Navegación Aérea - Tema 5: Sistema de navegación por

Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Navegación Aérea
Tema 5: Sistema de navegación por posicionamiento.
Navegación por satélite.
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Fundamentos básicos
Navegación DME-DME y el diseño de aerovı́as
Sistema de navegación por posicionamiento.
La navegación por posicionamiento consiste en averiguar la
localización geográfica con ayuda de señales o medidas
exteriores.
El ejemplo más temprano es la navegación astronómica que ya
se vio en la introducción histórica. Dicho tipo de navegación
aún se emplea, especialmente para vehı́culos espaciales y
misiles balı́sticos.
Actualmente la navegación por posicionamiento se realiza
mediante radioayudas (por ejemplo VOR/DME, DME/DME),
radar y/o sistemas de navegación por satélite (GNSS).
Además de la posición se puede encontrar la velocidad
estudiando el efecto Doppler en las señales. También puede
ser posible hallar la actitud.
Veremos en detalle la navegación DME/DME y GNSS, y su
impacto en la navegación aérea hoy en dı́a.
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Fundamentos básicos
Navegación DME-DME y el diseño de aerovı́as
Fundamentos básicos.
Los sistemas de posicionamiento que vamos a estudiar se
basan en la recepción (y en el caso del DME, emisión) de
señales respecto a un punto de referencia cuya localización es
conocida (una estación, un satélite).
Estudiando el tiempo de transmisión de dichas señales, se
encuentra la distancia hasta el punto de referencia.
Con dicha distancia se puede construir un lugar geométrico de
puntos posibles donde puede hallarse la aeronave.
Dado el suficiente número de estaciones o satélites, se
podrá hallar la posición de la aeronave como la intersección de
dichos lugares geométricos.
La posición relativa de los puntos de referencia influirá en el
error (DOP: Dilution of Precision).
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DME I
DME=Distance Measurement Equipment.
El sistema requiere un emisor/receptor en la
aeronave y un transponder en la estación en
tierra.
El sistema en la aeronave interroga al
transponder en tierra mediante una serie de
pares de pulsos. La estación responde con una
secuencia idéntica de pulsos con un cierto
retraso especı́fico (50 microsegundos).
La distancia se calcula simplemente midiendo el
tiempo que tardan las señales en retornar tras
su emisión; a dicho tiempo se le resta 50
microsegundos y se divide por 2. Dividiendo el
resultado por la velocidad de la luz, se obtiene
una buena estimación de la distancia a la
estación en tierra.
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DME II
La secuencia de pares de pulsos depende del equipo del avión,
por lo que un mismo equipo de tierra puede responder a
múltiples equipos en el aire (hasta 100–200 aeronaves).
La precisión tı́pica de un DME está entre 185 m (0.1 nm) y
926 m. (0.5nm) 2 − σ. Se pueden obtener medidas casi
continuamente (10 medidas por segundo). También se obtiene
una estimación de la velocidad (proyectada en la dirección de
la estación) mediante el efecto Doppler.
Obsérvese que la medida de distancia D es 3-D. Para obtener
la distancia sobre el terreno, dG , si la altitud Alt es conocida:
D 2 = dG2 + Alt 2 .
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Navegación DME/DME
Consideremos el caso de dos DMEs. En principio existirá una
ambigüedad que se puede resolver conocidas medidas
anteriores o con una tercera estación.
Simplifiquemos y supongamos Tierra plana y las coordenadas
x, y que miden la posición de la aeronave; las coordenadas
x1 , y1 y x2 , y2 determinan la posición de las estaciones.
Se mide la distancia a la primera estación ρ1 y a la segunda
estación ρ2 (distancias sobre tierra).
Las ecuaciones que hay que resolver para hallar la posición
son:
(x − x1 )2 + (y − y1 )2 = ρ1 , (x − x2 )2 + (y − y2 )2 = ρ2 .
Éstas ecuaciones son sencillas de resolver. Pero si las
distancias contienen error, ¿cómo determinar el error final en
la estimación de posición?
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user’s location will be in error and result in error in the computed position. The conFoghorn 1
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cept of dilution of precision is theGNSS:
ideaNavegación
that the position
por satéliteerror that results from meaNavegación DME-DME y el diseño de aerovı́as
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surement errors depends on the user/foghorn
relative geometry. Graphically, these
ideas are illustrated in Figure 7.5. Two geometries are indicated. In Figure 7.5(a),
Errores en navegación DME/DME
Foghorn 2
Variation in range ring
due to range errors:
from foghorn 1
from foghorn 2
(a)
Shaded region: Locations
Shaded
region: Locations using data
using data from
within
from
within
indicated error bounds
indicated error bounds
Variation in range ring due to
range errors:
from foghorn 1
from foghorn 2
User location
User location
Los errores dependen de la posición relativa de las estaciones
Foghorn 1
DME con respecto al receptor.
Si la linea que une al receptor con uno de los DME forma 90
2
grados con la linea que une Foghorn
al receptor
con el otro DME, la
Foghorn 1
situación
es óptima, como se (b)ve en la figura de la izquierda.
Foghorn
2
(a)geometry and dilution of precision: (a) geometry with low DOP, and (b)
Figure 7.5 Relative
Si dichas
lineas
un ángulo pequeño (por ejemplo si el
geometry with high forman
DOP.
receptor se encuentra aproximadamente entre las estaciones
Shaded region:
Locations using
data se muestra en la figura de
DME) la situación
es adversa,
como
from within indicated error bounds
la derecha.
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RNAV
RNAV=aRea NAVigation.
La navegación tradicional exige emplear
radioayudas (tı́picamente VOR) como
waypoints generando aerovı́as rı́gidas que
no permiten explotar el espacio aéreo.
Los sistemas de navegación actuales
permiten saber la posición de la aeronave
con precisión, para cualquier ruta.
RNAV es un procedimiento de navegación que permite diseñar
una ruta arbitraria con waypoints virtuales, siempre que la
ruta de la aeronave se encuentre en una zona donde los
sistemas de navegación tengan la suficiente precisión.
Dicha precisión se puede especificar, de forma que una
determinada ruta o procedimiento RNAV sólo la pueden
realizar aviones con ciertas caracterı́sticas y adecuadamente
equipados. Ésta especificación se denomina RNP.
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RNAV/RNP
RNP=Required Navigation Performance.
Es un conjunto de estándares que especifican
los requisitos mı́nimos que una aeronave y su
sistema de navegación deben cumplir para
operar en un determinado espacio aéreo.
RNAV/RNP: permite diseñar rutas con menor
separación que la tradicionalmente empleada, y
por tanto una explotación eficiente del espacio
aéreo.
RNAV/RNP es el futuro del tráfico aéreo y requiere un amplio
conocimiento de los sistemas de navegación utilizados.
Ejemplificamos éstos conceptos para el caso DME-DME.
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Navegación RNAV DME/DME
Los sistemas DME/DME están extendidos hoy
en dı́a y permiten suficiente cobertura para
todas las operaciones en ruta en Europa.
Permiten cumplir los requisitos RNAV si bien se
reconoce que deberı́a aumentar el número de
estaciones para mejorar la precisión.
Para poder realizar navegación DME/DME los
requisitos mı́nimos son 2 estaciones cumpliendo:
Distancia menor de 200 nm y mayor de 1nm.
Arco subtendido entre las dos estaciones
situado entre 30 grados y 150 grados.
Cuantas más estaciones estén disponibles,
mayor precisión se podrá conseguir. En
cualquier caso la precisión dependerá del
equipo.
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Diseño de un procedimiento I
RNAV in Europe - Procedure Design Master Class
RNAV in Europe - Procedure Design Master Class
SYSTEM ACCURACY
EUROCONTROL
WAYPOINT TOLERANCE
EUROCONTROL
HORIZONTAL VIEW
True Aircraft Flight Path
True Aircraft Position
Estimated
Flight Path
Estimated Position
ATT
XTT
XTT
ATT
FTT
Nominal Aircraft
Position
Nominal Flight
Path
XTT depends on FTT
Eliane Belin
10
Eliane Belin
11
Errores 2-D: ATT (along-track tolerance) y XTT (cross-track
tolerance).
Éstos son los errores que se requieren para diseñar
procedimientos RNAV. Se fija un corredor de seguridad en
torno a la trayectoria que respete estos errores máximos.
Aparte de los errores procedentes del DME, otros errores que
juegan un papel son (FTT=error técnico de vuelo) y el error
de cálculo (ST=system tolerance).
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Diseño de un procedimiento II
Aunque el error depende de la posición relativa de los DMEs y
el receptor, la norma editada por EUROCONTROL considera
el peor caso posible y evita complicar las fórmulas con la
geometrı́a del problema.
Según la norma,
√ hay que calcular:
d = 1,23 × Alt × 0,0125 + 0,25nm, con Alt en pies.
Se toma ST = 0,25nm, y el valor de FTT será:
En ruta: FTT = 2nm
Acercamiento inicial e intermedio: FTT = 1nm.
Despegue, acercamiento final FTT = 0,5nm.
Si sólo hay 2 DMEs multiplicar d por 1,29.
Los errores serán:
p
p
XTT = d 2 + FTT 2 + ST 2 , ATT = d 2 + ST 2
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Guidance Material for the Design of Terminal Procedures for DME/DME and GNSS Area Navigation
Diseño de un procedimiento III
2.3.4
The procedure designer should choose the table based upon the worst case
navaid availability for the waypoint in question. In other words, how many DME
stations are within range and available for use at the lowest usable level at the
waypoint. The XTT, ATT and !AW values at that level, for the appropriate
phase of flight, should then be used for all containment area calculations
associated with that waypoint. The en-route values are provided for use on
arrival legs that are more than 25 NM from the IAWP.
Altitude
(ft)
15,000
14,000
13,000
12,000
11,000
10,000
9,000
8,000
7,000
6,000
5,000
4,000
3,000
2,000
1,000
500
XTT
En-route
ATT
!AW
XTT
IAWP/IWP
ATT
!AW
FAWP/MAWP/DWP
XTT
ATT
!AW
(NM)
(NM)
(NM)
(NM)
(NM)
(NM)
(NM)
For all altitudes
3.56
8.10
2.94
2.86
2.78
2.70
2.61
2.53
2.43
2.34
2.23
2.13
2.01
1.88
1.75
1.59
1.40
2.76
2.68
2.60
2.51
2.42
2.32
2.22
2.11
2.00
1.88
1.74
1.60
1.43
1.24
0.98
5.41
5.29
5.17
5.05
4.92
4.79
4.65
4.50
4.35
4.19
4.01
3.83
3.62
3.38
3.10
4.08
Aparte se añaden pequeños ”buffers”para aumentar la
seguridad de los procedimientos.
Usando los valores de XTT y ATT se pueden diseñar
DESIGN OF PROTECTION
procedimientos
RNAV.
RNAV in Europe - Procedure Design Master Class
EUROCONTROL
2.37
2.27
2.17
2.06
1.94
1.81
1.67
1.52
1.33
1.10
0.95
(NM)
(NM)
2.32
2.22
2.11
2.00
1.88
1.74
1.60
1.43
1.24
0.98
0.81
4.06
3.91
3.75
3.59
3.41
3.22
3.01
2.77
2.50
2.15
1.92
Table 2 - XTT, ATT and Semi-width Values (in NM) for DME/DME RNAV (Only 2 DMEs available)
AREAS
Altitude
(ft)
15,000
14,000
13,000
12,000
11,000
10,000
9,000
8,000
7,000
6,000
5,000
4,000
3,000
2,000
1,000
500
SECONDARY AREA
IWP
IAWP
PRIMARY AREA
XTT
En-route
ATT
!AW
XTT
IAWP/IWP
ATT
!AW
FAWP/MAWP/DWP
XTT
ATT
!AW
(NM)
(NM)
(NM)
(NM)
(NM)
(NM)
(NM)
(NM)
(NM)
For all altitudes
3.40
2.67
7.10
2.37
2.31
2.25
2.19
2.13
2.06
2.00
1.92
1.85
1.77
1.69
1.60
1.50
1.39
1.27
2.15
2.08
2.02
1.95
1.88
1.80
1.73
1.64
1.56
1.46
1.36
1.25
1.12
0.97
0.78
4.55
4.47
4.38
4.29
4.19
4.10
3.99
3.89
3.78
3.66
3.53
3.40
3.25
3.09
2.90
1.87
1.80
1.72
1.63
1.55
1.45
1.34
1.23
1.09
0.92
0.82
1.80
1.73
1.64
1.56
1.46
1.36
1.25
1.12
0.97
0.78
0.64
3.31
3.20
3.08
2.95
2.82
2.67
2.52
2.34
2.14
1.89
1.72
Table 3 - XTT, ATT and Semi-width Values (in NM) for DME/DME RNAV (More than 2 DMEs available)
Eliane Belin
19
Los cálculos anteriores se pueden encontrar tabulados.
Edition : 2.2
Released Issue
Page 8
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Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Sistemas de posicionamiento satelitales: TRANSIT
En 1957, cuando se lanzó el Sputnik, se observó que
empleando el efecto Doppler a sus señales de radio se
podı́a estimar su velocidad relativa al observador.
A partir de la velocidad relativa se podı́a encontrar la
posición relativa, y suponiendo que el observador
conociera su posición perfectamente, por tanto se
encontraba la posición del Sputnik.
Se plantea la idea de invertir este cálculo: conocida la
posición del satélite, y utilizando señales de radio,
determinar la posición del observador.
Un primer sistema satelital es el sistema TRANSIT:
5 satélites en órbita polar baja y 5 repuestos.
Empleaba el efecto Doppler para obtener medidas 2-D
de la posición, con precisión de 200–400 m.
En servicio desde 1965 hasta 1991.
Actualización de posición cada 30 minutos
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(φ = 80o )–110 minutos (φ = 00 ).
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Sistemas de posicionamiento satelitales: GPS
En los años 60 agencias de EE.UU. (NASA,
DoD...) se interesan por desarrollar un sistema:
Global.
3-D.
De gran precisión.
Con operación continua.
Útil en plataformas de dinámica rápida.
En los años 70 nace el GPS (Global Positioning System) que
satisface los criterios y es pasivo: permite infinitos usuarios.
El sistema en su concepción es de naturaleza militar.
1978: Se lanza el primer satélite.
Años 80: el sistema es operacional.
Años 90: modernización; el uso civil supera al militar.
2000: Se desconecta la S.A. (Selective Availability).
Otros sistemas: Glonass (Rusia, global, activado en 1995 y
reparado en 2011), Beidou (China, local, año 2000) y
Beidou-2 o Compass(China, global, 2020), Galileo (UE,
arranque en 2011, puesta en marcha en 2019?).
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Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
GPS: segmento espacial
Constelación de 24 satélites (nominal)
distribuidos en 6 planos orbitales, con 4
satélites por plano. Órbitas circulares.
La constelación se ubica en órbita media,
con una altitud aproximada de 20200
kilómetros sobre la Tierra.
Satélites NAVSTAR, fabricados por Rockwell
International. Pesan 860 kg.
Cada satélite lleva a bordo un reloj atómico
sincronizado con el tiempo GPS.
Cada satélite emite continuamente un mensaje en dos
frecuencias: L1(1575.42 Mhz), L2(1227.6MHz).
El mensaje tiene 2 partes: C/A code (coarse/adquisition) y P
code (precision). Contienen una secuencia que permite estimar
el tiempo de recepción e información sobre la localización del
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satélite (efemérides).
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GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
GPS: segmento de control
Segmento de control: red que monitoriza el
estado de los satélites.
Actualiza con observaciones la posición real
de los satélites (efemérides).
Sincroniza los relojes atómicos.
Controlado por el ejército. La estación de
control maestra está en Colorado (Schriever
AFB).
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Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
GPS: segmento de usuario
Dispositivo que emplea un usuario de GPS para obtener su
posición a partir de las señales recibidas. Para ello
implementa un algoritmo de estimación de posición.
Requiere: receptor de radio, reloj de cuarzo.
Contiene un propagador de órbitas: calcula la posición de los
satélites a partir de las efemérides.
El GPS fue concebido con uso dual, civil o militar.
La señal militar está encriptada, y permite mayor precisión
(PPS=Precise Positioning System). La señal civil tenı́a ruido
añadido para hacerla menos precisa (SPS=Standard
Positioning System). Ésta adición de ruido se denominaba
S.A.=Selective Availability, pero se desactivó en 2000,
incrementando la precisión SPS.
Las precisiones mı́nimas SPS son del orden de 13m. 2drms
horizontal, 22m 2-σ vertical, 0.2m/s 2-σ en velocidad y 40ns
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2-σ en tiempo.
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Observables. Pseudodistancia.
Las medidas del receptor GPS se denominan observables.
A partir de las señales enviadas por un satélite, es posible
determinar el tiempo t0 en el que se enviaron. Comparando
con el tiempo t1 de recepción, el primer observable que se
obtiene es la diferencia de tiempos ∆t = t1 − t0 .
Llamando r a la distancia receptor-satélite, r = kr k = c∆t,
donde c es la velocidad de la luz. Definamos ρ = c∆t.
Si el reloj del receptor (un reloj de cuarzo) estuviera
sincronizado perfectamente con el tiempo GPS (dado por los
relojes atómicos a bordo de los satélites), entonces ρ serı́a una
medida exacta de la distancia.
Pero un reloj de cuarzo tiene errores; treceptor = tGPS + tu ,
donde tu es el sesgo del reloj. Errores muy pequeños
corresponden con grandes distancias ya que c es muy elevado.
Ya que ρ no es una medida exacta de la distancia se denomina
pseudodistancia.
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GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Cálculo de la posición.
Llamemos s a la posición del satélite y u a la posición del
usuario. En aplicaciones GPS se suele trabajar en el sistema de
referencia ECI o a veces ECEF.
Se tiene entonces que r = s − u. Luego r = ρ − ctu = ks − uk.
En el mensaje de navegación está codificada la efemérides del
satélite con gran precisión, lo que permite calcular s con gran
exactitud.
Por tanto para cada satélite i que sea visible en un instante
dado tendremos una ecuación del tipo ρi − ctu = ks i − uk
(una esfera).
¿Cuántos satélites serán necesarios para hallar u?
La intersección de dos esferas es una circunferencia.
La intersección de tres esferas son dos puntos.
Además tu es desconocido: son necesarios al menos cuatro
satélites.
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GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Cálculo de la posición con cuatro satélites I
Por tanto tenemos las siguientes ecuaciones:
ρ1 − ctu
=
ks 1 − uk
ρ2 − ctu
=
ks 2 − uk
ρ3 − ctu
=
ks 3 − uk
ρ4 − ctu
=
ks 4 − uk
Es necesario un algoritmo para determinar tu y u.
T y s = [x y z ]T , obsérvese que
Si definimos
u
=
[x
y
z
]
u
u
u
i i i
i
p
ρi = (xi − xu )2 + (yi − yu )2 + (zi − zu )2 + ctu . Por tanto
ρi = fi (xu , yu , zu , tu ).
Supongamos que conozco una estimación inicial de u y tu ,
dada por û = [x̂u ŷu ẑu ]T y t̂u . Definamos
δu = u − û = [δxu δyu δzu ]T , δtu = tu − t̂u y
ρ̂i = ks i − ûk + c t̂u .
Linealicemos ahora fi en torno a la estimación inicial.
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GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Cálculo de la posición con cuatro satélites II
Se tendrá que:
ρi
=
fi (xu , yu , zu , tu ) = fi (δxu + x̂u , δyu + ŷu , δzu + ẑu , δtu + t̂u )
=
fi (x̂u , ŷu , ẑu , t̂u ) +
+
∂fi (x̂u , ŷu , ẑu , t̂u )
∂fi (x̂u , ŷu , ẑu , t̂u )
∂ t̂u
∂x̂u
δxu +
∂fi (x̂u , ŷu , ẑu , t̂u )
∂ŷu
δyu +
∂fi (x̂u , ŷu , ẑu , t̂u )
∂ẑu
δzu
δtu
Se tiene que:
∂fi
(xi − x̂u )
p
=−
∂x̂u
(xi − x̂u )2 + (yi − ŷu )2 + (zi − ẑu )2
Puesto que todo es conocido en la expresión de arriba,
(xi −x̂u )
∂fi
√
definimos axi = − ∂x̂
=
.
2
2
2
u
(xi −x̂u ) +(yi −ŷu ) +(zi −ẑu )
∂fi
∂fi
Similarmente se define ayi = − ∂ŷ
y
a
=
−
zi
∂ẑu .
u
Finalmente se tiene que ∂∂ft̂ i = c.
u
Por tanto la linealización queda:
ρi = ρ̂i − axi δxu − ayi δyu − azi δzu + cδtu
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GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Cálculo de la posición con cuatro satélites III
Definamos ∆ρ = ρ̂i − ρi = axi δxu + ayi δyu + azi δzu − cδtu .
Si definimos:



δxu
ρ̂1 − ρ1



δy
u
 , ∆ρ =  ρ̂2 − ρ2
∆x = 

 ρ̂3 − ρ3

δzu
−cδtu
ρ̂4 − ρ4


ax 1


 , H =  ax 2

 ax
3
ax 4
ay1
ay2
ay3
ay4
az1
az2
az3
az4

1
1 

1 
1
Se tiene que ∆ρ = H∆x.
Por tanto para determinar ∆x simplemente ∆x = H −1 ∆ρ y
se obtienen los errores respecto a la estimación inicial.
Algoritmo iterativo: dada una estimación inicial û 0 , t̂u0 y las
medidas ρi :
1
2
3
4
5
6
Formar ρ̂0i , ∆ρ0 y H 0 .
Encontrar ∆x 0 = (H 0 )−1 ∆ρ0 .
Mejorar la estimación inicial usando ∆x 0 , obteniendo û 1 , t̂u1 .
Formar ρ̂1i , ∆ρ1 y H 1 .
Encontrar ∆x 1 = (H 1 )−1 ∆ρ1 .
Iterar hasta que k∆x n k ≤ , una tolerancia predefinida.
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Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Algoritmo de mı́nimos cuadrados para GPS
El algoritmo anterior no es válido si se tienen más de cuatro
satélites, porque H no serı́a cuadrada. En general para n
satélites ∆ρ es n × 1 y H es n × 4, mientras que ∆x es 4 × 1.
Tı́picamente es posible tomar medidas de 5 o más satélites;
cuantos más satélites, más información se tendrá y más
precisión se podrá alcanzar, por lo que serı́a deseable un
algoritmo para calcular ∆x incluyendo todas las medidas.
Además, puesto que las medidas contienen error, se podrı́a
usar un modelo del tipo ∆ρ = H∆x + ν, donde ν ∼ Nn (0, Σ)
es un modelo del error para la pseudodistancia.
Este modelo es apto para ser resuelto con el algoritmo de
mı́nimos cuadrados (ponderados o no), que además
permitirá estimar el error que se está cometiendo en ∆x a
partir del valor de H y de Σ.
Se obtiene: ∆x̂ = (H T H)−1 H T ∆ρ.
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Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Errores en los observables



Es razonable suponer Σ = 

σ12

σ22
..
.


, donde σi es

σn2
la varianza del error de cada pseudodistancia.
No obstante, es usual despreciar la diferencia de errores entre
satélites. Por tanto en primera aproximación se toma
2
, por lo que no tiene sentido usar mı́nimos
σi2 = σUERE
cuadrados ponderados y se usa simplemente el algoritmo
básico.
UERE=User Equivalent Range Error, una estimación cuyo
valor tı́pico es σUERE ∼ 7 − 1,5m (PPS-SPS), y proviene de
las siguientes fuentes de error (sumadas con RSS):
Segmento espacial: error reloj (1.1 m), cálculo órbita (0.8 m).
Segmento usuario: Efectos atmosféricos, ruido del receptor y
resolución, efectos multicamino: 7-1.4 m. (PPS-SPS)
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Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Factores DOP I
2
Por tanto en primera aproximación Σ = σUERE
Idn .
La covarianza del resultado será: Cov [∆x̂] =
2
2
(H T H)−1 H T σUERE
Idn H(H T H)−1 = σUERE
(H T H)−1 .
2
Definimos G = (H T H)−1 , llegamos a Cov [∆x̂] = σUERE
G.
El significado fı́sico de Cov [∆x̂] viene dado por
Var [δxu2 ]
 Cov [δxu δyu ]
Cov [∆x̂] = 
 Cov [δxu δzu ]
Cov [δxu δtu ]

Cov [δxu δyu ]
Var [δyu ]
Cov [δzu δyu ]
Cov [δtu δyu ]
Cov [δxu δzu ]
Cov [δyu δzu ]
Var [δzu2 ]
Cov [δtu δzu ]


Cov [δxu δtu ]
G11

Cov [δyu δtu ] 
 = σ2

UERE 
Cov [δzu δtu ] 
Var [δtu2 ]

G22



G33
G44
Los valores interesantes son los de la diagonal: nos dicen la
varianza en las diferences direcciones y el tiempo.
2
Éstas varianzas son el producto de dos factores: σUERE
, que
depende de la señal, y G , que depende sólo de H, que a su vez
sólo
depende de las derivadas de fi : es decir de la geometrı́a.
ERROR GPS=(FACTOR GEOMETRICO)× (ERROR SEÑAL)
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Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Factores DOP II
Éstos valores en la diagonal de G se combinan para formar los
llamados factores DOP, que nos dicen cuánto afecta la
geometrı́a a la solución del error. Los valores tı́picamente
usados son:
GDOP-Geometric
Dilution of Precision.
√
GDOP = G11 + G22 + G33 + G44 .
PDOP-Position
Dilution of Precision.
√
PDOP = G11 + G22 + G33 .
√
TDOP-Time Dilution of Precision. TDOP = G44√
.
HDOP-Horizontal Dilution of Precision. GDOP √
= G11 + G22 .
VDOP-Vertical Dilution of Precision. VDOP = G33 .
Usando los factores DOP podemos hallar rápidamente una
estimación de la precisión de nuestro GPS:
σz = VDOP × σUERE
σt = TDOP × σUERE /c
Precisión horizontal 2 − DRMS = 2HDOP × σUERE
27 / 47
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Factores DOP III
¿Cómo influye la geometrı́a en G ?
Intuitivamente, parece bastante claro
que si las medidas se obtienen de
satélites muy próximos, los resultados
no serán buenos.
Estudiamos para el caso de 4 satélites
la configuración que minimiza el
GDOP, con los satélites visibles en el
horizonte (elevación mı́nima 5 grados).
La elevación/azimut óptimo de los satélites es:
Satélite 1
2
3
4
h
5o
5o
5o
90o
Az
0o 120o 240o 0o
Nota: Al azimut de 1-3 se le puede añadir cualquier valor
constante, siempre que se añada a todos.
28 / 47
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Factores DOP IV
Dicha configuración óptima es un tetraedro, con el usuario
situado aproximadamente en el centro de una de las caras, y
el vértice opuesto a dicha cara justo sobre el usuario.
Para esta configuración se tiene:

0
 0,863
H =
 −0,863
0
0,996
−0,498
−0,498
0
0,087
0,087
0,087
1


0,672
1


0
1 
T
−1
→ G = (H H)
=

0
1 
0
1
0
0,672
0
0
0
0
1,6
−0,505

0

0

−0,505 
0,409
Los factores DOP son: GDOP = 1,83, PDOP = 1,72,
TDOP = 0,64, HDOP = 1,16, VDOP = 1,26.
Tomando σUERE = 7m (SPS):
Error vertical: 17.64 metros 2-σ.
Precisión horizontal 16.24 metros 2-DRMS.
Precisión en tiempo 2-σ:2 × TDOP × σUERE /c = 30 ns
29 / 47
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Cálculo de la velocidad
Una sistema de navegación enfocado a navegación aérea no
sólo debe ser capaz de hallar la posición, sino también la
velocidad (y la actitud).
Un sistema GPS se puede actualizar aproximadamente desde 1
(receptores básicos baratos) hasta unas 20 veces por segundo
(receptores con gran capacidad de cálculo, muy caros). Como
primera idea para calcular v podrı́amos usar simplemente la
.
posición en dos medidas consecutivas: v = u(t+∆t)−u(t)
∆t
No obstante si v es elevado (lo que siempre sucede en
aeronaves), incluso para un alto ancho de banda, la anterior
fórmula es poco precisa e introduce errores.
Los receptores GPS modernos encuentran la velocidad
mediante otro observable: la frecuencia de la portadora. Ésta
frecuencia se modifica por el efecto Doppler, debido a que
entre el usuario y el satélite existe una velocidad relativa.
30 / 47
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Efecto Doppler
Ecuación del efecto Doppler: fR = fT
vr · a
1−
, donde:
c
fR es la frecuencia recibida.
fT es la frecuencia transmitida (conocida).
v r = ṡ − u̇ es la velocidad relativa satélite-usuario.
s−u
a = ks−uk
es el vector unitario en la dirección satélite-usuario.
Si ya hemos obtenido la posición siguiendo los métodos
anteriormente descritos se puede considerar a conocido.
Por tanto la diferencia de fase ∆f vendrá dada por:
vr · a
∆f = fR − fT = −fT
.
c
Por otro lado el observable no es directamente ∆f , porque el
reloj del segmento de usuario no tiene la suficiente precisión e
introduce errores de medida de frecuencia de la siguiente
forma: fM = fR − fM t˙u , donde fM es la frecuencia medida.
31 / 47
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Deriva del reloj de usuario
Para entender la ecuación fM = fR − fM t˙u , imaginemos que el
usuario mide una señal dada por y = sin(a · τ ), donde τ es el
tiempo del receptor.
El receptor del usuario deduce que tiene una señal de a
Hercios. Por tanto fM = a.
Pero si τ 6= t, donde t es el tiempo GPS, se introduce un
error. Este error es τ = t + tu , donde tu es la deriva del reloj
del usuario. Imaginemos que tu ' c1 + c2 t. Luego t˙u = c2 .
Entonces realmente y = sin(at + ac1 + ac2 t), lo que es una
señal de a + ac2 Hercios (ac1 es un desfase y no influye en la
frecuencia de la señal). Luego fR es igual a a + ac2 .
En efecto, se verifica: a = a + ac2 − ac2 .
Aunque t˙u puede ser muy pequeño, tiene un efecto muy
significativo en el resultado real, ya que estará multiplicado
por c. Por tanto una deriva de 1 microsegundo por segundo
(10−6 ) darı́a errores del orden de 300 m/s!
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Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Algoritmo de cálculo de velocidad I
Por tanto tenemos las dos ecuaciones: fR − fT = −fT
fM = fR − fM t˙u .
Eliminando fR , se llega a:
vr · a
y
c
fM − fT
fM
= −v r · a − c t˙u
c
fT
fT
Puesto que v r = ṡ − u̇, escribimos:
fM − fT
fM
c
+ ṡ · a = u̇ · a − c t˙u
fT
fT
T
Llamemos d = c fMf−f
+ ṡ · a; es un vector conocido en
T
función de los datos, la medida de fase de la portadora, el
cálculo orbital, y la estimación anterior de la posición.
Para cada satélite (un mı́nimo como ya vimos de 4) se
tendrá una ecuación: d i = u̇ · ai − c ffMT i t˙u
i
33 / 47
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Algoritmo de cálculo de velocidad II
Obsérvese que las componentes de ai a partir de una posición
anteriormente estimada û son:
(xi −x̂u )
,
axi = √
2
2
2
ayi =
azi =
(xi −x̂u ) +(yi −ŷu ) +(zi −ẑu )
(yi −ŷu )
√
,
(xi −x̂u )2 +(yi −ŷu )2 +(zi −ẑu )2
(zi −ẑu )
√
.
2
2
2
(xi −x̂u ) +(yi −ŷu ) +(zi −ẑu )
Estos valores ya se habı́an calculado anteriormente en la
estimación de posición! Luego son conocidos. Llegamos a:
d i = axi u̇x + ayi u̇y + azi u̇z − c ffMT i t˙u
i
Aproximamos ffMT i ' 1. Por tanto llegamos a la ecuación
i
d = Hg , donde H es la matriz que se usó para estimar la
posición, d es un vector con las medidas y datos, y
g = [u̇x u̇y u̇z − c ṫu ]T que hay que calcular.
Resolvemos el problema por mı́nimos cuadrados como antes.
34 / 47
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Disponibilidad, integridad, continuidad
Sistemas de aumento: GPS diferencial
Cálculo de la actitud
Disponibilidad, integridad y continuidad.
En la tabla se resumen la mayor
parte de los sistemas de
navegación en uso.
Como se puede ver, el GPS es el
que consigue mayor precisión.
No obstante, la precisión no es
el único parámetro por el que se
debe elegir un sistema de
navegación.
Otros conceptos de gran
importancia son integridad,
continuidad y disponibilidad.
35 / 47
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Disponibilidad, integridad, continuidad
Sistemas de aumento: GPS diferencial
Cálculo de la actitud
Disponibilidad I
Se define disponibilidad (availability) de un sistema de
navegación como el porcentaje del tiempo que dicho sistema
es “utilizable”, dentro de su área especificada de cobertura.
Utilizable se refiere a que el sistema cumple unos requisitos
mı́nimos (p.ej. en precisión) previamente especificados. Una
definición tı́pica de utilizable es que el usuario obtenga un
PDOP ≤ 6.
En el caso del GPS, el área de cobertura es toda la superficie
de la Tierra, pero también hay que considerar el llamado
“ángulo de máscara”: el ángulo de elevación en el horizonte a
partir del cual los satélites se consideran visibles para el
receptor GPS.
En un entorno urbano o con accidentes geográficos dicho
ángulo tendrá que considerarse mayor que en un entorno sin
accidentes (p.ej. el mar).
36 / 47
0.0 Deg. mask angle
30
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
10
Disponibilidad,
integridad, continuidad
Sistemas de aumento: GPS diferencial
1
Cálculo de
la actitud
0.1
Disponibilidad II
99.999
99.99
99.99
4
5
6
7
8
9
10
99.9
99
Availability (%)
3
Performance of Stand-Alone GPS
99.9
99
Availability (%)
90
7.5 Deg. mask angle
5.0 Deg. mask angle
2.5 Deg. mask angle
0.0 Deg. mask angle
70
50
30
10
90
7.5 Deg. mask angle
5.0 Deg. mask angle
2.5 Deg. mask angle
0.0 Deg. mask angle
70
50
30
10
1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.1
10
HDOP
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PDOP
Cumulative distribution of HDOP with 7.5º, 5º, 2.5º, and 0º mask angles.
Figure 7.9
99.999
Cumulative distribution of PDOP with 7.5º, 5º, 2.5º, and 0º mask angles.
The threshold for the maximum acceptable DOP value is dependent on the
desired accuracy level. The availability of GPS, therefore, will depend on the stringency of the accuracy requirement. For this analysis, availability of GPS is chosen to
be defined as PDOP ≤ 6, which is commonly used as a service availability threshold
in the GPS performance standards [17].
99.99
Los datos mostrados son para la constelación nominal y para
distintos ángulos de máscara.
Los datos son a nivel global y en intervalos de 5 minutos.
Para ángulos de máscara de 0, 2.5 y 5 grados la disponibilidad
es del 100 %. Para 7.5 grados se encuentra una disponibilidad
del 99.98 %. La duración máxima de los periodos de no
disponibilidad con dicho ángulo de máscara es de 10 minutos,
y suceden para latitudes extremas (mayores de ±60o ).
99.9
99
Availability (%)
2
Cumulative distribution of HDOP with 7.5º, 5º, 2.5º, and 0º mask angles.
99.999
Figure 7.8
1
HDOP
Figure 7.8
336
0.1
0
90
7.5 Deg. mask angle
5.0 Deg. mask angle
2.5 Deg. mask angle
0.0 Deg. mask angle
70
50
30
10
1
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PDOP
Figure 7.9
Cumulative distribution of PDOP with 7.5º, 5º, 2.5º, and 0º mask angles.
The threshold for the maximum acceptable DOP value is dependent on the
37 / 47
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Disponibilidad, integridad, continuidad
Sistemas de aumento: GPS diferencial
Cálculo de la actitud
Disponibilidad III
7.4 GPS Availability
7.4 GPS Availability
341
339
−150
99.999
99.99
−120
−90
−60
−30
0
30
60
90
120
150
90
90
60
60
30
30
99.9
Availability (%)
99
90
24 Satellites
23 Satellites
22 Satellites
21 Satellites
70
50
0
−30
−30
10
−60
−60
1
−90
−90
30
0.1
0
1
2
3
4
6
5
7
8
9
−150
10
Cumulative distribution of PDOP with 5º mask angle cases of 24, 23, 22, and 21
−120
−90
−60
−30
0
30
60
90
120
150
−120
−90
1- to 5-minute outages
6- to 10-minute outages
PDOP
Figure 7.12
satellites.
−150
0
−60
−30
0
30
11- to 20-minute outages
21- to 30-minute outages
60
90
120
150
31- to 40-minute outages
41- to 65-minute outages
Figure 7.15 Availability of the GPS constellation with a 5º mask angle with three satellites
removed from the constellation.
Sólo el 72 % del tiempo la constelación nominal
está disponible (por errores o reparaciones).
Tı́picamente fallan 1, 2 o 3 satélites; el 98 % del tiempo
habrá al menos 21 satélites.
En la figura de la izquierda se muestra el PDOP para 24,23,22
y 21 satélites con ángulo de máscara 5 %. Las disponibilidades
son respectivamente 100 %, 99.969 %, 99.903 % y 99.197 %.
Las zonas sin disponibilidad se muestran en la derecha para el
caso de 21 satélites.
•
90
90
60
60
•
•
30
30
•
0
0
−30
−30
−60
−60
−90
−90
•
−150
−120
−90
1- to 5-minute outages
6- to 10-minute outages
−60
−30
0
30
60
90
120
150
11- to 15-minute outages
Date of prediction: The date for which the prediction is to be performed. The
GPS almanac can be used to accurately predict for approximately 7 days in
the future.
Mask angle: The elevation angle above the horizon at which satellites are considered visible by the GPS receiver.
Terrain mask: The azimuth and elevation of terrain (buildings, mountains,
and so on) that may block the satellite signal can be entered into the program
to ensure an accurate prediction.
Satellite outages: If any satellites are currently out of service, their status will
be reflected in the almanac data. However, if satellites are scheduled for maintenance for a prediction date in the future, the software allows the user to
mark those satellites unusable. This data can be obtained from the USCG
NAVCEN Web site.
Maximum DOP: As discussed previously, in order to determine availability, a
maximum DOP threshold must be set (e.g., PDOP = 6). If the DOP exceeds
that value, the software will declare GPS to be unavailable. Other applications
may use criteria other than DOP as the availability threshold. This will be discussed further in Section 7.3 for aviation applications.
Once these parameters have been input into the software, the prediction can be
performed. A prediction was performed for Boston (42.35ºN, 71.08ºW) on Decem-
Figure 7.13 Availability of the GPS constellation with a 5º mask angle with one satellite removed
from the constellation.
rences of these during the day. The majority of the outages are 10 minutes or less.
38 / 47
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Disponibilidad, integridad, continuidad
GPS
Sistemas
de aumento: GPS diferencial
available
Cálculo de la actitud
0
Figure 7.18
Disponibilidad IV
344
precision
27
28
29
31
2
4
Location
Satellite visibility and GPS availability forecast
12/23/94Z
42.35N
71.08W
0.00km
7 deg 3D
PDOP 6.0
No. visible
Dilution of
precision
Figure 7.18
2
4
6
8
10
12
14
16
Time of day (hours UTC)
18
20
GPS
available
22
24
GPS
20
22
24
GPS
Satellite visibility and GPS availability forecast
Location
SV
1
2
4
5
6
7
9
12
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
31
12/23/94Z
42.35N
71.08W
0.00km
7 deg 3D
PDOP 6.0
No. visible
Dilution of
precision
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Time of day (hours UTC)
18
20
22
24
GPS
Figure 7.19 Satellite visibility/availability over a 24-hour period with satellites 16, 25, and 26
removed from the constellation.
Satellite visibility/availability over a 24-hour period.
También se pueden realizar análisis
con includes
todathe la
plied bylocales,
the total system. Integrity
ability of a system to provide valid
and timely warnings to the user, known as alerts, when the system must not be used
the intended operation.
constelación nominal o quitandoforsatélites,
con distintos
ángulos de máscara, etc...
Por ejemplo la figura muestra un análisis local para Boston.
Con tres satélites menos hay dos cortes al dı́a.
Para realizar este tipo de análisis es útil software de análisis
orbital, como por ejemplo STK (que se usará en las prácticas). 39 / 47
Satellite visibility and GPS availability forecast
SV
1
2
4
5
6
7
9
12
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
31
18
GPS
available
GPS
available
0
8
10
12
14
16
Time of day (hours UTC)
Satellite visibility/availability over a 24-hour period.
Performance of Stand-Alone GPS
SV
1
2
4
5
6
7
9
12
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
31
6
Location
12/23/94Z
42.35N
71.08W
0.00km
7 deg 3D
PDOP 6.0
No. visible
Dilution of
precision
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Disponibilidad, integridad, continuidad
Sistemas de aumento: GPS diferencial
Cálculo de la actitud
Continuidad
Se define continuidad (continuity) de un sistema de
navegación respecto a una misión u operación, como la
probabilidad de que dicho sistema sea “utilizable” de forma
continua por toda la duración de dicha misión u operación.
Utilizable se define respecto a los requisitos mı́nimos
requeridos por la operación o misión, puede venir dado en
términos de PDOP u otros términos.
La continuidad depende mucho de la misión u operación, pero
en cualquier caso está claramente relacionada con fallos no
planificados de satélites. La probabilidad estimada de que un
satélite deje de emitir de forma no planificada, es del
0.0001 %.
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Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Disponibilidad, integridad, continuidad
Sistemas de aumento: GPS diferencial
Cálculo de la actitud
Integridad
Se define integridad (integrity) de un sistema de navegación
como la capacidad de dicho sistema para advertir que el
sistema no debe ser utilizado (debido a que no está operativo
o contiene errores). Por tanto da una medida de la confianza
que se puede tener en el sistema.
El sistema GPS no proporciona, por sı́ mismo, ningún
mecanismo de integridad. Pueden suceder errores crı́ticos (a
veces denominados “aberraciones”) que degraden el sistema.
Por ejemplo:
Efectos de la radiación en el espacio: pueden afectar a los
relojes o a la electrónica de los satélites, provocando señales
anómalas.
Fallos en los satélites.
Error humano, de software o de hardware en el segmento de
control.
Son errores raros que ocurren pocas veces al año, pero no son
admisibles para aplicaciones de navegación aérea.
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Técnicas de mejora de integridad
Puesto que la integridad es crı́tica para muchas aplicaciones,
como por ejemplo aviación, se han implementando diversos
mecanismos para proporcionar integridad al GPS.
Las técnicas de GSP diferencial (que veremos a continuación)
pueden proporcionar integridad.
Una técnica muy utilizada es la RAIM (Receiver Autonomous
Integrity Monitoring):
Es un algoritmo incorporado al receptor.
Requiere al menos cinco satélites visibles: detecta la
inconsistencia de la solución y avisa que el GPS no debe ser
utilizado.
Para ello emplea técnicas estadı́sticas de estimación.
Si tiene al menos seis satélites visibles, es capaz de ignorar el
satélite y seguir proporcionando datos de navegación fiables.
Obsérvese que puesto que RAIM requiere 5 o 6 satélites, la
disponibilidad y continuidad con RAIM será menor en general.
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GPS diferencial
Para mejorar la precisión del GPS (o la integridad) se emplean
las técnicas de GPS diferencial (DGPS).
La idea básica es usar una o más estaciones (pseudollites),
cuya posición se conoce con gran precisión, equipadas con un
receptor GPS y en comunicación con el usuario
(GBAS=Ground-Based Augmentation Systems).
También se pueden emplear satélites extra que proporcionen
medidas adicionales (SBAS=Space-Based Augmentation
Systems). Por ejemplo, la red europea EGNOS.
Los sistemas DGPS se clasifican como:
Absolutos (ECEF) o relativos (posiciones relativas a la
estación).
Por zona geográfica de cobertura:
Locales (10-100 km)
Regionales (menos de 1000 km)
Wide-area (más de 1000 km)
Basados en pseudodistancias o en fases (en fases son más
precisos, pueden conseguir precisión de mm.)
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be interpreted as a vector) and over time. Time correlations (i.e., how rapidly the
errors change with time), are also of interest,
because por
in general
DGPS systems can- Disponibilidad, integridad, continuidad
Navegación
posicionamiento
not instantaneously provide data to the end
user—even
with a high-speed
radio link Sistemas de aumento: GPS diferencial
GNSS:
Navegación
por satélite
there is some finite delay associated with the generation,
transmission,
reception,
GPS: Otros conceptos
Cálculo de la actitud
and application of the data.
GPS diferencial: principios básicos de funcionamiento I
8.2.1
Satellite Clock Errors
Satellite clock errors are one of the simplest GPS errors to correct. This is because a
satellite clock error causes the same effect on pseudorange and carrier-phase measurements, regardless of the location of the user. For instance, if the satellite clock
Satellite
User
Reference
station
Figure 8.1
Local-area DGPS concept.
Ejemplifiquemos el funcionamiento del
DGPS con un caso simple: GBAS,
absoluto, local, basado en distancias y
con una sola estación.
Recordemos que el usuario debe
encontrar su posición u resolviendo el
sistema de 4 o más ecuaciones
ρi − ctu = ks i − uk + νu , donde νu
son los errores de las señales recibidas
por el usuario.
Supongamos ahora que se tiene una estación (pseudollite) de
T
posición m = [xm yp
m zm ] ; su distancia al satélite i es:
Rim = ks i − mk = (xi − xm )2 + (yi − ym )2 + (zi − zm )2 .
Si tiene un error de reloj tm , las medidas de pseudodistancia
en la estación serán: ρm
i − ctm = ks i − mk + νm
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Cálculo de la actitud
GPS diferencial: principios básicos de funcionamiento II
La posición de la estación es fija y conocida .
Por tanto conocemos la cantidad
m − ρm = −ct − ν .
∆ρm
=
R
m
m
i
i
i
La estación envı́a ∆ρm
i al receptor, y el receptor calcula
(ρi )corr = ρi + ∆ρm
i = ks i − uk + c(tu − tm ) + (νu − νm ).
Si definimos tum como el error del reloj del receptor respecto
al reloj de la estación, tum = tu − tm observamos que
(ρi )corr = ks i − uk + ctum + (νu − νm ).
Por otro lado, ν 0 = νu − νm ≪ νu , porque νu y νm serán muy
parecidos. Luego hemos conseguido reducir mucho el error.
El nuevo tiempo que calculemos será con respecto a la
estación. Pero la estación puede calcular su error respecto al
satélite e incluirla en su mensaje de radio, de forma que
tu = tum + tm . Luego recuperamos el tiempo GPS.
Se consigue
σUERE ≈ 0,3m + (1 − 6 cm) × (dEST −RECEP en km).
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Cálculo de la actitud
Cálculo de la actitud mediante GPS I
Con DGPS de precisión (basado en fases) se obtiene la
actitud. Se sitúan n antenas receptoras en puntos separados
de la aeronave y un único receptor.
Se conoce la posición de las antenas en ejes cuerpo, R bk , y se
e
miden con DGPS la posición de las antenas en ejes ECEF, R̂ k .
Se calculan las diferencias de posición entre antenas R bk − R bj ,
e
e
y para las medidas de GPS R̂ k − R̂ j ; por hipótesis de GPS
diferencial, los errores se cancelan aproximadamente.
Llamemos a estas medidas r bi y r ni , respectivamente.
Por ejemplo si hay 3 antenas habrá 3 diferencias (aunque sólo
dos independientes). Si hay 4 antenas habrá 6 medidas (tres
independientes). En general habrá n(n−1)
medidas. Además
2
construimos más medidas con los productos vectoriales entre
ellas, obteniendo el doble de medidas: n(n − 1).
Suponiendo la posición conocida, obtenemos Cen y calculamos
r ni = Cen r ei .
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Cálculo de la actitud
Cálculo de la actitud mediante GPS II
Queremos calcular Cnb de las ecuaciones r bi = Cnb r ni .
Formemos las matrices R b = [r b1 r b2 . . . r bn ] y R n = [r n1 r n2 . . . r nn ].
Se tendrá que R b = Cnb R n . Conviene mejor escribir
R n = (Cnb )T R b , para invertir datos conocidos (R b ) y no
medidas (R n ). Si tuviéramos tres medidas independientes, se
podrı́a hacer (Cnb )T = R n ((R b )T )−1 .
En general tendremos al menos 6 medidas (para 3 antenas,
tres medidas directas y los respectivos productos vectoriales),
o más para 4 o más antenas.
Por tanto no se puede invertir la matriz R n y se usará una
solución de mı́nimos cuadrados, que es la siguiente:
−1
b
T
n
b
T
b
b
T
(Cn ) = R (R ) R (R )
−1 b n T
b
b
b
T
Trasponiendo esta ecuación: Cn = R (R )
R (R )
El mı́nimo de antenas necesario será de 3 (para dos antenas
sólo tenemos un dato de diferencias). Se suelen usar 4, para
reducir errores.
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