Factor de devanado en máquinas rotativas de C.A. Ramón Guillermo Borrás Formoso Licenciado en Marina Civil (Máquinas Navales) e Ingeniero Técnico Industrial (Electricidad). Ejerció profesionalmente como Oficial de Máquinas en diversos buques de la M.M. y en Ingeniería como autor de proyectos industriales. Actualmente es profesor de Electrotecnia en la Escola Superior da Mariña Civil de A Coruña. 1.- Introducción Cuando se dispone de una máquina dada en la que se va a proceder a bobinar su estator, bien porque se haya quemado, para variar su velocidad, etc., o cuando se trata de una máquina nueva (fase de proyecto) dependiendo de cual sea su relación número de ranuras del estator/número de polos y número de fases (ranuras por polo y fase) según se vaya a realizar un devanado de una capa o doble capa, concéntrico, imbricado y ondulado, y si va a ser por polos o por polos consecuentes, tiene una serie de implicaciones de tal forma que las condiciones impuestas, en algunos casos hacen inviable su ejecución , en otros pueden dar lugar a devanados incorrectors desde el punto de vista eléctrico, etc. De todas las soluciones posibles decir cual es la mejor opción no es tarea fácil por cuanto el criterio para examinar la bondad de un diseño en algún caso puede ser obtener la máxima potencia para un tamaño dado, en otro será minimizar el coste de ejecución del devanado, en otro puede ser que la tensión en bornes esté libre de armónicos, que tenga una corriente de vacío reducida, etc. Cada cambio de ejecución va acompñado en cada caso, en general, por la modificación en el factor de devanado con las consecuencias que ello implica. 2.- Tensión inducida por movimiento Como se sabe en toda máquina eléctrica vamos a tener campo magnético y conductores que en el caso de que la máquina sea rotativa va a cortar líneas de campo. Sea el campo el que gira o el conductor el que se mueve, va a existir entre ambos un movimiento relativo en virtud del cual se engendrará en el conductor una fuerza electromotriz, E, que para el caso de que v, B y l (velocidad, campo, longitud de conductor) sean perpendiculares entre sí, puede expresarse como la integral curvilínea del campo no electrostático. b ε = ∫ En .ds = En .l = v.B.l [1] a Para el caso general la ecuación en forma diferencial que da la f.e.m. engendrada en un conductorde longitud dl es: dε = En .dl = (v xB ).dl [2] Si queremos tener una máquina con buenas prestaciones pero de pequeño volumen implica que “l” ha de ser reducido, tanto como sea posible; ello obliga a que según la ecuación (1) “v” sea elevada, máquinas rápidas, aunque en general en las másquinas de c.a. no puedan sobrepasarse las 3.000 r.p.m. (3.600 para el caso de redes de 60 Hz.), y por otra parte a elevadas inducciones (“B” alta). Este último factor viene limitado por la saturación magnética, pero es su valor cada vez más elevado el que fue permitiendo hacer máquinas cada vez pequeñas; es así que a título de ejemplo podemos decir que el tamaño de un motor de 7,5 C.V. de los primeros comercializados (hace un siglo) es comparable a uno de 100 C.V. actual.[2] 3.- Factor de devanado Partamos del supuesto de que tenemos una máquina de c.a. en la que existe un campo magnético giratorio con una distribución senoidal a lo largo del entrehierro (en general no va a ser perfectamente senoidal pero se puede descomponer en serie de Fourier correspondiendo a cada armónico un armónico de la fuerza electromotriz). Si en esta máquina las ranuras están distribuidas en sentido axial, las bobinas tienen un ancho diametral y para cada par de polos adyacentes las bobinas de una fase se hallan agrupadas en dos únicas ranuras y todas las bobinas de una misma fase conectadas en serie, la f.e.m. inducida en una fase vendrá dada por la expresión: E = 2 .π .N c .φ . f [3] siendo Nc = Número de espiras total de una fase ø = Flujo de cada polo f = Frecuencia eléctrica. Ahora bien, si como es normal las bobinas correspondientes a cada para de polos no van alojadas en dos únicas ranuras sino que van distribuidas en mas pares, dado que las tensiones inducidas en dos ranuras adyacentes no van a estar en fase, la tensión resultante de su conexión en serie no va a ser el doble sino algo menor. Por tanto para obtener el valor real habría que multiplicar el segundo miembro de la ecuación (3) por el llamado factor de distribución, Kd, que recoge el efecto de ese desfase. Por otra parte si la bobina no tienen un ancho diamentral, esto es, si cuando un lado está frente a un polo N, por ejemplo, el otro lado no está justo frente al polo S, no coincidirá en el tiempo el máximo de f.e.m. en un lado con el máximo en el otro lado activo, por tanto la tensión máxima inducida en la espira será menor del doble de la tensión máxima inducida en un lado de la bobina. Quiere ello decir que el resultado anterior habría que multiplicarlo por un nuevo coeficiente que llamamos factor de paso, Kp. Ya por último si las ranuras no están colocadas paralelamanten al eje sino ligeramente inclinadas a lo largo de la periferia, (o bien son los polos los que están inclinados) cada sección del haz activo no va a alcanzr simultáneamente el máximo de f.e.m. inducido; por tanto de nuevo habría que multiplicar el resultado anterior obtenido por un nuevo coeficiente, Ki, que llamamos factor de inclinación. Las ecuaciones que dan los distintos coeficientes son: [2] [3] [4] Factor de acortamiento de paso, Kp: ρ β 1 y K p = sen = cos = cos 180. 1 − k [4] 2 2 2 y p siendo : Ancho de bobina (en grados eléctricos). yp: Paso polar (en número de ranuras). yk: Ancho de bobina (en número de ranuras). y como expresión general referido al armónico de orden ν vp K pv = sen [5] 2 º Factor de distribución, Kd vnγ sen 2 K dv = [6] vγ n.sen 2 siendo γ: separación de lados activos de bobinas contiguas del mismo grupo medida en grados eléctricos. n: número de bobinas por grupo. y en general el factor de distribución para el armónico de orden ν es: vnγ sen 2 K dv = [6 bis] vγ n.sen 2 º Factor de inclinación, Ki α sen i α i2 2 Ki = ≅ 1− [7] αi 24 2 siendo αi: arco correspondiente a la inclinación de ranura (arco proyectado por la ranura sobre un plano perpendicular al eje) y para el armónico de orden ν vα sen i 2 K iv = [7 bis] vα i 2 4.- Intervalos de variación En lo que sigue partimos de la base de que se dispone de un bobinado diseñado “racionalmente”, así por ejemplo si tenemos un gurpo formado por varias bobinas para ser conectradas en serie, las conexiones se supone que están hechas de forma que la f.e.m. resultante sea la máxima posible. Veamos ahora entre que valores pueden oscilar cada uno los factores vistos en el apartado anterior. º Factor de distribución Partimos del caso de que disponemos de un conjunto de varias bobinas cada una de ellas de paso diametral y tratamos de ver cual sería el factor de distribución para los dos casos límite siguientes: 1º el menor número posible de bobinas correspondiente a cada par de polos que, independientemente del número de polos de la máquina, será de uno y 2º el mayor número posible que, consideraciones de índole constructiva aparte, puede ser cualquiera, por tanto como límite infinito. Conviene hacer el análisis para tres subapartados a) Para devadados en los que, en general el ranurado de una fase ocupa 120º eléctricos de cada 360º. Es el caso de los devanados trifásicos. b) Para devanados en los que el devanado puede ocuparr hasta los 180º eléctricos de cada 360º. Es el caso de los devanados bifásicos. c) Devanados en los que todas las ranuras pueden estar ocupandas por la misma única fase. Caso de los devanados monofásicos. Para el primer subapartado calculemos el valor límite para un número de ranras infinito, K ∞, y por tanto angulo eléctrico entre ranuras, γ, γ0; expresando todos los ángulos en grados eléctricos: para este caso nγ = 60º, sen nγ/2 = ½ Por otra parte podemos expresar n.sen γ/2 en función del número de polos y de ranuras que para el caso de devanados trifásicos es: nγ 2.π .P π .P π .P 2 γ k k π .P ; sen Kd = = ; K γ n.sen = sen = sen k K n.sen 2 2.3.P 2 6.P K 2 en el límite, por tanto γ k πP π n.sen = = 2 6.P K 6 con lo que el límite inferior será 1 3 K d = 2 = ≅ 0,9549 [8] π π 6 El límite superior corresponde al caso de devanado de una fase en dos únicas ranuras por cada para de polos, Kd = 1. En la figura 1 se representa en forma gráfica y tabulado el valor de Kd en función del número de ranuras por polo y fase. Fig.1 b) Para este subapartado, esto es máquinas bifásicas, si queremos conocer el valor límite que corresponde a un número infinito de ranuras, procediendo de un modo análogo tendremos que: n.γ = 90º → sen(nγ / 2) = 2 / 2 y 2.π .P γ K K π .P n.sen = sen K = sen 2 2.2.P 2 4.P K pero al igual que para el caso anterior: γ K πP π n.sen = = 2 4.P K 4 por tanto 2 2 [9] Kd = 2 = 2 ≅ 0,9003 π π 4 En la figura 2 se representan igualmente los valores de Kd en forma de gráfico y tabulados. c) ya por último vamos a referirnos al caso de devanados monovásicos. Es el caso de pequeños alternadores portátiles accionados por motores de gasolina y el de motores monofásicos. - Refiramonos en primer lugar al caso de alternadores. Para esta utilidad podemos emplear todas las ranuras que queramos para la única fase existente. Veamos cual es el límite inferior para el factor de devanado. Para este caso tendremos que n.γ = 180 → sen(nγ / 2) = 1 y para el denominador tendremos γ K π K π π n.sen = .sen = . = 2 2 k 2 K 2 por tanto sen 1 ≅ 0,6366 π [10] 2 Al igual que para los casos anteriores representamos en la figura 3 los valores de Kd en forma de tabla y gráfico para este caso de alernador monofásico ocupando todas las ranuras disponibles. Llama la atención la repercusión que tiene en el valor de Kd pasar de K2pq=1 a K2pq=2, sucede lo mismo que en los dos apartados vistos anteriormente aunque no en la misma cuantía; se comprende fácilmente el porqué si nos fijamos en las consecuencias que tiene, por ejemplo para el caso de un devanado bipolar, pasar de un estator con dos únicas ranuras, bobinado concentrado, a un estator de cuatro ranuras; estas ranuras al ir equidistantes (esto es, a 90º) implica que las f.e.m. inducidas en sus conductores irán desfasadas 90º eléctricos, cifra ciertamente exagerada, máxime teniendo en cuenta el poco aprovechamiento de corona a que va a dar lugar; lo cual implica en orden constructivo que debe tenderse en el diseño a un estator de un mayor número de ranuras que si bien reducen progresivamente el factor Kd permite un reparto mucho mayor de los conductores a alojar en sus ranuras. Si bien lo que acabamos de decir es cierto, por cuestiones de índole práctico sólo suelen ocuparse una parte del ranurado estatórico (Ver siguiente punto). Vamos a analizar un caso concreto de construcción de un alternador monofásico para ver el efecto de ocupar más o menos ranuras en cuanto a longitud de conductor a emplear, L, y efecto sobre la f.e.m. inducida, E, se refiere. Suponemos un estator con 36 ranuras, máquina bipolar y referenciamos al valor de 100 tanto de f.e.m. como longitud de conductor para el caso de ocupar los 2/3 del ranurado. Suponemos que cada ranura va a ser ocupada por un número determinado de conductores, independiente del número de ranuras a ocupar y que todas ellas se conectan en serie. Se presentan los resultados en la figura 3 bis. A la vista de los resultados se comprende el porqué en la práctica no se ocupan todas las ranuras. De ocupar las 36 ranuras a ocupar 24 supone que aumentamos la longitud de conductor en un 50% frente a un incremento de la tensión (en vacío) de tan solo un 15%. - Motores Dentro de las máquinas monofásicas destaca por su amplia difusión bien de fase partida o de arranque por condensador, por tanto al contrario que para el caso de generador habrá que dejar forzosamente un espacio para alojar este segundo arrollamiento auxiliar. Existen dos posibilidades de ejecución: 1ª.- Colocar los dos arrollamientos en ranuras separadas, esto es, en una ranura dada o están conductores del devanado principal o del auxiliar. Lo normal es que el devanado principal ocupe los 2/3 de las ranuras y el devanado auxiliar el tercio restante. 2ª.- Realizar un devanado superpuesto. Para el primer caso se trata de partir de un devanado para alternador con ocupación parcial, es decir el caso visto anteriormente y ocupar esas ranuras que antes dejamos vacías porque apenas contribuían a aumentar la tensión de salida de la máquina, con conductores en general de menor sección, para formar ese devanado auxiliar necesario para crear el par de arranque. En el caso del alternador monofásico el ocupar totalmente las ranuras correspondientes a un arco polar era optativo, ahora es imperativo al ocupar solamente un tanto por uno, u, de ese arco polar. Si reservamos para el devanado principal los 2/3 de todo el ranurado, u=2/3, el factor de distribución puede oscilar entre un máximo de Kd = nγ 2 = 3 ≅ 0,8660 Kd = [11] γ 2 n.sen 2 para el caso de que los 2/3 del ranurado correspondiente a un par de polos sean dos ranuras y un mínimo de nγ 3 sen 3 2 = 2 ≅ 0,8270 [12] Kd = γ π n.sen 2 para el caso de que el número de ranuras por polo y fase tienda a infinito. Obsérvese que ninguno de estos valores se encuentra en la tabla de la figura 3. La expresión (11) corresponde al caso de las dos bobinas bajo dos polos adyacentes alojadas en ranuras separadas 60º eléctricos y la expresión (12) al caso de un arco polar de 120º eléctricos totalmente lleno de ranuras, separadas un ángulo que tiende a 0º. Asimismo llama la atención que en el caso a que corresponde la figura 3 puede darse una oscilación máxima posible del 36,3% frente al 4,5% que acabamos de ver (expresiones 11 y 12). Se hace una representación de los resultados obtenidos, en la figura 4, al igual que se hizo para los casos anteriores. Ahora se escogieron como valores concretos para K2pq aquellos en los que los 2/3 corresponden a un valor entero. El valor de Kd para este caso que estamos viendo, devanado distribuido pero ocupando solamente una parte del arco polar, puede obtenerse por la siguiente fórmula: (ver demostración en el anexo) π (1 − u ) 2 P. cos 2 Kd = π .P K .u.sen K En cuanto al caso 2º, devanado superpuesto, es decir todo el devanado principal ocupando, por ejemplo, el fondo de las ranuras y el devanado auxiliar alojado en la mitad superior es también frecuente dejar algunas ranuras parcialmente vacías. No nos extendemos más en este apartado por ser muy variadas las posibilidades constructivas. [5][6] ºFACTOR DE ACORTAMIENTO E INCLINACIÓN.- Por aplicación de las fórmulas (4) y (7) se ve que pueden tomar cualquier valor entre 0 y 1. sen 4.1 Anexo Sea un devanado monofásico en el que el devanado principal, agrupado, no ocupa todas las ranuras del estator, K, sino un tanto por uno que llamaremos “u”. Sea 2P el número de polos. Para el caso de que 2P=2, el desfase entre las tensiones inducidas en dos lados activos de bobinas contiguas, γ, será γ=2.π/K En este caso γ indicará tanto los grados mecánicos como eléctricos de desfase. γmec= γelec≡ γ Si la máquina, por el contrario, es de 2P polos 2.π γ elec = P K Si la máquina tiene K ranuras estatóricas, los lados de bobina bajo un mismo polo serán K .u 2P y el desfase entre dos lados adyacentes será como acabamos de decir de P.2π/K, por tanto podemos hacer la composición vectorial de las u.K/2P tensiones en serie desfasadas γelec. Llamemos “e” a la tensión inducida en un lado de la bobina. De la observación de la figura se deduce que: e e R= 2 = γ πP sen 2sen 2 K y por tanto el segmento AB valdrá: e π (1 − u ) AB = . cos πP 2 2sen K La tensión resultante de la unión en serie de todos estos lados adyacentes será por tanto e π (1 − u ) AC = 2. AB = . cos πP [1] 2 sen K Si todos estos lados hubiesen estado agrupados, concentrados, en una única ranura la tensión inducida sería: K e. .u [2] 2P por tanto el factor de distribución será la relación de tensiones (1) y (2), e π (1 − u ) . cos πP π (1 − u ) 2 sen 2 P cos K 2 K dΙ u = = K πP e. .u K .u.sen 2P K 5.- Conclusión El conocimiento del factor de devanado es esencial a la hora de proyectar el bobinado de una máquina permitiendo la elección de las secciones de conductor más adecuadas de cara a conseguir un diseño óptimo. Un error en su cálculo dará lugar, entre otros, a un desvío en la corriente de vacío para el caso de motor y a una variación en la tensión inducida para un flujo polar dado en el caso de un generador. Bibliografía 1.- Sears, Zemansky, Young. “Física”. Aguilar. Madrid 1.987 2.- Stephen J. Chapman. “Máquinas Eléctricas”. McGraw-Hill. Colombia 1.987 3.- Dawes. “Tratado de electricidad”. T2. Gustavo Gili 4.- J. Pichoir. “Curso de delctrotecnia”. Marcombo s.a. Barcelona 1.968 5.- Paul Arnoux. “Vademécum del bobinador de Máquinas eléctricas” Ed. Sintes s.a. Barcelona 1.989 6.- Jesús Rapp. “Teoría y cálculo de los bobinados eléctricos”. Ed. Vagma. Bilbao 1.983