el modelo estándar y su fenomenología

Métodos y Técnicas Avanzadas en Física
EL MODELO ESTÁNDAR Y SU FENOMENOLOGÍA
Parte 1:
La teoría electrodébil y herramientas de cálculo
José Ignacio Illana
Departamento de Física Teórica y del Cosmos
Universidad de Granada
Diciembre de 2007
Última revisión: 16 de septiembre de 2015
Índice
1 La teoría electrodébil
1.1
1.2
1.3
1
El Modelo Estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
La simetría gauge: origen de las interacciones . . . . . . . . . . .
3
1.1.2
La rotura espontánea de la simetría gauge: origen de las masas .
7
Réplicas de familias fermiónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2.1
Autoestados de masa y de interacción . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2.2
Conservación del sabor en corrientes neutras y GIM . . . . . . .
14
1.2.3
Mezcla de sabores de quarks: la matriz de CKM . . . . . . . . . .
14
Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3.1
Fermiones de Dirac y de Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.3.2
Seesaw: ¿por qué los neutrinos son tan ligeros? . . . . . . . . . . .
20
1.3.3
Mezcla de sabores leptónicos: la matriz de PMNS . . . . . . . . .
21
1.3.4
Oscilaciones de neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.3.5
Test de la violación del número leptónico: 0νββ . . . . . . . . . .
30
2 Observables
2.1
2.2
33
Sección eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.1.1
¿Qué significa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.1.2
Probabilidad de transición y matriz S . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.1.3
Flujo incidente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.1.4
Fórmula final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.1.5
Caso 2 → 2 en el sistema centro de masas . . . . . . . . . . . . .
37
Anchura de desintegración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3 Reglas de Feynman
3.1
41
Reglas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
41
Índice
4
3.2
Algunos vértices genéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.3
Vértices del Modelo Estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4 Cálculo de correcciones cuánticas a un loop
45
4.1
Estructura de las amplitudes a un loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.2
Cálculo explícito de las integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.2.1
Ingredientes básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.2.2
Funciones de dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.2.3
Funciones de tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Algunos casos sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.3
5 Aplicación: factores de forma dipolares a un loop
55
5.1
El vértice vector-fermión más general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
5.2
El momento magnético anómalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
5.2.1
El momento magnético anómalo en QED . . . . . . . . . . . . . .
58
5.2.2
El momento magnético anómalo en el SM . . . . . . . . . . . . .
59
El proceso raro µ → eγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
µ → eγ en el SM con neutrinos masivos . . . . . . . . . . . . . .
61
5.3
5.3.1
Capítulo 1
La teoría electrodébil
1.1 El Modelo Estándar
El Modelo Estándar (SM) [1] es una teoría gauge basada en el grupo de simetrías locales SU(3)c ⊗ SU(2) L ⊗ U(1)Y , que describe las interacciones fuertes, débiles y electromagnéticas mediante el intercambio de los correspondientes campos de spin 1 (bosones de gauge): 8 gluones sin masa y 1 fotón (γ) sin masa para las interacciones fuertes
y electromagnéticas, respectivamente, y 3 bosones masivos (W± y Z) para la interacción débil. El contenido de materia fermiónica consiste en tres familias de quarks y
tres de leptones (tabla 1.1). Cada familia está formada por dos patículas de spin 1/2,
f y f , con cargas eléctricas Q f = Q f + 1 en unidades de la carga del protón, y sus
corrrespondientes antipartículas. Los quarks aparecen en tres posibles estados de color
(convencionalmente rojo, verde y azul).
Los campos se agrupan en multipletes (representaciones irreducibles) bajo las transformaciones del grupo (tabla 1.2). Los quarks son tripletes y los leptones son singletes
bajo el grupo SU(3)c de color. Bajo el grupo SU(2) L las componentes levógiras (left) se
transforman de forma distinta que las dextrógiras (right): los campos left son dobletes
y los right son singletes de isospin débil T. El índice Y se refiere a la hipercarga. La
carga eléctrica, el isospin y la hipercarga de los campos están relacionados mediante
Q = T3 + Y. Las tres familias de quarks y leptones tienen las mismas propiedades
(interacciones gauge), sólo difieren en las masas y en el número cuántico de sabor de
sus campos.
La simetría gauge está rota espontáneamente lo que exige la introducción de un
campo escalar (el campo de Higgs) y permite que los bosones débiles y los fermiones
sean masivos, tal y como los observamos en la naturaleza.
A continuación construiremos el lagrangiano del SM de las interacciones electromagnéticas y débiles para una sola familia de quarks y leptones. Ignoraremos las
interacciones fuertes, que son independientes del sabor.
1
Capítulo 1: La teoría electrodébil
2
I
II
III
Q
f
uuu
ccc
ttt
2/3
f
ddd
sss
bbb
f
νe
νµ
ντ
0
f
e
µ
τ
−1
Fermiones
spin
1
2
Quarks
Leptones
−1/3
Bosones
spin 1 8 gluones
Interacción fuerte
γ
Interacción electromagnética
W± , Z
Interacción débil
spin 0 Higgs?
Origen de las masas
Tabla 1.1: Las partículas e interacciones del SM.
Multipletes
Quarks
SU(3)c ⊗ SU(2) L ⊗ U(1)Y
(3, 2, 16 )
(3, 1, 23 )
(3, 1, − 13 )
Leptones
(1, 2, − 12 )
I
uL
II
cL
III
tL
dL
sL
bL
uR
cR
tR
dR
νe L
sR
νµ L
bR
ντL
eL
µL
τL
(1, 1, −1)
eR
µR
τR
(1, 1, 0)
νeR
νµ R
ντR
Tabla 1.2: Multipletes de campos del SM.
1.1. El Modelo Estándar
3
1.1.1 La simetría gauge: origen de las interacciones
Consideremos un mundo con sólo una familia de fermiones (quarks o leptones) de
spin 1/2 f y f libres y sin masa, descritos por los campos f ( x ) y f ( x ), respectivamente.
Vendrá descrito por el lagrangiano de Dirac:
L0F = i f¯( x )∂/f ( x ) + i f¯ ( x )∂/f ( x ) = i
∑
ψ̄ j ( x )∂/ψ j ( x ) ,
(1.1)
j=1,3
con ∂/ ≡ γµ ∂µ , y hemos agrupado por conveniencia las componentes left en un doblete
y las right en dos singletes,
ψ1 =
fL
f L
,
ψ2 = f R ,
ψ3 = f R ,
(1.2)
()
()
donde f R,L = PR,L f ( ) , f¯R,L = f¯( ) PL,R , con PR,L = 12 (1 ± γ5 ). Si queremos que el
lagrangiano sea invariante bajo transformaciones gauge1 del grupo G = SU(2) L ⊗
U (1 )Y ,
G
ψ1 ( x ) −→ UL ( x ) exp{iy1 β( x )}ψ1 ( x ) ,
σ
UL ( x ) = exp i i αi ( x ) , i = 1, 2, 3 (1.3)
,
2
G
ψ2 ( x ) −→ exp{iy2 β( x )}ψ2 ( x ) ,
(1.4)
G
ψ3 ( x ) −→ exp{iy3 β( x )}ψ3 ( x ) ,
(1.5)
hemos de reemplazar ∂µ por la derivada covariante2
Dµ ψ1 ( x ) ≡ ∂µ − igWµ ( x ) + ig y1 Bµ ( x ) ψ1 ( x ) ,
Dµ ψ2 ( x ) ≡ ∂µ + ig y2 Bµ ( x ) ψ2 ( x ) ,
Dµ ψ3 ( x ) ≡ ∂µ + ig y3 Bµ ( x ) ψ3 ( x ) ,
(1.6)
(1.7)
(1.8)
donde se introducen g y g , las σi son las tres matrices de Pauli y
µ ( x ) ≡ σi Wµi ( x ) .
W
2
(1.9)
Las propiedades de transformación de los campos de gauge quedan fijadas: son las
que hacen que los Dµ ψ j ( x ) se transformen igual que los ψ j ( x ), es decir,
G
Bµ ( x ) −→ Bµ ( x ) −
1
∂µ β( x ) ,
g
G
µ ( x ) −→
µ ( x )U † ( x ) − i ∂µ UL ( x ) U † ( x ) .
UL ( x )W
W
L
L
g
1 Las
(1.10)
(1.11)
transformaciones gauge son locales, es decir dependientes del punto espaciotemporal x.
convenio de signos es el más habitual y el adoptado en el paquete informático FeynArts [2].
2 Este
Capítulo 1: La teoría electrodébil
4
Nota: En general, si { Ta } son los generadores del grupo, { Aµa ( x )} los bosones de
gauge asociados y {θ a ( x )} los parámetros de la transformación, es fácil comprobar
que la derivada covariante es
µ ,
Dµ = ∂µ − ig A
µ = Ta Aµa
con A
si los campos se transforman
ψ → Uψ,
µ
A
U = exp{iTa θ a ( x )}
µ U † − i (∂µ U )U †
→ UA
g
De este modo, Dµ ψ → UDµ ψ y ψ̄/
Dψ queda invariante.
Como hay cuatro parámetros de gauge, αi ( x ) y β( x ), para mantener la invariancia
gauge, hemos tenido que introducir tres bosones vectoriales, Wµi ( x ), uno por cada
generador de SU(2), y otro más, Bµ ( x ), para el grupo U(1). Nótese que la simetría
dicta la forma de las interacciones. Los acoplamientos g y g , así como las hipercargas
yi , son parámetros libres.3 El lagrangiano
3
L F = i ∑ ψ̄ j ( x ) Dψ
/ j (x)
(1.12)
j =1
es, por tanto, invariante bajo las transformaciones gauge de G. Para que la teoría sea
completa han de añadirse los términos cinéticos para los bosones de gauge:
1
1 µν 1
1 i
µν
L G = − Bµν Bµν − Tr W
= − Bµν Bµν − Wµν
Wi
µν W
4
2
4
4
(1.13)
donde
Bµν ≡ ∂µ Bν − ∂ν Bµ ,
(1.14)
µ , ∂ν − igW
ν = ∂µ W
ν ] , (1.15)
ν − ∂ν W
ν − ig[W
µ , W
µν ≡ i
∂µ − igW
W
g
j
i
i
µν ≡ σi Wµν
W
,
Wµν
= ∂µ Wνi − ∂ν Wµi + g
ijk Wµ Wνk
(1.16)
2
σ
σi σj
,
= i
ijk k .
y hemos sustituido las constantes de estructura de SU(2):
2 2
2
µν se
El tensor Bµν es invariante bajo las transformaciones de G, mientras que W
transforma covariantemente,
G
Bµν −→ Bµν ,
G
µν −→
µν U † ,
W
UL W
L
(1.17)
así que L G es también invariante gauge. Como SU(2) es no abeliano, L G da lugar a
autointeracciones cúbicas y cuárticas entre sus bosones de gauge. La intensidad de
tales interacciones viene dada por el mismo acoplamiento g que aparece en la parte
fermiónica L F .
3 El
acoplamiento de los fermiones a los bosones de gauge de SU(2) es único, g, debido a que este
grupo es no abeliano.
1.1. El Modelo Estándar
5
Interacciones de corrientes cargadas
ν
W
u
W
d
W
W
ν
u
d
Figura 1.1: Vértices de interacción de corrientes cargadas.
El lagrangiano L F contiene interacciones entre fermiones y bosones de gauge,
3
µ ψ1 − g Bµ ∑ y j ψ̄ j γµ ψ j .
L F ⊃ gψ̄1 γµ W
(1.18)
j =1
El término que contiene la matriz
µ = σi Wµi = 1
W
2
2
Wµ3
√
2Wµ
√
2Wµ†
(1.19)
−Wµ3
da lugar a interacciones √
de corrientes cargadas con el campo vectorial cargado
de las
√
W± , Wµ ≡ (Wµ1 + iWµ2 )/ 2 y su complejo conjugado Wµ† ≡ (Wµ1 − iWµ2 )/ 2,
g †¯
µ
LCC = √ Wµ f ( x )γ (1 − γ5 ) f ( x ) + h.c. .
(1.20)
2 2
Interacciones de corrientes neutras
f
γ
f
Z
f = u, d, f = u, d, ν, Figura 1.2: Vértices de interacción de corrientes neutras.
La ecuación (1.18) también contiene interacciones con los campos de gauge neutros
Wµ3 y Bµ . Nos gustaría identificar estos bosones con el Z y el fotón. Sin embargo, como
el fotón tiene las mismas interacciones con ambas quiralidades fermiónicas, el bosón
de gauge singlete Bµ no puede ser el campo electromagnético Aµ . Para ello habría que
imponer y1 = y2 = y3 y g y j = eQ j , lo que no puede cumplirse simultáneamente.
Como ambos campos son neutros, podemos probar con una combinación arbitraria
de ellos:
cos θW − sin θW
Zµ
Wµ3
.
(1.21)
≡
Bµ
sin θW cos θW
Aµ
Capítulo 1: La teoría electrodébil
6
En términos de Zµ y Aµ el lagrangiano de corrientes neutras queda:
LNC =
3
∑ ψ̄j γµ
− Aµ gT3 sin θW + g y j cos θW + Zµ gT3 cos θW − g y j sin θW ψ j ,
j =1
(1.22)
donde T3 = σ3 /2 (0) es la tercera componente del isospin del doblete (singlete). Para
obtener la electrodinámica cuántica (QED) de la parte con Aµ hay que imponer las
condiciones:
g sin θW = g cos θW = e ,
Y = Q − T3 ,
donde Q es el operador de carga eléctrica,
Qf 0
Q1 =
, Q2 = Q f ,
0 Qf
Q3 = Q f .
(1.23)
(1.24)
La primera igualdad relaciona los acoplamientos g y g de SU(2) y U(1), respectivamente, con el acoplamiento electromagnético e, lo que proporciona la unificación de las
interacciones electrodébiles. La segunda fija las hipercargas fermiónicas Y en términos
de las cargas eléctricas y los números cuánticos de isospin débil:
1
1
= Q f + , y2 = Q f , y3 = Q f .
(1.25)
2
2
Sustituyendo las cargas de los quarks y los leptones, observamos que los neutrinos
right tienen carga e hipercarga nulas, es decir no se acoplan ni al fotón ni a la Z, y
tampoco se acoplan a los W± , pues sólo lo hacen los campos left. Por tanto los νR son
estériles y, si los neutrinos no tuvieran masa, no haría falta introducirlos.
y1 = Q f −
El lagrangiano de corrientes neutras queda finalmente:
Z
LNC = LQED + LNC
,
(1.26)
donde
LQED = −eAµ Q f ( ) f¯( ) ( x )γµ f ( ) ( x ) ,
Z
LNC
= eZµ f¯( ) ( x )γµ (v f − a f γ5 ) f ( ) ( x ) ,
f
(1.27)
(1.28)
f
con v f = (T3 L − 2Q f sin2 θW )/(2 sin θW cos θW ) y a f = T3 L /(2 sin θW cos θW ).
Autointeracciones de bosones de gauge
Del lagrangiano L G se extraen los términos de autointeracción triple y cuártica:4
µν †
†
µ ν
†
µν
L3 = −ie cot θW W Wµ Zν − Wµν W Z − Wµ Wν Z
†
+ie W µν Wµ† Aν − Wµν
W µ Aν − Wµ† Wν Fµν ,
(1.29)
4
Resulta conveniente usar la relación de anticonmutación de las matrices de Pauli, {σi , σj } = 2δij .
1.1. El Modelo Estándar
7
W
W
γ
Z
W
W
W
W W
γ
W
γ
W
Z
W
W W
γ
W
Z W
Z
Figura 1.3: Vértices de autointeracción de bosones de gauge.
L4
e2
= −
2 sin2 θW
Wµ† W µ
2
− Wµ† W µ† Wν W ν
Wµ† W µ Zν Zν
− Wµ† Zµ Wν Zν
−e cot θW
+e2 cot θW 2Wµ† W µ Zν Aν − Wµ† Zµ Wν Aν − Wµ† Aµ Wν Zν
−e2 Wµ† W µ Aν Aν − Wµ† Aµ Wν Aν ,
2
2
(1.30)
donde Wµν = ∂µ Wν − ∂ν Wµ . Nótese que siempre hay como mínimo un par de bosones
cargados W y que no hay ningún vértice neutro con sólo fotones y bosones Z.
1.1.2 La rotura espontánea de la simetría gauge: origen de las masas
La simetría gauge, que ha determinado cómo son las interacciones, prohibe términos
de masa para los bosones de gauge. Tampoco son posibles los términos de masa para
los fermiones.
La rotura espontánea de la simetría (SSB) aparece cuando el vacío del sistema
(estado de mínima energía) está degenerado. El vacío físico es uno entre los posibles
estados de mínima energía conectados por las simetrías del lagrangiano. Cuando la
naturaleza lo elige se rompe la simetría de los estados físicos, aunque se preserva la
del lagrangiano.
El resultado de la SSB depende del tipo de simetrías. Si el lagrangiano es invariante
bajo un grupo continuo de simetrías G, pero el vacío es invariante sólo bajo un subgrupo H ⊂ G, entonces aparecen tantos estados sin masa y spin 0 (bosones de Goldstone)
como generadores de G que no lo son de H, es decir, el número de simetrías que
se han roto (teorema de Goldstone [3, 4]). Si las simetrías del lagrangiano son locales
(gauge) estos bosones de Goldstone son comidos por los bosones de gauge asociados a
las simetrías rotas dotándolos de una masa (mecanismo de Higgs-Kibble [5]).
Ilustremos la SSB con el ejemplo más sencillo: un campo escalar complejo φ( x ) con
Capítulo 1: La teoría electrodébil
8
V(φ)
V(φ)
ϕ
1
|φ|
|φ|
ϕ
2
Figura 1.4: Forma del potencial escalar (1.31) para µ2 > 0 (izquierda) y µ2 < 0 (derecha). En el segundo caso existe un continuo de vacíos degenerados, correspondientes
a diferentes fases, concectados a través de una excitación de campo sin masa ϕ2 .
lagrangiano
L = ∂ µ φ † ∂ µ φ − V (φ ) ,
V ( φ ) = µ 2 φ † φ + λ ( φ † φ )2 .
(1.31)
Este lagrangiano es invariante bajo transformaciones globales de fase U(1),
U (1)
φ( x ) −→ exp{iθ }φ( x ) .
(1.32)
Para que el potencial V (φ) esté acotado inferiormente (es decir, exista un estado de
mínima energía, el vacío) el parámetro λ > 0. Respecto a µ2 , existen dos posibilidades:
Si µ2 > 0, el potencial tiene sólo un mínimo trivial, en φ( x ) = 0. Se trata entonces
de un campo escalar de masa µ y acoplamiento cuártico λ.
Si µ2 < 0, el mínimo corresponde a las configuraciones del campo que satisfacen
− µ2
v
λ
|0|φ( x )|0| ≡ |φ0 ( x )| =
≡ √ >0,
V (φ0 ) = − v4 .
(1.33)
2λ
4
2
Debido a la invariancia de fase del lagrangiano, existen por tanto un número infinito
de estados de mínima energía, todos ellos conectados por las transformaciones de fase,
v
φ0 ( x ) = √ exp{iθ } .
2
(1.34)
Eligiendo uno de ellos como el estado fundamental del sistema (el vacío físico), por
ejemplo θ = 0, la simetría se rompe espontáneamente. Si parametrizamos las excitaciones del campo sobre el vacío físico como
1
φ( x ) = √ [v + ϕ1 ( x ) + iϕ2 ( x )] ,
2
(1.35)
donde ϕ1 ( x ) y ϕ2 ( x ) son campos reales, el potencial toma la forma
V (φ) = V (φ0 ) − µ2 ϕ21 + λvϕ1 ( ϕ21 + ϕ22 ) +
λ 2
( ϕ + ϕ22 )2 .
4 1
(1.36)
1.1. El Modelo Estándar
9
Vemos que ϕ1 tiene masa m ϕ1 = −2µ2 , mientras que ϕ2 no tiene masa. La aparición
de esta partícula sin masa (bosón de Goldstone) es fácil de entender: ϕ2 describe las
excitaciones a lo largo de una dirección plana del potencial, es decir a estados que tienen la misma energía del estado fundamental. Estas excitaciones no cuestan energía y
corresponden por tanto a un estado sin masa. En este caso hay un solo bosón de Goldstone porque al elegir un vacío hemos roto la única simetría (bajo transformaciones de
fase) del vacío.
Masas para los bosones de gauge débiles
Veamos ahora cómo implementar este mecanismo para dar masa a los bosones de
gauge débiles del SM. En el SM la simetría está rota del siguiente modo,
SSB
SU(2) L ⊗ U(1)Y −→ U(1)QED .
(1.37)
Para lograr este esquema de SSB hemos de introducir un doblete de campos escalares
complejos (cuatro campos reales: dos cargados y dos neutros),
φ(+)
(1.38)
Φ=
φ (0)
y el lagrangiano invariante bajo SU(2) L ⊗ U(1)Y ,
L S = ( Dµ Φ)† D µ Φ − V (Φ) ,
V ( Φ ) = µ 2 Φ † Φ + λ ( Φ † Φ )2
con λ > 0, µ2 < 0 y
Dµ Φ = ∂µ − igWµ + ig yΦ Bµ Φ ,
yΦ = QΦ − T3 =
1
.
2
(1.39)
(1.40)
El potencial escalar es similar al anterior y el mínimo degenerado corresponde a
0
1
− µ2
,
v=
|0|Φ( x )|0| ≡ |Φ0 ( x )| = √
.
(1.41)
λ
2
v
Solo los campos escalares neutros pueden adquirir un valor esperado en el vacío (vev)
pues la carga es una cantidad conservada. Nótese que el fotón sólo se acopla a los
campos escalares cargados, cuyo vev es nulo, lo que será crucial para que el fotón no
adquiera masa, como veremos. Al elegir uno entre todos los posibles estados fundamentales (1.41), todos ellos conectados por transformaciones SU(2) L ⊗ U(1)Y (cuatro
generadores), se rompe espontáneamente esta simetría quedando como remanente
U(1)QED (un generador), lo que da lugar a la aparición de tres escalares sin masa.
Parametrizamos ahora el doblete escalar en término de excitaciones sobre el vacío
físico,
σ
1
0
Φ( x ) = exp i i θ i ( x ) √
,
(1.42)
2
2
v + H (x)
Capítulo 1: La teoría electrodébil
10
donde sigue habiendo cuatro campos escalares reales, θ i ( x ) y H ( x ). Los tres campos
θ i ( x ), son los que serían bosones de Goldstone pero haciendo uso de la invariancia gauge
del langrangiano podemos transformar Φ( x ) en cada punto x por un campo en el que
éstos desaparecen, preservándose como único campo escalar físico el bosón de Higgs
H ( x ). Así, en el llamado gauge unitario,
σ
0
1
G
Φ( x ) −→ exp −i i θ i ( x ) Φ( x ) = √ [v + H ( x )]
.
(1.43)
2
2
1
Los tres grados de libertad que aparentemente se pierden se convierten en el estado
de polarización longitudinal de W± y Z pues, tras la SSB, Wµ y Zµ se convierten en
campos masivos de spin 1. En efecto,
2
g2
G 1
† µ
µ
2 g
† µ
µ
W W +
( Dµ Φ) D Φ −→ ∂µ H∂ H + (v + H )
Zµ Z
,
(1.44)
2
4 µ
8 cos2 θW
que contiene los términos de masa para los bosones débiles,
MZ cos θW = MW =
1
vg ,
2
(1.45)
mientras que el fotón permanece sin masa. Todo ello preservándose la simetría gauge
del lagrangiano. El precio que hemos de pagar es la introducción del campo de Higgs.
El bosón de Higgs
H
H
H
H
H
H
H
Figura 1.5: Autoacoplamientos del bosón de Higgs.
El LS de (1.39) incluye el bosón de Higgs y sus autointeracciones cúbicas y cuárticas
L H (Figs 1.5), así como las interacciones del Higgs con los bosones de gauge L HV 2
(Fig. 1.6):
1
LS ⊃ λv4 + L H + L HV 2 ,
4
(1.46)
donde
LH
L HV 2
1
1 2 2 M2H 3 M2H 4
µ
H − 2H ,
= ∂µ H∂ H − M H H −
2
2
2v
8v
2
2
H
1
2
H2
2
† µ
2
µ
= MW Wµ W 1 + H + 2 + MZ Zµ Z 1 + H + 2
v
v
2
v
v
(1.47)
(1.48)
1.1. El Modelo Estándar
11
W
H
Z
H
W
Z
W
H Z
H
W
H Z
H
Figura 1.6: Acoplamientos del Higgs con los bosones de gauge.
y la masa de Higgs viene dada por
MH =
−2µ2 =
√
2λv .
(1.49)
El LHC anunció en julio de 2012 el descubrimiento de una partícula con propiedades
consistentes con las esperadas para el bosón de Higgs del SM y una masa de unos
125 GeV [6]. Los datos de Tevatron son compatibles con este descubrimiento [7].
Parámetros del modelo: predicciones y medidas
Hasta ahora hemos introducido cuatro parámetros libres: g, g , λ y µ, o equivalentemente, α = e2 /(4π ), sin2 θW , MZ y M H . Nótese que el modelo predice que MW < MZ ,
lo que está de acuerdo con los valores experimentales [8]:
MZ = 91.1876 ± 0.0021 GeV ,
MW = 80.385 ± 0.015 GeV .
(1.50)
De estos valores experimentales se deduce el ángulo de mezcla electrodébil
2
sin θW
2
MW
= 1 − 2 = 0.223 ,
MZ
(1.51)
valor que está de acuerdo con el que se obtiene a partir de la medida de la constante
de Fermi GF = (1.1663787 ± 0.0000006) · 10−5 GeV−2 [8], que a su vez se obtiene de la
medida de la vida media del muón (τµ = (2.1969811 ± 0.0000022) · 10−6 s [8]):
G2F m5µ
1
= Γµ =
f (m2e /m2µ ) ,
3
τµ
192π
f ( x ) ≡ 1 − 8x + 8x3 − x4 − 12x2 log x ,
(1.52)
recordando que, a partir del modelo de Fermi de cuatro fermiones,
√
g2
g2
4πα
≈
=
≡
4
2GF .
2 − q2
2
2
MW
MW
sin2 θW MW
(1.53)
Capítulo 1: La teoría electrodébil
12
Usando las medidas de α−1 = 137.035999074 (44) [8], MW y GF se obtiene sin2 θW =
0.215, en bastante buen acuerdo con (1.51). La pequeña discrepancia se resuelve cuando se incluyen las correcciones radiativas (cuánticas).
La constante de Fermi también proporciona directamente el vev del campo escalar
(la llamada escala electrodébil),
√
−1/2
v=
2GF
≈ 246 GeV .
(1.54)
Masas para los fermiones
f
H
f = u, d, Figura 1.7: Acoplamiento del bosón de Higgs con fermiones.
Consideremos por el momento sólo una familia de quarks y leptones. Un término
de masa fermiónico Lm = −mψ̄ψ = −m(ψ̄L ψR + ψ̄R ψL ) no está permitido porque
rompe explícitamente la simetría gauge. Sin embargo, como hemos introducido un
doblete escalar adicional en el modelo, podemos escribir el siguiente acoplamiento
fermión-escalar invariante gauge:
(+)
(0)∗
(+)
φ
φ
φ
LY = −y1 ū, d¯ L
d R − y2 ū, d¯ L
uR − y3 (ν̄e , ē) L
e R + h.c. ,
(
0
)
φ
−φ(−)
φ (0)
(1.55)
donde el segundo término involucra el campo escalar conjugado de carga Φc ≡ iσ2 Φ∗
(que se transforma bajo SU(2) de la misma forma que Φ) y hemos supuesto que no
existe el νR . Después de la SSB, este lagrangiano tipo Yukawa toma la forma
1
¯ + y2 ūu + y3 ēe
LY = − √ (v + H ) y1 dd
2
(1.56)
en el gauge unitario. Así que la SSB también genera las masas de los fermiones, proporcionales a los correspondientes acoplamientos de Yukawa:
v
m d = y1 √ ,
2
v
m u = y2 √ ,
2
v
m e = y3 √ .
2
(1.57)
Las masas de los fermiones se determinan experimentalmente. Los acoplamientos de
Yukawa se fijan en términos de las masas:
H ¯ + mu ūu + me ēe .
md dd
LY = − 1 +
(1.58)
v
1.2. Réplicas de familias fermiónicas
13
1.2 Réplicas de familias fermiónicas
Sabemos que en la naturaleza existen tres familias de quarks y leptones. Se trata de
copias idénticas de la misma estructura SU(2) L ⊗ U(1)Y , siendo los valores de las
masas la única diferencia.
Consideremos el caso general de nG generaciones de fermiones y denotemos νjI , jI ,
u jI , d jI los miembros de la familia j (j = 1, . . . , nG ), con propiedades de transformación
bien definidas bajo el grupo de gauge. Hasta ahora habíamos omitido el superíndice I.
El lagrangiano de Yukawa invariante gauge más general tiene la forma
(+)
(0)∗
φ
φ
(d)
(u )
I
I
ū jI , d¯jI
y jk
dkR
ukR
LY = − ∑
+ y jk
(
0
)
(−)
L
φ
−φ
jk
φ(+)
(l )
I
+ ν̄jI , ¯ jI y jk
kR
+ h.c.,
(
0
)
L
φ
(d)
(u )
(1.59)
(l )
donde y jk , y jk and y jk son constantes de acoplamiento arbitrarias y seguimos suponiendo que no existen neutrinos right.
1.2.1 Autoestados de masa y de interacción
Después de la SSB, de el lagrangiano de Yukawa puede escribirse
H I
LY = − 1 +
d L Md d RI + u LI Mu u RI + l LI Ml l RI + h.c. .
v
(1.60)
Los símbolos d I , u I y l I denotan vectores en el espacio de sabor nG -dimensional. Las
matrices de masa vienen dadas por
(d) v
(Md )ij ≡ yij √ ,
2
(u ) v
(Mu )ij ≡ yij √ ,
2
(l ) v
(Ml )ij ≡ yij √ .
2
(1.61)
La diagonalización de estas matrices determina los autoestados de masa d j , u j y j , combinaciones lineales de autoestados de interacción d jI , u jI y jI , respectivamente.
Las tres matrices M f pueden escribirse como
donde H f ≡
M f = H f U f = S†f M f S f U f
(1.62)
M f M†f es una matriz hermítica definida positiva y U f es unitaria. Cada
H f puede diagonalizarse mediante una matriz unitaria S f . La matriz resultante, M f ,
es diagonal y definida positiva.
En términos de las matrices diagonales
Md = diag(md , ms , mb , . . .) , Mu = diag(mu , mc , mt , . . .) , Ml = diag(me , mµ , mτ , . . .)
(1.63)
Capítulo 1: La teoría electrodébil
14
ui
dj
W
c
t
d
s
b
V∗ij
W
Vij
u
ui
dj
Figura 1.8: Transiciones que cambian el sabor a través de acoplamientos de corrientes
cargadas con bosones W ± .
el lagrangiano de Yukawa toma la forma
H LY = − 1 +
d Md d + u Mu u + l Ml l ,
v
(1.64)
donde los autoestados de masa se definen mediante
d L ≡ Sd d LI ,
u L ≡ Su u LI ,
l L ≡ Sl l LI ,
d R ≡ Sd Ud d RI ,
u R ≡ Su Uu u RI ,
lR ≡ Sl Ul lRI .
(1.65)
Nótese, que los acoplamientos con el Higgs son proporcionales a las masas de los
fermiones.
1.2.2 Conservación del sabor en corrientes neutras y GIM
Como f LI f LI = f L f L y f RI f RI = f R f R ( f = u, d, ), la forma del lagrangiano de corrientes
neutras es la misma en términos de los autoestados de masa. Por eso, no existen
corrientes neutras que cambien el sabor (FCNC) en el SM (mecanismo GIM) [9].
1.2.3 Mezcla de sabores de quarks: la matriz de CKM
Sin embargo u LI d LI = u L Su S†d d L = u L d L , pues en general Su = Sd . Se define la
matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM) [10],
V ≡ Su S†d
⇒
u L d L = u L V d L .
(1.66)
La matriz nG × nG de CKM es unitaria y aparece en interacciones de corrientes cargadas de quarks:
g
LCC = √
Wµ† ∑ ūi γµ (1 − γ5 ) Vij d j + ∑ ν̄ γµ (1 − γ5 ) + h.c. .(1.67)
2 2
ij
= e,µ,τ
La matrix V acopla cada quark tipo up a todos los quarks de tipo down.
Hemos supuesto que los neutrinos no tienen masa. En ese caso, siempre podemos
redefinir los sabores de los neutrinos de modo que eliminamos la mezcla análoga en
1.2. Réplicas de familias fermiónicas
15
el sector leptónico: ν LI l LI = ν LI Sl l L ≡ ν L l L y tenemos conservación de sabor. Nótese
que si los ui o los d j tuvieran masas degeneradas podríamos igualmente redefinir los
campos y habría también conservación de sabor en el sector de quarks. Si se incluyen
campos νR podrían introducirse acoplamientos de Yukawa para los neutrinos, dando
√
(ν)
lugar a una matriz de masas (Mν )ij ≡ yij v/ 2 y obtendríamos violación del sabor
leptónico a través de una matriz de mezcla análoga a la CKM. El fenómeno de las
oscilaciones de neutrinos, que estudiaremos en la siguiente sección, nos indica que en
realidad los neutrinos tienen masa, aunque diminuta.
Las masas de los fermiones y la matriz de mezcla V de los quarks vienen deter(f)
minadas por las correpondientes matrices de acoplamientos de Yukawa yij , que son
parámetros libres. Una matriz nG × nG unitaria general se caracteriza por n2G parámetros reales: nG (nG − 1)/2 módulos y nG (nG + 1)/2 fases. Varias de estas fases
son irrelevantes, porque uno puede redefinir las fases de los campos (no son físicas):
ui → eiφi ui y d j → eiθ j d j , de modo que Vij → Vij ei(θ j −φi ) . Esto significa que hay
2nG − 1 fases inobservables. Por tanto, el número de parámetros libres físicos se reduce a (nG − 1)2 : nG (nG − 1)/2 módulos y (nG − 1)(nG − 2)/2 fases.
Así, si sólo se mezclan dos generaciones V viene determinada por un solo parámetro, el ángulo de Cabibbo:


cos θC sin θC
.
(1.68)
V = 
− sin θC cos θC
Para nG = 3, la matriz de CKM viene descrita por 3 ángulos y una fase. Existen diferentes (pero equivalentes) representaciones en la literatura. La llamada parametrización
estándar [8] es:


Vud Vus Vub



V = 
V
V
V
cs
cd
cb


Vtd Vts Vtb




0 s13 e−iδ13
1
0
0
c13
c12 s12 0





  −s

= 
0
1
0
12 c12 0 
 0 c23 s23  

0 −s23 c23
−s13 eiδ13 0
c13
0
0 1


−
iδ
13
s12 c13
s13 e
c12 c13




iδ
iδ
13
13
=  −s12 c23 − c12 s23 s13 e
c12 c23 − s12 s23 s13 e
s23 c13  , (1.69)


s12 s23 − c12 c23 s13 eiδ13 −c12 s23 − s12 c23 s13 eiδ13 c23 c13
donde cij ≡ cos θij y sij ≡ sin θij (i, j = 1, 2, 3). Los ángulos θ12 , θ13 y θ23 pueden
hacerse yacer todos en el primer cuadrante, mediante una redefinición apropiada de
las fases de los campos de los quarks. De este modo, cij ≥ 0 , sij ≥ 0 y 0 ≤ δ13 ≤ 2π .
Nótese que δ13 es la única fase compleja del lagrangiano del SM. Por ello, es la
única fuente posible de violación de CP. De hecho, fue por esta razón que se supuso
Capítulo 1: La teoría electrodébil
16
existía una tercera generación, antes del descubrimiento del bottom y el τ. Con sólo
dos generaciones, el SM no podría explicar la violación de CP en el sistema de kaones,
por ejemplo.
Experimentalmente se tiene acceso sólo a los módulos de Vij . En la tabla 1.3 se
presentan los valores que se han podido determinar directamente. El resto se obtienen
utilizando la unitariedad de la matriz.
Tabla 1.3: Determinaciones directas de elementos de matriz CKM Vij . Extraído de [11].
CKM
Valor
Fuente
|Vud |
0.9740 ± 0.0005
Desintegración β nuclear
0.9729 ± 0.0012
n → p e− ν̄e
0.9749 ± 0.0026
π + → π 0 e+ νe
0.9739 ± 0.0005
promedio
0.2220 ± 0.0025
K → πe+ νe
|Vus |
0.2199 ± 0.0026 Desintegraciones de hiperones
0.2208 ± 0.0034
0.2219 ± 0.0025
0.0037 ± 0.0005
→ µ+ νµ y retículo
promedio
νd → cX
W+ → cs̄
W+ → had. , Vuj , Vcd , Vcb
B → D∗ ν̄
b → c ν̄
promedio
B → ρ ν̄l , π ν̄
b → u ν̄
promedio
+0.16
0.97 −
0.12
t → b W/q W
60◦ ± 14◦
sistemas K y B
0.2212 ± 0.0025
|Vcd |
|Vcs |
0.224 ± 0.012
0.97 ± 0.11
0.975 ± 0.013
|Vcb |
0.0414 ± 0.0021
0.0410 ± 0.0015
0.0411 ± 0.0015
|Vub |
0.0033 ± 0.0006
0.0047 ± 0.0009
|Vtb | /
∑q |Vtq |2
δ13
Desintegraciones de τ
K+ /π +
1.3 Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos
Hemos visto que si los neutrinos no tuvieran masa (o si todos tuvieran la misma
masa aunque no fuera nula) no habría mezcla de sabores en el sector leptónico, se
conservaría el sabor leptónico: el número de electrones, el de muones y el de taus.
1.3. Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos
17
Sin embargo, debido el fenómeno de las oscilaciones de neutrinos, sabemos que los
neutrinos no están degenerados en masa. Podrían entonces darse procesos tales como
µ → eγ, y otros parecidos, que estudiaremos en otro capítulo. En éste nos centraremos
en qué son las oscilaciones, en qué experimentos se han observado y qué información
nos aportan sobre las masas de los neutrinos y la matriz de mezcla de los leptones.
Previamente necesitamos introducir el concepto de fermión de Majorana.
1.3.1 Fermiones de Dirac y de Majorana
A diferencia de los quarks y los leptones cargados, los neutrinos pueden ser su propia
antipartícula (fermiones de Majorana), porque todas sus cargas son nulas. Esto abre
la posibilidad de que neutrinos y antineutrinos se mezclen, enriqueciendo aún más la
mezcla de sabores.
Recordemos que un fermión de Dirac es un campo (espinor) con cuatro componentes
independientes: dos estados de quiralidad (left y right) para los estados de partícula y
antipartícula:
ψL = PL ψ ,
ψR = PR ψ ,
ψcL ≡ (ψL )c = PR ψc ,
ψRc ≡ (ψR )c = PL ψc ,
(1.70)
donde ψc ≡ Cψ̄ T = iγ2 ψ∗ es el espinor conjugado (transformado bajo conjugación de
carga) con C = iγ2 γ0 , ψ̄ = ψ† γ0 y PR,L = 12 (1 ± γ5 ).
Un fermion de Majorana tiene en cambio dos grados de libertad pues ψc ≡ η ∗ ψ:
ψL = ηψRc ,
ψR = ηψcL ,
(1.71)
donde |η |2 = 1. Veremos que la fase η es proporcional a la CP-paridad, η = −iηCP .
Nótese que C† = C T = C−1 = −C y Cγµ C−1 = −γµT . Veamos que la CP-paridad
de un campo de Majorana es ηCP = ±i:5
†
UCP ψ( x )UCP
≡ ηCP γ0 ψ( xP ) ,
†
⇒ UCP ψ∗ ( x )UCP
†
⇒ UCP Cψ̄ T ( x )UCP
†
⇒ UCP Cψ̄ T ( x )UCP
†
⇒ UCP ψc ( x )UCP
=
=
=
=
∗
ηCP
γ0T ψ∗ ( xP ) ,
donde x ≡ ( x0 , x ) ,
∗
ηCP
Cγ0T ψ̄ T ( xP ) ,
∗
−ηCP
γ0 Cψ̄ T ( xP ) ,
∗
−ηCP
γ0 ψ c ( xP ) .
xP ≡ ( x0 , −x) (1.72)
pues (γ0 ψ)∗ = (ψ† γ0 )T = γ0T ψ∗
T
† 0 T
0T
pues ψ̄ = (ψ γ ) = γ ψ
0T
pues Cγ C
−1
= −γ
0
∗
(1.73)
(1.74)
(1.75)
(1.76)
Comparando la primera y la última igualdad y utilizando que ψ = ηψc :
∗
⇒ ηCP = ±i
ηCP = −ηCP
q.e.d.
(1.77)
Veamos que hay tres tipos de términos de masa podemos construir a partir de
5
Los operadores sobre el espacio de Dirac (ej. C) conmutan con los que actúan sobre el espacio de
Fock (ej. UCP ).
Capítulo 1: La teoría electrodébil
18
todos los bilineales escalares posibles:
ψL ψR = ψRc ψcL ,
ψL ψcL ,
ψcL ψL
ψR ψRc ,
ψRc ψR
ψR ψL = ψcL ψRc (∆F = 0)
(|∆F| = 2)
(1.78)
El término de masa tipo Dirac conecta componentes L y R del mismo campo,
−LD = m D ψR ψL + h.c.
(1.79)
Los de tipo Majorana conectan componentes L y R de campos conjugados,
−LM =
1
1
m L ψcL ψL + m R ψRc ψR + h.c. .
2
2
(1.80)
Nótese que ψc = ψ T C.
Vemos que el término de masa de Dirac conserva el número fermiónico (∆F = 0)
mientras que los de Majorana lo violan en dos unidades (|∆F| = 2). En general, ambos
tipos de términos pueden estar presentes y entonces
1
1
−LDM = m D ψR ψL + m L ψcL ψL + m R ψRc ψR + h.c. .
2
2
(1.81)
0
Conviene introducir un doblete de campos de Majorana autoconjugados (χ0c
i = χi ):
0
c
χ
ψ
ψ
L
1
L
χ0 =
, χ0R = χ0c
.
(1.82)
= χ0L + χ0R , χ0L =
L =
0
c
χ2
ψR
ψR
Entonces
1
1
1 0
0
0
−LDM = χ0c
Mχ0L + h.c. = χ0T
L CMχ L + h.c. = χ R Mχ L + h.c. ,
L
2
2
2
mL mD
.
donde M =
mD mR
(1.83)
La matriz M es cuadrada, simétrica (y real si se conserva CP). Puede diagonalizarse
con una matriz unitaria U (ortogonal U = O si se conserva CP) mediante:
U T MU = M = diag(m1 , m2 ) ,
χ0L = U χ L ,
∗
χ0R = χ0c
L = U χR .
(1.84)
Para conseguir que los autovalores sean reales y positivos, la matriz U puede multi√
plicarse por una matriz diagonal de fases complejas η:
√
U → U ≡ U η ,
ηij = ηi δij ,
ηi ∈ R,
(1.85)
que corresponde a elegir los campos físicos como
c
ξ i = χiL + ηi χiL
,
(1.86)
1.3. Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos
19
de donde ξ ic = ηi ξ i . Comprobaremos que si se conserva CP las ηi son los signos de los
correspondientes autovalores mi :
ηi = signo(mi ) ,
(1.87)
mi =
(1.88)
ηi mi
.
T
† = iγ0 Cξ ( x ).
Veamos ahora que si hay invariancia CP entonces: UCP ξ L ( x )UCP
L
P
T
† ≡ ργ0 Cξ ( x ), donde ρ es una fase que vamos a determinar. Si
Sea UCP ξ L ( x )UCP
L
P
† = L
el lagrangiano LDM es invariante bajo CP entonces: UCP LDM ( x )UCP
DM ( xP ). Por
tanto:
†
= ξ TL ( xP )CMξ L ( xP )
UCP ξ TL ( x )CMξ L ( x )UCP
(1.89)
T
ξ L ( xP )ρMρCξ L ( xP ) = ξ TL ( xP )CMξ L ( xP )
⇒ ρMρ = −M ,
(1.90)
pues C = −C
†
†
(1.91)
de donde ρ = ±i. Elegimos ρ = i. También obtenemos que M es real (M = M∗ ) pues es
simétrica.
Veamos finalmente que si ξ = ηξ c entonces la CP-paridad de ξ es ηCP = iη. En
efecto:
†
†
UCP ξ L ( x )UCP
= U † UCP ξ 0L ( x )UCP
,
T
= iU † γ0 Cξ 0L ( xP ) ,
T
pues ξ L = U † ξ 0L ⇐ ξ 0L = U ξ L
†
pues UCP ξ 0L ( x )UCP
= iγ0 Cξ 0L ( xP )
= iU † U ∗ γ0 Cξ L ( xP ) ,
T
= iηγ0 Cξ L ( xP ) ,
= iηγ0 ξ R ( xP ) .
(1.92)
T
T
(1.93)
T
pues ξ 0L = U ∗ ξ L ⇐ ξ 0L = U ξ L
(1.94)
√
√
pues U † = η O T , U ∗ = O η ⇐ U = O η ∗ (1.95)
(1.96)
Por otro lado, tenemos que
†
UCP ξ ( x )UCP
≡ ηCP γ0 ξ ( xP )
(1.97)
†
⇒ UCP ξ L ( x )UCP
= ηCP γ0 ξ R ( xP ) .
(1.98)
Por tanto
ηCP = iη
(1.99)
El fermión de Dirac como caso particular de dos de Majorana
Si los términos de masa de Majorana son m L = m R = 0 encontramos que
m1 = −m D ,
1
m2 = m D , O = √
2
1
1
−1 1
.
(1.100)
Capítulo 1: La teoría electrodébil
20
Los autoestados
1
χ1 = √ (χ01 − χ02 )
2
1
χ2 = √ (χ01 + χ02 )
2
1
χ1L = √ (ψL − ψRc ) ,
2
1
χ2L = √ (ψL + ψRc ) ,
2
⇒
⇒
c
χ1R = χ1L
,
(1.101)
c
χ2R = χ2L
,
(1.102)
deben ser reemplazados por los estados físicos
c
ξ 1 = χ1L + η1 χ1L
ξ2 =
c
χ2L + η2 χ2L
[ η1 = − 1 ] ,
[ η2 = + 1 ] ,
(1.103)
(1.104)
que tienen masa positiva,
1
m D (−χ̄1 χ1 + χ̄2 χ2 )
2
1
= m D (ξ¯1 ξ 1 + ξ̄ 2 ξ 2 )
2
= m D ( ψR ψ L + ψ L ψR ) .
−L =
(1.105)
Vemos que dos fermiones de Majorana de igual masa y CP-paridades opuestas forman
un fermión de Dirac.
Nótese que la transformación que proporciona directamente los estados físicos es
efectivamente
i 0
i 1
1
√
.
(1.106)
U =O η=O
=√
2 −i 1
0 1
1.3.2 Seesaw: ¿por qué los neutrinos son tan ligeros?
ν
Ν
Figura 1.9: Ilustración del mecanismo de seesaw.
En el SM con un doblete de Higgs es imposible construir un término de masas
del tipo νLc νL que sea invariante gauge. Por tanto, necesariamente m L = 0. En cambio,
un término del tipo νRc νR (singlete) puede introducirse a mano sin romper la simetría.
Consideremos por tanto la matriz de masas
M=
0
mD
mD mR
(1.107)
1.3. Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos
21
que es diagonalizada por la matriz
cos θ sin θ
2m D
, tan 2θ =
O=
,
mR
− sin θ cos θ
dando los autovalores
m1,2
cos 2θ = mR
m2R + 4m2D
,
1
2
2
=
m R ∓ m R + 4m D .
2
(1.108)
(1.109)
En el caso de que m D m R , obtenemos un neutrino ligero (ν) y otro muy pesado
(N) con CP-paridades opuestas y un pequeñísimo ángulo de mezcla (mecanismo de
seesaw [12]) :
m2D
,
m ν ≡ m1 ≈
mR
ν ≡ ξ 1 ≈ νL + η1 νLc
m N ≡ m2 ≈ m R m ν ,
[ η1 = − 1 ] ,
θ≈
mν /m N 1 ,
N ≡ ξ 2 ≈ νRc + η2 νR
[ η2 = + 1 ] .
(1.110)
(1.111)
Sabemos que existen nG = 3 generaciones de neutrinos left [νiL (i = 1, . . . , nG )] y
puede haber un número arbitrario nR de campos right [νjR ( j = 1, . . . , nR )]. La matriz
de masas es entonces la matriz cuadrada, compleja y simétrica (nG + nR ) × (nG + nR ),
0 mD T
(1.112)
, con mD : nR × nG y mR : nR × nR .
M=
mD mR
Así, si suponemos que mD es del orden de la escala electrodébil (∼ 200 GeV) y la
escala a la que se violaría el número leptónico, es muy alta (del orden de la escala de
gran unificación, mR ∼ 1015 GeV) obtenemos nG = 3 neutrinos ligeros (νi ) con masas
mν ∼ (10−2 − 10−1 ) eV, que es justamente el orden de magnitud correcto para explicar
las diminutas masas de los neutrinos que son compatibles con los experimentos de oscilaciones, y nR extremadamente pesados (Nj ) que jugarían un papel muy importante
para generar la asimetría bariónica del universo a partir de sus desintegraciones fuera
del equilibrio (leptogénesis).
1.3.3 Mezcla de sabores leptónicos: la matriz de PMNS
Si el mecanismo de seesaw fuera cierto, los neutrinos serían partículas de Majorana
(νi = ηi νic , Nj = η j Njc ). Los tres autoestados de masa más ligeros νi (i = 1, 2, 3) corresponderían a una mezcla de autoestados de interacción6 να (α = e, µ, τ), análoga a la
definida en (1.65) para los quarks y los leptones cargados,
|να = ∑ Uαi |νi ,
i
6
o bien
|νi = ∑ U∗αi |να α
(1.113)
Pondremos una letra griega como subíndice en vez de un superíndice I para indicar que se trata
de autoestados de interacción. Los de masa tendrán como subíndice una letra latina.
Capítulo 1: La teoría electrodébil
22
νi
j
W
U∗ji
W
νi
Uji
j
Figura 1.10: Transiciones que cambian el sabor leptónico a través de acoplamientos de
corrientes cargadas con bosones W ± .
con dos importantes diferencias: los campos ν contienen ambas quiralidades y la matriz U contiene dos fases físicas adicionales α1 , α2 (fases de Majorana), que no pueden ser absorbidas mediante redefinición de fases de los campos, ya que la relación
νi = ηi νic lo impide. U se conoce como la matriz de Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata
(PMNS) [13]. En la parametrización estándar:


Ue1 Ue2 Ue3



U=
U
U
U
µ2
µ3
µ1


Uτ1 Uτ2 Uτ3



−
iδ
13
iα1
c12 c13
s12 c13
s13 e
e
0
0





=  −s12 c23 − c12 s23 s13 eiδ13 c12 c23 − s12 s23 s13 eiδ13
0 eiα2 0 
s23 c13  

 .


0
0 1
s12 s23 − c12 c23 s13 eiδ13 −c12 s23 − s12 c23 s13 eiδ13 c23 c13
(1.114)
Obviamente los valores de estos parámetros han de determinarse experimentalmente
y no tienen nada que ver con los del sector de quarks. Ésta es la matriz que aparece
en la interacción de corrientes cargadas de leptones,
g
LCC = √
(1.115)
Wµ ∑ ¯ α γµ (1 − γ5 ) Uαi νi + h.c. ,
2 2
αi
en la base en la que los leptones cargados son diagonales (Fig. 1.10).
Veremos en seguida que los experimentos de oscilaciones de neutrinos no son sensibles a las fases de Majorana, y por tanto son incapaces de discenir si los neutrinos
son partículas de Dirac o de Majorana. 7 Para ello se necesita un experimento que compruebe la conservación del número leptónico, violado por los términos de Majorana.
1.3.4 Oscilaciones de neutrinos
Se trata de un fenómeno mecano-cuántico debido a que los autoestados de masa |νi (de energía bien definida) no coinciden con los de interacción |να (los que se producen
7
Excepto si existen nuevas interacciones de los neutrinos right, pues entonces se propagan de forma
diferente en materia [14].
1.3. Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos
23
en una corriente cargada acompañando al leptón cargado α = e, µ, τ),
|να = ∑ Uαi |νi .
(1.116)
i
La evolución temporal del estado inicial |να viene dada por el operador evolución
temporal, que es diagonal en la base de autoestados de masa:
|να (0) = |να |να (t) = ∑ e−iEi t Uαi |νi .
t=0:
t:
(1.117)
i
En la práctica, los neutrinos son relativistas (mi Ei ), así que t ≈ L (la distancia que
han recorrido desde que se produjeron) y, si se han producido con momento p ≈ E,
m2
m2
(1.118)
Ei = p2 + m2i ≈ p + i ≈ p + i .
2p
2E
Por tanto, al cabo de una distancia L el neutrino να puede oscilar a cualquier sabor νβ
con una probabilidad
'
'2
'
'
'
'
P(να → νβ ; L) = |νβ |να ( L)|2 = '∑ νj |U∗βj e−iEi L Uαi |νi '
' ij
'
'
'2 '
'2
'
'
'
'
2
'
'
'
'
= '∑ U∗βi Uαi e−iEi L ' = '∑ U∗βi Uαi e−imi L/2E '
'
' i
'
' i
=
∑ U βj U∗αj U∗βi Uαi e
−i∆m2ij L/2E
ij
= δαβ + 2 ∑ Re(U βj U∗αj U∗βi Uαi )[cos(∆m2ij L/2E) − 1]
i> j
+2 ∑ Im(U βj U∗αj U∗βi Uαi ) sin(∆m2ij L/2E) .
(1.119)
i> j
donde se ha usado νj |νi = δij , se ha definido ∆m2ij ≡ m2i − m2j , se ha separado la
sumatoria en
∑ = ∑+∑+∑ ,
ij
i= j
i> j
(1.120)
i< j
y se ha utilizado la unitariedad de U que lleva a la igualdad:
∑(U βj U∗αj U∗βi Uαi )
=
i= j
∑(U βj U∗αj ) ∑(U∗βi Uαi ) − ∑(U βj U∗αj U∗βi Uαi )
j
i = j
∗ ∗
Re(U βj Uαj U βi Uαi )
i
= δαβ − 2 ∑
i> j
.
(1.121)
Finalmente, conviene escribir
P(να → νβ ; L) = δαβ − 4 ∑ Re(U βj U∗αj U∗βi Uαi ) sin2 [1.27∆m2ij L/E]
i> j
+2 ∑ Im(U βj U∗αj U∗βi Uαi ) sin[2.54∆m2ij L/E] ,
i> j
(1.122)
Capítulo 1: La teoría electrodébil
24
donde se ha introducido
∆m2ij L/4E ≈ 1.27∆m2ij [eV2 ]
L [km]
.
E [GeV]
(1.123)
Nótese que las fases de Majorana son irrelevantes y que
P(νβ → να ; U) = P(να → νβ ; U∗ )
(1.124)
de modo que si la invariancia CPT se satisface,
P(ν̄α → ν̄β ) = P(νβ → να )
(1.125)
P(ν̄α → ν̄β ; U) = P(να → νβ ; U∗ ) ,
(1.126)
tenemos que
y si CP se conserva entonces
P(ν̄α → ν̄β ) = P(να → νβ ) ,
(1.127)
de lo contrario, el último término de (1.122) expresa la violación de CP.
En la naturaleza parece haber tres sabores y, por tanto, dos diferencias de masas
∆m221 ∆m232 ∆m231 , que resultan ser muy distintas. Entonces,
larga
corta
+ Pαβ
P(να → νβ = να ) ≈ Pαβ
(1.128)
con
corta
= 4U2β3 U2α3 sin2 [1.27∆m232 L/E]
Pαβ
larga
Pαβ
(1.129)
= −4U β1 Uα1 U β2 Uα2 sin2 [1.27∆m221 L/E]
(1.130)
donde se han despreciado por simplicidad efectos de violación de CP y se ha usado la
unitariedad de U. Seleccionando el rango apropiado de L/E la oscilación es sensible
sólo a la componente corta o a la larga, con lo que ambos tipos de oscilaciones están
desacopladas y se pueden tratar como si de forma efectiva sólo hubiera mezcla de dos
sabores.
En el caso de oscilaciones entre dos sabores να y νβ , la matriz unitaria U se reduce
a
U=
cos θ
sin θ
− sin θ cos θ
,
(1.131)
y las probabilidades de oscilación entre estos dos sabores son
P(να → να ) = 1 − sin2 2θ sin2 [1.27∆m2 L/E] ,
P(να → νβ = να ) = sin 2θ sin [1.27∆m L/E] .
2
2
2
(1.132)
(1.133)
1.3. Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos
25
Tabla 1.4: Órdenes de magnitud de los valores de ∆m2 que pueden explorarse en
distintos experimentos. SBL (LBL) significa short (long) baseline, respectivamente.
Experimento
L [m]
E [MeV]
∆m2 [eV2 ]
Reactores SBL
102
1
10−2
Reactores LBL
103
1
10−3
Aceleradores SBL
103
103
1
Aceleradores LBL
106
103
10−3
Atmosféricos
107
103
10−4
Solares
1011
1
10−11
Si ∆m2 L/E 1 la probabilidad de transición es muy sensible a la distancia (piénsese
en una fuente extensa, por ejemplo) y entonces resulta una probabilidad promediada,
independiente de ∆m2 ,
P(να → να ) = 1 −
P(να → νβ = να ) =
1
sin2 2θ ,
2
1
sin2 2θ .
2
(1.134)
(1.135)
En la Tabla 1.4 se ilustran los ∆m2 que pueden explorarse en distintos experimentos.
Cuando los neutrinos viajan en materia densa (atravesando el Sol, la Tierra o una
supernova, por ejemplo) interaccionan con el las partículas del medio de forma diferente según el sabor. Es lo que se denomina efecto Mikheyev-Smirnov-Wolfenstein
(MSW). Las probabilidades de transición anteriores se ven modificadas para acomodar
este efecto, pero siguen dependiendo de diferencias de cuadrados de masas, siendo
también independientes de las fases de Majorana.
Experimentos de oscilaciones de neutrinos
Son sensibles generalmente a un rango determinado de energías (limitado por el sistema de detección). Existen esencialmente dos tipos de experimentos:
Experimentos de aparición: En los que se detectan sabor(es) νβ que no estaban presentes en el haz de να inicial. Es decir, miden P(να → νβ ).
Experimentos de desaparición: En los que se detectan menos να de los que se esperaban procedentes del haz inicial: Es decir, miden P(να → να ) = 1 − P(να → νX ).
Las fuentes de neutrinos son variadas, unos de origen natural y otros producidos
en reacciones nucleares o en aceleradores de partículas:
Los neutrinos solares son νe y se producen en reacciones termonucleares: ciclos
pp (Fig. 1.11) y CNO (Fig. 1.12). El primero produce el 98 % de la energía que
emite el Sol. Su flujo y su energía son variados (Fig. 1.13).
Capítulo 1: La teoría electrodébil
26
p+p
(pp)
!
2
H + e+ +
p + e; + p
e
99.6% XXXXXXXX
2
85%
3
!
?
3
?15%
3 He + 4 He ! 7Be +
99.87% 7
?
Be + e; ! 7Li +
7
e
(pep)
H + p ! 3He +
XXXXX
X
He + 3He ! 4He + 2 p
H+
0.4%
XXXX
?
XXXXX
XX
(7 Be)
2
XXXX 2 10;5 %
?
He + p ! 4He + e+ +
(hep)
PPPPPPP
7
e
?
Li + p ! 2 4 He
8
PP 0.13%
?
Be + p ! 8B +
?
B ! 8Be + e+ +
8
e
(8 B)
?
Be ! 2 4He
Figura 1.11: El ciclo pp.
C + p ! 13N +
12
- 13N ! 13C + e+ +
6
15
N + p ! C + He
12
4
699:9%
(15 O)
15
O! N+ +
15
e+
e
12
14
?
N + p ! 16O +
16
?
O + p ! 17F +
(13 N)
?
C + p ! 14N +
?
N + p ! 15O +
6
0:1%
15
e
17
O + p ! 14N + 4He
6
- 17F ! 17O + e+ +
Figura 1.12: El ciclo CNO.
e
(17 F)
e
1.3. Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos
27
Figura 1.13: Flujo de neutrinos solares a una unidad astronómica de distancia.
Los atmosféricos son producidos por rayos cósmicos (p, núcleos, etc) en la atmósfera terrestre:
rayo cósmico + nucleón → π ± (K ± ) + X
π ± (K ± ) → µ± + νµ (ν̄µ )
µ± → e± + νe (ν̄e ) + ν̄µ (νµ ) .
(1.136)
Por tanto, si no hubiera oscilaciones, uno esperaría el doble de νµ que de νe . Su
energía varía entre unos pocos MeV y 100 GeV. El baseline varía dependiendo del
ángulo cenital ϑ con que se observen:
L ≈ 15 km
L ≈ 13000 km
[ϑ = 0◦ , downgoing]
[ϑ = 180◦ , upgoing atravesando la Tierra] .
(1.137)
Su flujo es aproximadamente de 100 m2 sr−1 s−1 .
Otros neutrinos naturales son los producidos por supernovas (colapso estelar),
e− + p → n + νe
e− + e+ → ν + ν̄
n + p → n + p + ν̄ ,
(1.138)
con energías típicas del orden de 10 MeV, y los producidos por Núcleos Galácticos Activos (AGN), del orden de 1 TeV.
Capítulo 1: La teoría electrodébil
28
En reactores nucleares se producen ν̄e en la desintegración β de productos de
fisión inestables. Su flujo es del orden de 1020 s−1 GW−1 y su energía del orden
del MeV. Los detectores se suelen situar a una distancia de la central nuclear del
orden de 1 km.
Finalmente, en aceleradores de partículas se producen haces de neutrinos haciendo colisionar protones de unos 100 GeV contra un blanco, lo que da lugar a
νµ (de π ± , K ± ) y νe,µ (de µ± ), con una energía del orden del GeV.
Resultados
Todos los experimentos son consistentes con la oscilaciones entre tres sabores de neutrinos. Los análisis implican 2 diferencias de masa, 3 ángulos de mezcla y 1 fase que
viola CP. De las oscilaciones de neutrinos solares y atmosféricos se deduce que
∆m221 = ∆m2 ∆m2atm = |∆m231 | |∆m232 | .
(1.139)
Hasta 2012 sólo ∆m221 , |∆m231 |, θ12 y θ23 estaban relativamente bien medidos, mientras
que de θ13 se conocía una cota superior y casi nada se sabía de la fase de CP δCP ni
del signo de ∆m231 . La situación ha cambiado drásticamente en el último año gracias
a los datos de los experimentos de reactores Daya Bay, Reno y Double Chooz que,
junto con la mejora en estadística de los experimentos de long baseline T2K y MINOS,
han permitido la determinación clara de θ13 . Véase [15]. En la Fig. 1.14 se muestran los
resultados del fit global a las oscilaciones de 3ν. Los diferentes contornos corresponden
a regiones permitidas a 1σ, 90 %, 2σ, 99 % y 3σ CL. Se encuentran los siguientes rangos
de valores (Fig. 1.14) [15]:
∆m221 = (7.50 ± 0.185) × 10−5 eV2 ,
+0.069
−3
eV2 (jerarquía normal) ,
∆m231 = 2.47 −
0.067 × 10
2
+0.042
∆m32 = −2.43 −0.065 × 10−3 eV2 (jerarquía invertida) ,
θ12 = (33.3 ± 0.8)◦ ,
◦ ◦
+2.1
+1.2
θ23 = 40.0 −
⊕
,
50.4
1.5
−1.3
◦
+0.44
,
θ13 = 8.6 −
0.46
◦
+66
.
δCP = 300 −
138
(1.140)
Los experimentos actuales son prácticamente insensibles a la fase de CP. Nótese
que la mezcla entre νµ y ντ es (compatible con) máxima, la de νe y νµ es casi máxima
y la de νe y ντ es muy pequeña. Por tanto nuestro conocimiento actual de la matriz de
PMNS es


0.513 → 0.585
0.126 → 0.178
0.795 → 0.846


.
(1.141)
|U|3σ = 
0.205
→
0.543
0.416
→
0.730
0.579
→
0.808


0.409 → 0.725
0.567 → 0.800
0.215 → 0.548
1.3. Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos
29
Figura 1.14: Fit global a las oscilaciones de 3ν. Los diferentes contornos corresponden
a regiones permitidas a 1σ, 90 %, 2σ, 99 % y 3σ CL. Extraído de [15].
Capítulo 1: La teoría electrodébil
30
m2
m2
νe
νµ
ντ
m32
solar~7.6×10–5eV2
atmospheric
~2.5×10–3eV2
2
m2
m12
m12
atmospheric
~2.5×10–3eV2
solar~7.6×10–5eV2
?
m22
m32
?
0
0
Figura 1.15: Espectro de masas normal (izquierda) e invertido (derecha) que es consistente con los experimentos. La fracción de νe , νµ y ντ de cada autoestado de masa se
indica mediante disintas zonas rayadas.
En cuanto al espectro de masas de los neutrinos (Fig. 1.15), nótese que el fenómeno
de las oscilaciones no permite conocer más que diferencia de masas y por tanto no nos
da información sobre la escala de las mismas. Por otro lado el signo de ∆m231 no se
conoce todavía, así que el espectro podría ser normal (como el de la Figura) o invertido
(intercambiando las dos masas inferiores con la superior)
o incluso degenerado si el
neutrino más ligero tuviera una masa mucho mayor que
∆m2atm ∼ 0.05 eV.
Tenemos acceso a los valores individuales de las masas (actualmente cotas superiores) a partir de otros tipos de experimentos. En particular, la no observación de
distorsión alguna en el punto final del espectro de electrones en la radiación β del tritio
impone [8]
(1.142)
∑ m2i |Uei |2 < 2 eV.
i
Finalmente de los datos de astrofísica y cosmología obtenemos información (dependiente del modelo) sobre la suma de las masas de los neutrinos [16],
∑ mi <
∼ (0.36 − 1.5) eV.
(1.143)
i
1.3.5 Test de la violación del número leptónico: 0νββ
Se llama 0νββ al proceso ( A, Z) → ( A, Z + 2) + 2e− , en el que un núcleo con A
nucleones, de los cuales Z son protones, se desintegra a otro núcleo con Z + 2 protones
emitiendo dos electrones. Este proceso viola claramente la conservación del número
1.3. Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos
31
Figura 1.16: El mecanismo dominante para 0νββ. Se necesita que ν̄i = νi .
leptónico (véase Fig. 1.16) y compite con el proceso doble beta estándar en el que
además se emiten dos antineutrinos, ( A, Z) → ( A, Z + 2) + 2e− + 2ν̄e , el cual está
cinemáticamente más suprimido por disponer de menor espacio fásico. La amplitud
de 0νββ es proporcional a la masa de Majorana efectiva,
m ≡ ∑ mi U2ei .
(1.144)
i
Hay varios grupos experimentales intentando medir este proceso, pero de momento
sin resultados concluyentes. Dado el rango de parámetros acotados por los experimentos de oscilaciones, ∆m221 , ∆m231 , θ12 , θ23 y θ13 , y las fases de CP de Dirac y de Majorana,
pueden hallarse las regiones permitidas para m en función de min(m j ) suponiendo
un espectro de neutrinos jerárquico normal (NH), invertido (IH) o cuasi-degenerado
(QD), según se muestra en la Fig. 1.17 (véase [8]).
Figura 1.17: Masa de Majorana efectiva m en función de min(m j ) (incluyendo una
incertidumbre de 2σ) compatible con de los experimentos de oscilaciones. Las fases de
Majorana se varían en el intervalo [0, π ] y la de Dirac se ha tomado cero. Las bandas
verdes y azules corresponden a combinaciones que conservan CP y las rojas son zonas
donde se viola CP. (Extraída de [8]).
32
Capítulo 1: La teoría electrodébil
Capítulo 2
Observables
2.1 Sección eficaz
2.1.1 ¿Qué significa?
v
vt
A
NB
NH
Blanco
Haz
Figura 2.1: Un blanco con NB partículas es bombardeado por un haz de NH partículas
de velocidad v.
La sección eficaz σ es el área efectiva de una partícula (blanco) vista por un proyectil (en el haz incidente). Supongamos que en el blanco hay NB partículas y que la
superficie de colisión es A. Entonces,
Probabilidad de colisión =
NB σ
.
A
(2.1)
(# sucesos)
A.
NH NB
(2.2)
Si en el haz hay NH partículas, entonces
(# sucesos) = NH
NB σ
A
⇒
σ=
En la práctica, el haz está formado por una nube de partículas de densidad ρ que
33
Capítulo 2: Observables
34
se mueve con velocidad v, así que
NH = ρvtA
(# sucesos)
(# sucesos)
A=
ρvtANB
ρv tNB
probabilidad de transición por unidad de t
,
=
flujo incidente
⇒
σ =
(2.3)
donde
probabilidad de transición
por unidad de t
= (# sucesos) por unidad de t y por cada dispersor ,
flujo incidente = ρv .
2.1.2 Probabilidad de transición y matriz S
p3, m3
p1, m1
.
.
.
p2, m2
pn+2, mn+2
Figura 2.2: Scattering de dos partículas yendo a n en el estado final.
Sean los estados inicial (antes) y final (después) de la colisión:
|i ≡ | p 1 p 2 ,
| f ≡ |p3 p4 . . . pn+2 ,
(2.4)
y sea pi (p f ) la suma de los cuadri-momentos inciales (finales), respectivamente.
La matriz S conecta los estados asintóticos in (t → −∞) y out (t → ∞),
out f |i in
S es unitaria,
* '
≡ S f i = f |S|i ≡ δi f + i(2π )4 δ4 ( pi − p f )T f i .
(2.5)
'
'S f i '2 dN f = 1. Por tanto, la probabilidad de transición a | f = |i es
' '2
'S f i ' dN f = (2π )8 δ4 ( pi − p f )δ4 (0)|T f i |2 dN f
= (2π )4 δ4 ( pi − p f )VT |T f i |2 dN f ,
(2.6)
donde hemos usado que
4
δ ( p) =
*
d4 x −ip· x
e
(2π )4
⇒
(2π )4 δ4 (0) = VT .
(2.7)
VT es un cuadri-volumen infinito que no aparecerá en la magnitud observable. La
probabilidad de transición por unidad de tiempo será:
' '2
'S f i ' dN f
= (2π )4 δ4 ( pi − p f )|T f i |2 VdN f .
(2.8)
probabilidad de transición =
T
2.1. Sección eficaz
35
Calcularemos ahora dN f . Primero hemos de recordar cómo se define el estado de
una partícula de momento p:
|p = 2Ep a†p |0 ,
(2.9)
donde el operador a†p (ap ) crea (aniquila) una partícula de momento p. Estos operadores verifican la regla de conmutación:
[ aq , a†p ] = (2π )3 δ3 (p − q) ,
El factor
(2.10)
2Ep es necesario para que
q|p = 2Ep (2π )3 δ3 (p − q)
(2.11)
sea invariante Lorentz. En efecto, hagamos un boost β de p en la dirección del eje ẑ.
Entonces,
δ3 (p − q ) =
δ3 (p − q )
dE
γ( β dp
+ 1)
3
=
Eδ3 (p − q)
E
= δ3 (p − q )
γ( βp3 + E)
E
Ep δ 3 ( p − q ) = Ep δ 3 ( p − q ) .
⇒
(2.12)
En el primer paso se ha usado
δ ( x − x0 )
' ,
δ( f ( x ) − f ( x0 )) = ''
'
df
' dx ( x = x0 )'
f ( x ) = p3 ( p3 ) = γ( βE + p3 ) ,
(2.13)
en el segundo,
p
dE
= 3 ,
dp3
E
pues E =
m2 + | p |2 ,
(2.14)
y en el tercero,
E = γ(E + βp3 ) .
(2.15)
Así el operador unidad sobre estados de un partícula es
*
1=
d3 p
|pp| .
(2π )3 2Ep
(2.16)
En efecto:
1|q =
*
d3 p
|pp|q =
(2π )3 2Ep
*
d3 p
|p(2π )3 2Ep δ3 (p − q) = |q .
3
(2π ) 2Ep
(2.17)
Con esta normalización y usando que
δ3 (p ) =
*
d3 x −ip·x
e
(2π )3
⇒
(2π )3 δ3 (0) = V ,
(2.18)
Capítulo 2: Observables
36
tenemos que
p|p = (2π )3 2Ep δ3 (0) = 2Ep V ,
(2.19)
que podemos interpretar como la probabilidad de encontrar una partícula con momento entre p y p + dp. Entonces, el número de estados de una partícula con momentos
entre p y p + dp será
dN = p|p
d3 p
Vd3 p
=
.
(2π )3 2Ep
(2π )3
(2.20)
Finalmente, el número de estados de n partículas del estado final con momentos entre
pi y pi + dpi será
n +2
dN f =
∏
i =3
Vd3 pi
.
(2π )3
(2.21)
A partir de (2.8) y (2.21) concluimos que
probabilidad de transición = (2π )4 δ4 ( pi − p f )|T f i |2 V
n +2
∏
i =3
Vd3 pi
.
(2π )3
(2.22)
2.1.3 Flujo incidente
Consideremos un haz de densidad igual a una partícula por unidad de volumen:
ρ=
El flujo incidente será entonces
1
ρv = ρ|v1 − v2 | =
V
1
.
V
'
'
' p1 p2 '
' − ' = | E2 p1 − E1 p2 | .
'E
E2 '
VE1 E2
1
(2.23)
(2.24)
Para un sistema colineal (p1 ||p2 ) es fácil comprobar que
| E2 p1 − E1 p2 | = {( p1 · p2 )2 − m21 m22 }1/2 ,
(2.25)
{( p1 · p2 )2 − m21 m22 }1/2
.
ρv =
VE1 E2
(2.26)
así que
2.1.4 Fórmula final
Usando (2.22) y (2.3) la sección eficaz (2.3) queda
n +2
(2π )4 δ4 ( pi − p f )|T f i |2
Vd3 pi
2
2E
2E
V
.
dσ =
2
1
∏
(2π )3
4 {( p1 · p2 )2 − m21 m22 }1/2
i =3
(2.27)
2.1. Sección eficaz
37
Definiendo la amplitud invariante de scattering M f i (directamente relacionada con
las reglas de Feynman) como
Mfi ≡
n +2
∏ (2Ei V )1/2 T f i
(2.28)
i =1
tenemos finalmente
dσ =
n +2
d3 p j
1
2
4 4
|M
|
(
2π
)
δ
(
p
−
p
)
.
i
fi
f ∏
(2π )3 2E j
4 {( p1 · p2 )2 − m21 m22 }1/2
j =3
(2.29)
Si hay ki partículas idénticas de la especie i en el estado final la sección eficaz total,
tras integrar sobre el espacio fásico, debe dividirse por el factor de simetría
S=
∏ ki ! .
(2.30)
i
Si el estado incial no está polarizado y/o la polarización del estado final no se
mide debe promediarse sobre las polarizaciones iniciales y/o sumarse sobre las finales,
respectivamente.
2.1.5 Caso 2 → 2 en el sistema centro de masas
p1, m1
p3, m3
p2, m2
p4, m4
Figura 2.3: Scattering de dos partículas yendo a dos en el estado final.
Consideremos el caso de un estado inicial i = {1, 2} a uno final f = {3, 4} en el
sistema centro de masas (CM). Entonces la integral sobre el espacio fásico se reduce a
*
dΦ2 ≡ (2π )4
*
*
δ4 ( p1 + p2 − p3 − p4 )
d3 p 3
d3 p 4
(2π )3 2E3 (2π )3 2E4
d3 p 3
(2π )2 2E3 2E4
*
|p|2 dΩ
E3 E4
=
(2π )2 4E3 E4 |p|(E3 + E4 )
*
|p|dΩ
=
,
16π 2 ECM
=
δ(ECM − E3 − E4 )
(2.31)
Capítulo 2: Observables
38
donde se ha usado:
d3 p3 ≡ |p3 |2 d|p3 |dΩ
(2.32)
δ(|p3 | − |p|)
| f (|p3 | = |p|)|
E3 + E4
∂ f ∂E3
∂ f ∂E4
| p3 | | p3 |
+
= | p3 |
f (|p3 |) =
+
=
∂E3 ∂|p3 | ∂E4 ∂|p3 |
E3
E4
E3 E4
m23 + |p3 |2
E3 =
m24 + |p1 + p2 − p3 |2 .
E4 =
δ(ECM − E3 − E4 ) = δ( f (|p3 |)) =
(2.33)
(2.34)
(2.35)
(2.36)
El factor de flujo se simplifica si las partículas que colisionan tienen la misma masa
m ≡ m1 = m2 , pues entonces
p1 ≡ (E, q) ,
p2 = (E, −q) ,
2E = ECM ,
4 {( p1 · p2 )2 − m21 m22 }1/2 = 4ECM |q| .
(2.37)
En este caso
dσ
1
|p|
(1, 2 → 3, 4) =
|M f i |2 .
2
dΩ
64π 2 ECM |q|
(2.38)
2.2 Anchura de desintegración
p1, m1
P, M
p2, m2
Figura 2.4: Desintegración a dos partículas.
El ritmo de desintegración (anchura) de una partícula de masa M a n partículas
finales viene dado, en su sistema de referencia en reposo, por
dΓ(i → f ) =
n
1
d3 p i
|M f i |2 (2π )4 δ4 ( P − p f ) ∏
.
2M
(2π )3 2Ei
i =1
(2.39)
1/2
por 2M.
La expresión es análoga a (2.29) cambiando el factor 4 ( p1 · p2 ) − m21 m22
Se obtiene tomando como flujo ρv = 1.
En el caso de n = 2 partículas en el estado final, basta aplicar el resultado de (2.31)
con ECM = M:
dΓ
1 |p|
(i → 1, 2) =
|M f i |2 .
dΩ
32π 2 M2
(2.40)
2.2. Anchura de desintegración
39
Nótese que en este caso las masas M, m1 y m2 determinan completamente la energía
y los momentos finales:
M2 − m22 + m21
M2 − m21 + m22
, E2 =
,
2M
2M
2
1/2
[ M − (m1 + m2 )2 ][ M2 − (m1 − m2 )2 ]
.
| p | ≡ | p1 | = | p2 | =
2M
E1 =
(2.41)
La anchura total se obtiene sumando las anchuras parciales a todos los canales de
desintegración. Su inversa es la vida media de la partícula,
τ = Γ−1 .
(2.42)
Nota sobre las dimensiones de las distintas magnitudes utilizadas:
S f i = δi f + i(2π )4 δ4 ( p f − pi )T f i ⇒ [S f i ] = [energía]0 ,
Mfi =
ni +n
∏ (2Ej V )1/2 T f i
[T f i ] = [energía]4
⇒ [M f i ] = [energía]4−ni −n
j =1
n +2
dΦn = (2π )4 δ4 ( pi − p f ) ∏
j =2
d3 p j
⇒ [dΦn ] = [energía]−4+2n
(2π )3 2E j
|M f i |2 dΦn
⇒ [energía]−2
4 {( p1 · p2 )2 − m21 m22 }1/2
1
dΓ(ni = 1 → n) =
|M f i |2 dΦn ⇒ [energía]
2M
dσ(ni = 2 → n) =
Resultan convenientes los factores de conversión:
h̄ = 6.582 × 10−22 MeV s
(2.43)
2
(2.44)
(h̄c)
2
= 0.389 GeV mbarn
que son fáciles de recordar a partir de:
1 ≡ h̄c ≈ 200 MeV fm ,
c ≈ 3 × 108 m/s ,
1 fm = 10−15 m ,
1 barn ≡ 10−24 cm2 .
40
Capítulo 2: Observables
Capítulo 3
Reglas de Feynman
3.1 Reglas generales
Para el cálculo de funciones de Green o de amplitudes invariantes de scattering M f i .
1. Dibujar todos los diagramas conectados y topológicamente distintos en el orden
deseado de teoría de perturbaciones.
En cada diagrama:
2. Asociar momentos externos a todas las líneas externas y L momentos internos
a los L loops. Determinar los momentos de las líneas internas de modo que el
cuadri-momento se conserve en cada vértice.
3. Asignar un propagador a cada línea interna:
i
p2 − m2 + i
p + m)
i( /
[fermión spin 1/2]
2
p − m2 + i
( ξ − 1) p µ p ν
−i
[bosón vectorial]
gµν + 2
p2 − m2 + i
( p − ξm2 )
[bosón escalar]
µ
ν
(3.1)
(3.2)
(Rξ )(3.3)
(ξ = 1: gauge ’t Hooft-Feynman; ξ = 0: gauge de Landau; ξ = ∞: gauge unitario)
4. A cada vértice asignar un peso compuesto por los siguientes factores:
a) La constante de acoplamiento que aparezca en iLint .
b) Por cada derivada de un campo φ cualquiera ∂µ φ asociar (−ipµ ) donde p es
el correspondiente momento entrante.
c) Un factor proviniente de la degeneración de partículas idénticas en cada
vértice. (Por ejemplo, ×2 para ZZH, ×4 para ZZHH.)
41
Capítulo 3: Reglas de Feynman
42
Los vértices genéricos más frecuentes y los vértices del SM se listan más abajo.
5. Por cada momento interno q no fijado por la conservación de momento en cada
vértice (loops), introducir un factor
*
d4 q
(2π )4
e integrar, (si es necesario) después de regularizar.
6. Multiplicar la contribución de cada diagrama por:
a) Un factor (−1) entre diagramas que difieren entre sí solo por el intercambio
de dos fermiones externos idénticos. (Por ejemplo, los dos diagramas del
scattering de Møller, e− e− → e− e− , o los dos del scattering de Bhabha,
e+ e− → e+ e− , a nivel árbol.)
b) Un factor de simetría 1/S donde S el número de permutaciones de líneas
internas y vértices que deja invariante el diagrama si las líneas externas
permanecen fijadas.
c) Un factor (−1) por cada loop fermiónico.
7. Para obtener iM f i , poner las líneas externas sobre su capa de masas, es decir
p2i = m2i . Poner por cada línea fermiónica externa un espinor: u( p) [o v( p)] para
fermiones [o antifermiones] entrantes con momento p; ū( p) [o v̄( p)] para fermiones [o antifermiones] salientes con momento p. Poner vectores de polarización
ε µ ( p, λ) [o ε∗µ ( p, λ)] para bosones vectoriales entrantes [o salientes] con momento p.
p
u(p)
ū(p)
v(p)
v̄(p)
εµ (p)
ε∗µ (p)
3.2 Algunos vértices genéricos
Consideremos el siguiente lagrangiano de interacción (hermítico) que contiene las interacciones entre campos escalares, fermiónicos y vectoriales más habituales, con acoplamientos genéricos:
L = e Vµ ψ̄i γµ ( gV − g A γ5 )ψ j + e φψ̄i ( gS − gP γ5 )ψ j + e KφV µ Vµ + h.c.
→
µ †←
†
+ie GV φi ∂µ φ j − ie J W µν Wµ† Vν − Wµν
W µ V ν − Wµ† Wν V µν ,
(3.4)
←
→
donde φ† ∂µ φ ≡ φ† ∂µ φ − (∂µ φ† )φ.
3.3. Vértices del Modelo Estándar
43
Las reglas de Feynman para los correspondientes vértices, con todos los momentos
entrantes, e ignorando posibles factores de degeneración de partículas idénticas, son
entonces:
[Vµ FF]:
[SFF]:
[SVµ Vν ]:
[Vµ S( p1 )S( p2 )]:
[Vµ (k1 )Vν (k2 )Vρ (k3 )]:
ieγµ ( gV − g A γ5 ) = ieγµ ( g L PL + gR PR )
ie( gS − gP γ5 ) = ie(c L PL + c R PR )
ieKgµν
ieG ( p1 − p2 )µ
ieJ gµν (k2 − k1 )ρ + gνρ (k3 − k2 )µ + gµρ (k1 − k3 )ν
3.3 Vértices del Modelo Estándar
Los acoplamientos genéricos anteriores toman los siguientes valores en el SM.1 Introducimos las abreviaturas: sW ≡ sin θW y cW ≡ cos θW .
VFF
γ f¯i f j
Z f¯i f j
gL
− Q f δij
g+ δij
gR
− Q f δij
g− δij
W + ūi d j
1
√
Vij
2sW
0
f
f
W − d¯j ui
1
√
Vij∗
2sW
0
f
W + ν̄i j
1
√
U∗ji
2sW
0
W − ¯ j νi
1
√
U ji
2sW
0
f
donde g L,R ≡ gV ± g A y g± ≡ v f ± a f con v f = (T3 L − 2Q f s2W )/(2sW cW ) y a f =
f
T3 L /(2sW cW ). En el viejo SM los neutrinos no tienen masa, y entonces Uij = δij .
SFF
cL
cR
SFF
cL
cR
H f¯i f j
1 m fi
−
δij
2sW MW
1 m fi
−
δ
2sW MW ij
χ f¯i f j
i
f m fi
2T3 L
δij
2sW
MW
i
f m fi
+
2T3 L
δ
2sW
MW ij
−
φ+ ν̄i j
1 mνi ∗
+√
U ji
2sW MW
1 m j ∗
−√
U ji
2sW MW
φ+ ūi d j
1 mui
+√
Vij
2sW MW
1 md j
−√
Vij
2sW MW
φ− d¯j ui
1 md j ∗
−√
Vij
2sW MW
1 mu j ∗
+√
Vij
2sW MW
φ− ¯ j νi
1 m j
−√
U ji
2sW MW
1 mνi
+√
U ji
2sW MW
donde c L,R ≡ gS ± gP . En el viejo SM mνi = 0 y Uij = δij .
han incluido los bosones de Goldstone φ± y χ pues es necesario tenerlos en cuenta si no se
trabaja en el gauge unitario. Éstos corresponden a parametrizar las excitaciones sobre el vacío como
1 Se

Φ( x ) = 
φ+ ( x )
√1 [ v +
2
H ( x ) + iχ( x )]

 ,
φ− ( x ) = [φ+ ( x )]† .
Capítulo 3: Reglas de Feynman
44
SVV
HZZ
HW + W −
φ± W ∓ γ
φ± W ∓ Z
K
MW /sW c2W
MW /sW
− MW
− MW sW /cW
G
γφ± φ∓
ZχH
VSS
−
i
Zφ± φ∓
∓1
2sW cW
±
VVV
γW + W −
ZW + W −
J
−1
cW /sW
c2W − s2W
2sW cW
W ± φ∓ H
∓
1
2sW
W ± φ∓ χ
−
i
2sW
Por completitud, listamos a continuación las reglas de Feynman para los demás
vértices que aparecen en el SM, en el gauge unitario.2
[SSS]:
ieC3
[SSSS]:
ie2 C4
[SSVµ Vν ]: ie2 C2 gµν
[Vµ (k1 )Vν (k2 )Vρ (k3 )Vσ (k4 )]: ie2 C 2gµν gρσ − gµρ gνσ − gµσ gνρ
Son las siguientes:
HHH
SSS
C3
−
3M2H
2MW sW
SSSS
HHHH
SSVV
C4
3M2H
−
2 s2
4MW
W
C2
VVVV W + W + W − W −
C
2 En
1
s2W
HHW − W +
1
2s2W
W + W − ZZ
W + W − γZ
W + W − γγ
c2W
− 2
sW
cW
sW
−1
HHZZ
1
2
2sW c2W
un gauge más general hay también vértices con bosones de Goldstone en [SSS], [SSSS] y [SSVV],
así como nuevas interacciones con los campos fantasma de Faddeev-Popov de tipo [SUU] y [UUV].
Capítulo 4
Cálculo de correcciones cuánticas a un
loop
4.1 Estructura de las amplitudes a un loop
Consideremos el diagrama genérico a un loop con N patas externas de la Fig. 4.1,
p1
p2
q + k1
m1
q
m0
mN −1
q + kN −1
pN −1
pN
Figura 4.1: Esquema de un diagrama genérico a un loop.
donde
N −1
k 1 = p1 ,
k 2 = p1 + p2 ,
...
k N −1 =
∑
pi
(4.1)
i =1
Este diagrama contiene en general integrales del tipo
i
TµN1 ...µ P ≡ µ4− D
2
16π
*
q µ1 · · · q µ P
dD q
.(4.2)
(2π )D [q2 − m20 ][(q + k1 )2 − m21 ] · · · [(q + k N −1 )2 − m2N −1 ]
Nótese que las integrales son simétricas bajo permutaciones de los índices de Lorentz.
La integración en D dimensiones es propia de regularización dimensional. La escala µ se
introduce para que la integral tenga las dimensiones correctas.
45
Capítulo 4: Cálculo de correcciones cuánticas a un loop
46
P es el número de q’s en el numerador y determina la estructura tensorial de la
integral (escalar si P = 0, vectorial si P = 1, etc.). Nótese que P ≤ N. Habitualmente
se usa la notación A para T 1 , B para T 2 , etc. Por ejemplo, las integrales escalares
son A0 , B0 , etc. Las integrales tensoriales pueden descomponerse en una combinación
lineal de los tensores covariantes Lorentz que puedan construirse con el tensor métrico
gµν y un conjunto linealmente independiente de momentos [17]. La elección de la base
no es única. Usaremos la base formada por gµν y los momentos ki [18], que presenta
la ventaja de que los coeficientes tensoriales son totalmente simétricos en sus índices.
Esta base es la empleada por el paquete informático LoopTools [19].
Nos centraremos en la descomposición de las siguientes integrales tensoriales:1
Bµ = k1µ B1 ,
(4.3)
Bµν = gµν B00 + k1µ k1ν B11 ,
Cµ = k1µ C1 + k2µ C2
(4.4)
(4.5)
2
Cµν = gµν C00 +
∑
kiµ k jν Cij .
(4.6)
i,j=1
Veremos que las integrales escalares A0 y B0 y los coeficientes de las integrales
tensoriales B1 , B00 , B11 y C00 son divergentes en D = 4 dimensiones (divergencia
ultravioleta, equivalente a tomar un corte Λ → ∞ en q).
Es posible expresar cada uno de esos coeficientes en términos de integrales escalares (reducción tensorial [18]), pero aquí no lo haremos.
4.2 Cálculo explícito de las integrales
4.2.1 Ingredientes básicos
La función Gamma de Euler. Verfica la relación de recurrencia:
Γ( x + 1) = nΓ( x ) .
(4.7)
El desarrollo en serie de Taylor en torno a sus polos ( x = 0, −1, −2, . . . ) es:
1
− γ + O( x ),
x
1
(−1)n
Γ( x ) =
− γ + 1 + · · · + + O( x + n),
n!( x + n)
n
Γ( x ) =
x=0:
x = −n :
(4.8)
(4.9)
donde γ ≈ 0.5772 . . . es la constante de Euler-Mascheroni.
Parámetros de Feynman.
1
=
a1 a2 · · · a n
1 No
* 1
0
dx1 · · · dxn δ
n
∑ xi − 1
i =1
( n − 1) !
[ x 1 a1 + x 2 a2 + · · · x n a n ] n
haremos tampoco la descomposición de Cµνρ pues no la necesitaremos en este curso.
(4.10)
4.2. Cálculo explícito de las integrales
47
Integrales en D dimensiones. Es fácil comprobar que, si → 0+ :
*
dD q
1
(−1)n i Γ(n − D/2) 1 n− D/2
=
(4.11)
Γ(n)
∆
(2π )D (q2 − ∆ + i
)n
(4π )D/2
*
dD q
q2
(−1)n−1 i D Γ(n − D/2 − 1) 1 n− D/2−1
=
(4.12)
Γ(n)
∆
(2π )D (q2 − ∆ + i
)n
(4π )D/2 2
En efecto. Hagamos la integral (4.11) en el espacio euclídeo, q0 = iq0E , q = q E , q2 =
−q2E ,
*
dD q
1
= i(−1)n
D
2
(2π ) (q − ∆ + i
)n
*
dD q E
1
D
2
(2π ) (qE + ∆)n
(4.13)
que es equivalente a rotar el contorno de integración (Fig. 4.2) en el plano complejo de
q0 un ángulo de 90◦ (rotación de Wick). En adelante omitiremos el ‘i
’ de los propagadores, que no debe confundirse con ≡ 4 − D.
Im q 0
√
− δ+i √
2 δ
δ = q2 + ∆
90◦
Re q 0
√
+ δ−i √
2 δ
Figura 4.2: Ilustración de la rotación de Wick.
Esta integral es resoluble en coordenadas esféricas en D dimensiones:
*
dD q E
1
(2π )D (q2E + ∆)n
*
donde
IA =
√
pues ( π )
D
*
∞
dΩ D
=
0
*
dΩ D =
D
dqE qED−1
1
≡ I A × IB
(q2E + ∆)n
2π D/2
Γ( D/2)
*
(4.14)
(4.15)
*
* ∞
dx e
= dD x e− ∑i=1 xi = dΩ D
dx x D−1 e− x
−∞
0
*
* ∞
*
1
1
Γ( D/2)
=
dΩ D
dt tD/2−1 e−t =
dΩ D
(4.16)
2 0
2
=
− x2
* ∞
D
2
2
y haciendo un par de cambios de variables: t = q2E , z = ∆/(t + ∆), tenemos
*
1 1 n− D/2 1
1 1 n− D/2 Γ(n − D/2)Γ( D/2)
n − D/2−1
D/2−1
IB =
dz z
(1 − z )
=
(4.17)
2 ∆
2 ∆
Γ(n)
0
usando la función Beta de Euler, B(α, β) =
* 1
0
dz zα−1 (1 − z) β−1 =
Γ(α )Γ( β)
.
Γ(α + β)
La integral (4.12) se obtiene sustituyendo q2 = (q2 − ∆) + ∆ y usando (4.11).
Capítulo 4: Cálculo de correcciones cuánticas a un loop
48
4.2.2 Funciones de dos puntos
q + k1
p
p
m1
m0
q
Figura 4.3: Esquema de una función de dos puntos a un loop.
Consideremos ahora los diagramas con dos patas externas (Fig. 4.3),
i
{ B0 , Bµ , Bµν } (args) = µ4− D
16π 2
*
dD q
{1, qµ , qµ qν }
(2π )D q2 − m20 (q + p)2 − m21
(4.18)
donde k1 = p. Las integrales dependerán de las masas m0 , m1 y del invariante p2 ,
(args) = ( p2 ; m20 , m21 ).
(4.19)
Utilizando los parámetros de Feynman,
1
=
a1 a2
* 1
0
dx
1
[ a1 x + a2 (1 − x )]2
,
(4.20)
se obtiene
i
{ B0 , Bµ , Bµν } = µ4− D
2
16π
* 1
0
*
dx
dD q {1, − Aµ , qµ qν + Aµ Aν }
( q 2 − ∆2 )2
(2π )D
(4.21)
con
∆2 = x2 p2 + x (m21 − m20 − p2 ) + m20 ,
(4.22)
donde se han identificado
a1 = (q + p)2 − m21 ,
(4.23)
a2 = q2 − m20 ,
(4.24)
y se ha desplazado la variable de integración para obtener un cuadrado perfecto en el
denominador,
qµ → qµ − Aµ ,
Aµ = xpµ .
(4.25)
Por tanto la función escalar es:
⇒
B0
* 1
*
dD q
1
2
D
(2π ) (q − ∆2 )2
0
* 1
∆2
= ∆
−
dx ln 2 + O(
)
[ D = 4 − ]
µ
0
i
B0 = µ4− D
16π 2
dx
(4.26)
(4.27)
4.2. Cálculo explícito de las integrales
49
2
donde ∆
≡ − γ + ln 4π y se ha desarrollado en serie de Taylor la Gamma de Euler
en torno a x = 0 para D = 4 − :
2− D/2
1
i
∆2
4− D iΓ(2 − D/2)
µ
=
(4.28)
∆
− ln 2 + O(
)
∆2
16π 2
µ
(4π )D/2
ya que x = exp{
ln x } = 1 + ln x + O(
2 ).
Comparando con las definiciones de los coeficientes tensoriales (4.3,4.4) tenemos:
*
*
1
i
dD q
Aµ
µ
4− D
B
=
−
µ
dx
(4.29)
16π 2
(2π )D (q2 − ∆2 )2
0
* 1
1
∆2
⇒ B1 = − ∆
+
dx x ln 2 + O(
)
[ D = 4 − ]
(4.30)
2
µ
0
* 1
*
i
dD q (q2 /D ) gµν + Aµ Aν
µν
4− D
B
= µ
dx
(4.31)
16π 2
(2π )D
( q 2 − ∆2 )2
0
1
⇒ B00 = − ( p2 − 3m20 − 3m21 )(∆
+ 2γ − 1) + O(
)
[ D = 4 − ] (4.32)
12
* 1
1
∆2
∆
−
dx x2 ln 2 + O(
)
[ D = 4 − ]
(4.33)
B11 =
3
µ
0
donde se ha cambiado qµ qν por (q2 /D ) gµν en el integrando y se ha desarrollado la
Gamma de Euler en torno a x = −1 para D = 4 − :
1− D/2
1
i 1
4− D iΓ(1 − D/2)
∆2 (∆
+ 2γ − 1) + O(
)
−µ
=
(4.34)
D/2
16π 2 2
(4π ) 2Γ(2) ∆2
4.2.3 Funciones de tres puntos
p1
q + k1
q
m1
m0
m2
p2 − p1
q + k2
−p2
Figura 4.4: Esquema de una función de tres puntos a un loop.
Consideremos finalmente los diagramas con tres patas externas (Fig. 4.4),
i
{C0 , Cµ , Cµν } (args) = µ4− D
16π 2
*
dD q
{1, qµ , qµ qν }
,
(2π )D q2 − m20 (q + p1 )2 − m21 (q + p2 )2 − m22
(4.35)
Capítulo 4: Cálculo de correcciones cuánticas a un loop
50
donde, por conveniencia, hemos elegido los momentos externos de forma que: k1 = p1 ,
k2 = p2 . Las integrales dependerán de las masas m0 , m1 , m2 y de los invariantes:
(args) = ( p21 , Q2 , p22 ; m20 , m21 , m22 ),
Q 2 ≡ ( p 2 − p 1 )2 .
(4.36)
Utilizando los parámetros de Feynman,
1
=2
a1 a2 a3
* 1
0
dx
* 1− x
0
dy
1
[ a1 x + a2 y + a3 (1 − x − y)] 3
,
(4.37)
se obtiene
i
{C0 , Cµ , Cµν } = 2µ4− D
2
16π
* 1
0
dx
* 1− x
0
*
dy
dD q {1, − Aµ , qµ qν + Aµ Aν }
(4.38)
( q 2 − ∆3 )3
(2π )D
con
,
∆3 = x2 p21 + y2 p22 + xy( p21 + p22 − Q2 ) + x (m21 − m20 − p21 ) + y(m22 − m20 − p22 ) + m20(4.39)
donde se han identificado
a1 = (q + p1 )2 − m21 ,
(4.40)
− m22 ,
(4.41)
a2 = ( q + p 2 )
a3 = q
2
2
− m20 ,
(4.42)
y se ha desplazado la variable de integración para obtener un cuadrado perfecto en el
denominador,
qµ → qµ − Aµ ,
µ
µ
Aµ = xp1 + yp2 .
(4.43)
4.2. Cálculo explícito de las integrales
51
Comparando con las definiciones de los coeficientes tensoriales (4.5,4.6) tenemos:
* 1
i
C0 = 2µ4− D
16π 2
⇒
C0 = −
0
* 1
dx
0
i
Cµ = −2µ4− D
16π 2
⇒
* 1
dx
C12
C00
1
∆3
dy
dx
dy
* 1− x
0
*
dy
dy
* 1
0
* 1
dx
* 1− x
* 1− x
0
dD q
1
2
D
(2π ) (q − ∆3 )3
*
dy
(4.44)
[ D = 4]
(4.45)
dD q
Aµ
(2π )D (q2 − ∆3 )3
(4.46)
[ D = 4]
(4.47)
[ D = 4]
(4.48)
dD q (q2 /D ) gµν + Aµ Aν
( q 2 − ∆3 )3
(2π )D
x2
[ D = 4]
∆3
0
0
* 1
* 1− x
y2
= −
dx
dy
[ D = 4]
∆3
0
0
* 1
* 1− x
xy
= −
dx
dy
[ D = 4]
∆3
0
0
*
* 1− x
1
1 1
∆3
= ∆
−
dx
dy ln 2 + O(
)
4
2 0
µ
0
C11 = −
C22
0
* 1
0
* 1− x
i
Cµν = 2µ4− D
16π 2
⇒
* 1− x
0
*
x
∆3
0
0
* 1
* 1− x
y
=
dx
dy
∆3
0
0
C1 =
C2
dx
* 1− x
dx
dy
(4.49)
(4.50)
(4.51)
(4.52)
[ D = 4 − ]
(4.53)
2
− γ + ln 4π y se ha cambiado qµ qν por (q2 /D ) gµν en el integrando.
En el cálculo de C00 se ha desarrollado en serie de Taylor la Gamma de Euler en
torno a x = 0 para D = 4 − :
donde ∆
≡
µ
4− D
iΓ(2 − D/2)
(4π )D/2 Γ(3)
1
∆3
2− D/2
i 1
=
16π 2 2
∆3
∆
− ln 2
µ
+ O(
) .
(4.54)
Nota sobre Diracología en D dimensiones. Hay que tener cuidado con las trazas de
matrices de Dirac cuando se trabaja en D dimensiones (regularización dimensional),
ya que
γµ γν + γν γµ = 2gµν 14×4 ,
gµν gµν = Tr{ gµν } = D .
(4.55)
Así, pueden demostrarse las siguientes identidades que involucran contracciones:
γ µ γµ = D
(4.56)
µ ν
γ γ γµ = −( D − 2)γ
µ ν ρ
γ γ γ γ γµ
(4.57)
ν ρ
− (4 − D ) γ γ
= −2γ γ γ + (4 − D )γν γρ γσ
γ γ γ γµ = 4g
µ ν ρ σ
νρ
ν
σ ρ ν
(4.58)
(4.59)
Capítulo 4: Cálculo de correcciones cuánticas a un loop
52
4.3 Algunos casos sencillos
1. Para el cálculo del momento dipolar magnético anómalo del electrón en QED,
necesitaremos las siguientes funciones de tres puntos, evaluadas en:
p21 = p22 = m2
(electrones on-shell)
Q2 = 0
(fotón on-shell)
m0 = 0
(masa del fotón)
m1 = m2 = m
(masa del electrón)
⇒ ∆3 = m 2 ( x + y )2 .
Las integrales básicas son entonces
C11
C0 = divergente en el infrarrojo (no se necesita),
1
C1 = C2 =
,
2m2
1
= C22 = 2 C12 = − 2 .
6m
C00 = divergente en el ultravioleta (no se necesita),
donde C ≡ C(m2 , 0, m2 ; 0, m2, m2 ).
2. Para el cálculo de las contribuciones débiles (y de supersimetría) a los momentos dipolares magnéticos se necesitan las siguientes funciones de tres puntos,
evaluadas en:
p21 = p22 = 0
2
Q =0
m0 = M1
m1 = m2 = M2
(se desprecian las masas de los fermiones externos)
(fotón on-shell)
(masa de la partícula virtual no acoplada al fotón externo)
(masa de las otras partículas virtuales)
⇒ ∆3 = ( M22 − M12 )( x + y) + M12 .
Las integrales básicas son
C0 =
C1 = C2 =
2 − 2 ln x
1 −3 + 4x21 − x21
21
,
4(1 − x21 )3
M12
2 − 2x3 + 6 ln x
1 11 − 18x21 + 9x21
21
21
,
2
4
18
(
1
−
x
)
M1
21
= divergente en el ultravioleta (no se necesita).
C11 = C22 = 2 C12 =
C00
1 1 − x21 + ln x21
,
M12 (1 − x21 )2
4.3. Algunos casos sencillos
53
O bien
C0 =
C1 = C 2 =
C11 = C22 = 2 C12 =
1 −1 + x21 − x21 ln x21
,
(1 − x21 )2
M12
2 − 2x2 ln x
1 1 − 4x21 + 3x21
21
21
,
2
3
4
(
1
−
x
)
M1
21
2 + 11x3 − 6x3 ln x
1 −2 + 9x21 − 18x21
21
21
21
,
2
4
18
(
1
−
x
)
M1
21
donde C ≡ C(0, 0, 0; M12 , M22 , M22 ), C ≡ C(0, 0, 0; M22 , M12 , M12 ) y x21 ≡ M22 /M12 .
3. Para el cálculo de las contribuciones débiles (y de supersimetría) a las transiciones radiativas del tipo µ → eγ se usan las funciones de tres puntos anteriores.
Para comprobar que esta transición es puramente magnética, es decir no contribuyen las auto-energías de las patas externas, conviene conocer explícitamente
C00 evaluada en la misma configuración anterior:
1
C00 (0, 0, 0; M12 , M22 , M22 ) = − B1 (0; M12 , M22 )
2
y las siguientes funciones de dos puntos evaluadas en p2 = 0, m0 = M1 , m1 =
M2 :
B0 (0; M12 , M22 ) = ∆
+ 1 −
1
B1 (0; M12 , M22 ) = − ∆
+
2
M12 ln
M12
M22
2
− M2 ln 2
µ2
µ
2
2
M1 − M2
4M14 − 3M24 − M12 M22 − 2 ln
4( M12 − M22 )2
= − B0 (0; M22 , M12 ) − B1 (0; M22 , M12 )
M12
M22
54
Capítulo 4: Cálculo de correcciones cuánticas a un loop
Capítulo 5
Aplicación: factores de forma dipolares
a un loop
5.1 El vértice vector-fermión más general
p1
j
iΓµ ( p1 , p2 )
Vµ
p2
i
Figura 5.1: Vértice efectivo vector-fermión.
La estructura Lorentz más general del vértice vector-fermión (Fig. 5.1) contiene 24
términos independientes, que son combinaciones de los cuadrivectores p ≡ p1 + p2 ,
q ≡ p2 − p1 y las 16 matrices de Dirac (indicadas abajo entre paréntesis):
(1 ) : p µ , q µ ,
( γ5 ) : γ5 p µ , γ5 q µ ,
(γα ) : γµ , pµ /
p, pµ q/, qµ /
p, qµ q/, µναβ γν pα q β ,
( γ5 γ α ) : γ5 γ µ , γ5 p µ /
p, γ5 pµ q/, γ5 qµ /
p, γ5 qµ q/, γ5 µναβ γν pα q β ,
(σαβ ) : σµν pν , σµν qν , pµ σαβ pα q β , qµ σαβ pα q β ,
µναβ σαβ pν , µναβ σαβ qν , pµ αβρσ σαβ pρ qσ , qµ αβρσ σαβ pρ qσ .
Con frecuencia el vértice se escribe de la siguiente forma:
iΓµ ( p1 , p2 ) = ie [γµ ( FV − FA γ5 ) + (iFM + FE γ5 )σµν qν + (iFS + FP γ5 )qµ
+( FMV + iFEV γ5 ) pµ + ( FTS + iFTP γ5 )σµν pν + . . . ] .
(5.1)
Los factores de forma Fi son en general funciones de todos los escalares independientes (invariantes Lorentz) que se puedan construir con los vectores p1 y p2 , es decir,
55
Capítulo 5: Aplicación: factores de forma dipolares a un loop
56
Fi ( p21 , p22 , q2 ). La constante e se ha introducido por conveniencia, de modo que los acoplamientos quedan normalizados a los de la electrodinámica cuántica (QED).
Si ambos fermiones están on-shell (es decir, p2 = m2 ), la ecuación de Dirac nos
permite eliminar los términos omitidos anteriormente y también FMV , FEV FTS y FTP ,
pues ya no son independientes y entonces
ij on-shell : iΓµ ( p1 , p2 ) = ie γµ ( FV − FA γ5 ) + (iFM + FE γ5 )σµν qν + (iFS + FP γ5 )qµ . (5.2)
Para demostrarlo basta usar la siguiente relación entre matrices de Dirac:
γ5 γρ ρµνσ =
i µ ν σ
( γ γ γ + γ σ γ µ γ ν + γ ν γ σ γ µ − γ ν γ µ γ σ − γ µ γ σ γ ν − γ σ γ ν γ µ ),
6
(5.3)
la ecuación de Dirac (ED): p/1 u( p1 ) = m1 u( p1 ), p/2 u( p2 ) = m2 u( p2 ), y las identidades
de Gordon (que se deducen de la ED y γµ γν + γν γµ = 2gµν ):
ū( p2 )σµν ( p2 ± p1 )ν u( p1 ) = ū( p2 ) {−i(m2 ∓ m1 )γµ + i( p2 ∓ p1 )µ } u( p1 ),
µν
µ
(5.4)
µ
).
ū( p2 )γ5 σ ( p2 ± p1 )ν u( p1 ) = ū( p2 ) {−i(m2 ± m1 )γ γ5 + iγ5 ( p2 ∓ p1 ) } u( p1(5.5)
Si el bosón vectorial V también está on-shell, su polarización1 satisface qµ ε µ = 0 y
por tanto los factores de forma FS , FP no contribuyen, y el vértice se reduce a:
Vij on-shell :
iΓµ ( p1 , p2 ) = ie [ γµ ( FV − FA γ5 ) + (iFM + FE γ5 )σµν qν ] .
(5.6)
Los factores de forma FV , FA y FM,E se denominan vectorial, axial y dipolares, respectivamente.
Si V = γ (fotón) la invariancia gauge U(1) impone la conservación de la corriente,
qµ Γµ = 0, y por tanto para fermiones on-shell:
[V = γ ]
(mi − m j ) FV + iq2 FS = 0,
(5.7)
ij on-shell
− (mi + m j ) FA + q2 FP = 0.
(5.8)
En consecuencia, si también el fotón está on-shell (q2 = 0) y los fermiones son idénticos
(m = mi = m j ), necesariamente FA = 0. El vértice electromagnético viene entonces descrito por tres constantes, relacionadas con la carga y los momentos dipolar magnético
y dipolar eléctrico:
γii on-shell :
µ
iΓi = j = ie [γµ FV + (iFM + FE γ5 )σµν qν ]
Una partícula masiva de spin 1 de momento pµ tiene tres grados de libertad de polarización εµ (λ =
µ
1, 2, 3) que verifican pµ ε µ (λ) = 0 y εµ (λ)ε µ (λ ) = −δλλ . En reposo: pµ = ( M, 0, 0, 0), ε 1 = (0, 1, 0, 0),
µ
µ
µ
µ
ε 2 = (0, 0, 1, 0), ε 3 = (0, 0, 0, 1). En movimiento: pµ = ( E, 0, 0, p ), ε x = (0, 1, 0, 0), ε y = (0, 0, 1, 0),
√ µ
µ
µ
µ
ε L = ( p/M, 0, 0, E/M ) [circular: ε ± = 1/ 2(
x ± i
y )]. Si tiene masa nula (ej. el fotón) no existe el s.r.
en reposo y sólo existen las dos polarizaciones transversales.
1
5.1. El vértice vector-fermión más general
57
donde, de acuerdo con nuestra convención para la derivada covariante,
eQ f ≡ −eFV (0)
e
FV (0) + eFM (0)
µ≡−
2m
FM (0)
a ≡ 2m
FV (0)
d = −eFE (0)
= carga eléctrica del fermión f ,
= momento dipolar magnético (MDM),
= momento dipolar magnético anómalo (AMDM),
= momento dipolar eléctrico (EDM).
Así, a nivel árbol (electrodinámica clásica), un electrón tiene acoplamientos FV = 1,
FA = FM = FE = 0, y por tanto carga Qe = −1 y momento dipolar magnético
e
e
µ ≡ µS = −
gS, g = 2 ⇐ interacción no relativista µ · B = −
σ · B (5.9)
2m
2m
donde S = 12 σ es el spin y g es la razón giromagnética o factor de Landé.2
Las correcciones cuánticas inducen valores no nulos de AMDM y EDM. Las condiciones de renormalización fijan FV (0) = − Q f (a todo orden de teoría de perturbaciones), pero aparece un AMDM que viene dado por
a=
eQ f
g−2
F (0 )
= −2m M
⇒µ=
(1 + a ).
2
Qf
2m
(5.10)
Por otro lado, las ecuaciones anteriores implican FV = FA = 0 para fermiones distintos. Es decir, procesos tales como µ → eγ se deben sólo a transiciones dipolares,
γij on-shell :
µ
iΓi = j = ie(iFM + FE γ5 )σµν qν
(5.11)
En general, todos los factores de forma son reales a nivel árbol para fermiones
externos iguales, por la hermiticidad del lagrangiano de interacción, pero se pueden
hacer complejos al introducir las correcciones cuánticas (regla de Cutkosky).3
Los factores de forma que acompañan a los operadores de dimensión mayor que
cuatro (todos menos FV y FA ), por ejemplo los dipolares, son nulos a nivel árbol en
cualquier teoría renormalizable. Por tanto sus correcciones a un loop son finitas. Además acoplan fermiones de quiralidades contrarias, por lo que deben ser proporcionales
a alguna masa fermiónica, ya sea interna o externa.
Los factores de forma FV , FA y FM multiplican sendos bilineales pares bajo CP,
mientras que FE acompaña a uno impar. Esto significa que si CP se conserva el momento dipolar FE se anula si i = j, aunque esto no ocurre si los fermiones externos son
distintos. Similarmente, si P se conserva (ej. en QED) FA y FE son nulos.
Los diagramas que contribuyen a un loop al vértice efectivo vector-fermión pueden
agruparse en seis clases o topologías distintas (Fig. 5.2).
2
Nótese que el momento anómalo y la razón giromagnética se definen sólo para partículas cargadas.
Sin embargo una partícula neutra puede tener momento magnético dado por µ = −eFM (0).
3 La amplitud se hace compleja cuando sea posible cortar el diagrama en dos diagramas tales que
ambos describan procesos físicos. Se trata de una aplicación del teorema óptico. Es fácil darse cuenta
de que si V = γ la amplitud ha de ser siempre real porque el fotón tiene masa nula.
Capítulo 5: Aplicación: factores de forma dipolares a un loop
58
j
j
l
j
l
r
V
k
l
r
V
k
i
I
k
i
II
j
l
j
l
r
k
i
III
j
V
r
V
k
r
V
k
i
IV
r
V
i
V
l
i
VI
Figura 5.2: Clases de diagramas que contribuyen al vértice efectivo vector-fermión a
un loop.
5.2 El momento magnético anómalo
Los momentos magnéticos anómalos de electrón y muón son observables medidos con
gran precisión. Como se deben enteramente a correcciones cuánticas ponen especialmente a prueba la consistencia de la teoría.
El momento magnético del electrón se ha medido en un ciclotrón en Harvard con
una precisión impresionante [8]:
ge
= 1.001 159 652 180 76 (27)
2
(5.12)
El momento magnético del muón se obtiene a partir de la frecuencia de precesión
del spin respecto a un campo magnético homogéneo en un anillo de almacenamiento
de muones:
ωa = a µ
eB
,
2m
aµ =
(gµ − 2 )
.
2
(5.13)
Se ha medido con gran precisión en el experimento E821 de Brookhaven [20]:
gµ
= 1.001 165 920 80 (63)
2
(5.14)
5.2.1 El momento magnético anómalo en QED
En QED sólo existe un diagrama a un loop (clase I, Fig. 5.3) y el único acoplamiento
no nulo es del tipo [VFF] con gV = 1, g A = 0. La configuración de masas y momentos
5.2. El momento magnético anómalo
59
e
e
γ
γ
e
e
Figura 5.3: Único diagrama fotón-electrón en QED a un loop.
γ, Z
γ
ν
γ
W
I
ν
φ
γ
H, χ
ν
IV
φ
III
W
γ
II
φ
γ
W
φ
γ
V
ν
W
VI
Figura 5.4: Diagramas fotón-leptón en el SM a un loop.
es también muy simple. El AMDM del electrón es entonces:
α
α 1
2m(C1 + C2 + C11 + C22 + 2C12 ) =
,
4π
4π m
g−2
α
= 2m FM (0) =
a=
,
2
2π
FM (0) =
(5.15)
(5.16)
donde α = e2 /4π es la constante de estructura fina ye hemos utilizado las funciones
de tres puntos con argumentos (m2 , 0, m2; 0, m2 , m2 ) evaluadas en el capítulo anterior.
5.2.2 El momento magnético anómalo en el SM
Los diagramas a un loop en el gauge de ’t Hooft-Feynman (incluyendo QED) se muestran en la Fig. 5.4.
Para calcular los nuevos diagramas necesitaremos más paciencia, las reglas de
Feynman del SM y las funciones de tres puntos con argumentos del tipo (0, 0, 0; M12 , M22 , M22 )
evaluadas en el capítulo anterior (se puede despreciar la masa del leptón ). Sumando
todas las contribuciones a un loop:
2
2
m
M
α
GF
1
(g − 2 )
10
√ m2
=
+
− 5 − (1 − 4s2W )2 + O
ln 2H (5.17)
a =
2
2
2
2π
3
3
MH
m
+,-. 8π 2
+,-. +
,.
+
,.
QED
W
Z
H
Capítulo 5: Aplicación: factores de forma dipolares a un loop
60
donde
GF = √
πα
2
2s2W MW
(1 + ∆r ) = 1.166387 (6) × 10−5 GeV−2 ⇐ comparando con τ(5.18)
µ
α−1 = 137.035 999 074 (44) ⇐ comparando con (ge − 2) en QED a 8 loops! (5.19)
M2
= 0.223, me = 0.511 MeV, mµ = 0.106 GeV, mτ = 1.777 GeV.(5.20)
s2W = 1 − W
M2Z
Nótese que (1 − 4s2W )2 0.012 por lo que la Z contribuye aproximadamente la mitad
que la W y con signo opuesto. La contribución del Higgs es despreciable.
Tabla 5.1: Predicciones del SM y medidas actuales del momento anómalo del muón
aµ .
CÁLCULOS TEÓRICOS
QED
coeficiente de
Contribución a aµ (×1011 )
α n
π
n=1
0.5
n=2
0.765 857 410 (27)
n=3
116 140 973
...
24.050 509 64 (87)
...
n=4
130.991 6 (80)
...
n=5
663. (20)
...
Total
Débil
Hadrónica
116 584 718
1. loop
195
2. loop
−41
hadronic vacuum polarization
6 803
light by light [NLO]
117
TOTAL
ateo
µ = 116 591 792 (49)
MEDIDA EXPERIMENTAL: E821 (Brookhaven ’06)
aµ
exp
= 116 592 080 (63)
En la tabla 5.1 resumimos las predicciones del SM y las medidas actuales del momento anómalo del muón aµ [8]. Existe una discrepancia de 3.6σ entre ambos valores que, de mantenerse, abriría una ventana a nueva física.4 La contribución hadrónica se extrae a partir de las medidas de σ(e+ e− → hadrones) usando relaciones de
dispersión. Alternativamente esta contribución se puede extraer de las medidas de
τ → ντ + hadrones, que se relacionan con las secciones eficaces hadrónicas asumiendo
simetría de isospin, en cuyo caso la discrepancia 2.4σ, algo menor pero también muy
significativa.
4
Los modelos supersimétricos contribuyen con
aSUSY
µ
=
±130 × 10−11 ·
100 GeV
mSUSY
2
tan β .
5.3. El proceso raro µ → eγ
61
µ
µ
φ
W
νi
γ
W
γ
e
II
νi
φ
µ
W
φ
νi
γ
φ
e
IV
µ
γ
e
V
νi
W
e
VI
Figura 5.5: Diagramas µ → eγ a un loop en el SM con neutrinos masivos.
5.3 El proceso raro µ → eγ
Se trata de un proceso con violación de sabor leptónico (LFV), que en el SM con
neutrinos sin masa está prohibido. Sin embargo, en el SM con neutrinos masivos o en
otras extensiones del SM, como supersimetría, este proceso puede darse.
La colaboración MEG lleva acabo un experimento en el PSI (Suiza) desde el 2004
con el haz de muones más intenso del mundo. No han observado ningún suceso, lo
que pone una cota actualmente de B(µ → eγ) < 2.4 × 10−12 [21]. El objetivo es llegar
en unos años hasta 10−14 . Los experimentos BaBar en el PEP-II de SLAC (EE UU)
y Belle en el KEKB (Japón) ponen cotas a desintegraciones similares del τ. Las más
actuales son B(τ → µγ) < 4.4 × 10−8 [22, 23] y B(τ → eγ) < 3.3 × 10−8 [22].
Recordemos que se trata de transiciones dipolares, lo que puede comprobarse explícitamente hallando las contribuciones a FV y FA , que son nulas. Las anchuras y
fracciones de desintegración relevantes son
α 3 m j | FM |2 + | FE |2 ,
2
G2F m5
παW
j
√
,
G
=
,
Γ( j → i νj ν̄i ) =
F
2
192π 3
2MW
B( j → i γ)
Γ( j → i γ)
=
B( j → i νj ν̄i )
Γ( j → i νi ν̄j )
4 4π 2 12α MW
2
2
=
| FM | + | FE | ,
π m2
αW
Γ( j → i γ) =
(5.21)
(5.22)
(5.23)
(5.24)
j
donde B( j → i νj ν̄i ) = 1/0.17/0.17 para j i = µe/τµ/τe.
5.3.1
µ → eγ en el SM con neutrinos masivos
Los diagramas a un loop en el gauge de ’t Hooft-Feynman se muestran en la Fig. 5.5. A
continuación listamos las contribuciones de cada clase de diagramas que se obtienen
2 , M2 ). Definiendo
usando las funciones de tres puntos con argumentos (0, 0, 0; m2νi , MW
W
Capítulo 5: Aplicación: factores de forma dipolares a un loop
62
2 :
xi ≡ m2νi /MW
II:
IV:
V:
VI:
Total:
αW
mµ ∑ Uei U∗µi 3C11 − C1
16π
i
αW
3
∗
mµ ∑ Uei Uµi xi C0 + 3C1 + C11
= −iFE = −
16π
2
i
FM = −iFE = −
(5.25)
FM
(5.26)
FM = −iFE = 0
α
FM = −iFE = W mµ ∑ Uei U∗µi C1
16π
i
αW m µ
Uei U∗µi FW ( xi )
FM = −iFE =
∑
2
16π MW i
donde
FW ( x ) =
(5.27)
(5.28)
(5.29)
10 − 33x + 45x2 − 4x3
3x3
5 x
+
ln x → − + O( x2 )
3
4
12(1 − x )
6 4
2 (1 − x )
Por tanto, para neutrinos ligeros y usando la unitariedad de U,
B(µ → eγ)|SM
3α
=
2π
'2
'
'
'
3α
'
'
∗
U
U
F
(
x
)
'∑ ei µi W i ' '
' i
32π
'2
'
'
'
'
'
∗
U
U
x
10−54 ,(5.31)
'∑ ei µi i ' <
' ∼
' i
donde se han sustituido los ángulos de mezcla y ∆m2ij medidos en oscilaciones.
Nota importante: En las expresiones anteriores se ha despreciado me . Para recuperar la
contribución de la W al momento magnético anómalo conviene reinsertar me :
αW
∗
∗
FM =
(5.32)
mµ Uei Uµi + me Uei Uµi [. . . ]
16π ∑
i
αW
∗
∗
iFE =
(5.33)
mµ Uei Uµi − me Uei Uµi [. . . ]
16π ∑
i
Entonces encontramos que en efecto, para = µ = e, la contribución de la W a a es
aW
= 2m FM (0) =
GF
10 GF
√ 4m2 FW (0) =
√ m2
2
3 8π 2 2 8π 2
(5.34)
pues, despreciando las correcciones radiativas de GF ,
GF
1
α
√ = W 2 ,
16π MW
8π 2 2
y d = 0 si no hay fases complejas en U o si los neutrinos no tienen masa.
(5.35)
(5.30)
Bibliografía
[1] S.L. Glashow, Nucl. Phys. 22, 579 (1961);
S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19, 1264 (1967);
A. Salam, Proceedings of the 8th Nobel Symposium, 367 (1968);
M. Gell-Mann, Phys. Lett. 8 214 (1964);
G. Zweig, Preprint CERN-TH-412 (1964).
[2] J. Küblbeck, M. Bohm and A. Denner, Comput. Phys. Commun. 60, 165 (1990);
T. Hahn, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 89, 231 (2000) [arXiv:hep-ph/0005029],
http://www.feynarts.de
[3] Y. Nambu, Phys. Rev. Lett. 4, 380 (1960).
[4] J. Goldstone, Nuov. Cim. 19, 154 (1961).
[5] F. Englert and R. Brout, Phys. Rev. Lett. 13, 508 (1964);
P. W. Higgs, Phys. Rev. Lett. 13, 321 (1964); Phys. Lett. 12, 132 (1964);
G. S. Guralnik, C. R. Hagen and T. W. B. Kibble, Phys. Rev. Lett. 13, 585 (1964);
P. W. Higgs, Phys. Rev. 145, 1156 (1966);
T. W. B Kibble, Phys. Rev. 155, 1554 (1967).
[6] G. Aad et al. [ATLAS Collaboration], Phys. Lett. B 716, 1 (2012) [arXiv:1207.7214
[hep-ex]];
S. Chatrchyan et al. [CMS Collaboration], Phys. Lett. B 716, 30 (2012) [arXiv:1207.7235 [hep-ex]].
[7] T. Aaltonen et al. [CDF and D0 Collaborations], Phys. Rev. Lett. 109, 071804 (2012)
[arXiv:1207.6436 [hep-ex]].
[8] J. Beringer et al. [Particle Data Group], Review of Particle Physics, Phys. Rev. D86,
010001 (2012), http://pdg.web.cern.ch/pdg/
[9] S.L. Glashow, J. Iliopoulos and L. Maiani, Phys. Rev. D2, 1285 (1970).
[10] N. Cabibbo, Phys. Rev. Lett. 10, 531 (1963);
M. Kobayashi and T. Maskawa, Prog. Theor. Phys. 42, 652 (1973).
[11] A. Pich, arXiv:hep-ph/0502010 (2005).
63
64
BIBLIOGRAFÍA
[12] T. Yanagida, in Proceedings of the Workshop on Unified Theory and Baryon Number in
the Universe, eds. O. Sawada and A. Sugamoto (KEK, Tsukuba, 1979);
M. Gell-Mann, P. Ramond and R. Slansky, in Supergravity, eds. D. Freedman and P.
van Nieuwenhuizen (North Holland, Amsterdam), 315 (1979);
R. Mohapatra and G. Senjanovic, Phys. Rev. Lett. 44, 912 (1980); Phys. Rev. D23,
165 (1981).
[13] B. Pontecorvo, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 33, 549 (1957);
Z. Maki, N. Nakagawa and S. Sakata, Prog. Theor. Phys. 28, 870 (1962);
B. Pontecorvo, Sov. Phys. JETP 26, 984 (1968).
[14] F. del Águila, J. Syska and M. Zrałek, Phys. Rev. D 76, 013007 (2007) [arXiv:hepph/0702182].
[15] M. C. Gonzalez-Garcia, M. Maltoni, J. Salvado and T. Schwetz, arXiv:1209.3023
[hep-ph] (2012).
[16] M. C. Gonzalez-Garcia, M. Maltoni and J. Salvado, JHEP 1008, 117 (2010) [arXiv:1006.3795 [hep-ph]].
[17] G. Passarino and M. J. G. Veltman, Nucl. Phys. B 160, 151 (1979).
[18] A. Denner, Fortsch. Phys. 41, 307 (1993) [arXiv:0709.1075 [hep-ph]].
[19] T. Hahn and M. Pérez-Victoria, Comput. Phys. Commun. 118, 153 (1999)
[arXiv:hep-ph/9807565], http://www.feynarts.de/looptools/
[20] G. W. Bennett et al. [Muon G-2 Collaboration], Phys. Rev. D 73, 072003 (2006)
[arXiv:hep-ex/0602035].
[21] J. Adam et al. [MEG Collaboration], Phys. Rev. Lett. 107, 171801 (2011) [arXiv:1107.5547 [hep-ex]].
[22] B. Aubert et al. [BABAR Collaboration], Phys. Rev. Lett. 104, 021802 (2010) [arXiv:0908.2381 [hep-ex]].
[23] K. Hayasaka et al. [Belle Collaboration], arXiv:0705.0650 [hep-ex].