Velocities: mean, average and instantaneous in uniform accelerated

Velocidades: media, promedio e instantánea en el movimiento
uniforme acelerado, algunos comentarios pedagógicos
(Velocities: mean, average and instantaneous in uniform accelerated motion, some pedagogical comments)
Paco Talero 1, Orlando Organista 1, Luis H. Barbosa1
arXiv:1303.7025v1 [physics.ed-ph] 28 Mar 2013
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Grupo Fı́sica y Matemática, Dpt de Ciencias Naturales, Universidad Central, Bogotá Colombia
Se estudió la relación entre velocidades instantánea, media y promedio en el movimiento
unidimensional con aceleración constante. Se demostró que la velocidad instantánea evaluada en el
tiempo tp = (t2 + t1 ) /2 es igual a las velocidades media y promedio evaluadas entre los tiempos
t1 y t2 . Se ilustró en detalle la razón por la cual se obtienen las relaciones antes mencionadas y se
usaron los resultados para proponer una estrategia pedagógica con el fin de estudiar el movimiento
unidimensional con aceleración constante como una extensión natural del movimiento uniforme
rectilı́neo.
Palavras-chave: velocidad media, velocidad promedio, velocidad instantanea.
The relation among instantaneous, mean and average velocities in one-dimensional motion
with constant acceleration is studied. It was shown that the instant velocity evaluated in the time
tp = (t2 + t1 ) /2 is similar to the mean and average velocities evaluated between the times t1 and
t2 . The reason for relations illustrated before were shown in detail. Also, the results obtained were
used to propose a pedagogical strategy in order to study the one-dimensional motion with constant
acceleration as a natural extension of one-dimensional motion with constant velocity.
Keywords: instantaneous velocity, mean velocity, average velocity.
1.
Introducción
MUA, esencialmente por su sencillez matemática,
es el análisis de las relaciones y diferencias entre
las velocidades media, promedio e instantánea ası́
como su uso en la transposición didáctica de la
cinemática unidimensional [4]. Pero, pese a la gran
cantidad de textos que abordan el tema suele no
presentarse o presentarse la ligera [5–9], desaprovechando de esta manera la riqueza pedagógica que
la relación entre estos conceptos ofrece a la hora
de discutir alternativas pedagógicas de aula [4].
En cursos introductorios de ciencias e ingenierı́a
es común el estudio del movimiento rectilı́neo con
aceleración constante (MUA), ası́ como tema obligado en cursos preuniversitarios y de secundaria.
Las investigaciones que indagan por el aprendizaje
exitoso de este tema reportan, desde hace casi
treinta años y en diversas partes del mundo,
que los estudiantes tienen serias dificultades al
estudiar el MUA. Tales investigaciones reportan
que las principales equivocaciones que cometen
los estudiantes están relacionadas con: ineficiencia
en la operatividad matemática; la inadecuada
narración de situaciones representadas gráficamente; la lectura incorrecta de gráficos simples
y la no identificación e interpretación de áreas y
pendientes [1–3].
En este trabajo se muestra que para una
partı́cula que tiene un MUA la velocidad media
es igual a la velocidad promedio y a su vez estas
velocidades son iguales a la velocidad instantánea
evaluada en el promedio de los tiempos extremos
donde se evaluan tanto la velocidad media como la
velocidad promedio. Con base en estas relaciones
se propone una estrategia pedagógica para estudiar
Un aspecto pedagógico importante en el estudio el MUA sin el formalismo del cálculo diferencial
1
y extendiendo la idea del movimiento uniforme La velocidad promedio vp entre los tiempos t1 y
rectilı́neo (MUR).
t2 se define como la semisuma de las velocidades
instantáneas v (t2 ) y v (t1 ) [4]. Ası́
El trabajo está organizado de manera siguiente:
v (t2 ) + v (t1 )
en la sección (2) se revisa la definición de las velocivp =
.
(7)
2
dades media, promedio e instantánea y se muestran
sus relaciones; en la sección (3) se plantea una pro- En particular cuando t = 0, t = t, v(t ) = v y
1
2
1
o
puesta pedagógica que permite abordar el MUA v(t ) = v se obtiene
2
como una extensión natural del MUR y en la secv + vo
ción (4) se presentan las conclusiones.
vp =
,
(8)
2
que permite calcular el desplazamiento ∆x como el
2. Velocidad media, prome- área del trapecio en la gráfica de velocidad contra
dio e instantánea en el tiempo mostrada en la Fig.1, quedando el desplazamiento dado por ∆x = vp t.
MUA
Al reemplazar (2) en (7) se obtiene:
Desde el punto de vista de la cinemática unidimensional se entiende por partı́cula un cuerpo
cuya forma y composición interna no afectan
de manera significativa la descripción de su
movimiento [10, 11]. Ası́, se parte de la hipótesis
fundamental de que se conoce -por razones teóricas o experimentales- ya sea la posición x(t), la
velocidad v(t) o la aceleración a(t) instantáneas de
tal partı́cula como funciones de tiempo.
v
vo
Para el caso particular de MUA con aceleración
a se tienen las expresiones ampliamente conocidas
para la posición y la velocidad instantáneas
1
x (t) = xo + vo t + at2 ,
2
(1)
v (t) = vo + at.
(2)
t
Figura 1: Desplazamiento para el MUA
vp = vo + atp .
(9)
La velocidad media vm entre un tiempo t1 y un
Nótese como (9) implica que la velocidad promedio
tiempo t2 se define como
es igual a la velocidad media y además que estas
x (t2 ) − x (t1 )
velocidades son iguales a la velocidad instantánea
vm =
.
(3)
evaluada en tp .
t2 − t1
Al reemplazar (1) en (3) se encuentra
vm = vo + atp ,
3.
(4)
con
El MUA: una extensión
natural del MUR
t2 + t1
.
(5)
La ventaja pedagógica del uso la velocidad pro2
Esto significa que la velocidad media entre los tiem- medio radica en el hecho de que el desplazamiento
pos t1 y t2 es igual a la velocidad instantánea eva- realizado por una partı́cula entre los tiempos t1 y t2
donde tiene velocidades instantáneas v(t1 ) y v(t2 )
luada en tp , es decir
respectivamente, es igual al desplazamiento realivm = v (tp ) .
(6) zado por una partı́cula que se mueve con velocidad
tp =
2
promedio entre estos mismos tiempos. Esta afirma- referentes concretos que permiten visualizar el
ción se observa al comparar la Fig.1 con la Fig.2 cambio de velocidad con el transcurso del tiempo
donde se ha tomado t1 = 0, t2 = t, v(t1 ) = vo y son los “velocı́metros” de los autos o motocicletas.
v(t2 ) = v, que es un caso tı́pico abordado en cursos
Por ejemplo: tómese el caso de la caı́da libre.
elementales.
Desde una cierta altura se deja caer una partı́cula,
si se toma un sistema de referencia positivo hacia abajo se le puede plantear al estudiante como
punto de partida de la discusión académica que la
v
velocidad aumenta cada segundo en 10m/s, en lugar de decirle que la aceleración es constante y de
10m/s2 . Luego se entra a analizar la proporcionalivp
dad que esta afirmación implica junto con las posibles velocidades promedio y sus respectivos desplazamientos. La tabla 1 presenta algunos valores de
vo
velocidad instantánea, promedio y desplazamiento
producida por este método.
tp
t
Tabla 1: Ejemplo sobre caı́da libre
Figura 2: Igualdad de desplazamientos en MUA y
MUR
t (s)
0, 0
0, 25
0, 50
0, 75
1, 0
Ahora nótese que, de acuerdo con lo anterior, la
ecuación (1) se puede escribir como
x = xo + vp t,
vp (m/s)
0, 0
1, 25
2, 5
3, 75
5, 0
∆x (m)
0, 0
0, 31
1, 25
2, 81
5, 0
(10)
En general,esto permite entender que una partı́cula A provista de un MUA que aumentó su velocidad instantánea desde vo hasta v en un tiempo
t comparada con otra partı́cula B provista de un
MUR que mantiene su velocidad vp durante todo el
tiempo t, tienen el mismo desplazamiento y que esto se debe a que A se mueve más lento que B antes
de tp , igual que B justo en tp y más rápido que B
para tiempos mayores que tp . En otras palabras,el
desplazamiento sufrido durante un tiempo t por
una partı́cula provista de un MUA es igual al desplazamiento sufrido por una partı́cula en MUR con
velocidad vp durante el mismo tiempo.Finalmente,
nótese que lo anterior es una aplicación del teorema
del valor medio para integrales.
lo que se interpreta como la posición de la partı́cula
en un tiempo t. Resulta entonces clara la analogı́a
con la función de posición contra tiempo de un
MUR.
La propuesta pedagógica para estudiar el MUA
a partir de una extensión natural del MUR, surge del hecho de que es posible iniciar el estudio
del MUR afirmando que se trata del movimiento
de una partı́cula que recorre distancias iguales en
tiempos iguales, lo que implica
x = xo + vo t,
v (m/s)
0,0
2, 5
5, 0
7, 5
10,0
(11)
que es análoga a (10).
Entonces el MUA se puede entender como un 4.
Conclusiones
movimiento en el cual la partı́cula en estudio
cambia velocidades iguales en tiempos iguales,
Se presentó una alternativa para abordar el espermitiendo ası́ visualizar el aumento de velocidad tudio del MUA mediante una extensión del MUR,
o su disminución en cada instante y dando sentido donde se hace uso exclusivo de cantidades directafı́sico a la velocidad promedio. Cabe anotar que mente proporcionales. Esto se logró gracias a que se
3
pudo demostrar que la velocidad promedio es igual [11] P.Talero El movimiento unidimensional en
gráficas (Editorial Universidad Central, Bogoa la velocidad media y que además estas velocidatá, D.C., 2012).
des son iguales a la velocidad instantánea evaluada
en el tiempo promedio.
Agradecimientos
Los autores agradecen a la Facultada de Ingenierı́a y al Departamento de Ciencias Naturales de la
Universidad Central por el tiempo y los recursos
asignados al proyecto de investigación: Un modelo
de enseñanza de la fı́sica mediante videos de experimentos Discrepantes realizado durante el año
2013.
Referencias
[1] D. E. Trowbridge, L. C. McDermott, Am. J.
Phys. 48, 1020 (1980).
[2] D. E. Trowbridge, L. C. McDermott, Am. J.
Phys. 49, 242 (1981).
[3] R. Beichner, Am. J. Phys. 62, 750 (1994).
[4] A. B. Arons Evolución de los conceptos de la
fı́sica (Editorial Trillas, Mexico, D.C., 1970).
[5] M. Alonso, E. Finn, Fı́sica. Mecánica Vol. I.
(Adison-wesley, USA, 1967).
[6] R. A. Serway, J. W. Jeweett Jr, Fı́sica para
Ciecias e ingenierı́as (Thomson, Mexico D.C.,
2011).
[7] S.L Lea and J.R Burke Fı́sica La naturaleza
de las cosas Vol. I (Thomson, Mexico, 2001).
[8] R. Resnick, D. Halliday and k. Krane Fı́sica
Vol. I (Compañia Editorial continental, Mexico, 2001).
[9] H. D. Young, R.A. Freedman and A. L. Ford
Fı́sica Universitaria Vol. I (Addison-Wesley,
Mexico, 2009).
[10] Landau, L., Lifshitz, E. Mecánica curso de
Fı́sica Teórica Vol. I (Reverté S.A., Moscu,
1976).
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