segmentos perpendiculares congruentes

SEGMENTOS PERPENDICULARES CONGRUENTES
DOS PROBLEMAS
PROBLEMA 1.
Dado un triángulo ABC , sobre cada lado del mismo se construye (exteriormente) un cuadrado con lados
SQQQQQR
SQQQQQR
SQQQQQR
AB , BC y AC cuyos centros son E , F y G respectivamente. Se pide demostrar que los segmentos
SQQQQQR
SQQQQQR
AF y EG son iguales y perpendiculares.
PROBLEMA 2.
Se considera un cuadrilátero convexo ABCD , sobre cada lado del mismo se construye (exteriormente) un
SQQQQQR
SQQQQQR
SQQQQQR
SQQQQQR
cuadrado con lados AB , BC , CD y DA cuyos centros son E , F , G y H respectivamente. Se pide
SQQQQQR
SQQQQQR
demostrar que los segmentos EG y HF son iguales y perpendiculares.
RESOLUCIÓN.
Se muestra aquí una forma de abordar los dos problemas apelando a la misma herramienta teórica, la que se
explica en el siguiente lema.
Lema.
Sean RH A y RH B dos rotohomotecias de centros A y B respectivamente, la primera de razón
ángulo de 45º , y la segunda de razón
2 y
1
y ángulo 45º . En estas condiciones se tiene:
2
RH B D RH A = R
SQQQQQR
Donde R es una rotación de 90º cuyo centro es el punto medio de AB .
Que la composición de esas dos rotohomotecias es una rotación de 90º es trivial. Para mostrar que el centro
SQQQQQR
es el punto medio de AB considérese la figura siguiente
P
A
B
M
SQQQQQR
SQQQQQR
PAB es un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa AB , y M = pm AB . Es fácil comprobar que
RH A
RH B
M ⎯⎯⎯
→ P ⎯⎯⎯
→M
Es decir, M es unido en la composición RH B D RH A , por lo tanto es el centro de la rotación R .
Problemas de Matemática − G Ríos 2009
SOLUCIÓN PROBLEMA 1.
G
A
E
M
C
B
F
⎧
⎪
SQQQQQR
⎪AB = 2 AE
E centro cuadrado de lado AB ⇒ ⎪
⎨
{
⎪
n
⎪
⎪
⎩EAB = 45º
⎧
1
⎪
⎪
CF =
BC
SQQQQQR
⎪
⎪
2
F centro cuadrado de lado BC ⇒ ⎨
⎪
{
⎪
n
⎪
⎪
⎩ BCF = 45º
Por el lema expuesto anteriormente RH
C , 45 º { ,
1
2
D RH A , 45º { ,
∴
RH A , 45º { , 2 (E ) = B
∴
RH
C , 45 º { ,
1
2
(B ) = F
SQQQQQR
2
= RM , 90 º { , donde M = pm AC . Por lo tanto
F = RM , 90 º { (E )
Por otra parte
SQQQQQR ⎫
⎪
{
G centro de cuadrado de lado BC ⎪⎪
n = 90 º ∧ MG = MA , entonces
⇒
AMG
GMA
rectángulo
isóscles
con
⎬
SQQQQQR
⎪⎪
M = pm AC
⎪⎪⎭
A = RM , 90 º { (G )
Finalmente
⎫ SQQQQQR
F = RM , 90 º { (E )⎪
⎪ ⇒ AF = R
( SQQQQQR )
⎬
M , 90 º { EG ⇒ AF ⊥ EG ∧ AF = EG
A = RM , 90 º { (G )⎪
⎪
⎭
Q. E. D.
−2−
Problemas de Matemática − G Ríos 2009
SOLUCIÓN PROBLEMA 2.
H
D
A
G
E
M
C
B
F
⎧AB = 2 AE
⎪
SQQQQQR
⎪
E centro cuadrado de lado AB ⇒ ⎪
⎨
{
⎪
n
⎪
⎪EAB = 45º
⎩
⎧
1
⎪
⎪
CF =
BC
⎪
⎪
2
F centro cuadrado de lado BC ⇒ ⎨
⎪
{
⎪ n
⎪
⎪
⎩ BCF = 45º
SQQQQQR
SQQQQQR
M = pm AC ,
RH
C , 45 º { ,
⎪⎧⎪CD = 2 CG
SQQQQQR
G centro cuadrado de lado CD ⇒ ⎪⎨
{
⎪⎪ n
⎩⎪GCD = 45º
⎧⎪
1
⎪⎪AH =
AD
⎪
2
H centro cuadrado de lado AD ⇒ ⎨
⎪⎪
{
n = 45º
⎪⎪ DAH
⎩
SQQQQQR
SQQQQQR
M = pm AC ,
RH
A , 45 º { ,
⎫
⎪
⎪
RH A , 45 º { , 2 (E ) = B ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⇒ RM , 90 º { (E ) = F
∴ RH
=
B
F
(
)
⎪
1
⎪
C , 45 º { ,
⎪
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
1 D RH A , 45 º { , 2 = R M , 90 º { ⎪
⎪
⎪
2
⎪
⎭
∴
⎪⎫⎪
RH C , 45º { , 2 (G ) = D ⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
∴ RH
1 (D ) = H ⎬ ⇒ R M , 90 º { (G ) = H
A , 45 º { ,
⎪⎪
2
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
1 D RH C , 45 º { , 2 = R M , 90 º { ⎪
⎪⎪
2
⎪⎪
⎪⎭
∴
⎫ SQQQQQR
F = RM , 90 º { (E ) ⎪
⎪ ⇒ HF = R
( SQQQQQR )
⎬
M , 90 º { GE ⇒ HF ⊥ EG ∧ HF = EG
H = RM , 90 º { (G )⎪
⎪
⎭
Q. E. D.
BIBLIOGRAFÍA
YU. I. Lyúbich − L.A. Shor. Método cinemático en problemas geométricos. Lecciones populares de
matemáticas. Editorial Mir. Moscú. 1984.
MATH terminale S. Colection Terracher. Hachette Education.
−3−