CES y sus casos especiales

CES y sus casos especiales
Claudia Aburto
La función de utilidad CES (elasticidad de sustitución constante, por sus siglas en inglés) está dada
por:
γ
ρ ρ
ρ
U ( x, y ) = A(α x + β y ) ........................(1)
En donde
ρ ≤1
es el parámetro de sustitución
γ >0
es el parámetro que determina el grado de homogeneidad de la función.
α y β >0 son parámetros que representan las preferencias relativas que el individuo tiene por
los bienes.
1) Grado de homogeneidad. Vamos a ver que esta función de utilidad es homogénea de
grado γ :
Para ver si la función de utilidad CES es o no homogénea necesitamos multiplicar todas sus
variables por una constante (λ) de tal forma que si esta puede ser factorizada, la función es
homogénea y el exponente al que esté elevada dicha constante λ nos dice el grado de
homogeneidad de la función.
(
U (λ x, λ y) = A α ( λ x ) + β ( λ y )
ρ
( (α x
=A λ
ρ
ρ
+βy
ρ
))
ρ
γ
ρ
)
γ
ρ
= A (αλ x + βλ y
ρ
γ
ρ
ρ
ρ
)
γ
ρ
γ
= A λ ρ  ρ (α x ρ + β y ρ ) ρ
γ
= Aλ γ (α x ρ + β y ρ ) ρ = λ γ U ( x, y ) ⇒ Homogénea de grado γ
2) Tasa Marginal de Sustitución.
Ya sabemos que la tasa marginal de sustitución (TMS) está dada por la razón de las utilidades
marginales de los bienes : TMS = UMgx/UMgy
En el caso de la función de utilidad CES, las utilidades marginales de x e y son:
UMg x =
γ −ρ
∂U ( x, y ) γ
= A (α x ρ + β y ρ ) ρ ρα x ρ −1 ..........................................(2)
∂x
ρ
UMg y =
γ −ρ
∂U ( x, y ) γ
= A (α x ρ + β y ρ ) ρ ρβ y ρ −1 .........................................(3)
∂y
ρ
Por tanto, la TMS es:
γ −ρ
γ
ρ
ρ
A (α x + β y ) ρ ρα x ρ −1
ρ −1
1− ρ
α x
α  y
ρ
TMS =
=   =  
γ −ρ
β  y
β x
γ
ρ
ρ
ρ −1
ρ
A (α x + β y ) ρβ y
ρ
1
.............(4)
A partir de la TMS se puede ver que las preferencias son homotéticas, ya que dicha tasa depende
de la razón de las cantidades de ambos bienes.
3) Elasticidad de sustitución.
La elasticidad de sustitución nos dice que tan fácil es sustituir un bien por otro dentro de la función
de utilidad. Dicha elasticidad está definida como:
∆% y  d  y 
 x  =  x  TMS ...............................................(5)
σ=
dTMS  y 
∆%TMS
 x


Si derivamos totalmente la TMS (4) con respecto a y/x, tenemos que:
dTMS
α  y
= (1 − ρ )  
β x
d  y 
 x
−ρ
.........................................................(6)
De tal forma que si sustituimos (6) en (5) tenemos que:
σ=
1
(1 − ρ ) α  y 
β x
−ρ
α  y
 
β x
1− ρ
y
x
Eliminando términos, tenemos que la elasticidad de sustitución de una función de utilidad CES está
dada por:
σ=
1
..........................................................................................(7)
1− ρ
2
4) Comportamiento de la TMS.
Ahora nos interesa ver como es la curvatura de las funciones de utilidad y para eso necesitamos
ver como cambia la TMS al cambiar x.
Lo que necesitamos hacer entonces es derivar la TMS (4) con respecto a x. Es importante notar
que esta derivada es una derivada total ya que un cambio en la TMS implica un cambio tanto en x
como en y.
De esa forma tenemos que:
dTMS
dx
−ρ
U =U 0
α  y  y'x− y
= (1 − ρ )   ⋅
β x
x2
dy
En donde: y ' =
= −TMS
dx U =U 0
dTMS
⇒
dx
−ρ
U =U 0
α  y  − x ⋅ TMS − y
= (1 − ρ )   ⋅
β x
x2
−ρ
α  y   x ⋅ TMS + y 
= −(1 − ρ )   

x2
β x 

Cuyo signo, como puede apreciarse, dependerá del valor de
ρ <1
• Si
entonces
dTMS
dx
ρ:
< 0 . Es decir, la TMS es decreciente (Curvas de indiferencia
u =u0
son estrictamente convexas)
ρ = 1 , entonces
• Si
dTMS
dx
= 0 . Es decir, la TMS es constante (Curvas de indiferencia son
u =u0
líneas rectas). Es decir los bienes x y y son sustitutos perfectos.
ρ > 1 , entonces
• Si
dTMS
dx
> 0 . Es decir, la TMS es creciente (Curvas de indiferencia son
u =u0
cóncavas). Para evitar estos casos es que desde el principio la CES se define para
ρ ≤ 1.
5) Casos Especiales.
Ahora bien, si
•
ρ =0
ρ ≤ 1 podemos identificar tres casos especiales:
En este caso, la ecuación (4) queda como TMS =
α y
β x
que es la TMS de la
función de utilidad Cobb Douglas. Esta TMS es decreciente y por lo tanto las curvas de
indiferencia son estrictamente convexas. Es decir si ρ = 0 la CES produce una CobbDouglas.
En este caso la elasticidad de sustitución (7) es igual a 1 (σ=1)
•
ρ =1
En este caso, la ecuación (4) queda como TMS =
α
β
. Es decir la TMS es
constante. Las curvas de indiferencia son convexas (pero NO estrictamente). Es decir
son líneas rectas. En este caso, los bienes x y y son sustitutos perfectos.
En este caso la elasticidad de sustitución (7) es infinita o indeterminada (σ=∞).
3
•
ρ = −∞
En este caso, la ecuación (4) queda como TMS =
α y∞
β x∞
. De tal forma que:
si x<y entonces la TMS → ∞
si x>y entonces la TMS → 0
Esto hace que las curvas de indiferencia tengan la siguiente forma:
Si
y
x < y ⇒ TMS = ∞
Unidades adicionales
de y, manteniendo x constante no cambian la
utilidad. ⇒ Unidades adicionales de y son
neutrales a la utilidad.
Si
x > y ⇒ TMS = 0
Unidades adicionales
de x, manteniendo y constante no cambian la
utilidad. ⇒ Unidades adicionales de x son
neutrales a la utilidad.
y
x
x
En este caso, los bienes x y y son Complementos Perfectos y la elasticidad de
sustitución es cero (σ=0).
De esta forma, la función de utilidad CES nos ofrece, a través del valor del parámetro de
sustitución (ρ), el siguiente espectro :
ρ=1
ρ=0
ρ=-∞
Sustitutos
Perfectos.
Cobb Douglas.
Complementos
Perfectos.
Complementos
Brutos.
Sustitutos
Brutos.
4