PLANEACIÓN AGREGADA DE LA PRODUCCIÓN

TEORÍA DE COLAS:
OTROS MODELOS
ALEJANDRO TERÁN C.
MODELO M/G/1
APLICABLE A SISTEMAS CON:
• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).
• TIEMPO DE SERVICIO CON CUALQUIER DISTRIBUCIÓN (/G/).
• UN SERVIDOR (/1).
• DISCIPLINA FIFO.
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
2
MODELO M/G/1: MEDIDAS DE DESEMPEÑO
ρ=
λ
µ
λ
P0 = 1 µ
=1-ρ
ρ <1
λ2σ 2 + ρ 2
λ2σ 2 + ( λ/µ ) 2
Lq =
=
2(1 − ρ )
2(1 − λ / µ )
L = Lq +
Wq =
λ
µ
= Lq + ρ
Lq
λ
1
W = Wq +
µ
λ
PW =
=ρ
µ
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
3
EJEMPLO
UN RESTAURANTE DE HAMBURGUESAS CUENTA CON UNA ÚNICA CAJA
DE PAGO. EL CAJERO TOMA EL PEDIDO, DETERMINA EL COSTO TOTAL,
RECIBE EL DINERO DEL CLIENTE Y SURTE EL PEDIDO. UNA VEZ
CUBIERTO EL PEDIDO DE UN CLIENTE, EL EMPLEADO TOMA EL PEDIDO
DEL SIGUIENTE CLIENTE EN LA COLA. SI LLEGA UN CLIENTE CUANDO
EL CAJERO SE ENCUENTRA AÚN TOMANDO UN PEDIDO, EL CLIENTE
QUE LLEGA SE FORMA EN LA FILA.
LAS LLEGADAS SON POISSONIANAS (PROMEDIO DE LLEGADAS: 45
CLIENTES/HORA).
LA DURACIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN
NORMAL (SERVICIO PROMEDIO: 60 CLIENTES/HORA), CON DESVIACIÓN
ESTÁNDAR DE 2 MINUTOS.
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
4
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
λ
ρ = µ
= 0.75/1 = 0.75
P0 = 1 -
λ
= 1 - ρ = 1 - 0.75 = 0.25
µ
L = Lq +
λ
= Lq + ρ
µ
ρ <1
= 5.625 + 0.75 = 6.375
λ2σ 2 + ( λ/µ ) 2
λ2σ 2 + ρ 2
= [(0.75)2(2)2 + (0.75/1)2]/[2(0.25)]
Lq =
=
2(1 − λ / µ )
2(1 − ρ )
= 5.625
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
5
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
Wq =
Lq
λ
= 5.625/0.75 = 7.5 MINUTOS
W = Wq +
PW =
λ
µ
1
= 7.5 + 1 = 8.5 MINUTOS
µ
= ρ = 0.75
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
6
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
ColasMG1Cl.xls
7
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
ColasMG1Cl.xls
8
MODELO M/D/1
APLICABLE A SISTEMAS CON:
• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).
• TIEMPO DE SERVICIO DETERMINISTA (/D/).
• UN SERVIDOR (/1).
• DISCIPLINA FIFO.
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
9
MODELO M/D/1: MEDIDAS DE DESEMPEÑO
ρ=
λ
µ
λ
P0 = 1 µ
Lq =
( λ/µ ) 2
2(1 − λ / µ )
L = Lq +
Wq =
ρ <1
=1-ρ
λ
µ
=
ρ2
2(1 − ρ )
= Lq + ρ
Lq
λ
1
W = Wq +
µ
λ
PW =
=ρ
µ
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
10
EJEMPLO
UN RESTAURANTE DE HAMBURGUESAS CUENTA CON UNA ÚNICA CAJA
DE PAGO. EL CAJERO TOMA EL PEDIDO, DETERMINA EL COSTO TOTAL,
RECIBE EL DINERO DEL CLIENTE Y SURTE EL PEDIDO. UNA VEZ
CUBIERTO EL PEDIDO DE UN CLIENTE, EL EMPLEADO TOMA EL PEDIDO
DEL SIGUIENTE CLIENTE EN LA COLA. SI LLEGA UN CLIENTE CUANDO
EL CAJERO SE ENCUENTRA AÚN TOMANDO UN PEDIDO, EL CLIENTE
QUE LLEGA SE FORMA EN LA FILA.
LAS LLEGADAS SON POISSONIANAS (PROMEDIO DE LLEGADAS: 45
CLIENTES/HORA).
LA DURACIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO ES DETERMINISTA
(CAPACIDAD DEL SERVICIO: 60 CLIENTES/HORA).
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
11
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
λ
ρ = µ
= 0.75/1 = 0.75
P0 = 1 -
λ
= 1 - ρ = 0.75/1 = 0.75
µ
L = Lq +
ρ <1
λ
= Lq + ρ = 1.125 + 0.75
µ
= 1.875
( λ/µ ) 2
ρ2
Lq =
=
= (0.75)2/[2(0.25)]
2(1 − λ / µ )
2(1 − ρ )
= 1.125
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
12
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
Wq =
Lq
λ
= = 1.125/0.75
= 1.5 MINUTOS
W = Wq +
PW =
λ
µ
1
= 1.5 + 1
µ
= 2.5 MINUTOS
= ρ = 0.75
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
13
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
ColasMD1Cl.xls
14
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
ColasMD1Cl.xls
15
MODELO M/G/k CON CLIENTES QUE ABANDONAN
EL SISTEMA POR BLOQUEO
APLICABLE A SISTEMAS CON:
• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).
• TIEMPO DE SERVICIO CON CUALQUIER DISTRIBUCIÓN (/G/).
• K SERVIDORES (/k).
• DISCIPLINA FIFO.
SI AL LLEGAR UN CLIENTE ENCUENTRA TODOS LOS SERVIDORES
OCUPADOS, ABANDONA EL SISTEMA.
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
16
MODELO M/G/k CON CLIENTES QUE ABANDONAN
EL SISTEMA: MEDIDAS DE DESEMPEÑO
PROBABILIDAD DE QUE HAYA j SERVIDORES OCUPADOS
Pj =
(λ / µ )j / j!
k
(λ / µ )i
∑
i =0
i!
PROBABILIDAD DE QUE TODOS LOS SERVIDORES ESTÉN
OCUPADOS
(λ / µ )k / k!
PK = k
(λ / µ )i
∑ i!
i =0
NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA
L=
λ
(1 - PK)
µ
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
17
EJEMPLO
EL SERVICIO TELEFÓNICO DE ATENCIÓN A CLIENTES DE UNA
EMPRESA CUENTA CON TRES LÍNEAS.
LAS LLAMADAS LLEGAN DE MANERA POISSONIANA, CON UNA
TASA DE 12 LLAMADAS/HORA.
EN PROMEDIO, CADA UNO DE LOS ASESORES PUEDE ATENDER 6
CLIENTES/HORA.
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
18
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
λ = 12 LLAMADAS/HORA.
µ = 6 LLAMADAS/HORA.
K = 3 SERVIDORES.
λ/µ = 12/6 = 2
K
∑
i =0
(λ / µ )i
i!
= 20/0! + 21/1! + 22/2! + 23/3!
= 19/3 = 6.3333
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
19
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
PROBABILIDAD DE QUE HAYA j SERVIDORES OCUPADOS
Pj =
(λ / µ )j / j!
k
(λ / µ )i
∑
λ = 12
µ =6
i!
λ/µ =2
P0 = (20/0!)/(19/3) = 3/19 = 0.15785
K=3
i =0
P1 = (21/1!)/(19/3) = 6/19 = 0.315789
P2 = (22/2!)/(19/3) = 6/19 = 0.315789
P3 = (23/3!)/(19/3) = 4/19 = 0.210526
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
20
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
PROBABILIDAD DE QUE TODOS LOS SERVIDORES ESTÉN
OCUPADOS
λ = 12
P3 =
(λ / µ )3 / 3!
k
(λ / µ )i
∑
i =0
µ =6
= 4/19 = 0.210526
λ/µ =2
i!
K=3
NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA
L=
λ
(1 - PK) = (2)(1 - 4/19) = 30/19 = 1.578947
µ
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
21
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
ColasMGKBloqCl.xls
22
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
ColasMGKBloqCl.xls
23
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
ColasMGKBloqCl.xls
24
MODELO M/M/1 CON POBLACIÓN FINITA DE
CLIENTES
(MACHINE REPAIR PROBLEM)
SISTEMA M/M/1 CON UNA POBLACIÓN DE N CLIENTES ATENDIDOS.
• LLEGADAS POISSONIANAS (M/).
• TIEMPO DE SERVICIO EXPONENCIAL (/M/).
• UN SERVIDOR (/1).
• DISCIPLINA FIFO.
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
25
MODELO M/M/1/N: MEDIDAS DE DESEMPEÑO
P0 =
1
N
N!  λ 
∑ (N − n )!  µ 
n=0
n
ρ <1
λ +µ
(1 − P0 )
λ
L = Lq + (1 - P0)
Lq = N −
Wq =
Lq
(N − L )λ
W = Wq +
1
µ
n
N!  λ 
Pn =
  P0
(N − n )!  µ 
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
26
EJEMPLO
UNA EMPRESA TIENE SEIS EQUIPOS IDÉNTICOS DE
MANUFACTURA. EL TIEMPO ENTRE FALLAS DE CADA UNO DE LOS
EQUIPOS DE PRODUCCIÓN SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN
EXPONENCIAL, CON UN TIEMPO PROMEDIO ENTRE FALLAS DE 20
HORAS.
PARA LA ATENCIÓN DE LAS FALLAS EN EL EQUIPO DE
MANUFACTURA SE CUENTA CON UNA ÚNICA CUADRILLA DE
MANTENIMIENTO. EL TIEMPO DE DURACIÓN DEL SERVICIO DE
REPARACIÓN DE EQUIPO SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN
EXPONENCIAL, CON UNA MEDIA DE 2 HORAS/FALLA.
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
27
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
λ = 0.05
µ = 0.50
λ/µ = 0.1
N=6
N
N!  λ 
∑ (N − n )!  µ 
n=0
n
=
(6!/6!)(0.1)0 + (6!/5!)(0.1)1 + (6!/4!)(0.1)2 + (6!/3!)(0.1)3
+ (6!/2!)(0.1)4 + (6!/1!)(0.1)5 + (6!/0!)(0.1)6
= 2.06392
P0 =
1
N
N!  λ 
∑ (N − n )!  µ 
n=0
n
= (1/2.06392) = 0.4845
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
28
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
λ = 0.05
Lq = N −
λ +µ
(1 − P0 ) = 6 - [(0.05+0.5)/0.05](1 - 0.0484515)
λ
= 0.329664 MÁQUINAS
µ = 0.50
λ/µ = 0.1
N=6
P0 = 0.484515
L = Lq + (1 - P0) = 0.329664 + (1 - 0.0484515)
= 0.844159 MÁQUINAS
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
29
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
λ = 0.05
Wq =
Lq
(N − L )λ
= (0.329664)/[(6-0.844159)(0.05)]
= 1.279044 HORAS
µ = 0.50
λ/µ = 0.1
N=6
P0 = 0.484515
W = Wq +
1
µ
= 1.279044 + 1/0.5
= 3.279044 HORAS
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
30
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
λ = 0.05
n
N!  λ 
  P0 = [6!/(6-n)!](0.1)n(0.484515)
Pn =
(N − n )!  µ 
µ = 0.50
λ/µ = 0.1
N=6
P0 = 0.484515
N
0
1
2
3
4
5
6
Pn
0.484514904
0.290708942
0.145354471
0.058141788
0.017442537
0.003488507
0.000348851
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
31
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
ColasMM1NCl.xls
32
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
ColasMM1NCl.xls
33
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
ColasMM1NCl.xls
34
EJEMPLO
(CONTINUACIÓN)
TEORÍA DE COLAS: OTROS
MODELOS
ColasMM1NCl.xls
35