 

El producto cartesiano de B y C define una relación entre estos conjuntos b t a
Relación S 
T1  0.1 0.2 0.2  

T2  0.1 0.5 0.8 
Vamos a calcular ahora la composición de las dos relaciones utilizando la max‐min que viene dada por 

para todo u  U, para todo w  W  SR u,w   max min R u,v  ,  S  v,w   vV
La idea es que para cada pareja (u, w) se toma como grado de pertenencia a la relación composición el resultado de hacer la siguiente operación: (1) Para cada uno de los v en V se toma el mínimo de las funciones de pertenencia a las relaciones R y Q de las parejas (u, v) y (v, w) respectivamente. (2) El máximo de todos los mínimos anteriores es el valor de la pertenencia de la composición. Ejemplo 13: Considerando las relaciones siguientes: ‐
R, que relacionaba las estaciones frías con la sensaciones de frío ‐
S, que relacionaba las sensación de frío con la ropa de abrigo vamos a ver cómo se relacionarían las estaciones frías con las ropas de abrigo mediante su composición: T1 T2
p  0.3

v  0.1
o  0.4

i  0.4
b t a
b t a
p  0.1
0.3 


0.1  T1  0.1 0.2 0.2   v  0.1


0.4  T2  0.1 0.5 0.8  o  0.1


i  0.1
0.8 
0.3 0.3 

0.1 0.1  0.4 0.4 

0.5 0.8 
Ejemplo 14. Vamos a practicar esta operación con el fichero composicion.html. Importante: Estas definiciones, pueden parecer a primera vista arbitrarias y, hasta cierto punto lo son, no obstante en su elección deben tenerse en cuenta los siguientes criterios: (1) que sean consistentes con las definiciones paralelas de la teoría de conjuntos clásicos, es decir, que ésta pueda considerarse como un caso particular de la teoría de conjuntos difusos (2) que los modelos basados en la teora reflejen razonablemente bien la realidad y (3) que los cálculos que se derivan de la utilización de los modelos sean sencillas y, por tanto, se ejecuten con rapidez. PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014
16
LÓGICA DIFUSA
Parte II. Lógica difusa ¿Casi cierto, muy cierto, algo falso? En la lógica difusa los valores de verdad y falsedad son imprecisos. Consideremos la sentencia Juan es niño y supongamos que Juan tiene 15 años. ¿Qué significado tiene esa sentencia? El grado de certeza de esa afirmación será el grado con el que 15 años pertenece al concepto niño. Se define para cada sentencia un conjunto difuso que se corresponde con la interpretación verdadera de la sentencia y a partir de este significado se puede calcular el significado de: No verdadero = complementario Muy verdadero = (verdadero)^2 Algo verdadero=(verdadero)^1/3 Más o menos verdadero = (verdadero) ^0.5 Extremadamente verdadero = (verdadero)^3 Ejemplo 15. A partir del conjunto niño se puede definir “muy niño” considerando que la función de pertenencia a este conjunto es el cuadrado de la utilizada para definir el concepto niño. Estas etiquetas lingüisticas se utilizan para definir conjuntos difusos a partir de otros ya existentes. Abre el fichero valores.html y analiza cómo se obtendría el valor de verdad “No niño”, “Muy niño”, “Algo niño”, “Más o menos niño”, “Extremadamente niño”. Analiza cuál sería el grado de verdad de las siguientes sentencias sabiendo que Juan tiene 15 años ‐
Juan no es niño ‐
Juan es muy niño ‐
Juan es algo niño ‐
Juan es más o menos niño ‐
Juan es extremadamente niño Ejercicio. A partir de los conjuntos definidos en el ejemplo 12, se puede calcular 
2
Estaciones frías y no muy frías: A A 2
Sensación de mucho frío: B 2
Sensación de no mucho frío: B PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014

Ropa que no abrigan: C 17
LÓGICA DIFUSA
¿Cómo se interpreta una regla difusa? Imaginemos que tenemos una regla difusa de la foma 


Si A entonces B , si no C 


donde A , B y C son conjuntos difusos. Por ejemplo, podría ser Si la estación es fría se siente frío, si no, no se siente frío Supongamos que Conjunto 
A  estaciones frías 
B  sensación de frío 
C  sensación de no frío Definición
{(p, 0.3), (v, 0.1), (o, 0.4), (i, 0.9)} {(T1, 0.4), (T2, 0.8)} {(T1, 0.6), (T2, 0.2)} El valor de verdad de esta regla quedará determinado por un conjunto difuso que interprete el significado de esta regla: 


 
A B   A  C 
 

Teniendo en cuenta la teoría de conjuntos difusos, Zadeh propuso la siguiente interpretación para esta regla: 


    
 A  B    A  B   A . El grado de pertenencia será:  AB  max min   A , B  ,1   A  
 




   
 A  C    A  C   A . El grado de pertenencia será: 
 

 AC  max min1   A , C  ,  A  En la práctica hay otras implicaciones que son muy utilizadas por su simplicidad. Una de ellas es la de Mandani, que interpreta la implicación como la relación difusa obtenida por  AB  min   A , B  De esta manera, la regla puede identificarse por la siguiente relación 


 
     
 A  B    A  C    A xB    AxC  
 
 
 

PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014
18
LÓGICA DIFUSA
Ejemplo 16. Utilizando la implicación de Mandani, vamos a interpretar la siguiente sentencia: Si la estación es fría se siente frío, si no, no se siente frío Esta regla establece una relación entre los universos U={p, v, o, i} y V={T1, T2} que se podrá calcular como: T1 T2
p
v
o
i
 0.3

 0.1
 0.4

 0.4
T1 T2
0.3 

0.1  0.4 

0.8 
p
v
o
i
U  0.6

 0.6
 0.6

 0.1
T1 T2
0.2 
p

0.2  = v
0.2 
o

0.1 
i
 0.6

 0.6
 0.6

 0.4
0.3 

0.2  0.4 

0.8 
¿Cómo se utiliza el Modus Ponens? Considemos que tenemos la regla Si la estación es fría, se siente frío, si no, no Y el hecho Estamos en una estación no muy fría vamos a analizar que conclusión se podría obtener, evidentemente será una conclusión difusa referente al grado de frío que se siente en esta estación. 
A'  estaciones no muy fría={(p, 0.91), (v, 0.99), (o, 0.84), (i, 0.19)} Entonces componiendo, T1 T2
p
v
 0.91 0.99 0.84 0.19 
o
i
p v o i
 0.7

 0.8
 0.6

 0.2
0.3 

0.2  
0.4 

0.8 
T1
T2
 0.8
0.4 
se obtiene como conclusión el conjunto difuso: {(T1, 0.8), (T2, 0.4)} Una vez obtenido este conjunto se debe obtener una “traducción” al lenguaje ordinario del resultado que se obtenga, algo como “se siente bastante frío”, “se siente poco frío”,etc. Cuestión: ¿Cuál sería en este ejemplo? PROYECTO ESTALMAT CANTABRIA. CURSO 2013-2014
19