FERMAT FACIL por José María Méndez [email protected] www.telefonica.net/c/axiologia La idea que Fermat pudo tener en su cabeza, mientras escribía su célebre nota en el margen del libro sobre Diofanto, no sería tan complicada como la solución encontrada por Wiles 300 años después. Debió ser algo mucho más sencillo. Quizá tan sencillo como lo que sigue. Fermat conocía la descomposición de los tres últimos términos de una suma de potencias, con el mismo exponente para sumandos y suma. Esa descomposición se da siempre, cualquiera que sea el exponente de las potencias y cualquiera que sea el número de miembros de la suma de potencias. Si la suma de potencias es kn +……..+ An + Bn = Cn, entonces se descompone así kn +………(a + )n + (b + )n = (a + b + )n donde = A + B - C. Esa descomposición hace posible reconstruir el objeto suma sobre los límites del objeto sumando menor, si se recorta adecuadamente una parte del sumando mayor. O al menos intentarlo. Si se trata de cuadrados esto es obvio. Dibujemos el cuadrado suma sobre los límites del cuadrado menor. Consideremos, por ejemplo, 52 + 122 = 132 C = 13 con = 5+12-13 = 4 =4 A=5 B = 12 Para formar el cuadrado suma, quitamos 4 12 = 48 puntos a B2 y agregamos a 2 A y al resto de B2 esos 48 puntos en dos partes: el rectángulo 5 8 = 40 y la línea de 8 puntos. En general, quitamos B al cuadrado sumando mayor y añadimos la cantidad equivalente A(C-A) + (B-)(C-B) para formar el cuadrado suma. Hemos de suponer que Fermat se dio cuenta inmediatamente de que al pasar a tres dimensiones esa compensación con sólo dos sumandos falla. Con cuadrados tenemos B = A(C-A) + (B-)(C-B) Pero al pasar a cubos, el primer término de la igualdad anterior se multiplica por B, mientras que el segundo se multiplica por C. Desaparece la compensación con sólo dos sumandos, pues B<C. Tenemos BB < BC. Hay que añadir un suplemento a los dos sumandos cubos para lograr una compensación nueva y distinta, como en el ejemplo que sigue donde superficie FC < B2. En este caso mínimo ese suplemento es sólo un tercer cubo: 23 + 123 + 163 = 183 con = 10 Recortemos en 163 para reconstruir la suma 183 sobre los límites de 123. 18 F 12 16 18 El recorte en 163 es 10.16.16 = 2560 (B2) Con eso habría que rellenar: Volumen sobre F (FC) [(12.6) + (6.2)] 18 = 1512 Vacío sobre 123 12.12.6 = 864 2 Vacío sobre parte no recortada 16 6.16.2 = 192 Total 2568 3 Obviamente hacen falta además las 8 unidades del suplemento 2 . Cabe también que la nueva compensación exija más de un cubo, como en 23 + 33 + 83 + 133 = 143 con = 7 Si pasamos a cuartas potencias, el suplemento puede exigir tres sumandos como en 14 + 24 +124 + 244 + 444 = 454 con = 23 Pero en el caso de Elkies el suplemento es un solo sumando: 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814 con = 209598 No se explica bien por qué los matemáticos se obsesionasen tanto y por tanto tiempo, siguiendo ciegamente a Descartes y despreciando a Euclides. Descartes abrió la puerta a los grandes adelantos técnicos que nos han proporcionado las matemáticas desconectadas de la geometría. Pero el castigo ha sido tener delante algo tan simple como lo anterior delante de los ojos y no verlo durante 300 años. Regla para la descomposición: Cuadrados B = (C -A)(A -B + C) Cubos Suplemento + B2 = (C -A)(A2 -B2 + C2 +AC) 4ª potencias Suplemento + B3 = (C -A)(A3 -B3 + C3 + A2C + AC2)