Teor´ıas de tipos 1 Introducción - Revistas Electrónicas

AVANZA. Vol. iv. Fm - Iit, Uacj (2014) 57–68.
Teorı́as de tipos
Gustavo Tapia Sánchez
Isbn: 978-607-9224-52-3
∗
†
Resumen
Este artı́culo de divulgación tiene el propósito de hacer una compilación sobre
cómo se introdujo el concepto de ciertos “tipos”, como los que definió Irving
Kaplansky para anillos de Baer (ver [4]) en diferentes contextos algebraicos,
como los anillos regulares autoinyectivos (ver [5]), los módulos inyectivos no
singulares y las categorı́as espectrales (ver [2] y [6]), sin dejar de mencionar la
Teorı́a General de Tipos que generaliza a la de Kaplansky (ver [8]).
Finaliza la exposición mencionando un proyecto que investiga el uso del concepto de Teorı́a General de Tipos, dentro del contexto de la retı́cula de generalizaciones de la Teorı́a de Torsión de Goldie, sobre un anillo R con 1, y muy
en particular sobre un anillo regular autoinyectivo. También se plantea la posibilidad de extender el estudio de los tipos sobre R-módulos de Baer de Roman
(ver [10]) en este contexto de la Teorı́a General de Tipos.
Palabras clave: Teorı́as de tipos, anillos regulares autoinyectivos, teorı́as de
torsión.
1
Introducción
Un anillo R se llama anillo regular si para cada a ∈ R existe x ∈ R, tal que
a = axa. Los anillos regulares fueron definidos por John von Neumann con
el propósito de “coordinar” ciertas retı́culas, lo que significa que éstas son isomorfas a la retı́cula de todos los ideales principales derechos del anillo regular.
Son muchas las clases especiales de anillos regulares que han surgido desde
que Von Neumann definió estos anillos, entre las que destacan la de los anillos
regulares abelianos, directamente finitos, continuos, autoinyectivos y, en especial, esta última, por la gran variedad de ejemplos importantes en donde surgen
estos anillos. Por mencionar algunos:
• El anillo máximo de cocientes de un anillo no singular, es regular autoinyectivo.
• El anillo de endomorfismos de un módulo inyectivo no singular, es regular
autoinyectivo.
∗
†
2000, Classifications numbers Ams. 16E50, 16S90.
Departamento de Fı́sica y Matemáticas, Iit-Uacj.
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G. Tapia
En [4], Kaplansky desarrolla una Teorı́a de Tipos para anillos de Baer, en
particular para anillos regulares autoinyectivos, donde define tres tipos básicos:
tipos I, II y III, haciendo después una subdivisión de los primeros dos tipos, que
finalmente arroja cinco tipos: If , I∞ , IIf , II∞ y III. Lo que probó Kaplansky
es que cada anillo regular autoinyectivo, se descompone en forma única como
un producto directo de anillos de estos tipos básicos, por lo que, en principio,
el estudio de los anillos regulares autoinyectivos se reduce al de cada uno de
estos cinco tipos.
En [6], Goodearl y Boyle desarrollan una Teorı́a de Tipos para R-módulos
inyectivos no singulares. El hecho es que para cada R-módulo inyectivo no singular, su anillo de endomorfismos es regular autoinyectivo y como tal, puede
clasificarse en los tipos de Kaplansky. Los autores estudian, entonces, las condiciones internas que debe satisfacer el módulo, para que su anillo de endomorfismos sea de un tipo especı́fico.
En [2], Gabriel y Oberst prueban que cada categorı́a espectral es equivalente
a la categorı́a plena de Q-módulos inyectivos no singulares para algún anillo
regular autoinyectivo Q, lo que implica que se puede desarrollar la Teorı́a de
Tipos de Kaplansky en el contexto abstracto de categorı́as espectrales.
En [8], Rı́os y Tapia definen el concepto de clases TT, y mediante ciertas
cadenas de éstas definen lo que llaman una“Teorı́a de Tipos”, concepto que
generaliza a los tipos de Kaplansky.
2
Tipos de Kaplansky
En esta sección vemos la clasificación en tipos de Kaplansky para anillos
regulares autoinyectivos (ver [5]). Primero definimos algunas clases especiales
de anillos regulares mediante las cuales se pueden definir los tipos mencionados.
Un anillo regular R se llama abeliano, si todos sus idempotentes son centrales y se llama directamente finito si para todo x, y ∈ R, se cumple que
xy = 1 ⇒ yx = 1.
Por ejemplo, cualquier anillo con división es abeliano, ası́ como cualquier
anillo de Boole, en tanto que cualquier anillo semisimple es directamente finito.
En [5, Corolario 5.3], se prueba que cada anillo de matrices Mn (R) sobre un
anillo regular abeliano, es directamente finito.
Estas definiciones se pueden extender para idempotentes como sigue: un
idempotente e ∈ R se llama abeliano (directamente finito) si el anillo eRe
es abeliano (directamente finito).
Teorı́as de tipos
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Recordemos que B(R) denota la retı́cula de todos los idempotentes centrales
de R y es bien sabido que B(R) es un álgebra de Boole bajo las operaciones:
e ∨ f = ef , e ∧ f = e + f − ef y e0 = 1 − e, y el orden parcial está dado, entonces,
por e ≤ f ⇔ ef = e ⇔ eR ⊂ f R. Además, cuando R es regular autoinyectivo,
se puede probar que B(R) es, además, una retı́cula completa.
Un idempotente e ∈ R se llama fiel si se cumple que
∀f ∈ B(R)(f e = 0 ⇒ f = 0).
Con estas definiciones se pueden establecer los siguientes tipos de anillos
regulares:
(i) Un anillo regular R es del tipo I, si R contiene un idempotente abeliano
y fiel.
(ii) Un anillo regular R es del tipo II, si R no contiene idempotentes abelianos
distintos de 0, pero contiene un idempotente directamente finito y fiel.
(iii) Un anillo regular R es del tipo III, si R no contiene idempotentes directamente finitos distintos de 0.
El primer teorema de estructura (ver [5, Teorema 10.13]), considerando los
tipos anteriores, es:
Teorema 2.1. Cada anillo regular autoinyectivo (derecho) Q, se factoriza en
forma única como
Q = Q1 × Q2 × Q3 ,
en donde Q1 es un anillo regular del tipo I, Q2 es un anillo regular del tipo II
y Q3 es un anillo regular del tipo III.
Para establecer la siguiente factorización, necesitamos la siguiente definición:
un anillo regular autoinyectivo Q se llama puramente infinito, si Q no contiene idempotentes centrales directamente finitos distintos de 0. Se prueba
entonces (ver [5, Proposición 10.21]) que cada anillo regular autoinyectivo Q se
descompone como
Q = Q1 × Q2 ,
donde Q1 es un anillo regular directamente finito y Q2 es un anillo regular
puramente infinito.
Se define, entonces, que un anillo regular autoinyectivo Q del tipo I (II) es
del tipo If (IIf ) si es directamente finito, y del tipo I∞ (II∞ ) si es puramente
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G. Tapia
infinito, y es claro que los anillos del tipo III son puramente infinitos, por lo
que en este caso no existe ninguna subdivisión.
Una consecuencia inmediata de los resultados anteriores es la llamada
“descomposición en tipos de Kaplansky”
Teorema 2.2. Cada anillo regular autoinyectivo (derecho) Q, se factoriza en
forma única como
Q = Q1 × Q2 × Q3 × Q4 × Q5 ,
en donde Q1 es del tipo If , Q2 es del tipo I∞ , Q3 es del tipo IIf , Q4 es del tipo
II∞ y Q5 es del tipo III.
Este teorema indica que con anillos regulares de los cinco tipos de
Kaplansky, es posible descomponer cualquier anillo regular autoinyectivo, por
lo que es importante el estudio individual de cada uno de estos tipos de anillos
regulares autoinyectivos.
3
Módulos inyectivos no singulares
Ahora vemos cómo la descomposición en tipos de Kaplansky fue contextualizada por Goodearl y Boyle, a la categorı́a de módulos inyectivos no singulares (ver [6]). Esto se logra a través del anillo de endomorfismos del módulo,
ya que como es bien sabido, si MR es un módulo inyectivo no singular, entonces su anillo de endomorfismos Q = EndR (M ) es un anillo regular autoinyectivo, por lo que es posible transportar las definiciones de anillos regulares (abeliano, directamente finito, puramente infinito y tipos I, II y III) hacia
el módulo; por ejemplo, decimos que un módulo inyectivo no singular MR es
abeliano, directamente finito o puramente infinito, si el anillo Q = EndR (M )
es abeliano, directamente finito o puramente infinito, respectivamente.
En [6], Goodearl y Boyle hacen un estudio exhaustivo sobre las caracterı́sticas internas que debe satisfacer un módulo inyectivo no singular, para que
su anillo de endomorfismos sea de una clase especı́fica de anillo regular, y prueban que los teoremas correspondientes de factorización siguen siendo válidos en
la categorı́a de módulos inyectivos no singulares sobre cualquier anillo R.
Muchas de las caracterizaciones mencionadas en el párrafo anterior, se dan
a través de los llamados submódulos cerrados (G-cerrados) de un módulo MR .
Se dice que N ≤ M es cerrado si no tiene extensiones esenciales propias en M ,
es decir,
N ⊂e K ⊂ M ⇒ N = K
Teorı́as de tipos
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y decimos que N es G-cerrado en M si M/N es no singular. Denotamos,
entonces, por L∗ (M ) al conjunto de todos los submódulos G-cerrados de M .
En vista de que L∗ (M ) contiene a M , entonces es no vacı́o, y es fácil ver que
L∗ (M ) es cerrado bajo intersecciones, por lo que dado cualquier submódulo
N ≤ M existe el menor submódulo G-cerrado de M , el cual contiene a N y es
llamado la G-cerradura de N en M .
Como se mencionó en párrafos anteriores, la idea de Goodearl y Boyle es
la siguiente: un R-módulo inyectivo no singular M es del tipo I, II, o III, si el
anillo de endomorfismos Q = EndR (M ) es del tipo I, II o III, respectivamente.
Se obtienen, entonces, las siguientes caracterizaciones:
Teorema 3.1. Sea MR un R-módulo inyectivo no singular. Entonces:
(i) M es del tipo I si y sólo si para todo 0 6= N ∈ L∗ (M ) existe 0 6= K ∈
L∗ (M ) abeliano, tal que K ⊂ N .
(ii) M es del tipo II si y sólo si M no contiene submódulos cerrados abelianos
distintos de 0 y para todo 0 6= N ∈ L∗ (M ) existe 0 6= K ∈ L∗ (M )
directamente finito, tal que K ⊂ N .
(iii) M es del tipo III si y sólo si M no contiene submódulos cerrados directamente finitos distintos de 0.
El siguiente paso es probar los teoremas de descomposición en tipos para
R-módulos inyectivos no singulares.
Teorema 3.2. Cada R-módulo inyectivo no singular MR , se escribe en forma
única como una suma directa,
M = M1 ⊕ M2 ⊕ M3 ,
donde M1 es del tipo I, M2 es del tipo II y M3 es del tipo III.
Se puede hacer el mismo refinamiento de Kaplansky, para lo cual se prueba
primero el siguiente resultado:
Teorema 3.3. Cada R-módulo inyectivo no singular MR , se escribe en forma
única como una suma directa,
M = M1 ⊕ M2 ,
donde M1 es un submódulo totalmente invariante directamente finito y M2 es
un submódulo totalmente invariante puramente infinito.
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G. Tapia
Corolario 3.4. Si MR es un R-módulo inyectivo no singular, entonces M
se escribe en forma única como una suma directa de submódulos totalmente
invariantes de los tipos If , I∞ , IIf , II∞ y III.
La trascendencia del trabajo de Goodearl y Boyle no solamente radica en
el hecho de haber contextualizado los tipos de Kaplansky a la categorı́a de
R-módulos inyectivos no singulares, sino más bien por las diversas caracterizaciones que, descubren, debe poseer un R-módulo, para que su anillo de endomorfismos sea de un tipo especial, ası́ como las implicaciones que tiene sobre
la categorı́a completa el hecho de que el mismo anillo R sea de un tipo en particular. Además, el enfoque dado por Goodearl y Boyle permitió, a su vez,
encontrar una generalización de la teorı́a de Kaplansky, como veremos en la
siguiente sección.
Una categorı́a espectral C, es una categorı́a abeliana completa, la cual tiene
un generador, y donde los lı́mites directos son exactos y cada sucesión exacta
corta, se escinde. En [2], Gabriel y Oberst demuestran que una categorı́a C es
espectral si y sólo si es equivalente a la categorı́a plena de Q-módulos inyectivos no singulares para algún anillo regular autoinyectivo Q. De esta forma, la
Teorı́a de Tipos de Kaplansky se puede estudiar en el contexto de categorı́as
espectrales.
4
Teorı́a General de Tipos
En [8], Rı́os y Tapia generalizan la Teorı́a de tipos de Kaplansky, a través de
lo que denominan clases TT (de “Teorı́as de Tipos”). Primero, generalizan la
descomposición en los tipos directamente finito y puramente infinito, y posteriormente la de los tipos I, II y III y hacen notar si hay una diferencia importante
entre ambas descomposiciones.
La generalización surge del trabajo de Goodearl y Boyle sobre R-módulos
inyectivos no singulares, al observar que la clase de los R-módulos abelianos y la
de los directamente finitos comparten ciertas propiedades, que son las que permiten obtener una descomposición en tipos, primero para R-módulos inyectivos
no singulares y como consecuencia, para anillos regulares autoinyectivos.
La propiedad primordial se resume en que una clase de anillos regulares
autoinyectivos C, es una clase TT si es cerrada bajo isomorfismos de anillos, bajo
productos directos y para cualquier anillo R, se cumple la siguiente propiedad
de cerradura: para todo R-módulo inyectivo no singular y para todo submódulo
G-cerrado N de M:
EndR (M ) ∈ C ⇒ EndR (N ) ∈ C.
Teorı́as de tipos
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Esta última condición implica que una clase TT es cerrada bajo anillos
factores directos.
Como se mencionó en un párrafo anterior, estas propiedades se dedujeron
de las obtenidas por Goodearl y Boyle, y en particular, de los corolarios 2.2
y 2.3 de [6], de los cuales se sigue que la clase de los anillos regulares autoinyectivos abelianos es una clase TT, ası́ como la de los anillos regulares
autoinyectivos directamente finitos.
El siguiente paso es utilizar las clases TT para generalizar los conceptos de
R-módulos abelianos y directamente finitos y los correspondientes para idempotentes centrales, como sigue: si C es una clase TT y M es un R-módulo inyectivo
no singular, entonces se dice que M es un C-módulo si y sólo si EndR (M ) ∈ C,
y si Q es un anillo regular autoinyectivo y e = e2 ∈ Q, entonces se dice que e
es un C-idempotente si eQ es un C-módulo.
De esta forma, cuando la clase TT es la de los anillos abelianos (directamente
finitos), entonces un R-módulo inyectivo no singular MR es un C-módulo si y
sólo si MR es abeliano (directamente finito).
Enseguida, mediante clases TT se generaliza el concepto de puramente infinito como sigue: un anillo regular autoinyectivo Q se llama centralmente Cnulo si y sólo si Q no tiene C-idempotentes centrales no nulos, y un R-módulo
inyectivo no singular MR , se llama centralmente C-nulo si y sólo si el anillo de
endomorfismos Q = EndR (M ), lo es.
Considerando, entonces, a la clase TT de los anillos directamente finitos,
se sigue que un anillo Q es centralmente C-nulo si y sólo si Q es puramente
infinito.
Con este último concepto, se obtiene el primer Teorema de Descomposición
para R-módulos inyectivos no singulares (ver [8, Teorema 1.10]), el cual establece que cada R-módulo inyectivo no singular MR , se descompone en forma
única como una suma directa de dos submódulos totalmente invariantes, uno
de ellos C-módulo y el otro, centralmente C-nulo. Como consecuencia de este
resultado, se obtiene el siguiente Teorema de Descomposición:
Teorema 4.1. Si C es una clase TT, entonces cada anillo regular autoinyectivo
Q se descompone en forma única como un producto directo de anillos, uno
perteneciente a C y el otro, centralmente C-nulo.
Si se aplica este último teorema a la clase TT de los anillos directamente finitos, se obtiene la descomposición de Kaplansky en anillos directamente finitos
y puramente infinitos, pero lo importante del teorema es que puede ser aplicado a cualquier clase TT y obtener distintas factorizaciones de anillos regulares
autoinyectivos.
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G. Tapia
Antes de establecer el concepto de Teorı́a de Tipos, recordamos que dada
una familia F de R-módulos derechos, la clase de todos los R-módulos derechos
cogenerados por F consiste en todos los R-módulos que son isomorfos a algún
submódulo de un producto directo de miembros de F.
Finalmente, la generalización de la Teorı́a de Tipos de Kaplansky se obtiene
mediante cadenas finitas de clases TT:
T = {C0 , C1 , . . . , Cn },
donde C0 = {0} y Cn es la clase de todos los anillos regulares autoinyectivos
derechos, tal que para cada i = 1, . . . , n existe un anillo regular autoinyectivo
izquierdo Q, para el cual se cumple que la clase de todos los Q-módulos cogenerados por los Q-módulos inyectivos no singulares y Ci−1 -módulos está contenida
propiamente en la correspondiente para los Ci -módulos. Esta última propiedad
se establece para garantizar la existencia de anillos de cada uno de los tipos
que se definen a continuación.
Def inición 4.2. Dada una Teorı́a de Tipos T , decimos que un anillo regular autoinyectivo derecho Q es del tipo Ti (i = 1, . . . , n) si Q tiene un Ci -idempotente
fiel, pero Q no contiene Ci−1 -idempotentes no nulos.
Un R-módulo inyectivo no singular MR , se llama del tipo Ti si su anillo de
endomorfismos Q = EndR (M ) es del tipo Ti .
Cuando se considera la cadena formada por los anillos regulares autoinyectivos derechos abelianos y directamente finitos, se obtiene precisamente la
definición en los tipos I, II y III de Kaplansky, pero distintos tipos se obtienen
mediante otras cadenas.
Son muchas las propiedades que se demuestran para los R-módulos inyectivos no singulares de un tipo dado, siendo tal vez las más importantes las
descomposiciones en los tipos Ti (ver [8, Teorema 2.11 y Corolario 2.12])
Teorema 4.3. Para cada Teorı́a de Tipos T y cada R-módulo inyectivo no
singular MR , éste se descompone en forma única como una suma directa de
R-módulos derechos de los tipos T1 , . . . , Tn .
En consecuencia, cada anillo regular autoiyectivo derecho Q se escribe en
forma única como un producto directo de anillos de los tipos T1 , . . . , Tn .
Utilizando simultáneamente los teoremas 4.1 y 4.3, se obtiene la descomposición en los cinco tipos de Kaplansky If , I∞ , IIf , II∞ y III, pero en [8]
los autores dan una gran variedad de distintas teorı́as de tipos y las correspondientes descomposiciones para anillos regulares autoinyectivos, ası́ como una
serie de caracterizaciones para que un anillo regular autoinyectivo sea de un
tipo especı́fico en estas nuevas teorı́as de tipos.
Teorı́as de tipos
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Teorı́as de tipos en la retı́cula R-tors
Las teorı́as de torsión fueron definidas por Dickson (ver [1]) y han sido
ampliamente estudiadas por diversos autores, siendo una de las obras más completas la de Golan (ver [3]).
Recordamos que una teorı́a de torsión (hereditaria) τ sobre M od − R, consiste en una pareja τ = (Tτ , Fτ ) de clases no vacı́as de R-módulos derechos, tal
que se satisfacen las siguientes condiciones:
(i) HomR (M, E(N )) = 0 para todo M ∈ Tτ y para todo N ∈ Fτ .
(ii) Si HomR (M, E(N )) = 0 para todo N ∈ Fτ , entonces M ∈ Tτ .
(iii) Si HomR (M, E(N )) = 0 para todo M ∈ Tτ , entonces N ∈ Fτ .
Entonces Tτ se llama clase de τ -torsión y Fτ clase τ -libre de torsión.
Existen varias caracterizaciones para que una pareja (T, F ) de R-módulos
derechos sea una teorı́a de torsión, por ejemplo, una clase no vacı́a F de Rmódulos derechos es la clase libre de torsión de alguna teorı́a de torsión si y
sólo si F es cerrada bajo submódulos, productos directos, cápsulas invectivas
y extensiones; en este caso, se define T como la clase de todos los R-módulos
derechos, tales que HomR (M, E(N )) = 0 para todo N ∈ F .
Es bien sabido que la familia de R-módulos derechos no singulares cumple
con las condiciones mencionadas en el párrafo anterior, por lo que es la clase
libre de torsión de alguna teorı́a de torsión, la cual es llamada Teorı́a de Torsión
de Goldie y denotada como τg .
Si τ, σ son teorı́as de torsión sobre M od − R, se define el orden parcial τ ≤ σ
si Tτ ⊂ Tσ o equivalentemente si Fσ ⊂ Fτ ; en el caso cuando τ ≤ σ, se dice que
σ es una generalización de τ .
Además, si {τα } es una familia de teorı́as de torsión sobre M od−R, entonces
el ı́nfimo y supremo son las teorı́as de torsión ∨τα y ∧τα , tales que
\
F∨τα =
Fτα
\
T∧τα =
Tτα .
En particular, existe la menor teorı́a de torsión sobre M od−R, denotada por
ξ, en la cual el único R-módulo de torsión es el 0, y la mayor teorı́a de torsión
sobre M od − R, denotada por χ, en la cual todos los R-módulos derechos son
de torsión. Asimismo, dada cualquier familia X de R-módulos derechos, existe
la menor teorı́a de torsión, cuya clase de torsión contiene a X, a saber,
∧{τ | X ⊂ Tτ }.
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G. Tapia
Esta teorı́a de torsión se llama Teorı́a de Torsión generada por X y se denota
como ξ(X). De la misma forma, existe la mayor teorı́a de torsión, cuya clase
libre de torsión contiene a X, a saber,
∨{τ | X ⊂ Fτ }.
Esta teorı́a de torsión se llama Teorı́a de Torsión cogenerada por X y se
denota como χ(X).
Además, se prueba que el conjunto de teorı́as de torsión sobre M od − R es
un marco, es decir, una retı́cula completa donde
τ ∧ (∨τα ) = ∨ (τ ∧ τα )
para cualesquiera τ, {τα } teorı́as de torsión sobre M od − R. Este marco se
denota como R-tors.
En vista de lo anterior, podemos definir subintervalos sobre la retı́cula Rtors, y uno de particular importancia es el subintervalo de todas las generalizaciones de la Teorı́a de Torsión de Goldie, esto es,
gen (τg (R)) := [τg , χ] = {τ ∈ R − tors | τ ≥ τg }.
El intervalo gen (τg (R)) ha sido estudiado por diversos autores, en
particular, Raggi y Rı́os han obtenido muchos resultados importantes sobre
la estructura reticular de este subintervalo de R-tors. En lo concerniente a los
anillos regulares autoinyectivos, ellos demuestran el siguiente resultado (ver [7,
Teorema 2]):
Teorema 5.1. Sea Q un anillo regular autoinyectivo derecho, entonces la
correspondencia
φ : B(Q) → gen (τg (Q)) ,
tal que φ(e) = χ ((1 − e)Q)) es un isomorfismo de retı́culas completas.
Como consecuencia de este teorema y del teorema 1.15 de [6], se obtiene que
para cualquier anillo R, la retı́cula gen (τg (R)) es isomorfa a B(Q) para algún
anillo regular autoinyectivo izquierdo Q y en consecuencia, gen (τg (R)) es una
retı́cula de Boole.
En vista de que cada anillo regular autoinyectivo se descompone en los cinco
tipos de Kaplansky y dada la relación de isomorfismo del teorema anterior, es
natural cuestionarse sobre las implicaciones que tiene la Teorı́a de Tipos de
Kaplansky, especialmente en el contexto de R-módulos inyectivos no singulares,
sobre la retı́cula de generalizaciones de τg y viceversa. Aún más, considerando
Teorı́as de tipos
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la teorı́a general de tipos sobre R-módulos inyectivos no singulares, es de esperarse que exista una contextualización de estas teorı́as de tipos sobre el marco
gen (τg (Q)).
En un artı́culo en proceso ([9]). Rı́os y Tapia definen para cualquier Teorı́a
de Tipos T = {C0 , C1 , . . . , Cn }, las teorı́as de torsión del tipo Ti para cada
i = 1, 2, . . . , n y prueban que para cada anillo R hay una descomposición de la
retı́cula gen (τg (R)) en función de las teorı́as de torsión de cada tipo. Encuentran caracterizaciones para que un anillo regular autoinyectivo derecho sea de
un tipo especı́fico, en términos de la retı́cula de generalizaciones de τg y finalmente, trabajando con teorı́as de tipos particulares, obtienen nuevos aspectos
reticulares de gen (τg (R)).
Finalmente, hay que mencionar que en [10], Roman estudia las propiedades
de los módulos Baer (casi Baer), es decir, aquellos R-módulos M cuyo anulador
derecho de cualquier ideal izquierdo (bilateral) del anillo de endomorfismos de
M, es un sumando directo de M. En particular, en el capı́tulo 4, el autor define
los cinco tipos de Kaplansky para R-módulos Baer y obtiene algunas condiciones
para que un módulo Baer sea de algún tipo especı́fico. Es natural suponer que
la teorı́a general de tipos de Rı́os y Tapia, se puede estudiar en este nuevo
contexto de R-módulos Baer y buscar caracterizaciones para que un R-módulo
Baer sea de algún tipo, dependiendo de la teorı́a de tipos que se esté aplicando.
Referencias
[1] Dickson, S. “A torsion theory for abelian categories”. Trans. Amer. Math.
Soc., 121, 223-235 (1966).
[2] Gabriel, P.; Oberst, U. “Spektralkategorien und regülare Ringe in VonNeumannschen Sinn.” Math. Zeitschrift, 92, 389-395 (1966).
[3] Golan, J. Torsion theories. Longman Scientific & Technical, Harlow (1986).
[4] Kaplansky, I. Rings of operators. New York, Benjamin (1968).
[5] Goodearl, K. R. “Von Neumman regular rings”. Monographs and Studies
in Mathematics, Pitman (1979).
[6] Goodearl, K. R.; Boyle, A. K. “Dimension theory for nonsingular injective
modules”. Memoirs Amer. Math. Soc., No. 177.
[7] Raggi, F.; Rı́os, J. “On the lattice structure of torsion theories”. Communications in Algebra, 19 (2), 669-674 (1991).
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G. Tapia
[8] Rı́os, J.; Tapia, G. “A general theory of types for nonsingular injective
modules”. Communications in Algebra, 20 (8), 2337-2364 (1992).
[9] Rı́os, J.; Tapia, G. “Some relationships between the theories of types and
torsion theories”. in process (2014).
[10] Roman, C. “Baer and quasi-Baer modules”. Dissertation Ph. D., The Ohio
State University (2004).
Gustavo Tapia Sánchez ([email protected])
Departamento de Fı́sica y Matemáticas, Iit-Uacj,
Av. Del Charro núm. 450 norte, Ciudad Juárez, Chihuahua, México,
C.P. 32310, A.P. 1594-D.