DETERMINACIÓN DE ASÍNTOTAS EN UNA FUNCIÓN

DETERMINACIÓN DE ASÍNTOTAS EN UNA FUNCIÓN
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente,
cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Una definición más formal es:
DEFINICIÓN : Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función y=f(x)
de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras
que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta
recibe el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas pueden ser:
 asíntotas verticales

es
asíntotas horizontal
 asíntotas oblicuas

ASÍNTOTAS VERTICALES
Las asíntotas verticales son paralelas al eje OY:
 y  

 o
 y  

Entonces existe un número “a” tal que: lim f x   o lim f x   A.V.: x=a
xa
xa
Procedimiento para determinar las asíntotas verticales de una
función
1º Determinamos el dominio de la función, pues para los
valores de x dónde deja de existir puede tener una asíntota
vertical.
2º Si la función deja de existir en x=a, existirá
vertical “ x=a “ si lim f x   o lim f x   .
xa
asíntota
xa
Ejemplo 1: Determina las asíntotas verticales de y 
x 2  2x
x2  4
1º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de x dónde
deja de existir puede tener una asíntota vertical.
Dominio: Función racional fraccionaria no existe si el denominador se anula
x 2  4  0; x  2; x  2
D[ f ( x)]    2 ,2
1
Luego tiene como posible asíntotas verticales: ¿ x=2 y x=-2.?
2º ¿ A.V. en x=2. ? ¿ lim f x   o lim f x   ?
xa
x  2x
2
8
lim

x2 x 2  4
0
lim
x2
x
x 4
2
xa

 lim

hay que hacer límites laterales x  2
 lim
 x  2 
x 2  2x
8
 

0
x 4
x 2  2x
8

 
0
x2  4
2

No existe
Estos límites nos sirven para determinar que x=2 es ASÍNTOTA VERTICAL
pues lim f x   y lim f x   y con ellos también observamos las tendencias
x2
x2
de la función (Observar gráfica)
¿ A.V. en x=-2. ? ¿ lim f x   o lim f x   ?
xa
x  2x
2
lim
x  2
x 4
2

0
0

lim
x  2
xa
xx  2 
x
2 1
 lim


x


2
x  2x  2
x2 4 2
No hay asíntota vertical, en x=-2 la función es discontinua evitable.
Gráfica:
Ejemplo 2: Determina las asíntotas verticales de y 
x2
 x  4 2
1º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de x dónde
deja de existir puede tener una asíntota vertical.
2
Dominio: Función racional fraccionaria no existe si el denominador se anula
x  42  0;
x4
D[ f ( x)]    4
Luego tiene como posible asíntota vertical: ¿ x=4?
2º ¿ A.V. en x=4. ? ¿ lim f x   o lim f x   ?
xa
lim
x 2
x
2
x  4
2

xa
4
 
0
Este límite nos sirve para determinar que x=4 es ASÍNTOTA VERTICAL pues
lim f x   y lim f x   con ellos también observamos las tendencias de la
x4
x4
función (Observar gráfica)
Ejemplo 3: Determina las asíntotas verticales de y  log( x  4)
1º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de x dónde
deja de existir puede tener una asíntota vertical.
Dominio: Función logarítmica sólo existe si  x  4  0   x  4  x  4
luego D[ f ( x)]  x   ,4
Puede tener como asíntota vertical cuando se acerca a la izquierda de x=4
2º ¿ A.V. en x=4. ? ¿ lim f x   o lim f x   ?
xa
xa
3
lim log( x  4)  log(0)  
x 4 
Este límite nos sirve para determinar
ASÍNTOTA VERTICAL, pues
lim f x   
x 4 
que
x=4 es
y con el también observamos
la
tendencia de la función (Observar gráfica)
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
 x  

o
 x  

Las asíntotas horizontales son paralelas al eje OX: 
Si existe lim f x  k   o
x
lim f x  k  
x
entonces “y=k” será una asíntota
horizontal.
Procedimiento para determinar las asíntotas horizontales de
una función
Se calcula
el
lim f x
x
y
lim f x
x
si alguno de ellos toma un
valor finito “k”, existirá asíntota horizontal y=k.
Nota:
-
En el caso de funciones del tipo y 
P( x)  P( x)

Q( x) Q( x)
polinomio
existirá asíntota
polinomio
horizontal si “grado de P(x) ≤ grado de Q(x)”.
= lim f x =k
lim f x
x
En estos casos:
x
4
-
En el caso de funciones del tipo exponencial y  a f (x) existirá asíntota
0  a  1 y
y
 a 1
f ( x)  
f ( x)  
horizontal “y=0” si 
-
Para determinar la posición relativa de la curva
hacemos lo siguiente:
Y1=f(x)
Situación relativa de la gráfica y la
asíntota
La gráfica esta por encima de la asíntota
en el +∞
La gráfica esta por debajo de la asíntota
en el +∞
La gráfica esta por encima de la asíntota
en el -∞
La gráfica esta por debajo de la asíntota
en el -∞
Y1 - K
Y1- K > 0
x=100
y  f (100)
x=-100
y  f (100)
Y1- K < 0
Y1- K > 0
Y1- K < 0
Ejemplo 4: Determina las asíntotas horizontales de y 
lim f x
1º Se calcula el
x
y la asíntota “y=k”
:
lim
x 
1 x
x2



1 x
x2
x
1 1
lim
 lim

 0
x  x 2
x  x

El -0 indica que la curva se encuentra por debajo de la asíntota y=0
2º Tenemos dos opciones:
1 x
x   x 2 x
- Calcular lim

por
x
1 x
x   x 2
lim



lim
x  
x
1
1
 lim 
 0
2
x   x

x
El +0 indica que la curva se encuentra por encima de la asíntota y=0
- O directamente calculamos la posición relativa de la gráfica y la asíntota:
y
1 x
x
x=100
y1
x=-100
y1 
2
1  100
 0,0099
1002
1  100
 1002
 0,0101
Y1-k
Situación relativa de la gráfica y
la asíntota
-0,0099-0<0
La gráfica esta por debajo de la asíntota
en el +∞
0,0101-0> 0
La gráfica esta por encima de la asíntota
en el -∞
(como se observa en la gráfica adjunta)
5
6
Ejemplo 5: Determina las asíntotas horizontales de y 
1º Se calcula el lim f x
2x2
x2  4
x
2x2
lim 2

x   x  4 
2x2
 2 Luego “y=2” será una asíntota horizontal.
x   x 2
lim

2º Se determina la posición relativa de la gráfica y la asíntota:
y
x=100
y
2x2
x2  4
21002
1002  4

Y1 - 2
Situación relativa de la gráfica y
la asíntota
2,00080032-2>0
La gráfica esta por encima de la asíntota
en el +∞
2,00080032-2>0
La gráfica esta por encima de la asíntota
en el -∞
2,00080032
x=-100
y
2 1002
 1002  4

2,00080032 2
(como se observa en la gráfica adjunta)
7
Ejemplo 6: Determina las asíntotas horizontales de y 
x 2  2x
x2  4
(ejemplo 1)
1º Se calcula el lim f x
x
x  2x

x2  4 
2
lim
x  
lim
x  

x2
 1 Luego “y=1” será una asíntota horizontal.
x2
2º Se determina la posición relativa de la gráfica y la asíntota:
y
x=100
y
x 2  2x
x 4
2
100  2.100 
1002  4
Y1 - 1
Situación relativa de la
gráfica y la asíntota
1,020408163-1>0
La gráfica esta por encima de la
asíntota en el +∞
0,9803921-1 < 0
La gráfica esta por debajo de la
asíntota en el -∞
2
1,020408163
x=-100
y
1002  2.100 
1002  4
0,9803921569
(como se observa en la gráfica adjunta)
8
Ejemplo 7: Determina las asíntotas horizontales de y 
 2x2  x  8
x2  4
1º Se calcula el lim f x
x
 2x  x  8


x  
x2  4
2
lim

 2x2
 2 Luego “y=-2” será una asíntota horizontal.
x   x 2
lim
2º Se determina la posición relativa de la gráfica y la asíntota:
y
x=100
y
 2x2  x  8
x2  4
 2.1002  100  8
 1002  4

Y1-(-2)
Situación relativa de la
gráfica y la asíntota
-1,990003998+2>0
La gráfica esta por encima de la
asíntota en el +∞
-2,00999960+2 < 0
La gráfica esta por debajo de la
asíntota en el -∞
 1,990003998
x=-100
y
 2. 1002  100  8
 1002  4

 2,0099996002
(como se observa en la gráfica adjunta)
9
Ejemplo 8: Determina las asíntotas horizontales de y  10 3x .
Nota: En este caso por no ser una función del tipo y 
calcular lim f x
y
x
lim f x :
x
lim f x
1º Se calcula el
x
:

P( x)  P( x)

Q( x) Q( x)
polinomio
hay que
polinomio

lim 10  3 x  10  3   Luego no existe asíntota
x  
horizontal en el +∞. (como se observa en la gráfica adjunta)
2º Se calcula el lim f x :

lim 10  3x
x 

x
x

por
 x


lim 10  3 x 10  3   10 
x 
Luego “y=10” será una asíntota horizontal.
3º Posición relativa de la gráfica y la asíntota.
x=-100
1

3
y  10 3x
Y1-(10)
y  10  3100
10  3100  10  0
 10 
1
 10  0  10

Situación relativa de la
gráfica y la asíntota
La gráfica esta por encima de la
asíntota en el -∞
(como se observa en la gráfica adjunta)
10
ASÍNTOTAS OBLICUAS
Son rectas asíntotas a una función del tipo y  mx  n siendo
Si una función tiene asíntotas horizontales no tiene oblicuas.
m0
Procedimiento para determinar las asíntotas oblicuas de una
función
f x 
f x 
1º Se calcula m: m  lim
  y m  0 o m  lim
 y m  0
x  
x
2º Se calcula n: n  lim  f ( x)  mx
x 
x  
x
si n   o n  lim  f ( x)  mx si n  
x 
Nota:
- Si una función tiene asíntotas horizontales no tiene oblicuas.
-
En el caso de funciones del tipo y 
P( x)  P( x)

Q( x) Q( x)
polinomio
existirá asíntota
polinomio
oblicua si “grado de P(x) = grado de Q(x) +1”.
-
Si m ≠ 0 en el caso de funciones del tipo y 
P( x)  P( x)

Q( x) Q( x)
polinomio
este
polinomio
valor es el mismo cuando x →+∞ y x →-∞, por lo tanto sólo es
necesario calcular el valor cuando x →+∞.
3º Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo
siguiente:
Y1=f(x)
Y2=mx+n
x=100
y1 f (100)
y 2  100m  n
x=-100
y1 f (100)
y 2  100m  n
Y1 - Y2
Y1- Y2 > 0
Y1- Y2 < 0
Y1- Y2 > 0
Y1- Y2 < 0
Situación relativa de la gráfica y la
asíntota
La gráfica esta por encima de la asíntota
en el +∞
La gráfica esta por debajo de la asíntota
en el +∞
La gráfica esta por encima de la asíntota
en el -∞
La gráfica esta por debajo de la asíntota
en el -∞
Ejemplo 9: Determina las asíntotas oblicuas de y 
1º Se calcula “m”:
x2
m  lim 2 x  2
x  
x
-
 lim
x  
x2
2x  2
x2
x2
1

lim

2
2

x


2
2x  2x
2x

Si m≠0 en el caso de funciones del tipo y 
P( x)  P( x)

Q( x) Q( x)
polinomio
este valor
polinomio
es el mismo cuando x →+∞ y x →-∞ por lo tanto sólo es necesario calcular
el valor cuando x →+∞.
1
2
1
2
Por lo tanto existe una asíntota oblicua y  x  n → n  y  x
2º Se calcula el “n”:
11
 x2
x
x2  x2  x
n  lim 
   lim
x   2 x  2
x  
2
2( x  1)


lim
x  
x
x
1
  lim

2 x  2  x   2 x 2

1
1
Luego “ y  x  ” será una asíntota oblicua.
2
2
Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente:
x2
2x  2
1002
y1

2.100  2
50,505050...
y
x=100
x=-100
y1
 1002
2. 100  2
 49,5049505...
y
1
1
x
2
2
Y1- Y2
situación
100 1

2
2
 50,5
50,505050....  50,5  0
100 1

2
2
 49,5
 49,5049505  49,5  0
y2
 y2
-
La gráfica esta por encima
de la asíntota en el +∞
La gráfica esta por debajo
de la asíntota en el -∞
( como se observa en la gráfica adjunta)
Ejemplo 10: Determina las asíntotas oblicuas de y 
x3
x 9
2
1º Se calcula “m”:
x3
2
m  lim x  9
x  
x
-
 lim
x  
x3
1
x3  9 x
Si m≠0 en el caso de funciones del tipo y 
P( x)  P( x)

Q( x) Q( x)
polinomio
este valor
polinomio
es el mismo cuando x →+∞ y x →-∞ por lo tanto sólo es necesario calcular
el valor cuando x →+∞.
Por lo tanto existe una asíntota oblicua y = x+n → n = y -x
2º Se calcula el “n”:
12
 x3

 9x
n  lim  2
 x   lim 2
x   x  9
x   x  9





lim
x  
 9x
9
 lim
 0
x   x
x2
Luego “y=x” será una asíntota oblicua.
Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente:
y
x=100
Y=x
x2  9
1003

1002  9
99,91008093
y1 
y1
x=-100
x3
 1003
 1002  9
 99,91008093
Y1- Y2
y 2  100
99,91008093 100  0
y 2  100
 99,91008093  100  0

-
situación
La gráfica esta por debajo
de la asíntota en el +∞
La gráfica esta por encima
de la asíntota en el -∞
( como se observa en la gráfica adjunta)
13