Mathcad - UNIDAD 08 - LINEA PIEZOMETRICA

UTN - FRBA
Hidráulica General y Aplicada
Capítulo 8: Línea Piezométrica
EJEMPLOS RESUELTOS
Toda la teoría que se utiliza en la resolución de los siguientes ejemplos, está basada en el Capítulo 8, del libro del Ing.
Fernando Silva. Por lo tanto, se recomienda su lectura previa antes de seguir adelante con la comprensión de los ejemplos.
Ejemplo A. Desde un depósito fluye agua a 20ºC por una cañería de acero (e=0,046 mm). La cañería tiene
un diámetro de 63mm y una longitud de 25m. Considerando la viscosidad cinemática del agua de 1.011 x 10-6
m²/s. Determinar:
a. si debe considerar o no las pérdidas localizadas en los accesorios
b. calcular la altura en A si la velocidad en la cañería es de 2 m/s
c. dibujar la línea piezométrica
A
válvula
exclusa
zA=?
válvula
exclusa
B
10m
El.10 m
H
G
C
E
D
Eje de
referencia
F
D=152mm
L2=210 m
L1=20m
Datos:
Sección de la cañería
V := 2
m
L3=20 m
ε := 0.046mm
D := 152mm
zB := 0m
zC := 0m
zD := 0m
zF := 0m
zG := 10m
zH := 10m
L1 := 20m
L2 := 210m
L3 := 20m
LB_G := L1 + L2 + L3
LB_G = 250 m
A :=
s
π⋅D
2
A = 0.0181 m
4
2
ν := 1.011⋅ 10
Caudal en la cañería
2
N
− 6 m γ agua := 9810⋅
⋅
3
s
m
zE := 0m
Q := V⋅ A
Q = 0.0363
m
3
s
a) evaluamos si considerar o no las pérdidas localizadas
Longitud total cañería
Longitud promedio
entre pérdidas
localizadas
Longitud de
comparación
LB_G = 250 m
LB_G
Lprom :=
n
D⋅ 500 = 76 m
Cantidad de pérdidas localizadas
n := 4
Lprom = 62.5 m
Conclusión: como Lprom es < que D*500 entonces sí tenemos en cuenta las pérdidas
localizadas
b) Cálculo de la altura en A: zA
Ecuación de la energía
entre A y F
 V 2 − V 2
pH − pA
H
A
Q − Weje = ρ ⋅ Q⋅ 
+ ( uH − uA) + ( zH − zA) ⋅ g +

ρ 
 2
Como en nuestro caso: VA = VH = 0
Dividiendo m. a m. por
g, resulta:
Por la ecuación de
Darcy-Weisbach,
podemos poner
zA = zH +
uH − uA
g
pA = pH = 0
 uH − uA 


 g 
[1]
= ∆HA_H = ∆Hfricción + ∆Hlocaliz
Autor: Ing. Verónica Monzón
[email protected]
Weje = Q = 0
2
4
LB_G V2
Vi
= f⋅
⋅
+
Ki ⋅
D 2⋅ g
2g
i =1
Actualizazión: 06/09/2011
∑
[2]
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Hidráulica General y Aplicada
Capítulo 8: Línea Piezométrica
EJEMPLOS RESUELTOS

2
LB_G V
Reemplazando [2] en [1],
zA = zH +  f⋅
⋅
+
resulta:
 D 2⋅ g

4
∑
Ki ⋅
Vi
2



2g
i =1
[3]
Estamos ante el primero de los tres casos típicos planteados en el Capítulo 8, punto 8.9 ----------------------->
Evaluaremos ahora las entrada de depósito a caño Ke := 0.5
pérdidas localizadas
salida de caño a depósito
(datos sacados de la
Ks := 1
tabla del Capítulo 8.8
Kv
del libro del Ing. Silva) válvula esférica de paso total
=3
ft_152mm
Planteo ecuación de la
energía en la instalación
ft_152mm := 0.015
Kv := 3⋅ 0.015
2
(
)
∆Hlocaliz := Ke + Ks + 2⋅ Kv ⋅
Datos: V,D,
L, ν, ε
V
Kv = 0.05
2g
Calculo las pérdidas por
la ecuación de DarcyWeisbach
2
 2⋅ m 
 
 s  = 0.32 m
= ( 0.5 + 1 + 2⋅ 3⋅ 0.015) ⋅
∆Hlocaliz
2⋅ g
ε
Calculo los datos
= 0.0003
necesarios para
D
encontrar los factores de
fricción
Factor de fricción f
por fórmula de
Colebrook-White
[4]
h( f) := −
Re :=
V⋅ D
Re = 300692
ν
Calculo el factor de
fricción con el diagrama
de Moody o la fórmula de
Colebrook-White (si es
agua, se puede utilizar
Hazen y Williams)
2.51 
 ε
+

 D⋅ 3.7 Re⋅ f 
1
− 0.86⋅ ln
f
f := 0.01
f := root( h( f) , f)
LB_G V2
∆Hfricción := f⋅
⋅
D 2g
f = 0.0173
[5]
∆Hfricción = 5.81 m
Reemplazando [4] y [5] zA := zH + ∆Hfricción + ∆Hlocaliz
en [3], resulta:
∆Hlocaliz
Se reemplaza el factor
de fricción f en la
ecuación de DarcyWeisbach
zA = 16.13 m
(∆Hfricción + ∆Hlocaliz) = 6.13 m
= 5.58 %
∆Hfricción
Como el factor de fricción
es función de:
f=F(ε/D;Re), calculo:
ε/D y Re
c) Trazado de la línea piezométrica
Altura piezométrica en
un punto genérico "i"
Hi = zi +
Para el punto A,
resultará:
HA = zA +
Planteando ec. de la
energía entre A y B
zA +
pA
γ
pi
γ
pA
HA := zA + 0
γ
2
+
VA
2g
+
uA
g
= zB +
 V 2 u 
A
A
HA + 
+
 = HB +
g
 2g
Autor: Ing. Verónica Monzón
[email protected]
pB
γ
HA = 16.13 m
2
+
VB
2g
+
uB
g
 V 2 u 
B
B
 2g + g 


Actualizazión: 06/09/2011
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Hidráulica General y Aplicada
Capítulo 8: Línea Piezométrica
EJEMPLOS RESUELTOS
 V 2 u 
A
A
HB = HA + 
+

g
 2g
 V 2 u 
B
B
−
+

g
 2g
VA := 0
VB := V
2
HB := HA −
VB = 2
m
uB − uA
s
g
2
VB
2
= ∆HA_B = Ke ⋅
VB
2g
VB
− Ke ⋅
HB = 15.83 m
2g
2g
______________________________________________________________________________________________________________
Planteando ec. de la
energía entre B y C
zB +
pB
γ
2
+
VB
+
2g
uB
g
= zC +
 V 2 u 
B
B
HB + 
+
 = HC +
g
 2g
pC
γ
+
VC
2
uC
+
2g
g
 V 2 u 
C
C
 2g + g 


VB = VC
L1 V2
HC = HB − ∆HB_C
HC := HB − f⋅ ⋅
HC = 15.36 m
D 2g
______________________________________________________________________________________________________________
Planteando ec. de la
energía entre C y D
zC +
pC
+
γ
VC
2
+
2g
uC
g
= zD +
 V 2 u 
C
C
HC + 
+
 = HD +
g
 2g
2
pD
γ
+
VD
2g
uD
g
 V 2 u 
D
D
 2g + g 


2
VC = VD
2
V
HD = HC − Kv⋅
+
V
HD := HC − Kv⋅
HD = 15.35 m
2g
2g
______________________________________________________________________________________________________________
Planteando ec. de la
energía entre D y E
zD +
pD
+
γ
VD
2
+
2g
uD
g
= zE +
 V 2 u 
D
D
HD + 
+
 = HE +
g
 2g
HE = HD − ∆HD_E
pE
γ
2
+
VE
+
2g
uE
g
 V 2 u 
E
E
 2g + g 


HE := HD − f⋅
VD = VE
L2 V2
⋅
D 2g
HE = 10.47 m
______________________________________________________________________________________________________________
Planteando ec. de la
energía entre E y F
zE +
pE
γ
2
+
VE
2g
+
uE
g
= zF +
 V 2 u 
E
E
HE + 
+
 = HF +
g
 2g
pF
γ
+
VF
2
+
2g
uF
g
 V 2 u 
F
F
 2g + g 


VE = VF
2
HF := HE − Kv⋅
V
HF = 10.46 m
2g
______________________________________________________________________________________________________________
Planteando ec. de la
energía entre F y G
zF +
pF
γ
+
Autor: Ing. Verónica Monzón
[email protected]
VF
2
2g
+
uF
g
= zG +
pG
γ
2
+
VG
2g
+
uG
g
Actualizazión: 06/09/2011
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Hidráulica General y Aplicada
Capítulo 8: Línea Piezométrica
EJEMPLOS RESUELTOS
 V 2 u 
F
F
HF + 
+
 = HG +
g
 2g
 V 2 u 
G
G
 2g + g 


VF = VG
L3 V2
HG := HF − f⋅ ⋅
D 2g
HG = HF − ∆HF_G
HG = 10 m
______________________________________________________________________________________________________________
Planteando ec. de la
energía entre G y H
zG +
2
pG
VG
+
γ
+
2g
uG
g
= zH +
 V 2 u 
G
G
HG + 
+
 = HH +
g
 2g
2
VG
HH := HG +
2g
pH
γ
2
+
VH
2g
uH
+
g
 V 2 u 
H
H
 2g + g 


VH := 0
-1
VG := V
VG = 2 s ⋅ m
2
− Ks⋅
V
HH = 10 m
2g
Nota: escala vertical = 10 x escala horizontal
A
línea p
iezom
étr
ica: Hi
=zi+
γi/g
H
HH=10m
HG=10m
HF =10,46m
HE=10,47m
HD=15,35m
HC=15,36m
HB=15,83m
HA=16,13m
zA=16,13m
10m
G
B
C
E
D
Eje de
referencia
F
D=152mm
L2=210 m
L1=20m
L3=20 m
Ejemplo B Desde un depósito fluye agua a 20ºC por una cañería de acero (e =0,046 mm). El diámetro en
todo el recorrido es de 51 mm. Considerando la viscosidad cinemática del agua de 1.011 x 10-6 m²/s. Determinar:
a. si debe considerar o no las pérdidas localizadas en los accesorios
b. la potencia de la bomba para lograr una velocidad a la salida de 2,5 m/s
c. las alturas piezométricas en cada uno de los puntos indicados en la figura (1 a 7)
d. trazar la línea piezométrica
1
7
6
30
V7=2,5 m/s
30
bomba
nivel de referencia
3
2
50
Autor: Ing. Verónica Monzón
[email protected]
4
5
80
Actualizazión: 06/09/2011
120
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Hidráulica General y Aplicada
Datos:
ε := 0.046mm
z1 := 30m
N
γ := 9810⋅
m
V := 2.5
Velocidad en la
cañería (es la misma
en toda la sección)
V1 := 0
Longitudes parciales
L2_3 := 50m
z7 := 30m
ν 20ºC := 1.011⋅ 10
L1_7 := ( 50 + 80 + 30 + 120) m
3
D := 51mm
π⋅D
Capítulo 8: Línea Piezométrica
EJEMPLOS RESUELTOS
−6 m
⋅
2
s
L1_7 = 280 m
m
s
V2 := V V3 := V V4 := V V5 := V V6 := V V7 := V
L4_5 := 80m
2
Sección de la cañería
A :=
Caudal en la cañería
Q := V7 ⋅ A
A = 0.002 m
4
Q = 0.0051
L5_6 := 30m
L6_7 := 120m
2
m
3
s
a) evaluamos si considerar o no las pérdidas localizadas
Todas las distancias entre accesorios supera esa longitud, por lo que no hace
falta considerarlas
D⋅ 500 = 25.5 m
b) Cálculo de la potencia de la bomba
Ecuación de la energía
entre 1 y 7
 V 2 − V 2
p7 − p1 
7
1
Wbomba = ρ ⋅ Q⋅ 
+ ( u7 − u1 ) + ( z7 − z1 ) ⋅ g +

ρ 
 2
p7 = p1 = 0
V1 := 0
Dividiendo m. a m. por
g, resulta:
 V 2  u − u 

7
7
1
 + ( z7 − z1 )
= ρ ⋅ Q⋅ 
+
g
 2g  g 

 V 2

7
Wbomba = γ ⋅ Q⋅ 
+ ( ∆h1_7 ) + ( z7 − z1 )
 2g

Wbomba
2
L1_7 V7
Con la expreción de
∆h1_7 = f⋅
⋅
Darcy-Weisbach,
D 2g
calculamos las pérdidas
Re :=
Factor de fricción
V7 ⋅ D
Re = 126113
ν 20ºC
h( f) := −
1
f
 ε + 2.51 

 D⋅ 3.7 Re⋅ f 
− 0.86⋅ ln
f = 0.0218
ε
D
= 0.0009
f := 0.01
root( h( f) , f) = 0.0218
f := root( h( f) , f)
f := 0.0218
2
L1_7 V7
∆h1_7 := f⋅
⋅
D 2g
∆h1_7 = 38.14 m
 V 2

7
Wbomba := γ ⋅ Q⋅ 
+ ( ∆h1_7 ) + ( z7 − z1 )
 2g

Autor: Ing. Verónica Monzón
[email protected]
Actualizazión: 06/09/2011
Wbomba = 1926.75 W
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Hidráulica General y Aplicada
Capítulo 8: Línea Piezométrica
EJEMPLOS RESUELTOS
b) Cálculo de las alturas piezométricas de los puntos indicados:
p1 := 0
H1 :=
planteando Ec. de la
energía entre 1 y 2
z1 = 30 m
p1
γ
+ z1
H1 = 30 m
2
2
 p
V2   p1
V1 
2
0=
+ z2 +
 −  + z1 + 2g 
2⋅ g   γ
γ

H2 := H1 −
V2
− H1 + 0
H2 = 29.68 m
siendo V2=V3, resulta
0 = H3 − H2 + ∆h2_3 =>
2
 p
V2
u2 
2
+ z2 +
+
−

2⋅ g
g
γ
H3 = H2 − ∆h2_3
2
L2_3 V3
H3 := H2 − f⋅
⋅
D 2g
H3 = H2 − 0.0218⋅
2
 p
V4
u4 
4
Wbomba = γ ⋅ Q⋅ 
+ z4 +
+

2⋅ g
g
 γ
(
Wbomba = γ ⋅ Q⋅ H4 − H3
H4 := H3 +
2g
2g
2
 p
V3
u3 
3
0=
+ z3 +
+

2⋅ g
g
γ
siendo V3=V4 y
despreciando las
pérdidas, resulta:
2
2
planteando Ec. de la
energía entre 2 y 3
planteando Ec. de la
energía entre 3 y 4
0 = H2 +
V2
siendo
V2 = V3
L2_3 = 50 m
50⋅ m
2
⋅
V
H3 = 22.87 m
51⋅ mm 2⋅ g
2
 p
V3
u3 
3
−
+ z3 +
+

2⋅ g
g 
γ
)
Wbomba
H4 = 61.33 m
γ⋅Q
planteando Ec. de la
Energía entre 4 y 5
2
 p
V5
u5 
5
0=
+ z5 +
+

2⋅ g
g
γ
siendo V4=V5 resulta:
0 = H5 − H4 + ∆h4_5 =>
2
 p
V4
u4 
4
−
+ z4 +
+

2⋅ g
g
γ
H5 = H4. − ∆h4_5
L4_5 := 80m
2
L4_5 V5
H5 := H4 − f⋅
⋅
D 2g
planteando Ec. de la
Energía entre 5 y 6
2
 p

V6
6
0=
+ z6 +
+ u6 
2⋅ g
γ

siendo V5=V6, resulta:
0 = H6 − H5 + ∆h5_6 =>
H5 = 50.43 m
2
 p

V5
5
−
+ z5 +
+ u5 
2⋅ g
γ

H6 = H5. − ∆h5_6
L5_6 := 30m
2
L5_6 V6
H6 := H5 − f⋅
⋅
D 2g
planteando Ec. de la
energía entre 6 y 7:
H6 = 46.35 m
2
2
 p
  p

V7
V6
7
6
0=
+ z7 +
+ u7  − 
+ z6 +
+ u6 
2⋅ g
2⋅ g
γ
 γ

Autor: Ing. Verónica Monzón
[email protected]
Actualizazión: 06/09/2011
siendo
V7 = V6
Pág. 6 de 9
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Hidráulica General y Aplicada
siendo V6=V7, resulta
Capítulo 8: Línea Piezométrica
EJEMPLOS RESUELTOS
0 = H7 − H6 + ∆h6_7 =>
H7 = H6. − ∆h6_7
L6_7 := 120m
2
L6_7 V7
H7 := H6 − f⋅
⋅
D 2g
H7 = 30 m
Como no cambia el diámetro ni el material de la cañería, Re y ε/D se mantienen constante en todo el recorrido, por lo que la
pendiente de la línea piezométrica, entre los tramos, es la misma.
H4=61,44m
H5=50.51m
H6=46.41m
1
línea pie
zomé
H1=30m
H2=29,68m
6
H3=22,85m
30
trica
7
H7=30m
30
bomba
nivel de referencia
4
3
2
5
50
80
120
Ejemplo C. Desde un depósito fluye agua a 20ºC por una cañería de acero (e=0,046 mm). La cañería tiene
un cambio de diámetro a mitad del recorrido según se muestra en la figura. Considerando la viscosidad
cinemática del agua de 1.011 x 10-6 m²/s. Determinar:
a. si debe considerar o no las pérdidas localizadas en los accesorios
b. calcular la altura en A si la velocidad en el tramo 2 es de 2,5 m/s
c. dibujar la línea piezométrica
A
zA=?
B
F
C
Datos:
V2 := 2.5
m
ε := 0.046mm
s
ν := 1.011⋅ 10
−6 m
⋅
D2=50mm
L2=125 m
D1 := 63mm
2
γ agua := 9810⋅
s
D2 := 50mm
N
m
zB := 0m
zC := 0m
zD := 0m
zF := 10m
L1 := 125m
L2 := 125m
LB_E := L1 + L2
LB_E = 250 m
Autor: Ing. Verónica Monzón
[email protected]
10m
Eje de
referencia
E
D
D1=63mm
L1=125 m
El.10 m
Actualizazión: 06/09/2011
3
zE := 0m
Pág. 7 de 9
UTN - FRBA
Hidráulica General y Aplicada
Sección de la cañería
A1 :=
Capítulo 8: Línea Piezométrica
EJEMPLOS RESUELTOS
π ⋅ D1
2
A1 = 0.0031 m
4
Caudal en la cañería
Q := V2 ⋅ A2
Por continuidad,
planteo V1
V1 :=
Q = 0.0049
Q
V1 = 1.57
A1
m
2
A2 :=
3
π ⋅ D2
2
A2 = 0.002 m
4
2
s
m
s
a) evaluamos si considerar o no las pérdidas localizadas
Longitud total cañería
L1 = 125 m
Longitud total
equivalente de la
cañería
L1 + L2_equiv = 521.97 m
L2 = 125 m
Cantidad de pérdidas
localizadas
n := 3
Longitud promedio
entre pérdidas
localizadas
Lprom :=
Longitud de
comparación
D1 ⋅ 500 = 31.5 m
L1 + L2_equiv
n
 D1 
L2_equiv := L2 ⋅  
 D2 
5
L2_equiv = 396.97 m
Lprom = 173.99 m
Conclusión: como Lprom es > que D*500 entonces no tenemos en cuenta las pérdidas localizadas
b) Cálculo de la altura en A: zA
Ecuación de la energía
entre A y F
 V 2 − V 2
pF − pA
F
A
Q − Weje = ρ ⋅ Q⋅ 
+ ( uF − uA) + ( zF − zA) ⋅ g +

ρ 
 2
Como en nuestro caso: VF = VA = 0
Dividiendo m. a m. por
g, resulta:
Por la ecuación de
Darcy-Weisbach,
podemos poner
Pero al tener dos
tramos de cañerías de
distinto diámetro,
debemos poner:
zA = zF +
uF − uA
g
Weje = Q = 0
 uF − uA 


 g 
[1]
2
L V
= ∆HA_F = f⋅ ⋅
D 2g
n
∆HA_F =
pA = pF = 0
∑
i =1
[2]
2
2
 L V 2
L1 V1
L2 V2
 i i 
 fi ⋅ Di ⋅ 2g  = f1⋅ D1 ⋅ 2g + f2⋅ D2 ⋅ 2g


2
[3]
2
L1 V1
L2 V2
Reemplazando [3] en [2] y a
zA = zF + f1 ⋅ ⋅
+ f2 ⋅ ⋅
su vez en [1], resulta:
D1 2g
D2 2g
Autor: Ing. Verónica Monzón
[email protected]
Actualizazión: 06/09/2011
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UTN - FRBA
Hidráulica General y Aplicada
Capítulo 8: Línea Piezométrica
EJEMPLOS RESUELTOS
Datos:
V1,V2, D1,
D2, L1, L2, ν,
ε
Estamos ante el primero de los tres casos típicos planteados en el Capítulo 8, punto 8.9 ----------------------->
Calculo los datos
necesarios para
encontrar los factores
de fricción
ε
D1
ε
= 0.00073
Re1 :=
D2
V1 ⋅ D1
Re2 :=
ν
Re1 = 98127
Factor de fricción f1
por fórmula de
Colebrook-White
( )
h f1 := −
1
f1
V2 ⋅ D2
Planteo ecuación de la
energía en la instalación
ν
Re2 = 123640
 ε
− 0.86⋅ ln

D1 ⋅ 3.7


Re 1 ⋅ f1 
Calculo las pérdidas por
la ecuación de DarcyWeisbach
2.51
+
(( ) )
f1 := 0.01
Factor de fricción f2
por fórmula de
Colebrook-White
= 0.00092
f1 := root h f1 , f1
f1 = 0.0217
Como el factor de fricción
es función de:
f=F(ε/D;Re), calculo:
ε/D1, ε/D2 y Re1 y Re2
 ε + 2.51 
h( f2 ) := −
− 0.86⋅ ln

f2
 D2⋅ 3.7 Re2⋅ f2 
1
(( ) )
f2 := 0.01
f2 := root h f2 , f2
f2 = 0.0219
Calculo el factor de
fricción con el diagrama
de Moody o la fórmula de
Colebrook-White (si es
agua, se puede utilizar
Hazen y Williams)
2
L1 V1
∆H1 := f1 ⋅ ⋅
D1 2g
∆H1 = 5.44 m
2
L2 V2
∆H2 := f2 ⋅ ⋅
D2 2g
∆H2 = 17.44 m
2
Reemplazando [3] en
[2] y a su vez en [1],
resulta:
2
L1 V1
L2 V2
zA := zF + f1 ⋅ ⋅
+ f2 ⋅ ⋅
D1 2g
D2 2g
Con el factor de fricción
f1 y f2, se resuelve el
problema
2
 m
 2.5⋅ 
125⋅ m V1
125⋅ m 
s
zA = 10⋅ m + f1 ⋅
⋅
+ f2 ⋅
⋅
= 32.87 m
2
63⋅ mm 2⋅ g
50⋅ mm
2⋅ g
c) Trazado de la línea piezométrica
El.33,11m
H1=5,5m
A
33,11m
B
∆H2=17,6m
F
C
D
E
D2=50mm
D1=63mm
L1=125 m
Autor: Ing. Verónica Monzón
[email protected]
El.10 m
10m
Eje de
referencia
L2=125 m
Actualizazión: 06/09/2011
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