Lógica de predicados

Lógica de Predicados
Ing. Bruno López Takeyas
Lógica de predicados
• Lógica de predicados
• Cálculo de predicados
• Reglas de inferencia
• Deducción proposicional
• Demostración condicional
• Demostración indirecta
• Valores de certeza y Tautología
Lógica de Predicados
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Lógica de predicados
Lógica
Sintaxis
Sistema
Semántica
Simbólico
Es una herramienta para estudiar el
comportamiento de un sistema lógico.
Además proporciona un criterio para
determinar si un sistema lógico es
absurdo o inconsistente.
Sistema simbólico : Lenguaje y fórmulas
lógicas.
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Cálculo de predicados
Lenguaje de
cálculo de
predicados
Forma de
representar
conocimiento
Proposiciones
Representación en lenguaje cotidiano que
debe estar libre de vaguedades.
Atómicas
Simples (sin
términos de
enlace)
Moleculares
Unión de prop.
Atómicas con
términos de
enlace
Proposiciones
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Conexiones lógicas y
Términos de enlace
Palabras
de
enlace
que
proposiciones
atómicas
para
proposiciones moleculares.
Término
AND
OR
NOT
IF
Significado
"Y"
"O"
"No"
"Si.. entonces"
Símbolo
&
V
¬
Simbolización de
proposiciones
Uso de variables para representar
proposiones.
P = "Se cerró el circuito"
Q = "Operó la marcha"
unen
formar
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P & Q = "Se cerró el circuito y operó la
marcha"
¬Q = "No operó la marcha"
Palabra
Prop.
Simbología Nombre
de
Molecular
enlace
Conjunción
Y
PyQ
P&Q
Disjunción
O
PoQ
PVQ
Negación
No
No Q
¬Q
Condicional
Si...
Si P
Q
P
entonces
Entonces
Q
→
Jerarquía de aplicación
Menor
jerarquía
&,V
¬
Mayor
jerarquía
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Ejemplos:
(P & Q)
R
P
(Q V R)
P&Q
R
P
QVR
(P
Disjunción entre una
condicional y una
proposición
Condicional entre
una proposición y
una disjunción
P
Q) V R
QVR
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Reglas de inferencia
Modus Ponendo Ponens
P
Q
¬P V R
S & ¬Q
P
¬P V R
Q
S & ¬Q
Modus Tollendo Tollens
¬Q
P
¬(Q & R)
Q&R
¬P
¬P
P
Q
Modus Tollendo Ponens
PVQ
¬P
¬ P V (S
Q
(S
P
& ¬ Q)
& ¬ Q)
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Doble negación
P
¬¬P
¬¬P
P
Regla de adjunción Regla de Simplific.
P
Q
P&Q
P&Q
P
Ley de adición
P
S V ¬Q
PVQ
(S V ¬Q) V T
Ley de simplificación disyuntiva
PVP
P
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Ley del silogismo hipotético
P
Q
Q
R
(A & B
Z)
(T & Y)
Q
Q
P
R
(A & B
(T & Y)
Z)
Ley del silogismo disyuntivo
PVQ
R
P
S
Q
(A & B) V (F & W)
(L V H)
(A & B)
( J & D)
(F & W)
RVS
(L V H) V (J & D)
Leyes de Morgan
P&Q
A V ¬B
¬ (¬P V ¬Q)
¬ (¬A & B)
Reglas de operación
1.- Cambiar & por V, o viceversa
2.- Negar cada proposición
3.- Negar la proposición completa
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Ley de las proposiciones bicondicionales
P
P
Q
Q
Q
P
P
Q
(P
Q) & (Q
P)
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Modus Ponendo Ponens
(PP)
P
P
Q
Q
Ley de Adición
(LA)
P
P V Q
Modus Tollendo Tollens
(TT)
P
¬Q
¬P
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Q
Modus Tollendo Ponens
(TP)
P V Q
¬P
Q
Doble Negación
(DN)
P
¬¬ P
Ley de Simplificación Disyuntiva
(SD)
P V P
P
Ley del Silogismo Hipotético
(HS)
P
Q
P
Q
R
R
Ley del Silogismo Disyuntivo
(DS)
P V Q
P
R
Q
S
R V S
Regla de Adjunción
(ADJ)
P
Q
P&Q
Leyes de Morgan
(LM)
P & Q
¬ (¬P V ¬Q)
Regla de Simplific.
(S)
P &Q
Ley de las Proposiciones
Bicondicionales
(BI)
P
P
Q
P
Q
P
Q
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Deducción proposicional
♦ Demostrar que un razonamiento es
válido
1.- Líneas de demostración numeradas
(premisas o deducciones).
2.- Cada línea debe ser justificada por
una línea de inferencia.
3.- Indicar la información utilizada en
cada regla.
1) S
2) S
3)¬T
4)¬ T
5) R
¬T
R
P
P
P
PP(1,2)
PP(3,4)
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Demostración condicional
P
R
Q
¬Q
R
¬P
1) P
2) R
Q
¬Q
?
P
P
P
3) R
PP(2,3)
4) ¬Q
TT(1,4)
5) ¬P
¬P CP(3,5)
6)R
Premisa
incluida
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Demostración indirecta
♦ Demostrar de un razonamiento por
medio de una contradicción o
reducción al absurdo (Ab).
♦ Si
se
puede
deducir
una
contradicción de un conjunto de
premisas y de la negación de S,
entonces S puede deducirse del
conjunto de premisas solo.
a) Introducir la negación de la conclusión
como premisa.
b) Deducir una contradicción.
c) Establecer la conclusión como una
inferencia lógica.
Contradicción :
R&¬R
∴ R es inconsistente
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Ejemplo: Demostrar ¬ P
1) ¬Q V R
¬R
2) P
3) Q
4)
5)
6)
7)
8) P
9) ¬P
P
P
P
P
¬R
¬Q
Q & ¬Q
Q & ¬Q
Ejercicio: Demostrar
1)
2)
3)
4)
¬M
M&N
¬R V S
¬S
N
R
P
PP(2,4)
TP(1,5)
A(3,6)
CP(4,7)
Ab(8)
¬M
P
P
P
P
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Valores de certeza y tautología
P
0
0
1
1
Q P&Q PVQ ¬P P
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
Q P
1
1
0
1
Q
1
0
0
1
Tautología
Proposición molecular que SIEMPRE es
cierta, independientemente de los valores
de certeza de las proposiciones atómicas
que la componen.
Ejemplo:
P V ¬P es una tautología
P
0
1
¬P
1
0
P V ¬P
1
1
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Implicación tautológica
Una proposición P se dice que implica
tautológicamente una proposición Q si y
solo si la condicional es una tautología.
Premisas
Conclusiones = Tautología
∴ el razonamiento es válido.
1) ¬Q V R
¬R
2) P
3) Q
P
P
P
¬P
Es tautología si ...
[(¬Q V R ) & (P
siempre es cierta.
¬R) & Q]
¬P