cuaderno de matematicas

ORIGENES DE ALGUNOS SISTEMAS NUMERICOS
©asesor Amado Miguel León Izquierdo
En los inicios de la historia escrita las personas se percataron de que dos flechas y dos frutas
tenían algo en común, una cantidad llamada dos, la percepción de esta cantidad estaba
relacionada con el proceso de contar, esto es asocio una cantidad con un conjunto de objetos o
sea una relación uno a uno y esto le sirvió a los hombres para dejar un registro de las
cantidades para lo cual inventaron lo primeros numerales que reflejaban el proceso de conteo y
con esto surgieron los primeros sistemas de numeración.
Los sistemas de de numeración usaron algunos de los siguientes principios.
Principio Aditivo.- Se suman los valores de los símbolos que lo forman.
Principio Sustractivo.- Se restan los valores de los símbolos que lo forman.
Principio Multiplicativo.- Un símbolo colocado arriba o sobre un numeral lo multiplica
por cierta cantidad.
SISTEMAS DE NUMERACION NO POSICIONALES
Los sistemas no posiciónales son aquellos en donde el valor de los números no esta
determinado por el lugar en el que se escriben. Los números solo tienen un valor absoluto.
Algunos sistemas numéricos antiguos no posiciónales, son el egipcio y el romano.
SISTEMAS DE NUMERACION EGIPCIO





El sistema de numeración de los egipcios era decimal (base 10).
Utilizó el principio aditivo.
Sus símbolos sólo tenían valor absoluto (eran jeroglíficos).
Cada símbolo podía repetirse hasta nueve veces.
La posición de sus símbolos no importaba
Ejemplos:
EL SISTEMA DE NUMERACION GRIEGO
El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base
decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se
utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.
Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10
y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil
(khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.
Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5,
usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el
jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos
según la tabla siguiente
De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a
su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a
las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina
mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades
como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha
tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue
fines místicos y adivinatorios.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN ROMANO

En su sistema de numeración se emplean 7 símbolos:
l
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000



Hacían agrupamientos de 10 en 10 (sistema decimal).
Solamente los símbolos l, X, C, M; se repetían 3 veces.
Podemos observar que: l sólo se resta de V y X; X sólo se resta de L y C; C sólo resta
de D y M.
 Una barra horizontal sobre un símbolo significa que el valor del símbolo se
multiplica por 1000.
Ejemplos:
Principio aditivo XXXlll = 33; Principio sustractivo lX = 9;
___
Principio multiplicativo Vl = 6000
Si un símbolo tiene dos rayas encima, se multiplica por 1000 X 1000 = 1000000
)  41000000
Ejemplos: V = (5)(1000000)  5000000 ; XLl = (41)(1000000
©AMLI.
SISTEMAS DE NUMERACION POSICIONALES
Los sistemas posiciónales son aquellos que representan en valor de los números de acuerdo al
lugar que ocupan en la escritura, los números tienen además de un valor absoluto, un valor
relativo.
En un sistema posicional, el valor de cada símbolo depende de la posición que ocupa.
Algunos sistemas numéricos antiguos posiciónales, son el egipcio y el romano.
SISTEMA DE NUMERACION MAYA
Los mayas fueron la primera civilización que empleo el principio de posición, e inventaron un
símbolo para el números cero. Su sistema de numeración tomo como base el numero 20, es
decir, un sistema vigesimal, los símbolos que empleaban eran tres el punto, la raya y el
caracol. Para representar los números del 1 al 19 aplicaron el principio aditivo.
Del numero 20 en adelante aplicaron el principio posicional con una escritura vertical
ascendente, el valor de cada símbolo se le debe multiplicar por
lugar que ocupe.
203  8000
202  400
201  20
200  1
200 ,201 ,202 ,203 , etc según el
Valores
Posicionales
©AMLI.
Ejemplo
3X 202 =1200
2X 201 =40
1X 200 = 1
______
1241
©AMLI.
EL SISTEMA DE NUMERACION BABILONICO
La escritura en Babilonia se hacia en pequeñas tablas con ayuda de un estilete o punzón que
producía símbolos en forma de cuña, llamados escritura cuneiforme. El símbolo que
representaba el uno era la cuña sencilla, se ponían tantos hasta llegar al diez que tenia su
propio símbolo.
El símbolo que representaba diez era la misma cuña, pero rotada 90° en la dirección en que
giran las manecillas del reloj, estos símbolos se repetían hasta 9 veces y sus valores se suman
como en el sistema egipcio (principio aditivo).
Para escribir varios cientos, usaban el principio multiplicativo
Ejemplo:
Los babilonios sabían que la esfera terrestre giraba alrededor del sol y que el año constaba de
360 días. Lo cual los conduce dividir el círculo en 360 partes y, de esta manera surge el actual
sistema de medidas basados en grados. Establecieron la división del tiempo en años, meses,
días, horas, minutos y segundos.
Actividad 1
Contesta lo siguiente
1.- ¿Qué sistema numérico representaba sus números mediante letras?
a)
b)
c)
d)
Babilónico
Maya
Decimal
Romano
2.- Los mayas colocaban sus números en forma:
a) Horizontal Ascendente
b) Vertical Descendente
c) Horizontal Ascendente
d) Vertical Ascendente
3.- ¿Que sistema numérico utiliza un símbolo a la derecha para sumar y a la izquierda para
restar (principio sustractivo y aditivo).
a)
b)
c)
d)
maya
romano
babilónico
egipcio
4.-Como se representa el 1, 5 y 10, en el sistema de numeración egipcio.
a)
,
b)
,
c)
d)
,
,
,
,
,
,
5.- ¿Que nombre recibe la escritura del sistema de numeración babilónico por emplear cuñas?
a)
b)
c)
d)
Escritura Egipcia
Escritura Romano
Escritura Cuneiforme
Escritura Decimal
6.- ¿La mayor contribución de los mayas es la creación del número?
a)
b)
c)
d)
20
10
0
1
7.- ¿Cómo representaban los números los mayas?
a) Cuñas
b) Letras
c) puntos y rayas
d) Jeroglíficos
SISTEMA DECIMAL
Es de base diez y posicional, ya que agrupa de diez en diez, es por ello que 10 unidades
forman una decena, 10 decenas forman una centena, 10 centenas forman una unidad de millar
y así sucesivamente.
Ejemplo
* La cantidad 280501, de acuerdo con la posición de sus dígitos, tiene una unidad, cero
decenas,
cinco centenas, cero unidades de millar, ocho decenas de millar y dos centenas de millar.
- Su representación en forma desarrollada verticalmente es la siguiente:
2 8 0 5 0 1
1x1
0 x 10
5 x 100
0 x 1000
8 x 10000
2 x 100000
=
1
=
00
=
500
=
0000
= 80000
= 200000
Valor del dígito de acuerdo a su posición:
1 unidad
0 decenas
5 centenas
0 unidades de millar
8 decenas de millar
2 centenas de millar
280501
- Su representación en forma desarrollada horizontalmente es la siguiente:
280501 = 2 x 100000 + 8 x 10000 + 0 x 1000 + 5 x 100 + 0 x 10 + 1
- La representación anterior se puede simplificar empleando exponentes para escribir los
múltiplos de 10.
Para las unidades, tenemos:
1=1
Para las decenas:
10 = 101
Para las centenas:
100 = 10 x 10 = 102
Para las U. de millar:
1000 = 10 x 10 x 10 = 103
Para las D. de millar:
10000 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 4
Para las C. de millar:
100000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 105
Así se tiene que la cantidad, 280501 representada en múltiplos de diez o potencias de diez,
queda de la forma siguiente:
2 x 105 + 8 x 104 + 0 x 103 + 5 x 102 + 0 x 101 + 1 x 1
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES A TRAVÉS DE ALGORITMOS
A) Valor posicional de los números.
Ejemplo
* Tres dígitos iguales representados en distintas formas tienen distinto valor numérico. Tal es
el caso del número 3 que se puede representar en las siguientes formas: 333 , 333, 333 ,
33/3 y
33
,
3
 La primera representación indica un valor numérico de trescientos treinta y tres (333).
 La segunda indica que el treinta y tres se debe multiplicar tres veces, ya que el exponente
es tres, de acuerdo con esto el valor numérico de 333 = (33)(33)(33) = 35937 .
 La tercera indica que el tres se debe multiplicar treinta y tres veces, ya que éste es el valor
del exponente; de esta forma resulta el valor numérico de 333 = 5.559060567x1015 .
 La cuarta indica que el tres tiene como exponente la unidad (1) ya que 3/3 es igual a uno, y
de acuerdo con esto el valor numérico es 33/3 = 31 = 3 .
 La última representación indica que el treinta y tres lo vamos a dividir entre el tres
resultando un valor numérico de
33
 11 .
3
De lo anterior se concluye que el valor numérico menor es 33/3 y el mayor es 333.
De acuerdo con el valor numérico de las representaciones anteriores, se pueden ordenar las
cantidades de tres números iguales de menor a mayor, quedando de la forma:
33/3 ,
33
, 333 , 333 , 333.
3
B) Método de Gauss. Para sumas de series de números.
Ejemplo
* Sumar los primeros 20 números naturales pares por medio del método de Gauss.
La serie, es:
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40 =
Se realiza la suma de cada par formado con los extremos de la serie: el primero con el último,
el segundo con el penúltimo, el tercero con el antepenúltimo, etc.
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40
42
42
42
42
42
42
42
42
42
42
La suma de cada par de extremos da 42 , y como la serie se compone de 20 elementos,
entonces se realizan 10 sumas; por lo tanto la suma de los primeros 20 números naturales
pares, es el resultado del producto de la suma de los extremos por el número de sumas
realizadas:
42 x 10 = 420
C) Multiplicación por duplicación egipcia.
Ejemplo
* Obtener el resultado de la multiplicación 16 x 12, por medio del método de duplicación
egipcia.
 Se coloca la unidad (1) y se empieza a duplicar sucesivamente, hasta llegar a un número
menor o igual al factor menor de la multiplicación, que en este caso es 12.
1
2
4
8
 Posteriormente se marcan las cantidades que sumadas den como resultado el valor
del factor menor (12).
1
2
 4
 8
12
 El siguiente paso es duplicar el factor mayor de la multiplicación (16), de manera
correspondiente a la duplicación de la unidad y se marcan las cantidades que son
correspondientes a las que fueron marcadas en la duplicación de dicha unidad.
1
2
 4
 8
12
16
32
 64
 128
 Por último se suman las cantidades que se marcaron en la duplicación del factor mayor,
y esa suma es el resultado de la multiplicación.
64 + 128 = 192
© Material tomado de cuaderno de actividades de consolidación y retroalimentación de
matemáticas
Actividad 2
1.- De acuerdo con la posición de sus dígitos, en la cifra 5555, que lugar ocupa el tercer 5 de
izquierda derecha.
A)
B)
C)
D)
Unidad
Centena
Unidad de millar
Decena
2.- En la cifra 4587 que lugar ocupa el 5:
A)
B)
C)
D)
Unidades de millar
Unidades
Decenas de Millar
Centenas
3.- Expresa las siguiente operación en su forma desarrollada, 7 centenas de millar, mas 8
decenas de millar, mas 4 unidades de millar, mas 7 centenas, mas 2 decenas, mas 7 unidades.
A) 7x106  8x105  4x104  7x103  2x102  7
B) 7x106  8x105  4x104  7x103  2x102  7
C) 7x10  8x102  4x103  7x104  2x105  7
D) 7x105  8x104  4x103  7x102  2x10  7
4.- Es la expresión que por el método de Gauss, nos conduce al resultado de la siguiente
serie de números, 2 + 9 + 16 +............... + 86 + 93 + 100
A)
B)
C)
D)
(102 x 7) + 51
102 x 15
100 x 15
100 x 7
5.- Es la suma de los primeros doce números naturales pares por el método de Gauss.
a)
b)
c)
d)
156
256
56
356
6.- Indica cual de los siguientes números es el menor.
a) 222
2
22
22
c) 2
b)
d)
2
2
2
7.- De acuerdo con el valor numérico de las siguientes representaciones, ¿Cuál de ellas tiene
33
un valor numérico menor que
?
3
A) 333
B) 333
C) 333
D) 33/3
8.- De acuerdo con el método de duplicación de los egipcios que números, se tienen que
sumar para obtener el resultado de la multiplicación 16 x 12.
A) 1
16
2
32
 4  64
 8  128
B) 1
12
2
24
 4 48
 8 96
C) 1 17
D) 1 18
2 34
2 36
 4 68
 4 71
 8 136  8 142