TRANSFORMACIONES PARA FUNCIONES BÁSICAS
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Análisis Sistemas y Señales Grupo 4 Profesora : Elizabeth Fonseca Chávez Integrantes : García Jurado Stevenel Luis Chávez Sandoval Gerardo Aguilar Olín Joaquín TRANSFORMACIONES PARA FUNCIONES BÁSICAS Transformada de Laplace Laplace Función Impulso ó Delta Dirac Sea ݔሺݐሻ = ߜሺݐሻ ஶ ܮሼߜሺݐሻሽ = න ሺߜሺݐሻܽ݁ ି௦௧ ሻ ݀ݐ ష Como la función ߜሺݐሻ está solamente definida 0ି ≤ ≤ ݐ0ା y en ese intervalo ݁ ି௦௧ = 1 ஶ ܮሼߜሺݐሻሽ = න ൫ߜሺݐሻ൯ ݀ = ݐ1 ష Funcion Pulso Rectangular La expresamos como : 0; <ݐ0 ܣ ; 0 ≤ ݐ ≤ ݐଵ ݔሺݐሻ = ൝ 0; ݐ > ݐଵ La anchura del pulso es ܶ = ݐଵ − ݐ Para saber la Transformada calculamos el área del Rectángulo con una Integral de la forma : ௧ଵ ܮሼܣሽ = න ݐ݀ܣ ܮሼܣሽ = ܣ൫ݐଵ − ݔሺ0ሻ൯ Función Escalón Unitario La representamos de esta forma : 0, ݔሺݐሻ = ቄ 1, < ݐ0 ≥ݐ0 Según los visto en clase la transformada nos da ܮሼ1ሽ = 1 ݏ Pero realmente nos interesa que la constante pueda tomar cualquier valor no sólo uno por lo que definimos a la constante a ஶ ܮሼܽሽ = න ሺܽ݁ ି௦௧ ሻ ݀ݐ = lim→ஶ ܿ ݁ ି௦௧ ݀ݐ = lim→ஶ ܿ = lim→ஶ ܿ = ି షೞ | ௦ ି షೞ್ ାଵ ௦ para s>0 ௦ La función de escalón unitario se representa : 0, ݑሺݐሻ = ቄ 1, < ݐ0 ≥ݐ0 Utilizando la definición de Transformada de Laplace para cualquier función continua ஶ ܮሼݔሺݐሻሽ = ሺݔሺݐሻ݁ ି௦௧ ሻ ݀ ݐec.(2) las ecuaciones (1) y (2) Tenemos ஶ ܮሼݑሺݐሻሽ = න ሺሺ1ሻ ∗ ሺ݁ ି௦௧ ሻ ݀ݐ ܮሼݑሺݐሻሽ = 1 ݏ Función Rampa Unitaria Matemáticamente la podemos expresar de la siguiente forma : 0 ; < ݐ0 ݔሺݐሻ ቄ >ݐ ;ݐ0 Por definición : ஶ ܮሼݐሽ = න ሺି ݁ݐ௦௧ ሻ ݀ݐ Usando integración por partes : = −ି ݐ௦௧ ஶ 1 ஶ ି௦௧ ݁ | + න ݁ ݀ݐ ݏ ݏ = −ି ݐ௦௧ ஶ 1 ି௦௧ ஶ ݁ | − ݁ | ݏ ݏ Veamos el primer termino : lim ௧→ஶ −ݐ −ݐ + lim ௦௧ ௦௧ ௧→ ݁ݏ ݁ݏ Aplicando la regla de L’HÔpital : lim௧→ஶ ିଵ ௦మ ೞ =0 Y el segundo limite también es cero (esto ocurrirá no importa la potencia a que se este elevada la variable t ). Por tanto : ି௧ ௦ ݁ ି௦௧ |ஶ − ଵ ௦మ ଵ ଵ ݁ ି௦௧ |ஶ = −0 + ௦మ = ௦మ Entonces la transformada nos queda : ܮሼݐሽ = 1 ݏଶ Función Exponencial ݔሺݐሻ = ݁ܤ௧ Por definición : ܮሼ݁ܤ ௧ ሽ ஶ = ܤන ሺ݁ ௧ ݁ ି௦௧ ሻ ݀ݐ ஶ = ܤ ൫݁ ିሺ௦ିሻ௧ ൯ ݀ݐ ଵ Por lo tanto ଵ ܮሼ ݁ܤ௧ ሽ = ܤሺ௦ି) ଵ = ܤ௦ି ݁ ିሺ௦ିሻ௧ |ஶ = 0 + ௦ି , s>a Función Senoidal Se representa con la ecuación : ݔሺݐሻ = ݏܿܣሺ ݐݓ+ φሻ Primero probaremos la transformada para la función : ݔሺݐሻ = cos ሺݐݓሻ ஶ ܮሼܿݏሺ ݐݓሻሽ = න ሺܿݏሺݐݓሻ݁ ି௦௧ ሻ ݀ݐ ݓஶ ି௦௧ −1 ି௦௧ ஶ ݁ cosሺݐݓሻ | − න ݁ ݊݁ݏሺݐݓሻ݀ݐ = ݏ ݏ = −1 ି௦௧ ି ݓ௦௧ ݁ cosሺݐݓሻ |ஶ ݊݁ݏሺݐݓሻ|ஶ + ଶ݁ ݏ ݏ ௪మ ஶ − ௦మ ݁ ି௦௧ cosሺݐݓሻ ݀ݐ → ቆ1 + ஶ 1 ݓଶ ቇ න ݁ ି௦௧ cosሺݐݓሻ ݀ = ݐ− ௦௧ cos ሺݐݓሻ|ஶ ଶ ݏ ݁ݏ + ݓ ݏଶ ݁ ௦௧ ݊݁ݏሺݐݓሻ|ஶ = 1 ݏ Por lo tanto 1 ݏ ݏ න ݁ ି௦௧ cosሺݐݓሻ ݀= ݐ = ଶ ଶ ݓ ݏ+ ݓଶ 1+ ଶ ݏ ஶ Utilizando la definición de Transformada de Laplace para cualquier función continua ஶ ܮሼݏܿܣሺ ݐݓ+ ߮ሻሽ = න ሺݏܿܣሺ ݐݓ+ φሻ݁ ି௦௧ ሻ ݀ݐ Al resolver la integral por el método de Integración por partes nos da : Si s> 0 ܮሼݏܿܣሺ ݐݓ+ ߮ሻሽ = ܣሺ ௦௦ሺఝሻି௪ௌሺఝሻ ௦మ ା௪ మ ሻ Función Sinc La podemos representar con la formula : ݔሺݐሻ = ି ݁ܣ௧ ݊݁ݏሺ ݐݓ+ ߮ሻ Por lo tanto ஶ ܮሼି ݁ܣ௧ ܿݏሺ ݐݓ+ ߮ሻሽ = න ሺି ݁ܣ௧ ܿݏሺ ݐݓ+ φሻ݁ ି௦௧ ሻ ݀ݐ Al resolver la integral nos queda è!!!!! ࡸሼ࢙ࢉሺ࢚ሻሽ = A −at I w2 Cos@ϕD Sign@wD + ω Sin@ϕDM w2 + ω2 Transformada de Fourier Funcion Pulso Rectangular La expresamos como : 0; <ݐ0 ݔሺݐሻ = ൝ ; ܣ0 ≤ ݐ ≤ ݐଵ 0; ݐ > ݐଵ Funcion Impulso o Delta Dirac Función Escalon Unitario La representamos de esta forma : 0, ݔሺݐሻ = ቄ 1, < ݐ0 ≥ݐ0 Sabemos que es una función no periódica por lo tanto usamos la definición de Transformada de Fourier Función Rampa Unitaria Funcion Exponencial Función Senoidal • Exposición *Función Sinc Transformada Z *Función Pulso Rectangular Función Impulso o Delta Dirac Función Escalón Unitario Función Rampa Unitaria Ejemplo de una señal de rampa Función Exponencial De la definición de Transformada Z Al usar a la función u de n como : ࢛ሺሻ = ࢋିࢇ࢚ Desarrollamos la serie y simplificamos Función Senoidal Entonces podemos aplicar la definición de la transformada Z para funciones Exponenciales Ahora con la ecuación : ݔሺݐሻ = ݏܿܣሺ ݐݓ+ φሻ Al realizar la serie de exponenciales complejas queda : Z(w) = A −ϕ z I2 w − 2 ϕ − w z + Hw+2 ϕL zM 2 Hz + 2 w z − w H1 + z2LL • Nota no estamos tan seguros de este resultado debido a que fue hecho por el programa de MATHEMATICA Función Sinc Referencias : - http://www.fi.uba.ar/materias/61107/Apuntes/TZ00.pdf Ecuaciones Diferenciales – Carmona Editorial Pearson - Teoría de Sistemas y Circuitos – Gerez Apuntes en clase http://www.terra.es/personal/igreal/fourier%20previos.1.0.PDF
