Concepto de Error y tolerancia

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO
DEPARTAMENTO DE IRRIGACIÓN
Cap 1. Introducción
(Definiciones y conceptos básicos)
CONCEPTOS DE ERROR Y
TOLERANCIA
Profesor: M. C. Fco. Raúl Hernández Saucedo
1
Conceptos de
de “Error”
“Error” yy “Tolerancia”
“Tolerancia”
Conceptos
Contenido
Contenido
Clasificación de
de los
los errores
errores
Clasificación
Concepto yy Teoría
Teoría de
de los
los Errores
Errores
Concepto
Concepto de
de Tolerancia
Tolerancia
Concepto
2
Introducción
Introducción
En Topografía,
Topografía, los
los errores
errores cometidos
cometidos en
en las
las
En
mediciones tienen
tienen que
que ser
ser considerados,
considerados,
mediciones
evaluados yy compensados
compensados para
para asegurar
asegurar que
que
evaluados
el trabajo
trabajo quede
quede dentro
dentro de
de ciertos
ciertos límites
límites
el
aceptables yy pueda
pueda ser
ser considerado
considerado como
como
aceptables
correcto; en
en consecuencia,
consecuencia, un
un conocimiento
conocimiento
correcto;
elemental de
de la
la teoría
teoría de
de los
los errores
errores en
en esta
esta
elemental
materia, es
es de
de vital
vital importancia.
importancia.
materia,
3
Definición preliminar
preliminar de
de “Error”
“Error”
Definición
Es la
la discrepancia
discrepancia oo diferencia
diferencia entre
entre
Es
el valor
valor medido
medido de
de una
una magnitud
magnitud yy
el
el valor
valor “verdadero”
“verdadero” de
de dicha
dicha
el
magnitud.
magnitud.
4
Clasificación de
de los
los errores
errores
Clasificación
Atendiendo aa las
las causas
causas que
que los
los originan,
originan,
Atendiendo
los errores
errores pueden
pueden ser:
ser:
los






Naturales
Naturales
Instrumentales
Instrumentales
Personales
Personales
5
Errores naturales
naturales
Errores
Los errores naturales son los que tienen su
origen en factores naturales tales como el
viento, la temperatura, la gravedad, las
perturbaciones magnéticas, etc.
Ejemplos: El Error que se produce por la
dilatación o contracción de una cinta metálica
debido al efecto de la temperatura y el que
ocasiona la curvatura vertical cóncava de dicha
cinta (catenaria) por efecto de la gravedad .
6
Errores instrumentales
instrumentales
Errores
Los errores instrumentales se originan en la
construcción de los instrumentos o en su
desajuste.
Cualquier instrumento puede producir errores
debidos a la mala graduación de sus escalas, a
la incorrecta sincronización de sus piezas
desde fábrica o por el desajuste ocasionado por
descuidos en su transportación, instalación y/u
operación.
7
Errores personales
personales
Errores
Los errores personales provienen de
las limitaciones de los sentidos humanos
tales como la vista y el tacto, así como
del nivel de conocimientos del operador
de los instrumentos y aún de su estado
psicológico (cuidado o nivel de
concentración en el trabajo).
8
Clasificación de
de los
los errores
errores
Clasificación
Un segundo criterio, que se basa en las
leyes que los gobiernan, permite
clasificar a los Errores en:

Sistemáticos

Gruesos o equivocaciones

Accidentales o aleatorios.
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Errores sistemáticos
sistemáticos
Errores
Los errores sistemáticos son aquellos
que para iguales condiciones de trabajo
en campo, son constantes en magnitud y
signo, lo que implica que son
acumulativos.
Se rigen por leyes físicas y matemáticas,
por lo que pueden ser calculados y
corregidos.
10
Errores gruesos
gruesos oo equivocaciones
equivocaciones
Errores
Errores gruesos o equivocaciones. Se refieren a la
falsa determinación del valor de una medida y se
originan por el descuido en la lectura de un valor, en
su incorrecta anotación o en la deficiente operación
de los instrumentos empleados.
Estos errores no pueden controlarse ni estudiarse
puesto que no hay leyes definidas que los gobiernen,
pero pueden evitarse poniendo mayor cuidado en la
ejecución de los trabajos por parte de todos los
integrantes de la brigada topográfica. 11
Errores accidentales
accidentales
Errores
Los errores accidentales, son los que
humanamente no se pueden evitar, ya que sus
causas están fuera del control del observador, es
igualmente probable que tengan signo positivo o
negativo y, tienen su origen en la limitación de
los sentidos o en la aproximación de los aparatos.
Por ser positivos o negativos, pueden
compensarse en el proceso de un trabajo
topográfico y puesto que su ocurrencia es
aleatoria, obedecen a las leyes de la probabilidad.
12
Definiciones
Definiciones
Variables aleatorias (estocásticas)
vs
Variables determinísticas
Las variables determinísticas siguen leyes
determinísticas.
Ejemplo: La distancia (D) que recorre un móvil
con velocidad constante V, en un tiempo (T)
está dada por: D = V × T
Las
variables
aleatorias
siguen
leyes
probabilísticas.
Ejemplo: La precipitación anual de un lugar es
13
un variable aleatoria.
Definiciones
Definiciones
Estadística
Ciencia que estudia los fenómenos aleatorios y
que apoyada en la teoría matemática de la
probabilidad, permite hacer conclusiones de tipo
inductivo, es decir, de lo particular a lo general.
14
Teoría de
de los
los errores
errores
Teoría
La Teoría de los Errores solamente tiene
validez para los errores accidentales que,
como ya se ha dicho, se rigen por las leyes de
la probabilidad.
El Error (E), es la diferencia algebraica entre
el valor observado o medido (Vo) y el valor
verdadero (Vv) o más probable (Vp) de una
magnitud. De manera algebraica:
E = Vo - Vv = Vo - Vp
15
Teoría de
de los
los errores
errores
Teoría
Carlos Federico Gauss, al referirse a los
errores (accidentales) escribió:
“Por la imperfección de nuestros sentidos y
la imprecisión de los instrumentos que
utilizamos para medir, los resultados que
obtenemos, no son más que aproximaciones
a la realidad”
16
Conceptos
Conceptos
Precisión -vs- Exactitud
La precisión es el grado de perfección o
aproximación utilizada en los instrumentos,
métodos y observaciones al efectuar una
medición.
La exactitud es el grado de perfección o
aproximación obtenida en el resultado.
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Conceptos
Conceptos
Precisión -vs- Exactitud
Preciso pero no exacto
Ni preciso ni exacto
Preciso y exacto
18
Valor verdadero
verdadero de
de una
una magnitud
magnitud
Valor
En la práctica, el valor verdadero de una
magnitud se desconoce, por lo que en su
lugar se utiliza la media aritmética de una
serie de valores observados, considerando
que, según la teoría estadística, cuando una
magnitud se mide varias veces en las
mismas condiciones, el mejor estimador del
valor verdadero es la media aritmética.
n
V=
∑
Voi
i= 1
n
19
Serie de
de mediciones
mediciones
Serie
independientes
independientes
MEDICIÓN
(i)
1
VALOR
OBSERVADO
(VOi)
Vo1
ERROR
(Ei)
E1 = Vo1 - V
2
Vo2
E2 = Vo2 - V
3
Vo3
E3 = Vo3 - V
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
Von
En = Von - V
20
Estimadores de
de la
la precisión
precisión de
de las
las
Estimadores
mediciones
mediciones
Error medio cuadrático
n
EMC =
∑
(Voi − V ) 2
i= 1
n
Error estándar
n
EE =
∑
i= 1
(Voi − V ) 2
n
21
Error residual
residual
Error
En una serie de medidas, el Error Residual
(que no se compensó) es directamente
proporcional a la raíz cuadrada del número de
oportunidades de que ocurra el Error
Estándar.
ER =
n * EE
Además, la teoría probabilística establece que
para una distribución normal de los errores,
existe sólo un 5% de probabilidad de que se
presente un Error cuyo valor absoluto exceda
al doble del Error Estándar
22
Distribución probabilística
probabilística normal
normal
Distribución
de los
los errores
errores accidentales
accidentales
de
1
y=
e
σ 2π
− ∝
+ ∝
0
95%
-2EE
- EE
68%
1 

−
(x− µ

2 
 2σ 
+ EE
+ 2EE
23
)
2
Concepto de
de tolerancia
tolerancia
Concepto
La Tolerancia (T) en un levantamiento
topográfico, es el Error Máximo positivo o
negativo que se está dispuesto a aceptar y que,
por lo tanto, sirve como criterio de decisión.
Si este Error no se rebasa, se considera que el
trabajo cumple con la precisión buscada y por
lo tanto se acepta, por el contrario, si esto no
ocurre, el trabajo
en principio
debe
rechazarse.
24
Elección de
de la
la tolerancia
tolerancia
Elección
El valor de la Tolerancia se debe establecer de
acuerdo a la precisión de los aparatos e
instrumentos utilizados y con base en las
condiciones de operación en campo.
Así, en forma indirecta, la Tolerancia se ve
influida por la exactitud requerida en el trabajo,
ya que ésta debe dar pie a la elección de los
instrumentos adecuados.
25
Elección de
de la
la tolerancia
tolerancia
Elección
La Tolerancia debe estar en relación con
el Error Estándar (T = f {EE}).
En la práctica, es muy común considerar a
la Tolerancia como el doble del Error
Residual, lo que algebraicamente se
expresa como sigue:
T = 2 * ER = 2 * n * EE
26
Elección de
de la
la tolerancia
tolerancia
Elección
La expresión anterior, sólo es válida si se parte
de los dos supuestos siguientes:
a) Que sólo ocurrieron errores accidentales; y
b) Que éstos se distribuyeron normalmente.
Lo que implica que existe un 5% de
probabilidad de que se presente un Error que
sea mayor al doble de EE. En consecuencia, un
Error mayor a 2ER sólo puede ocurrir con un
5% de probabilidad también.
27
Consecuentemente…..
Consecuentemente…..
Si se efectúa un levantamiento topográfico
100 veces, se espera que en 95 casos se
tenga un Error Total (Residual) con valor
absoluto menor o igual que la Tolerancia
dada por la expresión y que en 5 casos
suceda lo contrario.
28
Conclusión
Conclusión
Con base en base a lo anterior, si al efectuar un
levantamiento topográfico se encuentra que el
valor absoluto del Error Residual es mayor que la
Tolerancia, sólo pudieron haber ocurrido dos
situaciones:
a) El trabajo es correcto, pero ocurrió un evento poco
probable.
b) El trabajo es incorrecto, es decir, el Error Residual
resultó grande, debido a que existieron errores
sistemáticos que no se corrigieron y/o
equivocaciones, además de los errores accidentales.
29
Comentarios …
…
Comentarios
Por supuesto, como medida de seguridad,
debe considerarse que ocurrió la situación
b).
Esto quiere decir que en 5 de cada 100
trabajos, se estará rechazando un trabajo
correcto, pero con ello se estará
protegiendo del riesgo de aceptar un
trabajo que con el 95 % de seguridad es
incorrecto.
30
Comentarios …
…
Comentarios
Por otra parte, cuando el Error Residual es menor que
la Tolerancia obtenida con la expresión anterior, se
aceptará el trabajo, pero es evidente que nunca se
tendrá el 100 % de seguridad de que el trabajo esté
libre de errores, pues existe la remota posibilidad que
éstos se hayan compensado, al menos parcialmente.
De cualquier manera, la Tolerancia dada por la
expresión anterior, y el criterio de decisión asociado,
es bastante útil por su eficiencia para rechazar trabajos
que con alta probabilidad son incorrectos.
31
Selección de
de una
una fórmula
fórmula de
de tolerancia
tolerancia
Selección
El problema de aplicar adecuadamente una fórmula
específica de Tolerancia para un caso dado, es conocer
el valor del Error Estándar asociado a cada aparato
utilizado en el trabajo y a las condiciones particulares
de operación en campo, el cual sólo puede conocerse
con la experiencia o con pruebas experimentales.
Los fabricantes deben reportar el EE en los manuales
de uso de los instrumentos que venden, lo cual es de
mucha utilidad porque evita suponerlo o tener que
experimentar para estimarlo.
32
Fin de la presentación
M.C. Fco. Raúl Hernández Saucedo
33