Fórmulas para flexión simple: sección constante

Mecánica
de
Sólidos
Departamento de Estructuras de Edificación
Escuela Técnica Superior de de Arquitectura de Madrid
y
Sistemas
AA 06/07
Estructurales
10-5-2007
Apostilla
Fórmulas para flexión simple: sección constante
La comprobación de una viga de uno o varios tra- Flecha en el centro de un vano
mos requiere comprobar la resistencia y rigidez de caLa flecha en el centro de un vano, δc , o mejor, la disda vano o voladizo que la forman. Las fórmulas que se
torsión media, φ, pueden obtenerse aproximadamente
ofrecen, no siempre exactas, permiten tanteos rápidos
en función de unos pocos parámetros:
durante el diseño. En el reverso se ofrecen las caracteMi : el momento isostático del vano, véase el aparrı́sticas mecánicas de distintos tipos de secciones.
tado anterior.
Resistencia en un tramo
En los extremos de un vano pueden actuar momentos (M1 y M2 ) ejercidos por vanos contiguos o por vuelos que, desde el punto de vista del vano, son como
cargas externas.
Para la comprobación de la resistencia a momento
hay que determinar el máximo valor absoluto de entre los momentos extremos, M1 y M2 , y el máximo
momento de vano, M0 , segmento DE en la figura. M0
debe calcularse en la cota en la que el esfuerzo cortante
es nulo, z0 :
M0 = −M1 +
Z z0
L
αMi − 3(M1 + M2 )
δc
≈
×
L/2
24
EI
p(z)
M1
M2
δc
L
p(z)
M1
M2
L
L/2
A
M1
D
Valores de α
4
5
α
M 1 + M2
= AC − AB = BC ≈ DE
2
B
φ=
V (z) dz
0
En los casos habituales de carga sensiblemente simétrica puede bastar como aproximación el momento en
el centro del vano, Mc , el segmento BC en la figura. Denominando momento isostático del vano, Mi ,
al momento producido por p(z) en el centro cuando
M1 =M2 =0, segmento AC en la figura, se tiene que:
M 0 ≈ M c = Mi −
α: coeficiente que varı́a segun la forma del diagrama isostático de la curvatura, κ(p, z), correspondiente a Mi , véase la tabla.
M2
6
κ(p, z)
Flecha en el extremo de un voladizo
La flecha en el extremo del voladizo, δv , se puede
estimar siguiendo la misma estrategia:
Mi sigue siendo el momento isostático de la carga
del vano, véase más arriba. Mv es el momento
máximo en el vuelo: cumple el mismo papel que
antes M1 , véase la figura.
La flecha depende ahora de dos parámetros, β y
θ, función del tipo de carga del vuelo (β) o del
vano (θ), véase la tabla. Para los casos habituales
ambos valores oscilan entre 3 y 4.
v
δv
L
L
≈
φ=
Mv β + 4
+ (2M2 − θMi )
v
12EI
v
v
p(z)
Q
z0
C
E
En lo que se refiere al cortante, hay que determinar el máximo valor absoluto y comprobar con él la
resistencia. Para primeros tanteos, una estimación rápida se obtiene sumando a la mitad de la carga total
el denominado cortante hiperestático:
abs (M1 −M2 )
L
En un voladizo, basta con comprobar la resistencia a los máximos valores de momento y cortante, generalmente en el apoyo.
M2
δv
v
L
Mv
M2
Valores de β y θ
Tipos de carga
β=4 θ=4
β =4 θ=3
β=3 θ=4
β =3 θ=3
c 2007, Vázquez. Printed with free software: GNU/Linux/emacs/LATEX 2ε /Postscript.
Copyleft (1)
A
I
I/I2
W
W/W2
AR
z/h
Wp /W
S
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Ah2 /4
Ah/2
0,25Ah2
h2
3
A
0, 5Ah
h
3√
A
0
1
1
Ah
4
0, 25Ah
1,5A2
≈ 2,5A2
3,2A2
15
≈ 30
40
0,95A3/2
≈ 1,28A3/2
1,43A3/2
6,5
≈ 8,0
9
0,32A
≈ 0,33A
0,36A
A/2
z
ideal
h=z
A/2
b
h
bmin
bmin ≈ 0,03h
IPE

 pequeño
mediano

grande
bmin
bmin ≈ 0,04h
b
HEB

 pequeño
mediano

grande
h/3,3
≈ h/4
h/4,5
A
h2 /10
≈ h2 /15
h2 /20
≈ Ah2 /6
h/2,2
≈ h/2,5
h/2,8
h2 /5
≈ h2 /6
h2 /8
Cualquier HEB:
proporción
h
λ=
b
h
A
Cualquier IPE:
b
h
√
√
bh
bh
0,98A2
≈ 1,15A2
1,54A2
≈ Ah/3
11
≈ 14
17
0,86A3/2
≈ 0,93A3/2
1,09A3/2
' 2Ah2 /11
' 4Ah/11
bh3 /12
bh2 /6
2
λA /12
λ
√
λA
3/2
/6
≈ A/3
4,8
≈ 5,4
6
λ
' 8/9
' 1,14
' 8/9
' 1,13
Ah2 /12
h
h2
0,083h4
1
0,167h3
1
0,67h2
πh/2
0,89h
πh2 /4
0,79h2
πh4 /64
A2 /4π
3/π
πh3 /32
√
A3/2 /4 π
√
3/2 π
3πh2 /16
0,589h2
2A/3
6
Ah
29
' 0,206Ah
1
Ah
8
0,67A
h2 /λ
5
Ah
26
' 0,192Ah
'
2bh/3
√
h/ λ
Ah/6
'
0,22A
≈ 0,20A
0,24A
≈ A/5
√
1
0,67
1,5
h
λ=1
h
d
h=d
h
h
h
a
h = 1,41a
√
a
0.71h
a2
h2 /2
Ah2 /16
a4 /12
A2 /12
Ah2 /24
0,964
1
Ah/8
√
a3 /6 2
√
A3/2 /6 2
Ah/12
0,846
0,71
3A/4
8a2 /9
0,444h2
8A/9
0,125Ah
3π/16
0,589
0,5
1,70
1
Ah
3π
0,106Ah
2
1
Ah
12
0,083Ah
Constantes mecánicas para la flexión en un plano vertical respecto al centro de gravedad de la sección. H, I 2 y W2 : respectivamente, canto, inercia y módulo
resistente de la sección cuadrada de igual área que la sección considerada. AR : área eficaz a esfuerzo cortante y rasante. Wp : módulo resistente de la sección plastificada (con
curvatura infinita); la reserva plástica no puede utilizarse en su totalidad cuando W p /W es mayor que el coeficiente de seguridad aplicable, γ; en el análisis plástico de estructuras
de acero, γ suele ser 1,12 veces mayor que en análisis elástico. S: momento estático de media sección.
Los valores para perfiles IPE y HEB son aproximados y deben comprobarse los diseños con los catálogos del fabricante. ‘'’ denota una aproximación muy buena (errores por
debajo del 5 %); ‘≈’ denota una aproximación decente. Un perfil puede considerarse pequeño si su canto es menor que 220 mm; y grande, si es mayor que 330 mm.
La tensión tangencial máxima en un rombo se produce a un octavo del canto por encima y por debajo del centro de gravedad.
Secciones para flexión simple.
H
Tipo de sección