Pruebas de Hipótesis

“Pruebas de Hipótesis
Hipótesis””
Hay un contexto. Hay un fenómeno aleatorio de interés.
(Ω, F, P (θ ))
Valor de θ desconocido.
Se observa X , realización del
fenómeno aleatorio.
Lo anterior implica razonamiento inductivo.
Modelo estadístico (paramétrico)
{P(θ ) | θ ∈ Θ}
Θ espacio paramétrico
θ parámetro (desconocido)
El modelo estadístico elegido para
representar el fenómeno aleatorio
puede variar, dependiendo de
opiniones.
Hipótesis
H ⊂Θ
H ech o : co m o se d esco n o ce θ ,
n o h ay certeza so b re valid ez d e H .
P ro b lem a in feren cial d e "p ru eb a d e h ip ó tesis":
a la lu z d e d ato s, X , ¿cu ál es la p lau sib ilid ad d e H ?
(co n trastar co n p reg u n ta:
A la lu z d e d ato s, X , ¿cu ál es valo r d e θ ?)
N o ta: ¡¡H ex iste an tes d e co m en zar!!
Evidencia o datos (X)
H
Medida de viabilidad o
plausibilidad de la
hipótesis H a la luz de los
datos X
Componente “conductual
conductual”” en
una prueba de hipótesis
¿Para qué queremos resolver el problema
de inferencia
inferencia?
? A veces (no siempre
siempre):
): para
modificar mi conducta
conducta..
Ejemplo:: Observo cielo gris (datos
Ejemplo
datos).
). Infiero
que va a llover
llover.. Decido llevar un paraguas
paraguas..
No siempre es “conductual
conductual””
Ejemplo: niño observa que mago adivinó
Ejemplo:
la carta (datos
datos).
). Infiere que el mago tiene
poderes sobrenaturales
sobrenaturales..
Jerzy Neyman (1894−1981)
(1894−1981)
Egon Pearson (1895−1980)
(1895−1980)
Karl Pearson (1857−1936)
(1857−1936)
Paradigma de NeymanNeyman-Pearson
Premisas:
Premisas:
Hay una hipótesis alternativa a H. Para distinguirla
distinguirla,,
usemos H=H0 y H1.
Existe una actitud “conductual
conductual”,
”, asociada a ““rechazar
rechazar”” y
a “no rechazar
rechazar”” H0 en favor de H1.
Se originan como consecuencia dos tipos de error: Tipo
I y Tipo II.
El error de Tipo I es conceptualmente más grave que el
de Tipo II.
Para realizar una prueba
prueba,, se debe conceder la
posibilidad de cometer en cierto grado el error de Tipo I.
Denotemos esto por α, la probabilidad de cometer error
de Tipo I.
Neyman--Pearson=juicio
Neyman
H0 es presunción de inocencia
inocencia;; H1 es “no
inocencia”.
inocencia
”.
Error de Tipo I es peor que Tipo II
Hay implicación “conductual
conductual”:
”: condenar o
exonerar..
exonerar
La “prueba
“prueba”” de la hipótesis es el juicio
juicio..
Los “datos
“datos”” es la evidencia
evidencia..
Se trata de un proceso de razonamiento
inductivo,, no deductivo.
inductivo
deductivo. Hay incertidumbre.
incertidumbre.
¿Cuánto vale α?
En un juicio:
No rechazar no es demostración de
inocencia (¿OJ Simpson?).
Rechazar no es demostración de
culpabilidad (no rechazar no es lo mismo
que aceptar).
Si error de Tipo I aumenta, entonces Tipo
II disminuye y vicevice-versa.
Noción matemática de optimalidad
que se deriva:
Fijar el valor de la constante α.
Minimizar la probabilidad de ocurrencia
del error de Tipo II.
Noción de prueba más potente.
Ejemplo #1
Línea de producción industrial.
X1, X2,..., Xn observaciones de defectodefecto-no
defecto.
p=proporción
p=proporción de defectos
Hipótesis: H0: p<=10% vs. H0: p>10%
Consecuencia “conductual”: parar línea de
producción o no pararla.
Error de Tipo I es más grave que el error de
Tipo II.
α=proporción de “falsas alarmas”
Ejemplo #2
Observación en astronomía.
X1, X2,..., Xn observaciones de conteos de
cúmulos en sectores de la bóveda celeste.
Hipótesis: los conteos tienen distribución de
Poisson (distribución homogénea de estrellas en
el espacio tridimensional).
Consecuencia “conductual”: ???
Error de Tipo I es más grave que el error de
Tipo II???
α=???
¿Los datos rechazan la hipótesis?
“Según los datos, se rechaza la hipótesis
nula.”
No exactamente: se rechaza también
porque alguien, o algo, eligió el valor de α.
Hipótesis
H ⊂Θ
P ro b lem a d e "p ru eb a d e h ip ó tesis":
a la lu z d e d ato s, X , ¿cu ál es la p lau sib ilid ad d e H ?
Ronald Aylmer Fisher
(1890−1962)
(1890
−1962)
Paradigma de Fisher (p
(p-valores, o
pruebas de significancia)
Premisas:
D(X,H)>0 es una “distancia entre datos y
la hipótesis”, con la propiedad de que si
D(X1,H)>D(X2,H), entonces X1 constituye
mayor evidencia en contra de H que X2.
p-valor=
valor=P
PH(D>d)
(D>d),, donde d=valor
observado de D.
Paradigma de Fisher (p
(p-valores, o
pruebas de significancia)
Interpretación:
La estadística D ordena muestras de acuerdo a la cantidad de
evidencia en contra de H que representan.
No es relevante la noción “H
“H es cierta”, sino la utilidad de H para
describir X.
p-valor es un re
re--escalamiento de D a una escala [0,1]
[0,1]..
Cualquier D que cumpla ordenar muestras funciona. No hay noción
de que una D sea mejor que otra. No hay noción de optimalidad.
Bajo H, la distribución del p-valor es U(0,1).
Un valor chico de p indica evidencia en contra de H. Un valor
grande de p, también, aunque con otra interpretación.
Replicabilidad de experimentos es importante.
p-valor puede cuantificar evidencia en contra de H, no a favor.
p-valor NO representa la probabilidad de que H sea cierta.
p-valor NO es un concepto frecuentista, como lo es el error de Tipo
I-II en NeymanNeyman-Pearson.
No es relevante el concepto de hipótesis alternativa, como en NN-P.
Paradigma Bayesiano
Premisas:
Se sabe algo acerca de θ aún antes de observar X. Esta
información previa es cuantificable a través de una
densidad de probabilidad, π(θ).
Se conoce un modelo para datos, f(X| θ).
Una vez observado X, la información se actualiza,
mediante el Teorema de Bayes:
f ( X | θ )π (θ )
f (θ | X ) =
∫ f ( X | θ )π (θ )dθ
La probabilidad de que H sea cierta a la luz de los datos
es:
∫
H
f (θ | X )dθ
Paradigma Bayesiano
Interpretación:
π(θ) es información subjetiva; luego la
interpretación de probabilidad es subjetiva.
Si no hay información previa, usar π(θ) “no
informativa”.
Principales críticas
Neyman--Pearson
Neyman
Por naturaleza binaria se pierde resolución.
No siempre existen pruebas UMP.
p-valores
La cuantificación de incertidumbre no posee
interpretación probabilística
probabilística..
Bayesiano
Origen de densidad previa.
Conceptos básicos en pruebas
de hipótesis a la N
N--P
Hipótesis nula
nula,, hipótesis alternativa
alternativa..
Errores de Tipo I y Tipo II.
Estadística de prueba y región crítica
crítica..
Función de potencia de una prueba
prueba..