Introducción a la Química Computacional FUNCIONES POTENCIALES CLÁSICAS: DINÁMICA MOLECULAR © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional La dinámica molecular es una forma de simular el desenvolvimiento de un sistema poliatómico en dependencia del tiempo. La dinámica molecular NO es la cinética química, pues su naturaleza no es estadística ni macroscópica sino casuística y molecular. Todas las formas de dinámica molecular se basan en representar los sistemas moleculares comportándose de acuerdo con una ley de movimiento. La más común es la segunda ley de Newton, donde la fuerza aplicada sobre un sistema es proporcional a su aceleración, o variación de su velocidad con el tiempo. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional La dinámica molecular es una forma de simular el desenvolvimiento de un sistema poliatómico en dependencia del tiempo. La dinámica molecular NO es la cinética química, pues su naturaleza no es estadística ni macroscópica sino casuística y molecular. Todas las formas de dinámica molecular se basan en representar los sistemas moleculares comportándose de acuerdo con una ley de movimiento. La más común es la segunda ley de Newton, donde la fuerza aplicada sobre un sistema es proporcional a su aceleración, o variación de su velocidad con el tiempo. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional La dinámica molecular es una forma de simular el desenvolvimiento de un sistema poliatómico en dependencia del tiempo. La dinámica molecular NO es la cinética química, pues su naturaleza no es estadística ni macroscópica sino casuística y molecular. Todas las formas de dinámica molecular se basan en representar los sistemas moleculares comportándose de acuerdo con una ley de movimiento. La más común es la segunda ley de Newton, donde la fuerza aplicada sobre un sistema es proporcional a su aceleración, o variación de su velocidad con el tiempo. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Para un sistema aislado los movimientos traslacionales de una partícula i dada están descritos por la expresión de la segunda ley de Newton: mi r d 2 ri dt 2 r r r r = Fi (r1, r2 ,..., rN ) en el caso de N partículas,rdonde: Fi = ∇ iV (r1 , r2 ,...rN ) r r siendo t el tiempo, mi la masa y i el vector de posición de una partícula cualquiera. Así, es la fuerza neta que actúa sobre una partícula dada i, a partir de un potencial V creado por su interacción con todas las demás partículas del sistema en un instante de tiempo dt. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Para un sistema aislado los movimientos traslacionales de una partícula i dada están descritos por la expresión de la segunda ley de Newton: mi r d 2 ri dt 2 r r r r = Fi (r1, r2 ,..., rN ) en el caso de N partículas,rdonde: Fi = ∇ iV (r1 , r2 ,...rN ) r r siendo t el tiempo, mi la masa y i el vector de posición de una partícula cualquiera. r Así, Fi es la fuerza neta que actúa sobre una partícula dada i, a partir de un potencial V creado por su interacción con todas las demás partículas del sistema en un instante de tiempo dt. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Si se asume que: a) El potencial se puede calcular por pares de partículas y es aditivo; b) No existen fuerzas externas, entonces: r r r r V (r1, r2 ,..., rN ) = ∑ uij (rij ) i< j r r r r donde ij = ri − r j y la fuerza que actúa sobre cada partícula es expresable como: r ∂uij (rij ) r r r Fi = ∑ Fij =∑ − F ji = ∑ − r ∂ r ij j j j © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Así, el problema se reduce a integrar una ecuación diferencial de movimiento, tal que: r d 2 ri mi 2 dt r ∂uij ( rij ) = ∑− r ∂ r ij j correspondiente a cada partícula de masa mi y posición dada por el vector r ri que interactúa con una energía potencial uij con cada una de las demás r partículas j del sistema, que se encuentran a una distancia rij . © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Así, los requerimientos para poder realizar una simulación de dinámica molecular son: − Disponer de una hipersuperficie o función de energía potencial, que r u ( r exprese energías entre las partículas individuales ij ij ) suficientemente confiable. − Resolver la ecuación de movimiento de forma tal que si se tienen las posiciones y velocidades de cada partícula en un tiempo t, se pueda obtener cuales serán tales posiciones y velocidades en un tiempo t + Δt y donde el intervalo Δt es finito. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Así, los requerimientos para poder realizar una simulación de dinámica molecular son: − Disponer de una hipersuperficie o función de energía potencial, que r u ( r exprese energías entre las partículas individuales ij ij ) suficientemente confiable. − Resolver la ecuación de movimiento de forma tal que si se tienen las posiciones y velocidades de cada partícula en un tiempo t, se pueda obtener cuales serán tales posiciones y velocidades en un tiempo t + Δt y donde el intervalo Δt es finito. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional POTENCIALES MÁS COMUNES Y PROGRAMAS QUE LOS UTILIZAN: © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional AMBER (Assisted Model Builder with Energy Refinement) de Peter Kollman, se utiliza para simulaciones de dinámica molecular. Usa solo cinco términos de enlace y no enlace, así como un tratamiento especial para el potencial electrostático. No se incluyen términos cruzados. Buenos resultados con proteínas y ácidos nucleicos pero pueden ser erráticos con otros sistemas. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional CHARMM (Chemistry at HARvard Macromolecular Mechanics) de Martin Karplus, se diseñó originalmente para proteínas y ácidos nucleicos, pero ahora ha sido aplicado a varios tipos de biomoléculas, a solvatación, análisis vibracionales, y a estudios QM/MM (quantum mechanics / molecular mechanics). Los términos generales son: Ebond −stretch = ∑ Kb (b − b0 ) 2 1, 2 pairs Ebond −bond = ∑ Kθ (θ − θ0 ) 2 angles Erotate−along−bond = ∑ Kφ (1 − cos(nφ )) 1, 4 pairs ⎛ Aik Cik ⎞ Evan−der−Waals = ∑ ⎜ 12 − 6 ⎟ ⎜ rik ⎟⎠ ik ⎝ rik qq Eelectrostatic = ∑ i k ik Drik © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional GROMOS (GROnigen MOlecular Simulations) de van Gunsteren es popular para simulaciones dinámicas de moléculas y líquidos puros, así como biomoléculas. Nb 2 r r r enlace V (r , r ,..., r ) = 1 k b − b 0 1 2 N ∑ 2 n =1 bn Nθ [ n n ] [ ] [ ] + ∑ 12 kθ n θ n − θ n0 n =1 Nξ + ∑ 12 kξ n ξ n − ξ n0 n =1 2 2 angular ángulos impropios Nφ + ∑ Kφ n ' [1 − cos(nn 'φn ' − δ n ' ] torsiones n ' =1 N AB + ∑[ i< j + c12 (i, j ) c6 (i, j ) − 12 rij rij6 qi q j 4πε 0ε r rij ]S (rij ) © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. no enlazantes electrostáticas Introducción a la Química Computacional INTEGRACIÓN DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO Y PARÁMETROS TEMPORALES © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Requerimiento: Integrar numéricamente las ecuaciones de movimiento para cientos o miles de átomos o moléculas. Aproximación: Existe un compromiso entre la calidad de los resultados y la magnitud del intervalo de tiempo con el que se evalúan sucesivamente las integrales, que llamamos Δt. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Requerimiento: Integrar numéricamente las ecuaciones de movimiento para cientos o miles de átomos o moléculas. Aproximación: Existe un compromiso entre la calidad de los resultados y la magnitud del intervalo de tiempo con el que se evalúan sucesivamente las integrales, que llamamos Δt. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Usualmente, la integración se hace con el método de las diferencias finitas donde la solución se representa por los valores en un número finito de puntos en el espacio de cada sistema, denominados “puntos de malla” de la ecuación: r d 2 ri 1 = mi dt 2 r ∂u ij ( rij ) ∑j − ∂rr ij Estos puntos son simulados por un polinomio y la solución completa se r obtiene después de evaluar la derivada d 2 ri dt 2 por diferencias de los valores de las variables que se obtengan mediante el polinomio en cada uno de los puntos de la “malla”. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Integración de la traslación: MÉTODO DEL PREDICTOR – CORRECTOR DE GEAR La integración se realiza en dos procesos sucesivos: 1.- La posición del centro de masas rr y sus derivadas se “predice” para el tiempo t + Δt a partir de la posición y las derivadas en el paso previo t, según una serie de Taylor truncada en el orden m: J Jr m ⎛ d k rr ⎞ J ! t d r (t ) Δ ⎟ ⎜ = ∑ k!(J − k )! J ⎜ dt k ⎟ dt ⎠ pred J = k ⎝ 2.- Se “corrige” a las derivadas de todos los órdenes mediante las fuerzas que fueron computadas en las posiciones predichas en el paso 1: ⎡ Δt 2 F (rr pred ) ⎛ d 2 rr ⎞ ⎤ ⎛ d k rr ⎞ ⎛ d k rr ⎞ m ⎟ ⎜ ⎥ + Ck ⎢ − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = ⎜⎜ k ⎟⎟ ⎜ dt k ⎟ m ⎢ 2 ⎝ dt ⎠ pred ⎥⎦ ⎠ corr ⎝ dt ⎠ pred ⎝ ⎣ donde las valores de las constantes dependientes del orden encontrar en la literatura especializada. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Ckm se pueden Introducción a la Química Computacional Integración de la traslación: EL ALGORITMO DE VERLET Usa las posiciones y aceleraciones en un tiempo t y en otro tiempo t - Δt para predecir las posiciones en el tiempo t + Δt. El esquema de integración se basa en una expansión de Taylor de 3er. orden: r r r ri (t + Δt ) = 2ri (t ) − ri (t − Δt ) + Δt 2 r d 2 ri (t ) dt 2 y las velocidades se pueden obtener con la regla básica de la diferenciación: r r r dri (t ) ri (t + Δt ) − ri (t − Δt ) = dt 2Δt © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Integración de la traslación: EL ALGORITMO DE VERLET CON EL “SALTO DE RANA” Se trata del algoritmo de Verlet para el cálculo de las velocidades con mayor exactitud: 1 1 r r dri (t + Δt ) dri (t − Δt ) 2r d ri (t ) 2 2 = + Δt 2 dt dt dt 1 r dri (t + Δt ) r r 2 ri (t + Δt ) = ri (t ) + Δt 2 dt − Las aceleraciones en el tiempo t se calculan a partir de las coordenadas en ese momento. − Las velocidades se calculan en el medio intervalo positivo de la primera ecuación y se sustituyen en la segunda para obtener las posiciones en el tiempo t + Δt. − Las velocidades en el tiempo t se calculan como la media de las velocidades a t - Δt y t + Δt. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Selección de los intervalos de tiempo para la simulación Si los intervalos de tiempo Δt son “grandes” (de varios fs), las simulaciones de dinámica molecular pueden explorar más abarcadoramente todo el espacio de configuraciones del sistema. Sin embargo, las ecuaciones integradas para la traslación obligan a que la fuerza se mantenga constante en cada paso, y eso compromete su duración con la de los movimientos que originan la dinámica en la realidad física, que son las vibraciones moleculares. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional La magnitud del intervalo de tiempo Δt está limitada por la máxima frecuencia de vibración entre las partículas componentes, y debe ser Δt << 1 ν max Para un modo de vibración característico del estiramiento de un enlace O-H no asociado [~ 3500 cm-1 = 1.05 (1014) s-1], Δt no podría mayor que ν-1 = 9.5 (10-15) s, o 9.5 fs. En este caso, la Δt se suele seleccionar en 1 fs. Si se excluyen los modos de vibración de enlace [3700 a 400 cm-1 o 1.11(1014) s-1 a 1.20(1013) s-1] y se deja, por ejemplo, solo los modos de rotación interna (torsión) de una molécula [~ 200 cm-1 = 6.00(1012) s-1], los valores de Δt pueden ser fácilmente menores que ν-1 = 166.8 (10-13) s, o 166.8 fs. Estos son los casos de la llamada dinámica constreñida y se suelen usar Δt de 2 fs y aún mayores. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional La magnitud del intervalo de tiempo Δt está limitada por la máxima frecuencia de vibración entre las partículas componentes, y debe ser Δt << 1 ν max Para un modo de vibración característico del estiramiento de un enlace O-H no asociado [~ 3500 cm-1 = 1.05 (1014) s-1], Δt no podría mayor que ν-1 = 9.5 (10-15) s, o 9.5 fs. En este caso, la Δt se suele seleccionar en 1 fs. Si se excluyen los modos de vibración de enlace [3700 a 400 cm-1 o 1.11(1014) s-1 a 1.20(1013) s-1] y se deja, por ejemplo, solo los modos de rotación interna (torsión) de una molécula [~ 200 cm-1 = 6.00(1012) s-1], los valores de Δt pueden ser fácilmente menores que ν-1 = 166.8 (10-13) s, o 166.8 fs. Estos son los casos de la llamada dinámica constreñida y se suelen usar Δt de 2 fs y aún mayores. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional La magnitud del intervalo de tiempo Δt está limitada por la máxima frecuencia de vibración entre las partículas componentes, y debe ser Δt << 1 ν max Para un modo de vibración característico del estiramiento de un enlace O-H no asociado [~ 3500 cm-1 = 1.05 (1014) s-1], Δt no podría mayor que ν-1 = 9.5 (10-15) s, o 9.5 fs. En este caso, la Δt se suele seleccionar en 1 fs. Si se excluyen los modos de vibración de enlace [3700 a 400 cm-1 o 1.11(1014) s-1 a 1.20(1013) s-1] y se deja, por ejemplo, solo los modos de rotación interna (torsión) de una molécula [~ 200 cm-1 = 6.00(1012) s-1], los valores de Δt pueden ser fácilmente menores que ν-1 = 166.8 (10-13) s, o 166.8 fs. Estos son los casos de la llamada dinámica constreñida y se suelen usar Δt de 2 fs y aún mayores. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Comparación de varios métodos − Con pasos de Δt pequeños el algoritmo de Gear presenta menores fluctuaciones de la energía total que el de Verlet. − Con pasos de Δt intermedios las fluctuaciones de ambos métodos son similares. − Con pasos de Δt grandes el algoritmo de Verlet es de mejor calidad. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Integración de la rotación molecular La rotación molecular suele simularse con la aproximación del cuerpo rígido, donde la rotación de sus ejes principales está dada por las ecuaciones de Euler que se integran con las rutinas de Gear o la de “salto de rana”: dω x I xx − (I yy − I zz )ω yω z = Tx dt dω y I yy − (I zz − I xx )ω zω x = Ty dt dω z I zz − (I xx − I yy )ω xω y = Tz dt donde las Iqq son las componentes del momento de inercia en la coordenada q, ωq es la velocidad angular y Tq el torque (fuerza) que actúa sobre la molécula y que provoca su rotación en esa coordenada durante la simulación. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional PASOS DE LA SIMULACIÓN © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional inicialización − Cada centro participante se sitúa inicialmente de acuerdo con una geometría de prueba, o supuesta. Se comienza con un velocidades aleatorias pero correspondientes con la temperatura de entrada dada por el principio de equipartición de la energía. La temperatura así calculada se utiliza para el control energético del sistema. − Inicialmente las velocidades de todas y cada una de las partículas son normalizadas para lograr un momento lineal neto o resultante nulo, evitando así desplazamientos inútiles del sistema en su conjunto. − Durante la inicialización se lleva a cabo una simulación en la que se renormalizan las velocidades repetidas veces para retornar el sistema a la temperatura de entrada. El paso de inicialización de da por terminado cuando estabiliza la temperatura (la energía del sistema se hace constante) y dejan de ser necesarias las renormalizaciones para este fin, pues se ha alcanzado el estado de equilibrio. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional inicialización − Cada centro participante se sitúa inicialmente de acuerdo con una geometría de prueba, o supuesta. Se comienza con un velocidades aleatorias pero correspondientes con la temperatura de entrada dada por el principio de equipartición de la energía. La temperatura así calculada se utiliza para el control energético del sistema. − Inicialmente las velocidades de todas y cada una de las partículas son normalizadas para lograr un momento lineal neto o resultante nulo, evitando así desplazamientos inútiles del sistema en su conjunto. − Durante la inicialización se lleva a cabo una simulación en la que se renormalizan las velocidades repetidas veces para retornar el sistema a la temperatura de entrada. El paso de inicialización de da por terminado cuando estabiliza la temperatura (la energía del sistema se hace constante) y dejan de ser necesarias las renormalizaciones para este fin, pues se ha alcanzado el estado de equilibrio. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional inicialización − Cada centro participante se sitúa inicialmente de acuerdo con una geometría de prueba, o supuesta. Se comienza con un velocidades aleatorias pero correspondientes con la temperatura de entrada dada por el principio de equipartición de la energía. La temperatura así calculada se utiliza para el control energético del sistema. − Inicialmente las velocidades de todas y cada una de las partículas son normalizadas para lograr un momento lineal neto o resultante nulo, evitando así desplazamientos inútiles del sistema en su conjunto. − Durante la inicialización se lleva a cabo una simulación en la que se renormalizan las velocidades repetidas veces para retornar el sistema a la temperatura de entrada. El paso de inicialización de da por terminado cuando estabiliza la temperatura (la energía del sistema se hace constante) y dejan de ser necesarias las renormalizaciones para este fin, pues se ha alcanzado el estado de equilibrio. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional desarrollo − En el desarrollo se lleva a cabo la simulación en un período de tiempo virtual dado, que contenga un número significativo de pasos Δt. − En este proceso se registran y almacenan las posiciones y velocidades de todas las partículas en pasos seleccionados. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional análisis − Se trata de calcular las propiedades estáticas y dinámicas del sistema durante la etapa anterior de desarrollo, y a partir de un tratamiento, muchas veces estadístico, de las posiciones y velocidades que se almacenaron en esa etapa de la simulación. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional La termodinámica y la dinámica molecular La práctica habitual de las simulaciones de dinámica molecular se efectúa en sistemas aislados, aunque conste de varias moléculas interactuantes. Esto hace que el concepto de temperatura, que es típicamente macroscópico, solo adquiera interés como consecuencia y resultado del cálculo de la energía cinética del agregado molecular a partir del principio clásico de equipartición de la energía. Cualquier cálculo de magnitudes termodinámicas macroscópicas tendrá que considerar que el sistema calculado mantiene la energía constante durante la evaluación de su dinámica en condiciones de equilibrio, aunque esta energía se exprese en forma de temperatura. Por ello estos sistemas se tratan en la dinámica molecular como un conjunto estadístico microcanónico (nVE). © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional La termodinámica y la dinámica molecular La práctica habitual de las simulaciones de dinámica molecular se efectúa en sistemas aislados, aunque conste de varias moléculas interactuantes. Esto hace que el concepto de temperatura, que es típicamente macroscópico, solo adquiera interés como consecuencia y resultado del cálculo de la energía cinética del agregado molecular a partir del principio clásico de equipartición de la energía. Cualquier cálculo de magnitudes termodinámicas macroscópicas tendrá que considerar que el sistema calculado mantiene la energía constante durante la evaluación de su dinámica en condiciones de equilibrio, aunque esta energía se exprese en forma de temperatura. Por ello estos sistemas se tratan en la dinámica molecular como un conjunto estadístico microcanónico (nVE). © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional La termodinámica y la dinámica molecular La práctica habitual de las simulaciones de dinámica molecular se efectúa en sistemas aislados, aunque conste de varias moléculas interactuantes. Esto hace que el concepto de temperatura, que es típicamente macroscópico, solo adquiera interés como consecuencia y resultado del cálculo de la energía cinética del agregado molecular a partir del principio clásico de equipartición de la energía. Cualquier cálculo de magnitudes termodinámicas macroscópicas tendrá que considerar que el sistema calculado mantiene la energía constante durante la evaluación de su dinámica en condiciones de equilibrio, aunque esta energía se exprese en forma de temperatura. Por ello estos sistemas se tratan en la dinámica molecular como un conjunto estadístico microcanónico (nVE). © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional CÁLCULO DE PROPIEDADES © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Dado que la dinámica molecular es una simulación del sistema que lo considera básicamente como clásico, si se conocen las posiciones y las velocidades de todas las partículas, debe poderse calcular exactamente todas las propiedades colectivas. Como se anotó anteriormente pero dicho con otras palabras, el constreñimiento principal es que el espacio de fases no puede considerar números estadísticos de partículas, que siempre son del orden del número de Avogadro. Por lo tanto, solo se consideran fases representativas de una o algunas moléculas del sistema, a las que se atribuye representatividad pues se procura que estén en los mínimos de la hipersuperficie. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Dado que la dinámica molecular es una simulación del sistema que lo considera básicamente como clásico, si se conocen las posiciones y las velocidades de todas las partículas, debe poderse calcular exactamente todas las propiedades colectivas. Como se anotó anteriormente pero dicho con otras palabras, el constreñimiento principal es que el espacio de fases no puede considerar números estadísticos de partículas, que siempre son del orden del número de Avogadro. Por lo tanto, solo se consideran fases representativas de una o algunas moléculas del sistema, a las que se atribuye representatividad pues se procura que estén en los mínimos de la hipersuperficie. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Dado que la dinámica molecular es una simulación del sistema que lo considera básicamente como clásico, si se conocen las posiciones y las velocidades de todas las partículas, debe poderse calcular exactamente todas las propiedades colectivas. Como se anotó anteriormente pero dicho con otras palabras, el constreñimiento principal es que el espacio de fases no puede considerar números estadísticos de partículas, que siempre son del orden del número de Avogadro. Por lo tanto, solo se consideran fases representativas de una o algunas moléculas del sistema, a las que se atribuye representatividad pues se procura que estén en los mínimos de la hipersuperficie. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Las propiedades calculables se dividen en: Estáticas cuando no están relacionadas con una trayectoria dependiente del tiempo (ej. la capacidad calórica a presión constante), y dinámicas cuando si lo están (ej. coeficientes de autodifusión). Unimoleculares cuando dependen solamente del comportamiento de una partícula (ej. coeficiente de autodifusión), o colectivas cuando dependen de un conjunto de partículas (ej. la constante dieléctrica). © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Las propiedades calculables se dividen en: Estáticas cuando no están relacionadas con una trayectoria dependiente del tiempo (ej. la capacidad calórica a presión constante), y dinámicas cuando si lo están (ej. coeficientes de autodifusión). Unimoleculares cuando dependen solamente del comportamiento de una partícula (ej. coeficiente de autodifusión), o colectivas cuando dependen de un conjunto de partículas (ej. la constante dieléctrica). © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Propiedades estáticas Energía cinética traslacional: Energía potencial: K transl V= r 2 1 N ⎛ dri ⎞ = ∑ mi ⎜ ⎟ 2 i ⎝ dt ⎠ N ∑ ui i Donde la expresión entre <...> implica promedio sobre todos los pasos de tiempo Δt de la simulación durante su desarrollo, N es el número de átomos o moléculas del sistema, ui es la energía calculada sobre cada átomo o molécula i del sistema y mi es la masa del átomo o molécula i. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Temperatura Se calcula según el principio clásico de equipartición de la energía. La temperatura traslacional es el componente principal y es: Ttransl = 2 K transl 3 Nk Boltzmann Se puede calcular también la temperatura rotacional reemplazando la fuerza por el torque en la expresiones de energía cinética. Si las vibraciones internas de los sistemas se tienen en cuanta, la temperatura de rotaciones internas y otras vibraciones se obtiene a partir de su energía cinética con las expresiones más adecuadas. La temperatura del sistema es la suma de las de todas estas contribuciones: 2 ( K transl + K rot + K vib ) T= 3 Nk Boltzmann © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Capacidad calórica La capacidad calórica a volumen constante puede ser obtenida de las fluctuaciones de la energía durante el desarrollo de la simulación: ⎤ ⎡ 2 2 K − K ⎥ n⎢ Cυ = R ⎢1 − ⎥ 2 ⎢ ⎛n⎞ 2 2 ⎜ ⎟ Nk BoltzmannT ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ −1 donde n es el número de grados de libertad por partícula, R es la constante de los gases ideales y N el número de átomos o moléculas del sistema. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Presión Se calcula con una ecuación de Virial truncada, como se suele hacer con los gases a baja presión: 1 p = ( Nk BoltzmannT + w) V donde V es el volumen del sistema y w es el segundo coeficiente del virial dado por: 1 w=− 3 1 r ∂ui ∑ ri ∂rr = − 3 i i N r ∂uij ∑ ∑ rij ∂rr ij i j >i N N © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Función de distribución radial La función de distribución radial de pares es la probabilidad de encontrar un par de partículas α y β separadas una distancia r entre si. Sea n(r) el número de parejas αβ que se encuentran separadas a distancias entre ri y ri + δr, entonces: V n( r ) gαβ (r ) = N 4πr 2δr donde V es el volumen de la simulación. La difracción de rayos X o de neutrones ocurre por las irregularidades de la distribución radial con respecto a la uniformidad. Gracias a ello, los valores obtenidos en las simulaciones pueden ser comparados con los experimentales para comprobar la confiabilidad de un potencial. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Propiedades dinámicas Las propiedades dinámicas que se pueden calcular dependen de una magnitud llamada la función de correlación temporal que relaciona una propiedad cualquiera A con otra B en un tiempo posterior t: A(0) B (t ) ≡ A(t0 ) B (t0 + t ) t0 donde A(t) y B(t) son variables dinámicas del sistema tales como la posición, la velocidad, la densidad, etc. El promedio del tiempo <...> denota en este caso una media sobre diferentes orígenes temporales t0 en una simulación y no sobre los pasos o intervalos Δt, como en los casos anteriores. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Función de autocorrelación de velocidades y coeficiente de autodifusión La función de autocorrelación de velocidades se define como: r r Cvv (t ) = vi (0) ⋅ vi (t ) y es de interés porque su integral con respecto al tiempo proporciona el coeficiente de autodifusión: ∞ D = ∫ Cvv (t )dt = lim 0 t →∞ ri (0) − ri (t ) 2 6t que es una buena medida de la movilidad traslacional. La transformada de Fourier de D es una medida de la densidad de estados. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Ejemplo del dímero del agua con el potencial NCC1 El modelo del dímero del agua se representa por los núcleos de O (centros 5 y 6, en la figura) y H (centros 1, 2, 3 y 4) aunque también se crean “centros” ficticios que representan los dipolos eléctricos (centros 7 y 8). 1 E. Clementi, G. Corongiu, M. Aida, U. Niesar, G. Kneller, Monte Carlo and Molecular Dynamics Simulations, in E. Clementi, editor, “Modern Techniques in Computational Chemistry: MOTECC-90”, ESCOM, Leiden, 1990, p. 849. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional El potencial utilizado se denomina Nieser-Corongiu-Clementi (NCC) y consiste en dos partes: VNCC = ∑ [Vtwo −body (i, j )] + V pol i, j <i La componente de dos cuerpos es: © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional La parte de polarización se requiere para simular los efectos cuánticos de interacciones de las densidades de carga en ambas moléculas: V pol 1 N m N d r ind r q = − ∑ ∑ μiλ Ei λ 2 i λ donde Nm es el número de moléculas Nd es el número de dipolos en las moléculas μriind es el momento dipolo inducido en la molécula i por el dipolo λ. λ r Eiq es el campo eléctrico en el sitio del dipolo inducido iλ y λ ocasionado por la distribución de cargas puntuales en los alrededores. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Resultados para el dímero del agua: © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Distribución radial: © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Ejemplo de simulación del agua en un cristal de mioglobina2 Aquí se estudia al agua como solvente. Las coordenadas de los 1261 átomos pesados de la mioglobina se obtuvieron de data de difracción de rayos X de la proteína cristalizada. Los átomos de hidrógeno se introdujeron mediante consideraciones de geometrías típicas, llegando a 2532 átomos. Se usaron 856 moléculas de agua en una celda unitaria virtual, dando un cristal de densidad 1.2705 g cm-3. 2 Ibidem, p. 871 © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Las interacciones agua - proteína se calcularon con un potencial basado en cálculos cuánticos ab initio y los agua – agua con un potencial típico. La simulación se llevó a cabo en 50 ps, con un intervalo o paso de tiempo de 0.5 fs. Llevó 20 ps alcanzar el equilibrio y los restantes 30 ps se usaron para la etapa de desarrollo. La temperatura media fue de 304.4 ± 8.15 K y la energía potencial total de –17.46 ± 0.03 kcal mol-1 con fluctuaciones máximas de 0.001 kcal mol-1. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010. Introducción a la Química Computacional Función de distribución radial agua – agua y agua – proteína. © Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2010.