Ejercicios propuestos

Ecuaciones diferenciales ordinarias
Problemas de valor inicial – Problemas de frontera
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1
Dada la ecuación diferencial
inicial.
, en el intervalo [0, 2], con y(0) = 1 como condición
a) Aplicar el método de Euler con h = 0,5 y h = 0,25.
b) Aplicar el método de Runge Kutta de orden cuatro con h = 0,5.
c) Comparar los resultados obtenidos con la solución exacta del problema de valor inicial
(calcular los errores absolutos). Los valores necesarios de la misma están dados en la
siguiente tabla:
x
0,25
0,50
0,75
1
1,25
1,50
1,75
2
y
0,776469384
0,589321933
0,416984470
0,238035137
0,025141402
-0,26444683
-0,707005774
-1,45038141
d) Obtener las fórmulas de Taylor de segundo y cuarto orden para este problema.
Ejercicio 2
Dada la ecuación diferencial
inicial.
, en el intervalo [0, 2], con y(0) = 1 como condición
a) Aplicar el método de Euler con h = 0,5 y h = 0,25.
b) Aplicar el método de Runge Kutta de orden cuatro con h = 0,5.
c) Comparar los resultados obtenidos con la solución exacta del problema de valor inicial. Los
valores necesarios de la misma están dados en la siguiente tabla:
x
0,25
0,50
0,75
1
1,25
1,50
1,75
2
y
1.
0.7635385482
0.6014972392
0.5044053844
0.4645590203
0.4848293365
0.5915553644
0.8706269739
d) Obtener las fórmulas de Taylor de segundo y cuarto orden para este problema.
Ejercicios propuestos EDOs
Problemas de valor inicial – Problemas de frontera
Ejercicio 3
Dado el sistema de EDOs de primer orden
( )
( )
a) Aplicar el método de Euler para obtener la solución en cuatro puntos del intervalo.
b) Aplicar el método de Runge Kutta para obtener la solución en dos puntos del intervalo.
c) Expresar la fórmula del método de Taylor de segundo orden para este problema.
Ejercicio 4
Dado el problema de valor inicial de segundo orden
( )
( )
a) Expresar la ecuación diferencial como un sistema de EDOs de primer orden.
b) Aplicar el método de Euler para obtener la solución en cuatro puntos del intervalo.
c) Aplicar el método de Runge Kutta para obtener la solución en dos puntos del intervalo.
Ejercicio 5
Obtener la solución del siguiente problema de frontera, en cuatro puntos del intervalo.
( )
( )
Ejercicio 6
Dada la ecuación diferencial de segundo orden
a) Obtener la solución en cuatro puntos del intervalo [0,2] si se imponen las condiciones
y(0) = 1, y´(0) = 2
b) Obtener la solución en tres puntos del intervalo (0, 2) si se imponen las condiciones
y(0) = 1, y(2) = 2.
Ejercicio 7
Un capacitor de 0,01 Faradios está conectado en serie con una fem de 20 Volts y una inductancia de
0,4 Henries. En el instante inicial, Q = 0 e I = 0. Encuentre una ecuación para modelar este circuito,
y aplique el método numérico más eficiente para hallar el valor de Q a distintos tiempos.
a) Encontrar la carga para t = 4 seg, aplicando el método de Euler en una malla de 4
puntos.
b) Encontrar la carga para t = 10 seg, aplicando los métodos de Euler y de Runge Kutta
con una malla de 20 puntos. (utilizar ventana).
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Ejercicios propuestos EDOs
Problemas de valor inicial – Problemas de frontera
Ejercicio 8
Se tienen tres tanques de 1000 litros de capacidad cada uno, perfectamente aislados. Los tres
recipientes están completamente llenos con una solución cuya concentración es 30 g/l. A partir de
cierto momento, se alimenta al primer tanque con una solución cuya concentración es de 50 g/l,
con un gasto de 300 l/min (los tanques están interconectados de manera que al haber una descarga
en el primero, la misma cantidad fluye en el segundo, y así al tercero, y de éste hacia afuera del
sistema, con lo que se mantienen constante el volumen de todos ellos).
La modelización matemática de este problema está dada por el siguiente problema de valor inicial
(ver aplicaciones):
(
)
(
)
( )
donde C1, C2 y C3 son las concentraciones en los tanques 1, 2 y 3 respectivamente.
Calcule la concentración en cada tanque después de cinco minutos de haber empezado a agregar
solución al primero. Para ello, utilice el método de Euler con cinco puntos.
Ejercicio 9
Considere un sistema ecológico simple compuesto solamente de dos especies: coyotes (y) y
correcaminos (x), donde los primeros se alimentan de los segundos. Los tamaños de las poblaciones
cambian de acuerdo con las ecuaciones:
que se pueden entender de la siguiente manera: si no hay coyotes (y), los correcaminos se
reproducen con una velocidad de crecimiento k1x; si no hay correcaminos, la especie de coyotes
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Ejercicios propuestos EDOs
Problemas de valor inicial – Problemas de frontera
desaparece con velocidad k4y. El término xy representa la interacción entre las dos especies, y las
constantes k2 y k3 dependen de la habilidad de los depredadores para atrapar a los correcaminos y
de la habilidad de éstos para huir.
Las poblaciones de los coyotes y los correcaminos cambian cíclicamente. Calcule el ciclo al resolver
el modelo con k1 = 0,4, k2 = 0,2, k3 = 0,002 y k4 = 0,3. Use x(0) = 30 e y(0) = 3 como condiciones
iniciales.
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