Parte 6

91
Ejemplo:
En este ejemplo veremos cómo podemos utilizar un
coaxial slotted line para calcular la impedancia de
carga ZL.
Un coaxial slotted line tiene una pequeña abertura
longitudinal (i.e. slit) en su conductor exterior.
Un probe insertado a través del slit nos permite tomar
muestras del campo eléctrico, y por lo tanto, de
|V(z)|. Desplazando el probe a lo largo de z, podemos
observar los picos máximos y mínimos de |V(z)|, y
las distancias, medidas desde la carga, a las que éstos
ocurren.
Nos dan que la impedancia característica del cable
coaxial es de 50 . Desplazando el probe a lo largo
de la línea de transmisión, experimentalmente
calculamos el VSWR.
S = VSWR = 3
92
Experimentalmente también descubrimos que la
distancia entre dos mínimos de voltaje consecutivos
es de 30 cm, y el primer mínimo de voltaje ocurre a
12 cm de la carga.
Nos piden que utilizando toda la anterior información
descubramos cuál es la impedancia de carga ZL.
Solución:
Como primer paso, calcularemos el largo de onda.
Sabemos
que
la
consecutivos es de

2

2
separación
entre
mínimos
metros.
= 0.3 metros =>  = 0.6 metros
2
 =  =
2
0 .6
=

0 .3
=
10
3
rad/metro
Ahora utilizaremos el valor del VSWR para calcular
la magnitud del coeficiente de reflexión de voltaje.
1||
S = VSWR = min[| V ( z ) |] = 3 = 1  |  |
max[| V ( z ) |]
1 + || = 3 - 3 |  |
93
4|| = 2
|  | = 0.5
Nuestro objetivo es calcular la impedancia de carga
ZL. Si supiéramos cuánto es , entonces utilizando la
relación
Z L  Zo
= Z  Z
L
o
podríamos resolver por ZL.
Lamentablemente, no tenemos el valor de . Tan sólo
sabemos el valor de la magnitud de Sin embargo,
si encontramos la fase o ángulo de  entonces
podemos resolver el problema. Con este objetivo en
mente, utilizaremos el concepto de que los mínimos
de voltaje ocurren cuando
cos(2  z + r) = -1
El primer mínimo ocurre en z = -l
2  (-l) + r = -
-2  l + r = -
94
-2 (
10
3
)l + r = -

r = -
20
3
(0.12)
r = -0.8  = -0.2  radianes
180o
 rad
r = -0.2  rad x
= -36o
= |  e j  e  j 36 

= 0.5 cos 36o - j 0.5 sin 36o
o
r
Z L  Zo
Z L  50
= 0.404 - j 0.294 = Z  Z = Z  50
L
o
L
(0.404 - j 0.294) (ZL + 50) = ZL - 50
0.404 ZL + 20.2 - j 0.294 ZL - j14.7 = ZL - 50
70.2 - j14.7 = 0.596 ZL + j 0.294 ZL
ZL =
70.2  j14.7
0.596  j 0.294
=
71.722 /  11.83o
0.664 / 26.26o
95
o
ZL = 108.015 / 38.09
ZL = 85.01 – j 66.63 
96
Smith Chart
Los cómputos asociados con el análisis de líneas de
transmisión pueden resultar tediosos y complicados.
Para combatir este problema, en el 1939 el Sr. Smith
desarrolló una herramienta que gráficamente resuelve
los problemas asociados con las líneas de
transmisión. Dicha herramienta es conocida como el
Smith Chart. Aún hoy en día con la proliferación de
calculadoras programables y computadoras, el Smith
Chart continúa siendo una importante herramienta.
Más aún, muchos software packages e instrumentos
como el network analyzer lo utilizan. La ventaja de la
herramienta gráfica es que le da al usuario una idea
de los compromisos de diseño que se pueden realizar.
El Smith Chart se encuentra en el plano complejo del
coeficiente de reflexión de voltaje .
= |  e j | cos r + j | sin r
r
=r + j i
donde
r = | cos r
i = | sin r
97
En la siguiente figura el punto A corresponde al
coeficiente de reflexión de voltaje A = 0.3 + j 0.4 =
0.5
/ tan 1
4
3
= 0.5
/ 53.13o
Es importante notar los siguientes tres casos
especiales:
 = 1 / 0o = 1 + j 0
Este caso corresponde a circuito abierto, o ZL =  .
El segundo caso especial es
 = 1 / 180o = -1
98
Este caso corresponde a un corto circuito o ZL = 0.
El tercer caso especial corresponde a
|| = 1
Este último caso corresponde a todos los puntos en el
círculo unitario o la circunferencia del Smith Chart.
Como en toda línea de transmisión |  | < 1, siempre
nos mantendremos operando dentro del círculo
unitario.
En el Smith Chart las impedancias siempre estarán
normalizadas con respecto a la impedancia
característica de la línea.
La impedancia normalizada de carga está dada por
zL =
ZL
Zo
y el coeficiente de reflexión de voltaje  se puede
expresar como
 =
Z L  Zo
Z L  Zo
=
ZL
1
Zo
ZL
1
Zo
=
zL  1
zL  1
99
Si en la última ecuación resolvemos por zL
obtenemos
zL =
1 
1 
La impedancia de carga normalizada zL es un número
complejo e incluye un componente resistivo
normalizado, al cual llamaremos rL, y un componente
reactivo normalizado, al cual llamaremos xL.
1 
1 
=
(1  r )  ji
(1  r )  ji
x
zL = rL + j xL =
rL + j x L =
rL + j x L =
(1  r )  ji
(1  r )  ji
(1  r )  ji
(1  r )  ji
1  r2  i2  j 2i
(1  r )2  i2
Por lo tanto,
rL =
1  r2  i2
(1  r )2  i2
xL =
2i
(1  r ) 2  i2
100
Estas últimas dos ecuaciones que definen rL y xL en
términos de r y i nos muestran que para cada valor
de  existe un único valor de zL = rL + jxL.
Aunque no lo vamos a derivar, de la primera de las
últimas dos ecuaciones es posible obtener
r -
rL
2
)
1  rL
1
2
+ i = ( 1  r )2
L
Esta es la ecuación de un círculo en el plano r - i
con centro en r =
rL
1  rL
, i = 0 y radio
1
1  rL
.
Por ejemplo, si en el plano r - i graficáramos todos
los posibles valores de r y i para los cuales rL = 2
obtendríamos el círculo marcado como rL = 2 en la
siguiente gráfica.
101
Para el caso de rL=0 la ecuación
r -
rL
2
)
1  rL
1
2
+ i = ( 1  r )2
L
se convierte en
r2 + i2 = 1
Esto es, el caso especial rL = 0 corresponde al círculo
unitario ó | | = 1, independiente del valor que xL
pueda llegar a asumir.
Haciendo un análisis similar es posible demostrar que
a partir de
xL =
2i
(1  r ) 2  i2
es posible obtener
r – 1)2 + (i -
1 2
)
xL
1
= ( x )2
L
Esta última ecuación define círculos con centro en
r=1, i =
1
xL
, y radio
1
xL
. Como xL puede ser positiva
o negativa, la última ecuación define dos familias de
curvas, una correspondiente a los valores positivos de
102
xL, y otra correspondiente a los valores negativos de
x L.
Veamos ahora cómo podemos integrar todos los
anteriores resultados:
I. Utilización del Smith Chart para calcular el
coeficiente de reflexión de voltaje .
Asumamos una impedancia de carga
ZL = 100 – j50 

y una impedancia característica Zo = 50 .
Primero normalizamos la impedancia de carga.
zL =
100  j50
50
= 2–j
Ahora procedemos a marcar zL en el Smith Chart.
Véase el punto P en la siguiente figura.
103
El punto P se encuentra en la intersección del círculo
rL=2 y el círculo xL=-1.
Para calcular | | calculamos
| | =
OP
OR
= 0.45
donde R es un punto arbitrario en la circunferencia
del círculo unitario.
104
El Smith Chart también nos da que el ángulo del
coeficiente de reflexión de voltaje es de –26.6o.
Por lo tanto,
o
 = 0.45 / 26.6
Asignación:
Utilice el Smith Chart para calcular los valores de 
correspondientes a
a) zL = 2 + j 0
b) zL = 1 – j
c) zL = 0.5 – j2
d) zL = -j3
e) zL = 0 (corto circuito)
f) zL =  (circuito abierto)
g) zL = 1 (impedancia de carga macheada a
impedancia característica)
Contestaciones:
a)  = 0.33
o
b)  = 0.45 / 63.4
o
c)  = 0.83 / 50.9
o
d)  = 1 / 36.9
e)  = -1
f)  = 1
g)  = 0
105
II. Utilización del Smith Chart para calcular la
impedancia de entrada a una línea de transmisión
medida a una distancia de l metros de la carga.
l
Z in
Zo
ZL
Como de costumbre, comenzamos normalizando la
impedancia de carga.
zL =
ZL
Zo
Ya habíamos visto que
zL =
1 
1 
Si definimos l como el coeficiente de reflexión de
voltaje desfasado 2  l radianes hacia el generador,
entonces
zin =
1  l
1  l
106
Esto es, al desplazarnos l metros hacia el generador, o
2  l radianes hacia el generador,  y zL sufren el
mismo desfase, convirtiéndose el primero en l y el
segundo en zin.
De la misma forma que  es transformado en l , zL
es transformada en zin.
En el Smith Chart, transformar  en l implica
mantener |  | constante y disminuir la fase r por 2l
radianes, lo que corresponde a una rotación en la
dirección de las manecillas del reloj (i.e. clockwise) o
hacia el generador.
Podemos notar que como una vuelta completa o
revolución alrededor del Smith Chart corresponde a
2 radianes, entonces dicha vuelta corresponde al
siguiente largo de la línea de transmisión:
2
2 l = 2  l = 2 
=> l =

2
metros
Esto es, una vuelta completa alrededor del Smith
Chart corresponde a

2
metros.
107
Si nos preguntamos cómo podemos analizar líneas de
transmisión cuyo largo sea mayor a

2
metros,
veremos que la solución es muy sencilla. Tan solo se
requiere restarle al largo original de la línea de
transmisión un múltiplo entero de medios largos de
onda hasta terminar con una fracción de largo de
onda que no exceda

2
metros. Una vez hecho esto,
analizamos la línea.
Veamos un ejemplo numérico.
Consideremos una línea de transmisión sin pérdidas
de 50  que termina en una impedancia de carga
igual a ZL = 100 – j50 . Nos piden que calculemos
la impedancia de entrada a una distancia de 0.1  de
la carga.
Como de costumbre, nuestro primer paso es
normalizar la impedancia de carga.
zL =
100  j50
50
= 2–j
Ahora procedemos a marcar esta impedancia en el
Smith Chart. Véase el punto A en el siguiente
diagrama.
108
Ahora nos desplazamos 0.1 metros hacia el
generador. Esto es, a partir de una distancia de
0.287rotamos 0.1clockwise o hacia el generador.
Esta rotación la hacemos utilizando un compás de
forma que podamos garantizar que mantenemos
constante la magnitud del coeficiente de reflexión de
voltaje.
109
Al círculo de magnitud de coeficiente de reflexión
constante también se le conoce como el círculo de ||
constante, o el SWR circle (i.e. standing wave ratio
circle).
La impedancia de entrada normalizada corresponde a
la lectura en el punto B. Esto es,
zin = 0.6 – j 0.66 
Como paso final, multiplicamos zin por Zo para
obtener Zin. Esto es,
Zin = 50 (0.6 – j 0.66) = 30 – j 33 
El conjunto de puntos entre A y B corresponde a los
distintos puntos a lo largo de la línea de transmisión
según nos desplazamos desde la carga hasta la
entrada de la línea de transmisión.
Asignación:
Para cada uno de los siguientes casos utilice el Smith
Chart para calcular la impedancia de entrada
normalizada para una línea de transmisión sin
pérdidas de largo l y que termina en una impedancia
de carga normalizada zL.
a) l = 0.25 zL = 1 + j0
110
b) l = 0.5 zL = 1 + j
c) l = 0.3 zL = 1 – j
d) l = 1.2 zL = 0.5 - j0.5
e) l = 0.1 zL = 0 (corto circuito)
f) l = 0.4 zL = j3
g) l = 0.2 zL =  (circuito abierto)
Contestaciones:
a) zin = 1 + j0
b) zin = 1 + j
c) zin = 0.76 + j0.84
d) zin = 0.59 + j0.66
e) zin = 0 + j0.73
f) zin = 0 + j0.72
g) zin = 0 - j0.32