teorema de desarrollo de heaviside en fracciones parciales

TEOREMA DE DESARROLLO DE HEAVISIDE EN FRACCIONES PARCIALES
La técnica del desarrollo de fracciones parciales es establecida para cuidar todos los casos
sistemáticamente.
Hay 4 clases de problemas, dependiendo del denominador D(s):
Caso 1: C(s) tiene polos reales de 1er orden.
Caso 2: C(s) tiene polos reales repetidos de primer orden.
Caso 3: C(s) tiene un par de polos complejos conjugados (un factor cuadrático en el denominador).
Caso 4: C(s) tiene pares repetidos de polos complejos conjugados (un factor cuadrático repetido
en el denominador).
CASO 1: POLOS REALES DE 1ER ORDEN.
La posición de estos polos reales deC(s) en el plano s se muestra en la figura 1. Los polos
pueden ser positivos ceros o negativos y ellos están situados en el eje real en el plano s. En este
ejemplo s₁ es positivo, s₀ es cero, s₂ es negativo. Para los polos mostrados en la figura 1, la
transformada F(s) y sus fracciones parciales son:
Jw
X
-s₂
x
s₀
plano s
x
s₁
Figura 1. Localización de los polos reales en el plano s
Hay tantas fracciones como hay factores en el denominador de C(s). ya que s₀=0, el factor
s-s₀ es escrito simplemente como s. la transformada inversa para C(s) es:
El polo s₁ es positivo, por lo tanto el término
es un incremento exponencial y el
sistema es inestable. El polo s₂ es negativo, y el término
es una caída exponencial con
valor final de cero. Por lo tanto, para que un sistema sea estable, todos los polos reales que
contribuyen a complementar la solución deben estar en la mitad izquierda del plano s.(ver figura
1A)
Figura 1A. Comportamiento de los polos: positivo y negativo.
Para evaluar un típico coeficiente
factor
. El resultado es:
, multiplicando ambos lados de la ecuación por el
La multiplicación del factor
sobre el lado izquierdo del a ecuación. Y el mismo factor
D(s) deberá dividirse fuera. Si
, todos los términos en el lado derecho de la ecuación son
cero excepto . Así, una regla general para evaluar las constantes para polos reales de orden
simple es:
Donde D’(s) es
=
. Los coeficientes
polos correspondientes. Para el caso de:
Las constantes son:
son llamados los residuos de C(s) de los
La solución de c(t) es:
CASO 2: POLOS REALES DE ORDEN MÚLTIPLE.
La posición de los polos reales de F(s), algunos de los cuales son repetidos, se muestra en
la figura 2. El símbolo es proyectado para indicar un polo de orden r.
Jw
s₁
X
x
s₁
plano s
0
Figura 2. Localización de polos reales en el plano s.
Todos los polos reales están situados sobre el eje real del plano s. para los polos
mostrados en la figura 2, la transformada de C(s) y sus fracciones parciales son:
El orden de D(s) en este caso es cuatro, y hay cuatro fracciones. Note que el polo múltiplo
s, el cual es de orden 3, tiene resultados en tres fracciones en el lado derecho de la ecuación C(s).
Para designar las constantes en las fracciones parciales, un solo subíndice es usado para un polo
de primer orden. Para polos de orden múltiplo, una notación de doble subíndice es usada. El
primer subíndice designa el polo, y el segundo subíndice designa el orden del polo en la fracción
parcial. Los constantes asociados con los denominadores de primer orden en el desarrollo de las
fracciones parciales son denominados residuos; por lo tanto únicamente las constantes
son residuos de la ecuación C(s).
La transformada inversa de C(s) es:
Como calcular las constantes del orden múltiplo:
Para la transformada general con raíces reales repetidas:
La constante
puede evaluarse simplemente, multiplicando ambos lados de la ecuación C(s)
por (
obtendremos:
Nótese que el factor
Para
es dividido fuera de la parte izquierda de la ecuación
todos los términos en el lado derecho de la ecuación son ceros excepto para
:
La evaluación de
no puede realizarse en una manera similar. Multiplicando ambos
lados de la ecuación C(s) por
estado infinito, lo cual hace que
y haciendo
resultando en ambos lados su
sea indeterminable.
Si el término
queda eliminado en la ecuación
evaluarse. Así puede realizarse por diferenciación de la ecuación
Haciendo
:
,
puede
con respecto a s:
Repitiendo la derivación obtenemos el coeficiente
Este proceso puede repetirse hasta que cada constante sea determinada. Una fórmula general
para descubrir esos coeficientes asociados con el polo real repetido de orden r, es:
Para el caso de:
Las constantes son:
=1
Y la solución como una función de tiempo es
c (t) =
CASO N° 3. POLOS COMPLEJOS CONJUGADOS.
La posición de los polos complejos de F(s) en el plano s se muestra en la figura 3.
Figura 3. Localizaciones de los polos complejos conjugados en el plano s.
Los polos complejos siempre son presentados en pares complejos conjugados; su
parte real puede ser positivo o negativo. Para los polos mostrados en la figura 3 la
transformada F(s) y sus fracciones parciales son:
=
La transformada inversa de C(s) es:
f(t)=
Entonces los polos y son complejos conjugados y entonces f(t) es una cantidad
real, los coefiientes
y
tienen también que ser complejos conjugados. La ecuación
puede escribirse con los primeros términos combinados para una más usual forma
senosoidal amortiguada:
Donde el ángulo:
Los valores de
mostrada, son:
, del mismo modo que se fundamenta en la manera previamente
Así como es complejo, la constante es también compleja. Recuérdese que
asociada con el polo complejo con la parte imaginaria positiva.
está
En la figura 3, los polos complejos tienen una parte real negativa,
donde la
razón de amortiguamiento es positiva. Para este caso la correspondiente respuesta
transitoria es conocida como una sinusoidal de amortiguada y se muestra en la figura 4.
Su valor final es cero. El ángulo n mostrado en la
figura 4-3, es medido del eje real negativo y se
relaciona a la razón de amortiguamiento por :
Cos
Figura 4. Bosquejo de una senoide
exponencial amortiguada.
Si el polo complejo tiene una parte real positiva,
la respuesta con respecto al tiempo se
incrementa exponencialmente con el tiempo y
el sistema es inestable.
Si las raíces complejas son en la mitad derecha del plano s, la razón del
amortiguamiento es negativa. El ángulo n para este caso es medido para el eje real positivo
y está dado por:
Para el caso de:
Las constantes son:
=
=
0.0303
=
= 0.059
La solución es:
c(t)=0.06
Este ejemplo es usado para ilustrar las técnicas en fracciones parciales de expansión.
C(s)
c(t)
0≤t
El ángulo de fase en el término sinusoidal amortiguada es:
Esto es importante para hacer notar que:
≠
Para obtener el valor correcto para el ángulo de , es útil trazar un esquema, como
el mostrado e la figura 5. Esto evita ambigüedades y confirma que es evaluado
correctamente.
Figura 5. Calculo del ángulo θ.
POLOS IMAGINARIOS.
La posición de los polos imaginarios de C(s) en el plano s se muestra en la figura 6.
Como la parte real de los polos es cero, los polos se proyectan sobre los ejes imaginarios.
Esta situación es un caso especial de polos complejos, u,gr, la razón de amortiguamiento
. Para los polos mostrados en la figura 4-5, la transformada f(s) y sus fracciones
parciales son:
Figura 6. Polos de C(s) contienen
dos polos imaginarios complejos en
el plano s.
La cuadrática puede factor izarse en término de los polos
=(
y
asi:
(
La transformada inversa de la ecuación (4-57) es:
c(t)=
+
c(t)=2
+
sen (
Ya que no hay términos de amortiguamiento multiplicando la senoide, esos términos
representan un valor de estado estable. El ángulo
=angulo de
Los valores de
+90°
, establecidos de la manera convencional son:
Para el caso donde
Los valores de los coeficientes son
=
= 1.86 -158.2°
=
= 3.45
La solución es:
c(t)= 3.72 sen (5t-68.2°)+3.45
CASO 4: POLOS COMPLEJOS DE ORDEN MÚLTIPLE.
Aunque los polos conjugados complejos de orden múltiple no ocurren muy
frecuentemente, es importante conoce de qué modo proceder si se presentaran. Ellos
pueden tratarse en la misma manera como los polos reales repetidos. La expansión de la
fracción parcial de la transformada C(s) con polos complejos múltiples es.
C(s)=
+
+…
+
+
+
+…
Las constantes son evaluadas en la misma manera como para raíces reales repetidas, la
transformada inversa es de la forma:
c(t)= 2
2
sen(
sen(
+
+
)+
)+…