limites continuidad

Repartido N° 3
Limites de Funciones
3° E.M.T Matematica A La Blanqueada
Ejercicio nº 1.Calcula:
2
a) lim3  x 
x 2

b) lim 1   2 x
x  8

c) lim sen x
x

2
Evaluación:
Fecha:
Solución:
a) lim 3  x   52  25
2
x  2


b) lim 1   2 x  1  16  1  4  5
x  8
c ) lim sen x  sen
x

2

2
1
Ejercicio nº 2.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y
por la derecha de x  0:
2x  1
lim 2
x 0 x  2 x
Solución:
2x  1
lim
x  2x
2
x 0
 lim
x 0
2x  1
x x  2
Calculamos los límites laterales:
lim
x 0
2x  1
x  2x
2
 
lim
x 0
2x  1
x 2  2x
 
Ejercicio nº 3.Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:
lim
x 1
x 2  4x  5
x 3  3x 2  3x  1
1
Solución:
lim
x 1 x 3
x 2  4x  5
 3x  3x  1
2
 lim
x 1
x  1x  5  lim x  5
x 1 x  12
x  13
 
1
Ejercicio nº 4.Calculael límitecuando x   y cuando x    dela siguientefunción
y representa la información que obtengas:
f x  
1 2x 2  4 x
3
Solución:
1  2x 2  4 x
 
x  
3
lim
1  2x 2  4 x
 
x  
3
lim
Ejercicio nº 5.Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
3x
5  3x
3x
b) lim
x  5  3 x
a) lim
x 
Solución:
3x
3
 1
x  5  3 x
3
a) lim
1
2
b) lim
x 
3x
1
5  3x
1
Ejercicio nº 6.Esta es la gráficade la función f x  :
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
a) ¿Es continua en x = 2?
b) ¿Y en x  0?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.
Solución:
a) No es continua en x  2 porque no está definida, ni tiene límite finito en ese punto. Tiene
una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).
b) Sí es continua en x  0.
Ejercicio nº 7.Calcula a para que la función fx sea continua en x  1:
x + 3
f x   2
2x  a
si
x  1
si
x  1
Solución:
lim f  x   lim  x  3   2



lim f  x   lim 2x 2  a  2  a 
x 1
x 1

f  1  2


x 1
x 1


3
Para que sea continua en x   1, lim f  x   lim f  x   f  1. Por tanto, 2  a  2  a  0
x 1
x 1
Ejercicio nº 8.Dada la función:
f x  
1
x  2x  1
2
halla sus asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas.
Solución:
 x 2  2x  1  0

x  1
Solo tiene una asíntota vertical: x  1
Posición de la curva respecto a la asíntota:
1
x  2x  1
2
lim
x  1

1
x  1
2
1
x  12
 lim 
x  1
1
x  12
 
1
Ejercicio nº 9.Halla las ramas infinitas, cuando x   y x   de la siguientefunción y representa
los resultados obtenidos:
f x  
x3 x2

 2x
3
2
Solución:
 x3 x2

lim 

 2 x   


x  
2
 3

 x3 x2

lim 

 2 x   

x    3
2


4
Ejercicio nº 10.Dada la función:
x3 1
x 3
halla sus ramas infinitas,cuando x   y cuando x  , y representalosresultados
obtenidos.
f x  
Solución:
lim
x3 1
 
x3
lim
x3 1
 
x3
x  
x  
Ejercicio nº 11.Halla las ramas infinitas,cuando x   y cuando x  , de la siguientefunción y
representa los resultados que obtengas:
f x  
2x 2  1
x2 1
Solución:
lim
x  
lim
2x 2  1
x2 1
2x 2  1
x2 1
x  
2
2
2
5
Con calculadora podemos comprobar que:
 Dando valores muy grandes y positivos
asíntota y  2.
 Dando valores muy grandes y negativos
 x   , la curva va por debajo de la
 x  , la curva va por debajo de la
asíntota y  2.
Ejercicio nº 12.a) La siguiente función, ¿tiene una asíntota horizontal o una asíntota oblicua?
f x  
3x 2  2
x 2
b) Halla la asíntota horizontal u oblicua) y representa la posición de la curva respecto a
ella.
Solución:
a) Como el grado del numerador es una unidad más que el grado del denominador, la función
tiene una asíntota oblicua.

3x 2  2
10
 3x  6 
x2
x2
 Asíntota oblicua: y  3x  6
 Cuando x  ,
10
 0  La curva está por encima de la asíntota.
x2
 Cuando x  ,
10
 0  La curva está por debajo de la asíntota.
x2
• Representación:
2
y=3x6
6
Ejercicio nº 13.Estudia la continuidad de la función:
6
 1
x 2

f x   2
x  x
2
si x  1
si  1  x  2
si x  2
Solución:
1
no está definido en x  2, valor que pertenece a la
x2
semirrecta x < 1. Luego f x es discontinua en x  2.
El primer tramo de función y 
En los otros dos tramos, hay una función cuadrática y una función constante, ambas continuas
en todo .
Estudiamos la continuidad de los puntos de ruptura:
• x  1:
f  1   1   1  2


1
1

lim f  x   lim

1
x 1 x  2
x 1
1  2

lim f  x   lim x 2  x  1  1  2
x 1
x 1

2


No existe lim f  x  , luego la función es discontinua en x  1.
x 1
Se produce un salto en x  1.
• x  2:



lim  f  x   lim x 2  x  2  lim f  x   f  2   2
x 2
x 2
x 2

lim f  x   lim 2  2

x 2
x 2

f  2  2


La función f x es continua en x  2.
Luego fx es continua en todo  excepto en x  2 y x  1.
Ejercicio nº 14Calcula estos límites:
a) lím 3 x 2  x 9  1

x  

ex
x  x  1
b) lím
Solución:
 9
a) lím 3 x 2  x 9  1  lím  x 2   
 x  
x  



ex
ex
0
 lím

0
x  x  1
x   x  1

b) lím
7
Ejercicio nº 15.Halla los límites:
a) lím  5 x 2  2 x  3 x 

x   

x 2  3x  1
b) lím
x  
x 6  2x
Solución:
 5 x 2  2 x  3 x   5 x 2  2 x  3 x 


a) lím  5 x  2 x  3 x   lím 
 x 
x  
2

5 x  2x  3 x
2
 lím
5 x 2  2x  9 x 2
x 
b) lím
x 2  3x  1
x  
x 6  2x
 lím
5 x 2  2x  3 x
x 2  3x  1
x  
x 6  2x
 lím
x 
 4 x 2  2x
5 x 2  2x  3 x
 
0
Ejercicio nº 16.Calcula los siguientes límites:
 2x  1 
a) lím 

x  3 x  2


x2
 2x  2 
b) lím 

x  3  2 x


x 1
Solución:
 2x  1 
a) lím 

x  3 x  2


x2
 2x  2 
b) lím 

x  3  2x


x 1
  2x  1 
 lím 

x   3 x  2


x2
 2 x 2 
lím 
1 ·  x 1

 e x   32 x
2
 
3

0
 2 x  2 3  2 x 
lím 
 ·  x 1
3 2 x

 e x  
lím
5 x 5
5
 e x  32 x  e 2
Ejercicio nº 17.Halla el valor del siguiente límite:
2 x 2  x  10
lím 3
x 2 x  3 x 2  4
Solución:
2x  5 x  2  lím 2x  5  9
2x 2  x  10
 lím
2
x 2 x 3  3 x 2  4
x 2 
x 2 x  1 x  2
(0)
x  1 x  2
lím
Hallamos los límites laterales:
lím
x 2
2x  5
x  1 x  2
  ;
lím
x 2
2x  5
x  1 x  2
 
Ejercicio nº 18.Calcula el límite:
8
3x
 2 x  4  x 1
lím  2

x 1
 x  x 6
Solución:
3x
 2x 4

 2 x  4 x 2  x 6  3 x
·
lím 
 x 1
x 2  x 6

3x
lím 
1 ·
2
x 1 
 2x  4  x 1
x 1
lím  2
 e x 1  x  x 6 
e 

x 1
 x x 6
e
lím
x 1
3 x ( x 2) ( x 1)
( x 2  x 6) ( x 1)
e
lím
x 1
3 x ( x 2)
x 2  x 6
3
e
lím
(  x 2 3 x 2 ) ( 3 x )
x 1 ( x 2  x  6 ) ( x 1)

1
 e6  e2
Ejercicio nº 19.Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua,
indica el tipo de discontinuidad que presenta:
f x  
3x 2  2x  8
x 2  3 x  10
Solución:
f x  
3x 2  2x  8 3x  4 x  2

x 2  3x  10 x  5 x  2
 Dominio    {5, 2}
f (x) es continua en   {5, 2}.
 Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x  5 y en x  2:
lím f x   lím
x  5
x 5
3 x  4 11

. Hallamoslos límiteslaterales:
x 5
(0 )
lím f x    ;
x  5 
lím f x   
x  5 
Discontinuidad de salto infinito en x  5.
límf x   lím
x 2
x 2
3 x  4 10

x 5
7
Discontinuidad evitable en x  2.
Ejercicio nº 20.Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:
 3x  a

f x   2 x 2  bx  a
 3x  1

si
si
si
x 1
1 x  2
x 2
9
Solución:
 Dominio  
 Si x  1 y x  2  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
 En x  1:
lím f x   lím 3 x  a   3  a




lím f x   lím 2 x 2  bx  a  2  b  a 
x 1
x 1



f 1  2  b  a
x 1
x 1


Para que f (x) sea continua en x  1, ha de ser:
3  a  2  b  a  2a  b  1
 En x  2:


lím f x   lím 2x 2  bx  a  8  2b  a
x 2


lím f x   lím 3 x  1  7

x 2 
x 2



f 2  7
x 2 
Para que f (x) sea continua en x  2, ha de ser:
8  2b  a  7  a  2b  1
 Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que:
2a  b  1  b  1  2a

a  2b  1 a  21  2a   1  a  2  4a  1  3a  3  a  1 ;
b  1
Ejercicio nº2 1.Halla los límites siguientes:
x 3
a) lim 2
x 2 x  x  1
b) lim 6  3 x
x  1
c) lim log x
x 1
Solución:
Evaluación:
x 3
1
1
a) lim 2


x 2 x  x  1
4  2 1 7
b) lim 6  3 x  6  3  9  3
Fecha:
x 1
c) lim log x  log 1  0
x 1
Ejercicio nº 22.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y
10
por la derecha de x  2:
lim
x 2
x 1
x  22
Solución:
lim
x 2
x 1
x  2 
2
 lim
x 2
x 1
x  2 
2
 lim
x 2
x 1
x  2 2
 
2
Ejercicio nº 23.Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:
x2  4
x 2 2 x  4
lim
Solución:
x  2x  2  lim x  2   4  2
x2  4
 lim
x  2 2 x  4
x  2
x  2
2x  2
2
2
lim
2
2
Ejercicio nº2 4.Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
2
a) lim 4  x 
x 
b) lim 4  x 
2
x 
Solución:
a) lim 4  x   
2
x 
b) lim 4  x   
2
x 
11
Ejercicio nº25.Hallael límitecuando x   y cuando x   de la siguientefunción,
y representa los resultados que obtengas:
f x  
x 2
1  x 3
Solución:
lim
x2
x  
1  x 
3
0
lim
x  
x2
1  x 3
0
Ejercicio nº26.A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x  0 y en x  3. En el caso
de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
Solución:
En x = 0, sí es continua.
En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en
ese punto (una asíntota vertical).
Ejercicio nº2 7.Estudia la continuidad de la función:
x 1

f x    3
2

 x  15
si
x4
si
x4
Solución:
Si x  4, la función es continua.
Si x  4:
12
x 1
1
3



lim f  x   lim x 2  15  1 También es continua en x  4 porque lim f  x   f  4  .
x 4
x 4
x 4

f  4  1


lim f  x   lim
x  4
x 4


Ejercicio nº2 8.Averigua las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:
f x  
x 3
x  x 2
2
Solución:
 x2  x  2  0

x
 x  1
1 1 8 

2
x  2

Las asíntotas verticales son x  1 y x  2.
• Posición de la curva respecto a las asíntotas:
x3
x x2
2
lim 
x 1
lim
x 2

x3
x  1x  2
x 3
x x 2
x 3
2
x2  x  2
 
 
1
x 3
 
x x 2
x 3
lim
 
x 2 x 2  x  2
lim 
x 1
2
2
Ejercicio nº 29.Halla las ramas infinitas, cuando x   y cuando x  , de la función:
f x 
x 3  x
2
Representa gráficamente los resultados obtenidos.
Solución:
x3  x
 
x 
2
x3  x
lim
 
x 
2
lim
13
Ejercicio nº 30.Halla las ramas infinitas, cuando x   y cuando x  , de la siguientefunción y
representa los resultados que obtengas:
f x  
x 4  2x
x2 1
Solución:
lim
x  
lim
x  
x 4  2x
x2 1
x 4  2x
x2 1
 
 
Ejercicio nº 31.Estudia y representa el comportamiento de la siguiente función cuando x   y
cuando x  :
f x  
1  3x
2x
Solución:
1  3 x 3

3
2x
1
1  3x
lim
3
x   2  x
lim
x  
3
Ejercicio nº 32.Estudia y representa el comportamiento de la siguiente función cuando x   y
cuando x  . Si tiene alguna asíntota, representa la posición de la curva respecto a
14
ella:
f x  
x3
x2 1
Solución:

x3
x
x 2

x 1
x 1
Asíntota oblicua: y  x
2
 Cuando x  ,
x
0 
x2  1
 Cuando x  ,
x
 0  La curva está por encima de la asíntota.
x2  1
La curva está por debajo de la asíntota.
• Representación:
1
y=x
1
Ejercicio nº 33.Halla la asíntota horizontal de dada una de las funciones siguientes:
a y  1  3x
b y  3x  1
c y  0,7x  2
d y  0,5x  1
Solución:


lim 1  3   1;
a) lim 1  3 x   ; no tiene asíntota horizontal hacia  .
x 
x
x 
y  1 es asíntota horizontal hacia  .
b) lim 3 x 1   ; no tiene asíntota horizontal hacia  .
x 
lim 3 x 1  0; y  0 es asíntota horizontal hacia  .
x 


c) lim 0,7 x  2  2;
x 
lim 0,7 x  2   ;
x 
d) lim 0,5 x 1  0;
x 
lim 0,5 x 1   ;
x 
y  2 es asíntota horizontal hacia  .
no tiene asíntota horizontal hacia  .
y  0 es asíntota horizontal hacia  .
no tiene asíntota horizontal hacia  .
15
Ejercicio nº 34.Calcula los siguientes límites:
3x
a) lím x 3  log x
b) lím 2
x 
x  x  1


Solución:
a) lím x 3  log x  


x 
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.
3x
3x
0
 lím 2

0
2
x   x  1
x   x  1

b) lím
Ejercicio nº 35.Calcula los límites:
a) lím  3 x 2  1  2 x 

x   

3
b) lím
x  
2x 5  1
x4 2
Solución:
 3 x 2  1  2 x   3 x 2  1  2 x 
2
2

  lím 3 x  1  4 x 
2


a) lím 3 x  1  2 x  lím 
 x 
x  
x 

3 x 2  1  2x
3 x 2  1  2x
 lím
x  
3
b) lím
x 
2x 5  1
 lím
x  
x4  2
3
 x2 1
3 x 2  1  2x
 2x 5  1
x4  2
 
0
Ejercicio nº 36.Halla:
 5x  2 
a) lím 

x  4  5 x


2x
3
 4x  2 
b) lím 

x  3 x  5


x 2 1
Solución:
2x
 5 x 2
 2x
3
lím 
1 ·
 5x  2  3
4 5 x 
a) lím 
  e x  
x  4  5 x


 4x  2 
b) lím 

x  3 x  5


x 2 1
 5 x  2  4 5 x  2 x
lím 
 · 3
4 5 x

 e x  
  4x  2 
 lím 

x   3 x  5


x 2 1
4
 
3
lím
12 x
12
 e x  1215 x  e 15  e
4
5

 
Ejercicio nº 37.Calcula el límite:
16
3x 2  x  2
x 1 x 3  x 2  x  1
lím
Solución:
x  1 3x  2  lím 3x  2   5
3x 2  x  2
 lím
3
2
2
x 1 x  x  x  1
x 1 
x  1 x  1 x 1 x  1 x  1 (0)
lím
Hallamos los límites laterales:
lím
x 1
3x  2
x  1 x  1
  ;
lím
x 1
3x  2
x  1 x  1
 
Ejercicio nº 38.Halla el límite:
3
 x 2  3x  1 x

lím 

x 0
 5x  1 
Solución:
 x 2 3 x 1  3

1 ·

5 x 1
 x
3
lím
 x 2  3x  1 x
x 0 
 e 
lím 

x 0
 5x  1 
lím
 e x 0
3  x 8 
5 x 1
e
 x 2 3 x 15 x 1  3
·
lím 

5 x 1

 x
x 0 
lím
 e x 0
x 2 8 x 3
·
5 x 1 x
3 x  x 8 
lím
 e x 0 x 5 x 1 
 e 24
Ejercicio nº39.Estudia la continuidad de la función:
 ex

f x    3 x 2  1
4  ln x

si
si
x 0
0 x 1
si
x 1
Solución:
 Dominio  
 Si x  0 y x  1  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
 En x  0:
lím f x   lím e x  1




2
lím f x   lím 3 x  1  1 f x  es continua en x  0.
x 0
x 0



f 0   1

x 0 
x 0


 En x  1:
17


lím f x   lím 3 x 2  1  4 
x 1


lím f x   lím 4  ln x   1 f x  es continua en x  1 .
x 1
x 1



f 1  4
x 1
 Por tanto, f (x) es continua en .
Ejercicio nº 40.Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:
 2x  a
f x    2
 x  3a  5
x 1
x 1
si
si
Solución:
 Si x  1  la función es continua, pues está formada por funciones continuas.
 En x  1:






lím f x   lím x 2  3a  5  6  3a 
x 1
x 1



f 1  2  a
lím f x   lím 2 x  a  2  a
x 1
x 1


Para que f (x) sea continua en x  1, ha de ser:
2  a  6  3a  4a  4  a  1
Ejercicio nº 41.-
Calcula el límitede la función f x   
x4 x

en x  1 y en x  3.
3
2
Solución:
 x4 x  1 1 1
lim  
 
 
x 1 
2 
3
2 6
 3
 x4 x 
3
51
lim  
   27   

x 3 
3
2
2
2


Ejercicio nº 42.-
Fecha:
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la
derecha de x  3:
1
lim 2
x 3 x  9
Solución:
18
lim
1
x 3
x 9
2
 lim
x 3
1
x  3 x  3 
Calculamos los límites laterales:
lim
x 3
1
x 9
2
 
lim
x 3
1
x 9
2
 
3
Ejercicio nº 43.Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.
2 x 2  12 x  18
x 3
x2  x 6
lim
Solución:
lim
x 3
2x 2  12x  18
x2  x  6
2x  3
2x  3
 lim
0
x 3 x  3 x  2
x 3 x  2
 lim
2
3
Ejercicio nº 44.Hallael límitecuando x   de las siguientesfuncionesy representagráficamente
la información que obtengas:
x x3

1
2
2
 3x 2  2x 3
b) f x  
5
a) f x  
Solución:
 x x3

a) lim  
 1  
x   2
2


19
b) lim
x  
 3 x 2  2x 3
 
5
Ejercicio nº 45.Halla los siguientes límites y representa los resultados obtenidos:
a) lim
x  
1
1  x 3
3  x3
x 
x2
b) lim
Solución:
a) lim
x  
b) lim
x  
1
0
1  x 3
3  x3
x2
 
Ejercicio nº 46.La siguientegráficacorresponde a la función f x  :
20
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
Di si es continua o no en x  1 y en x  2. Si en alguno de los puntos no es continua,
indica cuál es la causa de la discontinuidad.
Solución:
En x  1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que
lim f  x   lim f  x .
x 1
x 1
En x  2 sí es continua.
Ejercicio nº4 7.Estudia la continuidad de la función:
2 x 2  1 si

f x    x  2
si

 2
x 0
x 0
Solución:
Si x  0, la función es continua.
lim f x   lim 2x 2  1  1
x 0 
x 0


 x  2
lim f x   lim 
  1  Es continua en x  0 porque lim f x   f 0.
x 0
x 0
x 0 
2 

f 0  1




Ejercicio nº 48.Halla las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:
f x  
2x  1
x2 1
Solución:
 x2  1  0

x  1 ;
x  1.
Las asíntotas verticales son x  1 y x  1.
21
• Posición de la curva respecto a ellas:
2x  1
lim
x  1
lim
x 1
x  1x  1
2x  1
x 1
2
 
 
1
2x  1
lim
x  1
lim
x 1
x2 1
2x  1
x2 1
 
 
1
Ejercicio nº49.Halla las ramas infinitas, cuando x  , de las siguientesfuncionesy representala
información que obtengas:
a) f x   x  2
4
b) f x   x  x 2
Solución:
a) lim x  2  
4
x 


b ) lim x  x 2  
x  
Ejercicio nº 50.Halla las ramas infinitas, cuando x   y cuando x  , de la función:
f x  
2x 3  x
1 x
Representa la información obtenida.
Solución:
22
2x 3  x
 
x   1  x
2x 3  x
lim
 
x   1  x
lim
Ejercicio nº 51.Estudiael comportamiento de la siguientefunción,cuando x   y cuando x  , y
representa las ramas que obtengas:
f x  
x 1
2x 2  2
Solución:
lim
x  
lim
x  
x 1
2x 2  2
x 1
2x 2  2
0
0
Asíntota horizontal y=0
Ejercicio nº 52.La siguiente función tiene una asíntota oblicua. Hállala y sitúa la curva respecto a ella:
f x  
x 2  2x
x 1
Solución:

x 2  2x
1
 x  1

x 1
x 1
Asíntota oblicua: y  x  1
 Cuando x  ,
1
 0  La curva está por debajo de la asíntota.
x 1
 Cuando x  ,
1
 0  La curva está por encima de la asíntota.
x 1
• Representación:
23
1 y=x+1
1
Ejercicio nº 53.Calcula los siguientes límites.
 2x  1
a) lim 

5x 
x  
x2 3
x
b) lim
x 
9x 2  1
2x
c) lim
x 
d) lim
x 
2 x
x2  5
2x  1
2x  3
Solución:
 2x  1
lim 

x   5 x 
a)
b)
2 x
lim
c)
lim
 2x  1  x
 lim 

x   5 x 
x 2 3
x
2
 
5
lim
3x 3
9x 2  1
9x 2
 lim
 lim

2x
2
x  2 x
x  2 x
lim
x 
0
2 x
 2
x  x
x 5
2

 lim
x 
x 
d)
x2 3
x
2x  1
2x
 lim
 lim 1  1  1
2 x  3 x  2 x x 
Ejercicio nº 54.Calcula:


a) lím e x  x 2  1
x  
x 4  3x
x   log x 2
b) lím
Solución:


a) lím e x  x 2  1  
x 
Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una
potencia.
x 4  3x
x 4  3x
 lím
 
2
x   log x
x   log x 2
b) lím
Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo.
24
Ejercicio nº 55.Calcula los siguientes límites:
3x  2
a) lím
b) lím  x 2  3 x  2 x 

x  
x   
2

5x  3x  1
Solución:
a) lím
3x  2
x  
5x  3x  1
2
3


5
3 5
5
 x 2  3 x  2 x   x 2  3 x  2 x 


b) lím  x 2  3 x  2 x   lím  x 2  3 x  2 x   lím 
 x  
 x 
x  
2

x  3 x  2x
 lím
x 2  3x  4x 2
x  
x 2  3x  2x
 lím
x  
 3x 2  3x
x 2  3 x  2x
 
Ejercicio nº 56.Calcula:
1

a) lím  2  
x  
x

2 x 3
 3x 2
b) lím 
x   2  3 x 2





x 1
2
Solución:
1

a) lím  2  
x  
x

2 x 3
 3x 2
b) lím 
x   2  3 x 2





1

 lím  2  
x  
x

x 1
2
e
2 x  3
 2   0
 3x2
  x 1 
lím 
1 · 

  2 


x    2  3 x 2
e
 3 x 2  2 3 x 2
lím 
2
 23 x
x   
  x 1 
·

  2 

lím
2 x 2
 e x  4 6 x  e 0  1
2
Ejercicio nº57.Halla el límite:
x  1
 2x
lím  2

x 3 x  9
x  3 

Solución:


x  1
2 x  x  1 x  3 
2x  x 2  4 x  3
 2x
lím  2


lím

lím

x 3 x  9
x 3
x  3  x  3 
x  3  x 3 x  3  x  3 

 x 2  2x  3  18

x 3 x  3 x  3
(0)
 lím
Hallamos los límites laterales:
lím
x 3
 x 2  2x  3
  ;
x  3 x  3
lím
x 3
 x 2  2x  3
 
x  3 x  3
Ejercicio nº 58.-
25
Calcula:
2x
 2 x 2  x  1  x 3

lím 

x 3
 4x  4 
Solución:
 2 x 2  x 1  2 x

1 ·
 x 3
4 x 4

2x
lím
 2 x 2  x  1  x 3
x 3 


lím 

e

x 3
4
x

4


e
 2 x 2  x 1 4 x  4  2 x
·
lím 

 x 3
4 x 4


x 3
2 x 1 x 3  2 x 
2 x 1 2 x 
42
e
lím
x 3
2 x 2 5 x 3 2 x
·
4 x 4
x 3

21
lím
lím
 e x 3 4 x 4  x 3   e x 3 4 x 4   e 16  e 8
Ejercicio nº 59.Dada la función f x  
3 x 3  15 x 2  x  5
, estudia su continuida d. Indica el tipo de
x 2  3 x  10
discontinuidad que hay en los puntos en los que no es continua.
Solución:
f x  


3 x 3  15 x 2  x  5 x  5 3 x 2  1

x  5 x  2
x 2  3 x  10
 Dominio    {5, 2}
f (x) es continua en   {5, 2}.
 Veamos que tipo de discontinuidad que presenta en x  5 y en x  2:
3 x 2  1 76  76


x 5 x  2
7
7
lím f x   lím
x 5
Discontinuidad evitable en x  5.
lím f x   lím
x 2
x 2
3 x 2  1 13

. Hallamos los límites laterales :
x 2
(0 )
lím f x    ;
x 2
lím f x   
x 2
Discontinuidad de salto infinito en x  2.
Ejercicio nº60.Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:
 ax 2  2 x

f x   4 x 2  ax  b
 3x  b

si
si
x 1
1 x  2
si
x 2
Solución:
26
 Si x  1 y x  2  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
 En x  1:






lím f x   lím 4 x 2  ax  b  4  a  b 
x 1
x 1



f 1  4  a  b
lím f x   lím ax 2  2 x  a  2
x 1
x 1


Para que f (x) sea continua x  1, ha de ser:
a  2  4  a  b  b  6
 En x  2:



lím f x   lím 4 x 2  ax  6  10  2a 
x 2


lím f x   lím 3 x  6   0

x 2
x 2



f 2  0

x 2 
Para que f (x) sea continua en x  2, ha de ser:
10  2a  0  2a  10  a  5
 Por tanto, f (x) será continua si a  5 y b  6.
27