Hoja de trabajo 3

SERIES ALTERNADAS. SERIES DE POTENCIAS
Hoja de trabajo 3
Apellidos y Nombre:____________________________________________
Para estudiar las series alternadas y las series de potencias debes leer
detenidamente esta hoja de trabajo y realizar por escrito todas las actividades
que en ella te indicamos. Además, puedes completar tu estudio haciendo las
actividades y ejercicios que se proponen en la pantalla del ordenador.
Sucesiones y series. Nivel III
* Leer Suma aproximada y estimación del error para series alternadas:
Definición: Una serie se dice alternada si tiene sus términos alternativamente
positivos y negativos. Su expresión general es de la forma

  1
n1
n1

  1
 an o
n
n1
 an con
an  0
Convergencia de las series alternadas. Criterio de Leibniz: Si

  1
n1
n1
 an
es
una serie alternada que verifica:
a) limn an  0
b) la sucesión
 ann1

entonces la serie
es monótona decreciente, es decir que

  1
n1
n1
an1  an n 
,
es convergente.
 an
Suma aproximada de series alternadas: Si

  1
n1
n1
y convergente, siendo la sucesión
 ann1

 an
es una serie alternada
monótona decreciente, se verifica
Rn  an1 , es decir que el error cometido en la aproximación Rn es, en valor
absoluto, menor o igual que el primer término despreciado.
1. Sea la serie alternada


n1
 1
n1
2n1
, que verifica el criterio de Leibniz y
2
. Completar la tabla siguiente calculando una cota del
3
error cometido en la aproximación de la suma de la serie cuando se toma el
número de términos indicados y hallando el número de términos de la serie que
debemos sumar para que el error cometido en la aproximación sea inferior a la
cota dada. Utilizar el aplicación de esta página para visualizar los resultados
obtenidos.
converge al valor S 
Nº términos
Suma aproximada
Cota del error
3
0’05
4
0’008
1
Rn 
SERIES ALTERNADAS. SERIES DE POTENCIAS
Nº términos
Suma aproximada
Hoja de trabajo 3
Cota del error
Rn 
10
0’0003
0’00001
2.a) Demostrar razonadamente el carácter convergente de la serie alternada
2

n n 1
.
 1  n

3
n1
2.b) Utilizar el aplicación de esta página para tantear el valor de la suma de la
serie observando el valor al que tiende la suma parcial enésima Sn a medida
que n es suficientemente grande. Calcular el valor aproximado de la suma de la
2

n n 1
serie   1 
y el error cometido en la aproximación si se suman
3n
n1
solamente el número de términos indicados en la tabla. Comprobar los
resultados sobre la aplicación.
Nº términos
Suma aproximada
Cota del error
Rn 
3
5
11
2.c) ¿Cuántos términos de la serie alternada anterior debemos sumar para que el
error cometido en la aproximación sea inferior a 0’001? Justificar el resultado con
cálculos y comprobarlo posteriormente con el aplicación. Indicar cuál es el valor
aproximado de la suma obtenida.
2
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Sugerencia: Puedes contestar a las preguntas 1, 7 y 8 de la Autoevaluación 2 .
Teorema de Taylor: Sea n un número natural y f(x) una función definida en el
intervalo a,b y supongamos que las derivadas f’(x), f’’(x), f3)(x),..., fn-1)(x)
existen y son continuas en (a, b) y que fn) (x) existe en (a, b). Entonces puede
definirse un polinomio Tn(x) y sólo uno, de grado menor o igual que n,
denominado Polinomio de Taylor de la función f(x) centrado en el punto a,
que satisface:
n
f k)  a
k
Tn  x   
  x  a
k!
k 0
con los convenios: f0)(a) = f(a), 0! = 1.
Observación importante: Si la función f(x) es un polinomio en potencias de x de
grado n, su polinomio de Taylor de grado n centrado en el punto a es otra
representación del mismo polinomio en potencias de (x-a).
Fórmula de Taylor con resto: Si las funciones f, f’, f’’, f3),..., fn+1) están definidas
en el intervalo a,x, existe t   a, x tal que el resto de Taylor de orden n de f
en el punto a viene dado por
Rn  x  
luego
f  x   Tn  x   Rn  x 
f  x   f  a 
f '  a
1!
  x  a 
f ''  a
2!
f n1)  t 
n  1!
  x  a
  x  a  ... 
2
n1
f n)  a
n!
  x  a 
Polinomio de Taylor de grado n
n
f n1)  t 
n  1!
  x  a
n1
Re sto
Si tenemos a = 0, la expresión anterior se denomina fórmula de MacLaurin con
resto, así
f ' 0
f '' 0  2
f n) 0  n f n1)  t  n1
f  x   Tn  x   R n  x   f 0  
x 
 x  ... 
x 
x
1!
2!
n!
n  1 !
Polinomio de MacLaurin de grado n
siendo t  0, x .
3
Re sto
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*Leer Polinomio de Taylor. El problema de la aproximación:
*Leer Polinomios: Utilizar la fórmula del polinomio de Taylor y el laboratorio de
esta página para obtener los coeficientes de los polinomios de Taylor de grado 5
centrados en los puntos a = -1, 1/2 y 1, correspondientes a la función
P  x  2  x5 , comprobando posteriormente los resultados con la representación
gráfica de dichos polinomios.
Punto
centro
Valores de los coeficientes del polinomio de Taylor
grado 0 grado 1 grado 2 grado 3 grado 4 grado 5
a = -1
a= 1/2
a=1
Diferentes expresiones del polinomio P  x  2  x5 :
en potencias de (x + 1):
en potencias de (x – 1/2):
en potencias de (x - 1):
3. Resolver el ejercicio anterior para la función f  x  sen  x , observando
posteriormente la representación gráfica de dichos polinomios y de la función.
Punto
Valores de los coeficientes del polinomio de Taylor
4
SERIES ALTERNADAS. SERIES DE POTENCIAS
centro
grado 0
grado 1
grado 2
grado 3
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grado 4 grado 5
a = -1
a= 1/2
a=1
Polinomios de Taylor de grado 5 de la función f  x  sen  x :
en potencias de (x + 1):
en potencias de (x – 1/2):
en potencias de (x - 1):
*Leer Polinomio de Taylor: ejemplos.
4.a) Utilizar la aplicación de la página para observar cómo se aproxima el valor
de las funciones f  x  sen  x y f  x  ex , en el punto x = 2, cuando se
utilizan los polinomios de MacLaurin de grados 1, 2, 3, 4 y 5. Comparar los
valores correspondientes a cada una de las funciones, comentando aquellos
resultados más interesantes.
*Leer Resto anésimo de Taylor. Teorema de Taylor
4.b) Utilizar la aplicación de esta página para anotar el valor del error cometido
al aproximar el valor de las funciones f  x  sen  x y f  x  ex , en los
puntos x indicados, mediante polinomios de Taylor de grado n, centrado en
a = 0 (polinomio de MacLaurin). ¿Cómo evoluciona la aproximación en cada
caso a medida que n aumenta? ¿Cómo evoluciona a medida que x se acerca
al valor x = 0?
X=2
Resto de Taylor Rn  x  f  x  Tn  x
función f  x  sen  x
n=1
n=3
n=5
n=7
5
función f  x  ex
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Resto de Taylor Rn  x  f  x  Tn  x
X = -1
función f  x  sen  x
función f  x  ex
n=1
n=3
n=5
n=7
*Leer Series de potencias.
Definición: Se denomina serie de potencias de Taylor de la función f(x)
centrada en el punto x = a, a la serie funcional

 f n) a
  xan
n
a

x

a







n
n!
n0
n0
Convergencia de una serie de potencias: Existe un valor R    , denominado
radio de convergencia de la serie, tal que:
a) la serie converge  x / x  a  R .
b) la serie diverge  x / x  a  R .
c) en los extremos del intervalo x = a-R, x = a+R, se debe estudiar el carácter
de la serie de forma particular.
Cuando a = 0, se denomina serie de MacLaurin.
5.a Sabiendo que la serie de MacLaurin que representa a la función logaritmo

 1
n1
 xn
, que converge  x   1,1 . Comprobar con la
n
aplicación de la página cómo es la aproximación de la función en los puntos
x=2 , x = -1 y x = 1, tomando n = 100 términos en la aproximación. Anotar el
valor de la función, el valor aproximado y el resto o diferencia. Comenta los
resultados obtenidos.
es L 1  x  
X

n1
f(x)=log(1+x)
Suma aproximada
Resto de Taylor
de la serie T100  x
R100  x  f  x  T100  x
2
-1
1
6
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5.b Obtener la serie de potencias de MacLaurin para la función f2  x  L 2  x .
Calcular el campo de convergencia de dicha serie, basándose en las
propiedades del desarrollo en serie de la función f(x) = L(1+x) anterior.
Comprobar los resultados obtenidos con la ayuda de la aplicación, tomando
puntos x dentro y fuera del campo de convergencia para comprobar el
comportamiento convergente o divergente, respectivamente, de la serie.
5.c Obtener la serie de potencias de MacLaurin para la función
g  x  L 1  x  2  x  L 1  x  L 2  x  f x  f2 x
basándote en los resultados anteriores. Calcular el campo de convergencia de
la serie resultante.
º
5.d Obtener la serie de potencias de MacLaurin para la función f  x 
Calcular el campo de convergencia de la serie resultante.
7
1
.
1 x