hoja 2

Problemas de Análisis Funcional
Curso 2011–12
Tema 2. Espacios de Banach. Espacios clásicos.
1. Probar que el espacio c de las sucesiones convergentes con la norma del supremo es un espacio de Banach.
Hallar una proyección continua de c sobre c0 .
2. Sea Cc (Rn ) el conjunto de las funciones f : Rn −→ R continuas y con soporte compacto (el soporte de
f es la clausura de {x ∈ Rn : f (x) 6= 0}). Probar que es un subespacio vectorial denso en C0 (Rn ).
3. Sea X un espacio de Banach, y (xn ) una sucesión en X. Demostrar que son equivalentes:
a) (x
Pn )n es sumable,
b) P xn es incondicionalmente convergente
(toda reordenación converge),
P
c) P xn es subserie convergente ( kPxnk converge, para toda subsucesion creciente (nk )),
d)
xn es convergente con signos ( εn xn converge, para toda elección de signos εn = ±1).
Probar que si la dimensión de X es finita toda serie incondicionalmente convergente es absolutamente
convergente.
Dar ejemplos en c0 y `2 de series incondicionalmente convergentes no absolutamente convergentes.
4. Considerar los espacios `np para 1 ≤ p ≤ ∞. Dados 1 ≤ p < q ≤ ∞, hallar las mejores constantes
C1 = C1 (p, q), C2 = C2 (p, q) > 0 tales que
C1 kxkp ≤ kxkq ≤ C2 kxkp .
5. Sea X = {f : [0, 1] → R : f es continua, f (0) = 0}.
a) Probar que X es un espacio de Banach para kf k := sup{|f (x)| : x ∈ [0, 1]}.
Rx
Dada f ∈ X, definimos T f (x) := 0 f (t) dt.
b) Probar que T es un operador lineal y continuo de X en X.
c) Probar que kT k ≤ 1. ¿Se cumple que kT k = 1?
d) Hallar una proyección P de C([0, 1]) en X.
6. Sea A = (aij ) una matriz doblemente infinita con aij ≥ 0. Supongamos que A define un operador lineal
y continuo de `1 en `1 con norma kAk1 y tambien define un operador lineal y continuo de `∞ en `∞ con
norma kAk∞ .
Probar que A define un operador lineal y continuo de `2 en `2 con norma
1/2
kAk2 ≤ kAk1
· kAk1/2
∞ .
7. Sea X un espacio de Banach complejo. Si f es un funcional lineal no continuo, entonces f (BX ) = C.
8. Sea φ: [0, 1] → R una función medible y 1 ≤ p ≤ ∞. Hallar condiciones necesarias y suficientes sobre
φ para que el operador Tφ (f ) = φf esté bien definido, sea lineal y continuo de Lp ([0, 1]) en L1 ([0, 1]).
Hallar su norma.
9. Sea 1 ≤ p < ∞. Dada una sucesión a = (an ) de números reales definimos T a := ( ann ).
a) Probar que T define un operador lineal y continuo de `p en `p .
b) Probar que kT k = 1.
Para cada N ∈ N, sea TN a = (a1 , a22 , a33 , . . . , aNN , 0, 0, . . .).
c) Probar que para cada a ∈ `p , se cumple que TN a converge a T a en `p .
d) Probar que TN converge a T en la norma de operadores.
10. Sea X un espacio de Banach con un base de Schauder. Probar que X es separable. Deducir que `∞ no
tiene una base de Schauder.