Análisis Combinatorio

Análisis Combinatorio
Técnicas de Contar-Principio Fundamental del Conteo
Principio Fundamental del Conteo (para la multiplicación): Si una elección inidividual se puede
hacer de n1 maneras diferentes, una segunda elección individual se puede hacer de n2 maneras
diferentes, una tercera elección individual se puede hacer de n3 maneras diferentes, y así
sucecivamente, hasta una última elección individual que se pueda hacer de nk maneras diferetes,
entonces el número de maneras de hacer todas las elecciones combinadas es el producto de las
elecciones individuales:
n1  n2  n3 ... nk
1. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas en una banca?
Solución: el primer lugar se puede ocupar de 5 maneras distintas; ocupado el primer lugar,
el segundo lugar sólo se puede ocupar de 4 maneras distintas; el tercer lugar se puede
ocupar de 3 maneras distintas, el cuarto lugar de 2 maneras distintas y el último lugar de 1
manera distinta; luego hay
 5  4  3 2 1 120 maneras diferentes de sentar a las 5 personas
2. En un grupo de 30 alumnos se desea seleccionar un comité formado por un representante,
un suplente y un auxiliar. ¿De cuántas maneras se puede formar el comité?
Solución: Hay 30 maneras de seleccionar al representate; seleccionado el representate,
quedan 29 maneras de seleccionar al suplente; seleccionados el representate y el
suplente quedan 28 maneras posilbes de seleccionar al auxiliar; luego hay
 30  29  28  24360 maneras diferentes de formar el comité
3.
a.
b.
c.
¿Cuántos números telefónicos de 5 dígitos se pueden formar?
Si los dígitos se pueden repetir.
Si el primer dígito solo puede ser 0, 2 ó 4
Si el primer dígito solo puede ser 3, el segundo 2 ó 4, y el tercero 1, 5 ó 9.
Solución:
a. Si los dígitos se pueden repetir, hay 10 maneras de elegir el primer dígito, 10 maneras para
elegir el 2º, 10 maneras para elegir el 3º, 10 maneras de elegir el 4º y 10 maneras para
elegir el 5º dígito; entonces hay
10 10 10 10 10  100 000 números telefónicos diferentes
b. El primer dígito sólo puede ser 0, 2 ó 4, es decir hay 3 maneras de elegir el primer dígito,
hay 10 maneras de elegir el 2º, hay 10 maneras de elegir el 3º, 10 maneras de elegir el 4º y
10 maneras de elegir el 5º; por lo que hay
 310 10 10 10   30 000 números telefónicos
c. El primer dígito se puede elegir de 1 manera, el sgundo de 2, el 3º de 3, el 4º de 10 y el 5º
de 10; entonces la cantidad de números telefónicos es 1 2  3 10 10   600 .
4. ¿Cuántas placas de automóvil se pueden formar con tres letras y 4 dígitos? (Indicación:
considere un alfabeto de 26 letras, sin la ñ, la ch y la ll).
Solución: Hay 26 maneras de elegir la primera letra, 26 maneras de elegir la 2º letra y 26
maneras de elegir la 3º letra, y hay 10 maneras de elegir el primer dígito, 10 maneras de elegir
el 2º dígito y 10 maneras de elegir el 3º dígito; por lo que hay
 26  26  26 10 10 10 10  17 576 000
5. Un bibliotecario desea colocar 4 libros de biología, 5 de anatomía y 3 de literatura en un
entrepaño.
a. ¿De cuántas maneras los puede colocar?
b. ¿De cuántas maneras los puede colocar si los libros de biología, los de anatomía y los
literatura deben quedar juntos?
Solución:
a. El
número
de
maneras
de
colocar
los
12
libros
es
12 1110  9  8  7  6  5  4  3  2 1479 001600
b. Hay 3  2 1  6 formas de colocar los libros por el contenido; hay 4  3  2 1  24
diferentes de colocar juntos los libros de biología, hay 5  4  3  2 1 120 de colocar
juntos los libros de anatomía y hay 3  2 1  6 de colocar juntos los libros de literatura; en
consecuencia hay 6  24 120  6 103680 de colocar los libros.
6. ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los números 1, 3, 5, 7 y 9?
a. Usando todos los 5 números.
b. Cuántos menores de 500?
c. Cuántos mayores de 500?
Solución:
a. Usando los 5 números, los números de tres cifras son 5  4  3  60 .
b. Para que sean menores de 500 el primer dígito sólo puede ser 1 ó 3, es decir hay 2
maneras de elegir el primer dígito; 4 formas de elegir el 2º y 3 maneras de elegir el 3º;
por lo que hay 2  4  3  24 números de 3 cifras menores de 500 que se pueden
formar con los dígitos 1, 3, 5, 7 y 9.
c. Los números mayores de 500 deben empezar con 5, 7 ó 9, luego hay 3 maneras de
elegir la primera cifra, hay 4 maneras de elegir la segunda cifra y hay 3 maneras de
elegir la 3ª cifra. Entonces, se pueden formar 3  4  3  36 números de 3 cifras
mayores de 500 que se pueden formar con los dígitos 1, 3, 5, 7 y 9.
Otra solución: el total de números de 3 cifras que se pueden formar con los dígitos 1,
3, 5, 7 ó 9, según el inciso (a) es 60, y los números de tres cifras menores de 500 según
el inciso (b) es 24; entonces los números mayores de 500 son 60  24  36 .
7. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar tres dados distintos?
Solución. Hay 6  6  6  216 resultados diferentes.
8. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar 2 monedas distintas y 2 dados
distintos?
Solución: Hay 2  2  6  6 144 resultados diferentes.
Ejercicio. Resuelve los siguientes problemas:
1. Un contador tiene cuatro sacos diferentes, 4 camisas: celeste, café, blanca y azul, 5
pantalones diferentes y 3 pares diferentes de zapatos; ¿de cuántas maneras puede
combinar estas prendas?
2. La baraja inglesa tiene 52 cartas, ¿de cuántas maneras se pueden elegir 4 cartas, una
después de otra?
3. Unas placas de automóvil deben constar de tres dígitos, de los cuales el primero no es
cero, seguidas de tres letras diferentes. ¿Cuántos juegos de placas pueden formarse?
(Indicación: se consideran 26 letras del alfabeto y 10 dígitos).
4. Un examen de opción múltiple consta de 10 preguntas con 4 posibles respuestas. ¿de
cuántas maneras diferentes se puede contestar, al azar, el examen?
5. Una persona desea comprar un automóvil. El fabricante le ofrece 6 colores diferentes, dos
tipos de motor, tres tipos de rines, trasmisión manual o automática y con aire
acondicionado o sin aire acondicionado. ¿cuántas maneras diferentes hay para seleccionar
un automóvil?
6. En una quiniela deportiva están egistrados 10 encuentros de futbol, cada uno con tres
posibles resultados: ganar, empatar y perder, una quiniela simple consiste en elegir
solamente un resultado. ¿de cuántas maneras posibles se puede llenar una quiniela
simple?
7. ¿Cuántos números de 5 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4,5?
8.
¿De cuantas maneras se pueden colocar en una fila 4 chicos y 4 chicas de manera que
todas los chicos y las chicas tienen que estar juntos?
9. ¿De cuántas meneras diferentes se pueden colocar las letras de la palabra “minutero”?