Repartido N° 3 Limites de Funciones 3° E.M.T Matematica A La Blanqueada Ejercicio nº 1.Calcula: 2 a) lim3 x x 2 b) lim 1 2 x x 8 c) lim sen x x 2 Evaluación: Fecha: Solución: a) lim 3 x 52 25 2 x 2 b) lim 1 2 x 1 16 1 4 5 x 8 c ) lim sen x sen x 2 2 1 Ejercicio nº 2.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 0: 2x 1 lim 2 x 0 x 2 x Solución: 2x 1 lim x 2x 2 x 0 lim x 0 2x 1 x x 2 Calculamos los límites laterales: lim x 0 2x 1 x 2x 2 lim x 0 2x 1 x 2 2x Ejercicio nº 3.Halla el límite siguiente y representa la información obtenida: lim x 1 x 2 4x 5 x 3 3x 2 3x 1 1 Solución: lim x 1 x 3 x 2 4x 5 3x 3x 1 2 lim x 1 x 1x 5 lim x 5 x 1 x 12 x 13 1 Ejercicio nº 4.Calculael límitecuando x y cuando x dela siguientefunción y representa la información que obtengas: f x 1 2x 2 4 x 3 Solución: 1 2x 2 4 x x 3 lim 1 2x 2 4 x x 3 lim Ejercicio nº 5.Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas: 3x 5 3x 3x b) lim x 5 3 x a) lim x Solución: 3x 3 1 x 5 3 x 3 a) lim 1 2 b) lim x 3x 1 5 3x 1 Ejercicio nº 6.Esta es la gráficade la función f x : Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2 2 4 6 8 X 4 6 a) ¿Es continua en x = 2? b) ¿Y en x 0? Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad. Solución: a) No es continua en x 2 porque no está definida, ni tiene límite finito en ese punto. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical). b) Sí es continua en x 0. Ejercicio nº 7.Calcula a para que la función fx sea continua en x 1: x + 3 f x 2 2x a si x 1 si x 1 Solución: lim f x lim x 3 2 lim f x lim 2x 2 a 2 a x 1 x 1 f 1 2 x 1 x 1 3 Para que sea continua en x 1, lim f x lim f x f 1. Por tanto, 2 a 2 a 0 x 1 x 1 Ejercicio nº 8.Dada la función: f x 1 x 2x 1 2 halla sus asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas. Solución: x 2 2x 1 0 x 1 Solo tiene una asíntota vertical: x 1 Posición de la curva respecto a la asíntota: 1 x 2x 1 2 lim x 1 1 x 1 2 1 x 12 lim x 1 1 x 12 1 Ejercicio nº 9.Halla las ramas infinitas, cuando x y x de la siguientefunción y representa los resultados obtenidos: f x x3 x2 2x 3 2 Solución: x3 x2 lim 2 x x 2 3 x3 x2 lim 2 x x 3 2 4 Ejercicio nº 10.Dada la función: x3 1 x 3 halla sus ramas infinitas,cuando x y cuando x , y representalosresultados obtenidos. f x Solución: lim x3 1 x3 lim x3 1 x3 x x Ejercicio nº 11.Halla las ramas infinitas,cuando x y cuando x , de la siguientefunción y representa los resultados que obtengas: f x 2x 2 1 x2 1 Solución: lim x lim 2x 2 1 x2 1 2x 2 1 x2 1 x 2 2 2 5 Con calculadora podemos comprobar que: Dando valores muy grandes y positivos asíntota y 2. Dando valores muy grandes y negativos x , la curva va por debajo de la x , la curva va por debajo de la asíntota y 2. Ejercicio nº 12.a) La siguiente función, ¿tiene una asíntota horizontal o una asíntota oblicua? f x 3x 2 2 x 2 b) Halla la asíntota horizontal u oblicua) y representa la posición de la curva respecto a ella. Solución: a) Como el grado del numerador es una unidad más que el grado del denominador, la función tiene una asíntota oblicua. 3x 2 2 10 3x 6 x2 x2 Asíntota oblicua: y 3x 6 Cuando x , 10 0 La curva está por encima de la asíntota. x2 Cuando x , 10 0 La curva está por debajo de la asíntota. x2 • Representación: 2 y=3x6 6 Ejercicio nº 13.Estudia la continuidad de la función: 6 1 x 2 f x 2 x x 2 si x 1 si 1 x 2 si x 2 Solución: 1 no está definido en x 2, valor que pertenece a la x2 semirrecta x < 1. Luego f x es discontinua en x 2. El primer tramo de función y En los otros dos tramos, hay una función cuadrática y una función constante, ambas continuas en todo . Estudiamos la continuidad de los puntos de ruptura: • x 1: f 1 1 1 2 1 1 lim f x lim 1 x 1 x 2 x 1 1 2 lim f x lim x 2 x 1 1 2 x 1 x 1 2 No existe lim f x , luego la función es discontinua en x 1. x 1 Se produce un salto en x 1. • x 2: lim f x lim x 2 x 2 lim f x f 2 2 x 2 x 2 x 2 lim f x lim 2 2 x 2 x 2 f 2 2 La función f x es continua en x 2. Luego fx es continua en todo excepto en x 2 y x 1. Ejercicio nº 14Calcula estos límites: a) lím 3 x 2 x 9 1 x ex x x 1 b) lím Solución: 9 a) lím 3 x 2 x 9 1 lím x 2 x x ex ex 0 lím 0 x x 1 x x 1 b) lím 7 Ejercicio nº 15.Halla los límites: a) lím 5 x 2 2 x 3 x x x 2 3x 1 b) lím x x 6 2x Solución: 5 x 2 2 x 3 x 5 x 2 2 x 3 x a) lím 5 x 2 x 3 x lím x x 2 5 x 2x 3 x 2 lím 5 x 2 2x 9 x 2 x b) lím x 2 3x 1 x x 6 2x lím 5 x 2 2x 3 x x 2 3x 1 x x 6 2x lím x 4 x 2 2x 5 x 2 2x 3 x 0 Ejercicio nº 16.Calcula los siguientes límites: 2x 1 a) lím x 3 x 2 x2 2x 2 b) lím x 3 2 x x 1 Solución: 2x 1 a) lím x 3 x 2 x2 2x 2 b) lím x 3 2x x 1 2x 1 lím x 3 x 2 x2 2 x 2 lím 1 · x 1 e x 32 x 2 3 0 2 x 2 3 2 x lím · x 1 3 2 x e x lím 5 x 5 5 e x 32 x e 2 Ejercicio nº 17.Halla el valor del siguiente límite: 2 x 2 x 10 lím 3 x 2 x 3 x 2 4 Solución: 2x 5 x 2 lím 2x 5 9 2x 2 x 10 lím 2 x 2 x 3 3 x 2 4 x 2 x 2 x 1 x 2 (0) x 1 x 2 lím Hallamos los límites laterales: lím x 2 2x 5 x 1 x 2 ; lím x 2 2x 5 x 1 x 2 Ejercicio nº 18.Calcula el límite: 8 3x 2 x 4 x 1 lím 2 x 1 x x 6 Solución: 3x 2x 4 2 x 4 x 2 x 6 3 x · lím x 1 x 2 x 6 3x lím 1 · 2 x 1 2x 4 x 1 x 1 lím 2 e x 1 x x 6 e x 1 x x 6 e lím x 1 3 x ( x 2) ( x 1) ( x 2 x 6) ( x 1) e lím x 1 3 x ( x 2) x 2 x 6 3 e lím ( x 2 3 x 2 ) ( 3 x ) x 1 ( x 2 x 6 ) ( x 1) 1 e6 e2 Ejercicio nº 19.Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta: f x 3x 2 2x 8 x 2 3 x 10 Solución: f x 3x 2 2x 8 3x 4 x 2 x 2 3x 10 x 5 x 2 Dominio {5, 2} f (x) es continua en {5, 2}. Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x 5 y en x 2: lím f x lím x 5 x 5 3 x 4 11 . Hallamoslos límiteslaterales: x 5 (0 ) lím f x ; x 5 lím f x x 5 Discontinuidad de salto infinito en x 5. límf x lím x 2 x 2 3 x 4 10 x 5 7 Discontinuidad evitable en x 2. Ejercicio nº 20.Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua: 3x a f x 2 x 2 bx a 3x 1 si si si x 1 1 x 2 x 2 9 Solución: Dominio Si x 1 y x 2 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas. En x 1: lím f x lím 3 x a 3 a lím f x lím 2 x 2 bx a 2 b a x 1 x 1 f 1 2 b a x 1 x 1 Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser: 3 a 2 b a 2a b 1 En x 2: lím f x lím 2x 2 bx a 8 2b a x 2 lím f x lím 3 x 1 7 x 2 x 2 f 2 7 x 2 Para que f (x) sea continua en x 2, ha de ser: 8 2b a 7 a 2b 1 Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que: 2a b 1 b 1 2a a 2b 1 a 21 2a 1 a 2 4a 1 3a 3 a 1 ; b 1 Ejercicio nº2 1.Halla los límites siguientes: x 3 a) lim 2 x 2 x x 1 b) lim 6 3 x x 1 c) lim log x x 1 Solución: Evaluación: x 3 1 1 a) lim 2 x 2 x x 1 4 2 1 7 b) lim 6 3 x 6 3 9 3 Fecha: x 1 c) lim log x log 1 0 x 1 Ejercicio nº 22.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y 10 por la derecha de x 2: lim x 2 x 1 x 22 Solución: lim x 2 x 1 x 2 2 lim x 2 x 1 x 2 2 lim x 2 x 1 x 2 2 2 Ejercicio nº 23.Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente: x2 4 x 2 2 x 4 lim Solución: x 2x 2 lim x 2 4 2 x2 4 lim x 2 2 x 4 x 2 x 2 2x 2 2 2 lim 2 2 Ejercicio nº2 4.Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos: 2 a) lim 4 x x b) lim 4 x 2 x Solución: a) lim 4 x 2 x b) lim 4 x 2 x 11 Ejercicio nº25.Hallael límitecuando x y cuando x de la siguientefunción, y representa los resultados que obtengas: f x x 2 1 x 3 Solución: lim x2 x 1 x 3 0 lim x x2 1 x 3 0 Ejercicio nº26.A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad. Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2 2 4 6 8 X 4 6 Solución: En x = 0, sí es continua. En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical). Ejercicio nº2 7.Estudia la continuidad de la función: x 1 f x 3 2 x 15 si x4 si x4 Solución: Si x 4, la función es continua. Si x 4: 12 x 1 1 3 lim f x lim x 2 15 1 También es continua en x 4 porque lim f x f 4 . x 4 x 4 x 4 f 4 1 lim f x lim x 4 x 4 Ejercicio nº2 8.Averigua las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas: f x x 3 x x 2 2 Solución: x2 x 2 0 x x 1 1 1 8 2 x 2 Las asíntotas verticales son x 1 y x 2. • Posición de la curva respecto a las asíntotas: x3 x x2 2 lim x 1 lim x 2 x3 x 1x 2 x 3 x x 2 x 3 2 x2 x 2 1 x 3 x x 2 x 3 lim x 2 x 2 x 2 lim x 1 2 2 Ejercicio nº 29.Halla las ramas infinitas, cuando x y cuando x , de la función: f x x 3 x 2 Representa gráficamente los resultados obtenidos. Solución: x3 x x 2 x3 x lim x 2 lim 13 Ejercicio nº 30.Halla las ramas infinitas, cuando x y cuando x , de la siguientefunción y representa los resultados que obtengas: f x x 4 2x x2 1 Solución: lim x lim x x 4 2x x2 1 x 4 2x x2 1 Ejercicio nº 31.Estudia y representa el comportamiento de la siguiente función cuando x y cuando x : f x 1 3x 2x Solución: 1 3 x 3 3 2x 1 1 3x lim 3 x 2 x lim x 3 Ejercicio nº 32.Estudia y representa el comportamiento de la siguiente función cuando x y cuando x . Si tiene alguna asíntota, representa la posición de la curva respecto a 14 ella: f x x3 x2 1 Solución: x3 x x 2 x 1 x 1 Asíntota oblicua: y x 2 Cuando x , x 0 x2 1 Cuando x , x 0 La curva está por encima de la asíntota. x2 1 La curva está por debajo de la asíntota. • Representación: 1 y=x 1 Ejercicio nº 33.Halla la asíntota horizontal de dada una de las funciones siguientes: a y 1 3x b y 3x 1 c y 0,7x 2 d y 0,5x 1 Solución: lim 1 3 1; a) lim 1 3 x ; no tiene asíntota horizontal hacia . x x x y 1 es asíntota horizontal hacia . b) lim 3 x 1 ; no tiene asíntota horizontal hacia . x lim 3 x 1 0; y 0 es asíntota horizontal hacia . x c) lim 0,7 x 2 2; x lim 0,7 x 2 ; x d) lim 0,5 x 1 0; x lim 0,5 x 1 ; x y 2 es asíntota horizontal hacia . no tiene asíntota horizontal hacia . y 0 es asíntota horizontal hacia . no tiene asíntota horizontal hacia . 15 Ejercicio nº 34.Calcula los siguientes límites: 3x a) lím x 3 log x b) lím 2 x x x 1 Solución: a) lím x 3 log x x Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos. 3x 3x 0 lím 2 0 2 x x 1 x x 1 b) lím Ejercicio nº 35.Calcula los límites: a) lím 3 x 2 1 2 x x 3 b) lím x 2x 5 1 x4 2 Solución: 3 x 2 1 2 x 3 x 2 1 2 x 2 2 lím 3 x 1 4 x 2 a) lím 3 x 1 2 x lím x x x 3 x 2 1 2x 3 x 2 1 2x lím x 3 b) lím x 2x 5 1 lím x x4 2 3 x2 1 3 x 2 1 2x 2x 5 1 x4 2 0 Ejercicio nº 36.Halla: 5x 2 a) lím x 4 5 x 2x 3 4x 2 b) lím x 3 x 5 x 2 1 Solución: 2x 5 x 2 2x 3 lím 1 · 5x 2 3 4 5 x a) lím e x x 4 5 x 4x 2 b) lím x 3 x 5 x 2 1 5 x 2 4 5 x 2 x lím · 3 4 5 x e x 4x 2 lím x 3 x 5 x 2 1 4 3 lím 12 x 12 e x 1215 x e 15 e 4 5 Ejercicio nº 37.Calcula el límite: 16 3x 2 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 lím Solución: x 1 3x 2 lím 3x 2 5 3x 2 x 2 lím 3 2 2 x 1 x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 (0) lím Hallamos los límites laterales: lím x 1 3x 2 x 1 x 1 ; lím x 1 3x 2 x 1 x 1 Ejercicio nº 38.Halla el límite: 3 x 2 3x 1 x lím x 0 5x 1 Solución: x 2 3 x 1 3 1 · 5 x 1 x 3 lím x 2 3x 1 x x 0 e lím x 0 5x 1 lím e x 0 3 x 8 5 x 1 e x 2 3 x 15 x 1 3 · lím 5 x 1 x x 0 lím e x 0 x 2 8 x 3 · 5 x 1 x 3 x x 8 lím e x 0 x 5 x 1 e 24 Ejercicio nº39.Estudia la continuidad de la función: ex f x 3 x 2 1 4 ln x si si x 0 0 x 1 si x 1 Solución: Dominio Si x 0 y x 1 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas. En x 0: lím f x lím e x 1 2 lím f x lím 3 x 1 1 f x es continua en x 0. x 0 x 0 f 0 1 x 0 x 0 En x 1: 17 lím f x lím 3 x 2 1 4 x 1 lím f x lím 4 ln x 1 f x es continua en x 1 . x 1 x 1 f 1 4 x 1 Por tanto, f (x) es continua en . Ejercicio nº 40.Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua: 2x a f x 2 x 3a 5 x 1 x 1 si si Solución: Si x 1 la función es continua, pues está formada por funciones continuas. En x 1: lím f x lím x 2 3a 5 6 3a x 1 x 1 f 1 2 a lím f x lím 2 x a 2 a x 1 x 1 Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser: 2 a 6 3a 4a 4 a 1 Ejercicio nº 41.- Calcula el límitede la función f x x4 x en x 1 y en x 3. 3 2 Solución: x4 x 1 1 1 lim x 1 2 3 2 6 3 x4 x 3 51 lim 27 x 3 3 2 2 2 Ejercicio nº 42.- Fecha: Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x 3: 1 lim 2 x 3 x 9 Solución: 18 lim 1 x 3 x 9 2 lim x 3 1 x 3 x 3 Calculamos los límites laterales: lim x 3 1 x 9 2 lim x 3 1 x 9 2 3 Ejercicio nº 43.Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente. 2 x 2 12 x 18 x 3 x2 x 6 lim Solución: lim x 3 2x 2 12x 18 x2 x 6 2x 3 2x 3 lim 0 x 3 x 3 x 2 x 3 x 2 lim 2 3 Ejercicio nº 44.Hallael límitecuando x de las siguientesfuncionesy representagráficamente la información que obtengas: x x3 1 2 2 3x 2 2x 3 b) f x 5 a) f x Solución: x x3 a) lim 1 x 2 2 19 b) lim x 3 x 2 2x 3 5 Ejercicio nº 45.Halla los siguientes límites y representa los resultados obtenidos: a) lim x 1 1 x 3 3 x3 x x2 b) lim Solución: a) lim x b) lim x 1 0 1 x 3 3 x3 x2 Ejercicio nº 46.La siguientegráficacorresponde a la función f x : 20 Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2 2 4 6 8 X 4 6 Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad. Solución: En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que lim f x lim f x . x 1 x 1 En x 2 sí es continua. Ejercicio nº4 7.Estudia la continuidad de la función: 2 x 2 1 si f x x 2 si 2 x 0 x 0 Solución: Si x 0, la función es continua. lim f x lim 2x 2 1 1 x 0 x 0 x 2 lim f x lim 1 Es continua en x 0 porque lim f x f 0. x 0 x 0 x 0 2 f 0 1 Ejercicio nº 48.Halla las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas: f x 2x 1 x2 1 Solución: x2 1 0 x 1 ; x 1. Las asíntotas verticales son x 1 y x 1. 21 • Posición de la curva respecto a ellas: 2x 1 lim x 1 lim x 1 x 1x 1 2x 1 x 1 2 1 2x 1 lim x 1 lim x 1 x2 1 2x 1 x2 1 1 Ejercicio nº49.Halla las ramas infinitas, cuando x , de las siguientesfuncionesy representala información que obtengas: a) f x x 2 4 b) f x x x 2 Solución: a) lim x 2 4 x b ) lim x x 2 x Ejercicio nº 50.Halla las ramas infinitas, cuando x y cuando x , de la función: f x 2x 3 x 1 x Representa la información obtenida. Solución: 22 2x 3 x x 1 x 2x 3 x lim x 1 x lim Ejercicio nº 51.Estudiael comportamiento de la siguientefunción,cuando x y cuando x , y representa las ramas que obtengas: f x x 1 2x 2 2 Solución: lim x lim x x 1 2x 2 2 x 1 2x 2 2 0 0 Asíntota horizontal y=0 Ejercicio nº 52.La siguiente función tiene una asíntota oblicua. Hállala y sitúa la curva respecto a ella: f x x 2 2x x 1 Solución: x 2 2x 1 x 1 x 1 x 1 Asíntota oblicua: y x 1 Cuando x , 1 0 La curva está por debajo de la asíntota. x 1 Cuando x , 1 0 La curva está por encima de la asíntota. x 1 • Representación: 23 1 y=x+1 1 Ejercicio nº 53.Calcula los siguientes límites. 2x 1 a) lim 5x x x2 3 x b) lim x 9x 2 1 2x c) lim x d) lim x 2 x x2 5 2x 1 2x 3 Solución: 2x 1 lim x 5 x a) b) 2 x lim c) lim 2x 1 x lim x 5 x x 2 3 x 2 5 lim 3x 3 9x 2 1 9x 2 lim lim 2x 2 x 2 x x 2 x lim x 0 2 x 2 x x x 5 2 lim x x d) x2 3 x 2x 1 2x lim lim 1 1 1 2 x 3 x 2 x x Ejercicio nº 54.Calcula: a) lím e x x 2 1 x x 4 3x x log x 2 b) lím Solución: a) lím e x x 2 1 x Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia. x 4 3x x 4 3x lím 2 x log x x log x 2 b) lím Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo. 24 Ejercicio nº 55.Calcula los siguientes límites: 3x 2 a) lím b) lím x 2 3 x 2 x x x 2 5x 3x 1 Solución: a) lím 3x 2 x 5x 3x 1 2 3 5 3 5 5 x 2 3 x 2 x x 2 3 x 2 x b) lím x 2 3 x 2 x lím x 2 3 x 2 x lím x x x 2 x 3 x 2x lím x 2 3x 4x 2 x x 2 3x 2x lím x 3x 2 3x x 2 3 x 2x Ejercicio nº 56.Calcula: 1 a) lím 2 x x 2 x 3 3x 2 b) lím x 2 3 x 2 x 1 2 Solución: 1 a) lím 2 x x 2 x 3 3x 2 b) lím x 2 3 x 2 1 lím 2 x x x 1 2 e 2 x 3 2 0 3x2 x 1 lím 1 · 2 x 2 3 x 2 e 3 x 2 2 3 x 2 lím 2 23 x x x 1 · 2 lím 2 x 2 e x 4 6 x e 0 1 2 Ejercicio nº57.Halla el límite: x 1 2x lím 2 x 3 x 9 x 3 Solución: x 1 2 x x 1 x 3 2x x 2 4 x 3 2x lím 2 lím lím x 3 x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 2 2x 3 18 x 3 x 3 x 3 (0) lím Hallamos los límites laterales: lím x 3 x 2 2x 3 ; x 3 x 3 lím x 3 x 2 2x 3 x 3 x 3 Ejercicio nº 58.- 25 Calcula: 2x 2 x 2 x 1 x 3 lím x 3 4x 4 Solución: 2 x 2 x 1 2 x 1 · x 3 4 x 4 2x lím 2 x 2 x 1 x 3 x 3 lím e x 3 4 x 4 e 2 x 2 x 1 4 x 4 2 x · lím x 3 4 x 4 x 3 2 x 1 x 3 2 x 2 x 1 2 x 42 e lím x 3 2 x 2 5 x 3 2 x · 4 x 4 x 3 21 lím lím e x 3 4 x 4 x 3 e x 3 4 x 4 e 16 e 8 Ejercicio nº 59.Dada la función f x 3 x 3 15 x 2 x 5 , estudia su continuida d. Indica el tipo de x 2 3 x 10 discontinuidad que hay en los puntos en los que no es continua. Solución: f x 3 x 3 15 x 2 x 5 x 5 3 x 2 1 x 5 x 2 x 2 3 x 10 Dominio {5, 2} f (x) es continua en {5, 2}. Veamos que tipo de discontinuidad que presenta en x 5 y en x 2: 3 x 2 1 76 76 x 5 x 2 7 7 lím f x lím x 5 Discontinuidad evitable en x 5. lím f x lím x 2 x 2 3 x 2 1 13 . Hallamos los límites laterales : x 2 (0 ) lím f x ; x 2 lím f x x 2 Discontinuidad de salto infinito en x 2. Ejercicio nº60.Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea continua: ax 2 2 x f x 4 x 2 ax b 3x b si si x 1 1 x 2 si x 2 Solución: 26 Si x 1 y x 2 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas. En x 1: lím f x lím 4 x 2 ax b 4 a b x 1 x 1 f 1 4 a b lím f x lím ax 2 2 x a 2 x 1 x 1 Para que f (x) sea continua x 1, ha de ser: a 2 4 a b b 6 En x 2: lím f x lím 4 x 2 ax 6 10 2a x 2 lím f x lím 3 x 6 0 x 2 x 2 f 2 0 x 2 Para que f (x) sea continua en x 2, ha de ser: 10 2a 0 2a 10 a 5 Por tanto, f (x) será continua si a 5 y b 6. 27