Parámetros de las Funciones Trigonométricas

PARÁMETROS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
RESUMEN
El presente trabajo pretende enlazar los contenidos vistos en el aula mediante la
realización de un juego didáctico, que permita conocer, comprender y ampliar los
conocimientos adquiridos para alcanzar un alto dominio del tema y que a su vez facilite
el aprendizaje a alumnos que presentan algunas dificultades en su comprensión.
A través del tema de gráfica de las funciones trigonométricas (función seno y función
coseno) mediante la modificación de sus parámetros como son Amplitud, Fase,
Frecuencia y Constante, se puede comprender con mayor facilidad haciendo uso de un
juego didáctico o juego de mesa, el cuál desde su diseño, elaboración e
implementación, permite a los alumnos ampliar los conocimientos adquiridos y mejorar
la comprensión de este tema, además se pretende que los alumnos haciendo uso de
este juego se cumpla un objetivo principal, que es el aprender jugando, divirtiéndose y
sobretodo formar lazos afectivos para los alumnos que aprenden matemáticas
1
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo de investigación tiene como propósito, comprender, desarrollar y
aplicar las gráficas de las funciones trigonométricas (función seno y función coseno),
mediante su relación con los parámetros de las funciones trigonométricas, como lo son
la amplitud, fase, frecuencia y el valor constante.
Una vez comprendido y desarrollado el tema, se pretende aplicar estos conceptos y
este conocimiento matemático en la realización de un juego de mesa (juego didáctico),
que permita aplicar y tener una mejor comprensión de estos temas.
El objetivo de este trabajo es establecer relación entre las matemáticas, el conocimiento
y la diversión, de manera que se eviten los conceptos complicados o difíciles. Por otro
lado se busca elaborar un juego de mesa en donde se pongan a prueba los
conocimientos del alumno sobre alguna de las unidades del programa de Matemáticas,
en nuestro caso Unidad 2 de Matemáticas V, con el tema funciones trigonométricas,
además de buscar formar lazos afectivos para los alumnos que aprenden matemáticas.
Si los conocimientos se desarrollan en un contexto conocido y agradable para el
alumno, es lógico que también mejore su rendimiento en los contenidos.
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MARCO TEÓRICO
GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO
y = sen x
FUNCIÓN SENO
A partir del comportamiento del cateto opuesto del círculo trigonométrico unitario, la
gráfica de la función seno empieza de cero en 0°, va aumentando paulatinamente
hasta llegar a uno en 90°. Después va disminuyendo hasta llegar a cero en 180°.
Posteriormente disminuye negativamente hasta llegar a -1 en 270°. Finalmente, va
aumentando hasta regresar a cero en 360°, donde el proceso se repite indefinidamente.
La siguiente figura muestra su gráfica:
y
1
-2p
-
3p
2
-p
-
p
2
p
2
-1
3
p
3p
2
2p
x
y = cos x
FUNCIÓN COSENO
De forma similar, el comportamiento del cateto adyacente del círculo trigonométrico unitario, la
gráfica de la función coseno empieza en uno en 0°, va disminuyendo paulatinamente hasta
llegar a cero en 90°. Después sigue disminuyendo hasta llegar a -1 en 180°. Posteriormente
crece hasta llegar a cero en 270°. Finalmente, sigue aumentando hasta regresar a 1 en 360°.
Esto se repite indefinidamente, como muestra en la gráfica siguiente:
y
1
-
3p
2
-p
-
p
2
p
p
2
3p
2
2p
5p
2
x
-1
PARÁMETROS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Una función periódica es aquella que cumple que: f (x )= f (x + p), donde p es el
periodo diferente de cero. En general, una función trigonométrica presenta tres
parámetros fundamentales: Amplitud (A), Frecuencia k y Fase (a )1. La primera es la
que cambia el tamaño de la función, la segunda modifica el grado de repetición, y la
última determina el desplazamiento de la función. Por ejemplo, específicamente para la
función seno se tiene: f (x )= A ×sen (kx + a ). Cabe señalar que un signo (+) en la fase,
implica que la función se adelante (o sea, se corre a la izquierda) y un signo (-) en la
fase implica que la función se atrase (o sea, se corre a la derecha).
AMPLITUD
Distancia o valor máximo de una cantidad variable, de su valor medio o valor base, o la
mitad del valor máximo pico a pico de una función periódica, como un movimiento
armónico simple.
1
En el caso que la amplitud sea uno, k sea cero, que no exista defasamiento y sólo se sume una constante c, la forma de la gráfica
no cambia, sólo se desplaza c unidades (dependiendo de su signo) sobre el eje y.
4
En el caso de y = sen x, el valor máximo posible es 1 y el valor mínimo posible es -1. De
ahí que, la amplitud es (1-(-1))/2 = 1.
Este parámetro cambia el tamaño de la función. Si A>1 se amplifica su forma. Si 0<A<1,
se hace más pequeña. Si A<0 entonces se invierte su forma.
a) f (x )= 2 ×sen (x )
Solución:
Se aprecia como en la gráfica la amplitud es el doble (dos veces más grande) que la
función f (x )= sen x , sin embargo la frecuencia y la fase no cambian
y
2
1
-2p
-
3p
2
-p
p
2
-1
p
2
p
3p
2
x
2p
-2
FRECUENCIA
Es una magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier
fenómeno o suceso periódico.
Para calcular la frecuencia de un suceso, se contabilizan un número de ocurrencias de
este teniendo en cuenta un intervalo temporal, luego estas repeticiones se dividen por
el tiempo transcurrido.
Este parámetro modifica el grado de repetición. Si k>1 la función se repite más
rápidamente. Si 0<k<1 la función se repite más lentamente.
5
b) f (x )= sen (2 x )
Solución.
En este caso, en la gráfica la frecuencia es del doble (se repite más), sin embargo la
amplitud y la fase no cambian
y
2
1
-2p
-
3p
2
-p
-
p
2
-1
p
2
p
3p
2
x
2p
-2
FASE
El desfase entre dos ondas es la diferencia entre sus dos fases. Habitualmente, esta
diferencia de fases, se mide en un mismo instante para las dos ondas, pero no siempre
en un mismo lugar del espacio.
Este parámetro determina el desplazamiento horizontal de la función. Un signo (+) en la
fase, implica que la función se adelante (o sea, se corre a la izquierda) y un signo (-) en
la fase implica que la función se atrase (o sea, se corre a la derecha).
c) f (x )= sen (x + π )
Solución.
La gráfica muestra como la función se adelanta p unidades (por el signo +), sin
embargo la amplitud y la frecuencia no cambian.
6
y
2
1
-2p
-
3p
2
-p
-
p
2
-1
p
2
p
3p
2
x
2p
-2
CONSTANTE
Si a la función f(x) se le agrega una constante c ésta se desplazará c unidades hacia
arriba si su signo es más o se desplazará unidades hacia abajo si su signo es menos.
d) f (x )= 2 + sen (x )
Solución.
En este caso no se modifica ningún parámetro: la gráfica es igual a la función
f (x )= sen (x ), sólo que se desplaza 2 unidades hacia arriba.
y
3
2
1
-2 p
-
3p
2
-p
-
p
2
-1
7
p
2
p
3p
2
x
2p
PARÁMETROS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
En general, una función trigonométrica presenta tres parámetros fundamentales:
Amplitud (A), Frecuencia (k) y Fase (α).
Sea una función de la forma:
( )=
∙ (
+ )+
πö
æ
e) f (x )= 5sen ç4 x - ÷
3ø
è
Solución.
Aquí se modifican todos los parámetros: la gráfica tiene una amplitud de 5 (es muy
π
grande), tiene una frecuencia de 4 (se repite más) y se atrasa
unidades (por el
3
signo -).
y
5
-2p
-
3p
2
-p
-
p
2
p
2
p
3p
2
-5
4 veces en 2p
p
3
8
2p
x
OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN
El objetivo del trabajo es aplicar los conocimientos adquiridos en el salón de clase
mediante la realización de un juego didáctico, donde se pongan a prueba los conocimientos
del alumno sobre alguna de las unidades del programa de Matemáticas en este caso
Matemáticas V Unidad 2 Funciones Trigonométricas, dentro del Tema Parámetros de las
Funciones Trigonométricas y logren por medio de esta herramienta conocer, comprender y
ampliar los conocimientos acerca de la realización de gráficas de las funciones
trigonométricas (función seno y coseno), así como los parámetros de las mismas, como
lo son la amplitud, fase, frecuencia y constante, de manera que se alcance un alto
dominio del tema y que a su vez facilite el aprendizaje a alumnos que presentan
algunas dificultades en su comprensión.
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PROBLEMA
Una de las dificultades en la asignatura de matemáticas es relacionar lo aprendido y
sobretodo tener pleno dominio de los temas. Dentro de la Unidad 2 Funciones
Trigonométricas de la asignatura de Matemáticas V existe en el programa de la
asignatura un tema denominado Parámetros de las Funciones Trigonométricas, que se
torna complicado en muchas ocasiones a los alumnos por las dificultades que pueden
surgir en la explicación de los conceptos, por lo que se propone la elaboración de un
material didáctico que permita la mejor comprensión, manejo y sobretodo lograr tener
mayor interés y participación en esta asignatura, la cual en muchas ocasiones se
convierte en un obstáculo para los estudiantes. Con la realización de este trabajo para
el tema de parámetros de las funciones trigonométricas, se pretende que los alumnos
comprendan las definiciones y amplíen el conocimiento mediante la práctica, es por ello
que se realizó un material didáctico en el cual pueden practicar la realización de las
gráficas de las funciones seno y coseno, y con la modificación de sus parámetros
obtener las nuevas representaciones a partir de la amplitud, fase, frecuencia y
constante, para que se esta forma asimilen y comprendan dichos conceptos y logren
relacionarlos con lo visto en el aula.
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HIPÓTESIS
Se pretende que con la realización de este trabajo, los alumnos comprendan las
definiciones y amplíen el conocimiento mediante la práctica. Ya que mediante un juego
didáctico se pueden lograr diversas posibilidades educativas, puesto que a través del
juego se puede revelar por parte del estudiante su carácter genuino, sus defectos y
virtudes, ya que existe libertad de hacer todo aquello que espontáneamente desean, a
la vez que desarrollan sus cualidades. A través del juego se pueden inculcar muchos
principios y valores: generosidad, dominio de sí mismo, entusiasmo, fortaleza, valentía,
autodisciplina, capacidad de liderazgo, altruismo.
Sobre todo se pretende que exista un aprendizaje de los contenidos temáticos que
permita al estudiante asimilar, comprender y aplicar los parámetros de las funciones
trigonométricas, por medio del juego didáctico elaborado.
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DESARROLLO
Para la realización del material didáctico, primero se vieron en clase los conceptos y
definiciones explicadas en el marco teórico, que son fundamentales para la realización
del juego didáctico, ya que para realizarse se debe comprender bien cada una de ellas
y tener un pleno dominio y comprensión de los mismos.
Una vez visto el tema y teniendo conocimiento del mismo, se busca adaptar el
contenido temático a un juego didáctico, que cumpla con las siguientes características:
Elaborar un juego de mesa en donde se pongan a prueba los conocimientos del alumno
sobre alguna de las unidades del programa de Matemáticas, en este caso Unidad 2
Funciones Trigonométricas, tema Parámetros de las Funciones Trigonométricas.
El juego debe contener: Titulo del juego, tema de Matemáticas correspondiente,
instructivo (reglas del juego), tablero, contenido del juego y una caja cerrada que
deberá contener todos los elementos del mismo.
Para elaborar el juego se empleo la herramienta de computo Geogebra, para la
elaboración de las gráficas y poder anexarse a las tarjetas y tablero.
Fundamento y objetivo didáctico
Aprender de forma divertida a graficar las funciones seno y coseno a través de
ejercicios didácticos indeterminados que permiten la manipulación de todos los
parámetros de una función.
Fundamento y objetivo académico
Tu y un amigo toman lugar entre el combate de Phant y Trant por decidir cuál de los 2
es mejor para graficar funciones. Escoge tu rol y llega a la base del otro antes que
llegue a la tuya.
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Como jugar:
1.- Se decide entre los 2 jugadores quien tomara la base roja y quien la azul.
2.- Ambos jugadores lanzan el dado correspondiente al color de su base, quien saque
el número más grande tendrá derecho al primer turno.
3.-El turno inicia con el lanzamiento del dado propio, el número que este arroje es el
número de casillas a avanzar.
4.-Si se cae en una casilla vacía (sin imagen) se conserva la posición sin ningún
requerimiento, las casillas con imagen tienen sus respectivas condiciones y de estas
depende que al cumplirse o no el jugador permanezca en la casilla.
5.-Para graficar las funciones se usan las cuadriculas, la derecha para el jugador Phant
y la izquierda para Trant.
6.- Gana el primer jugador en llegar a la base del contrario con el número de casillas
avanzadas exactas.
Tablero de Juego de Mesa:
Está diseñado para poder realizar las gráficas de las funciones trigonométricas (seno y
coseno) modificando sus parámetros como son Amplitud, Frecuencia, Fase y
Constante, haciendo uso de un plumón y pintando en el área de trabajo del tablero que
puede borrarse fácilmente con ayuda de un pañuelo seco.
Además que dentro de la caja se encuentra el material de apoyo incluido como lo es:
1 plumón negro
1 dado por jugador
54 tarjetas de juego: 10 a, 8 c, 8 d, 6 f.
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Tablero
Instructivo del juego:
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Instructivo con tips para la realización de las gráficas, en función de los parámetros:
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Presentación del juego
Es importante que antes de jugar se dé una explicación que debe cumplir lo siguiente:
1.
describir el juego
2.
definición del campo de juego
3.
concreción del papel de cada jugador
4.
reglas claras y forma de puntuar (avanzar)
5.
dar oportunidad de que los participantes pregunten todas sus dudas
6.
anunciar que ocurrirá en caso de incumplir las reglas
7.
comenzar ordenadamente
8.
hacer un reparto justo de forma que los dos tengan la oportunidad de ganar.
9.
presentar el juego con dinamismo, que invite a jugar
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10. hablar con autoridad, exigir atención, no admitir preguntas de normas ya
explicadas
11. si es necesario, hacer un ensayo previo
Durante el juego
Es necesario un árbitro imparcial que vigile su marcha, así como mantener el interés y
cambiar el ritmo del juego si resulta demasiado largo o poco interesante.
Final del juego
1. se concretará el ganador.
2. se efectuará una evaluación del mismo
3. recoger el material utilizado
4. organizar para que todo regrese a la normalidad
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RESULTADOS
La realización de este juego cumple con los objetivos buscados como son aplicar los
conocimientos adquiridos en el salón de clase mediante la realización de un juego
didáctico, donde se pongan a prueba los conocimientos del alumno sobre alguna de las
unidades del programa de Matemáticas en este caso Matemáticas V Unidad 2
Funciones
Trigonométricas,
dentro
del
Tema
Parámetros
de
las
Funciones
Trigonométricas y logren por medio de esta herramienta conocer, comprender y ampliar
los conocimientos acerca de la realización de gráficas de las funciones trigonométricas
(función seno y coseno), así como los parámetros de las mismas, como lo son la
amplitud, fase, frecuencia y constante, de manera que se alcanzó un alto dominio del
tema y que a su vez facilitó el aprendizaje a alumnos que presentan algunas
dificultades en su comprensión.
Es importante mencionar que para el diseño de un material de esta índole, se debe
conocer bien el tema, para ser desarrollado de manera adecuada, por lo que se parte
de conceptos y definiciones vistas en clase, y posteriormente se profundiza,
auxiliándose de herramientas como lo es el software de geogebra para el diseño del
material, por lo que los alumnos además de aprender matemáticas complementan su
aprendizaje con el uso de software para la elaboración de sus diseños.
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ANALISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
El realizar un juego de mesa con contenido matemático es una actividad pensada para
un grupo determinado y con unos objetivos específicos como lo es conocer,
comprender y ampliar los conocimientos acerca de la realización de gráficas de las
funciones trigonométricas (función seno y coseno), así como los parámetros de las
mismas, como lo son la amplitud, fase, frecuencia y constante. La participación del
profesor, es en todo momento, la de animador, permitir que el individuo actúe con
libertad dentro del juego, cuidará de que el ánimo no decaiga, y observará los
comportamientos y reacciones de los participantes.
Con este juego didáctico se logró en primer lugar captar la atención de los alumnos,
fomentar el espíritu de sana competencia, ampliar los conocimientos adquiridos en el
aula, motivar la participación, mejorar la relación alumno – alumno y alumno – profesor,
ampliar el conocimiento de conceptos vistos en el aula y relacionarlos con problemas
específicos, etc.
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CONCLUSIONES
Con la realización de este trabajo podemos concluir que, mediante el diseño,
implementación y puesta en marcha del juego didáctico se presentan dos elementos
muy importantes como son: la creatividad y la libertad. Esto implica valores morales
como; espíritu de superación, lealtad, cortesía, alegría, responsabilidad, perseverancia,
espíritu deportivo, dominio de sí mismo. Así como, valores humanos; tanto intelectuales
como: inteligencia, atención, memoria, iniciativa, observación, creación, sentido
colectivo. Ya que por medio de un juego dirigido se puede lograr en los alumnos, mayor
interés por la asignatura y sobre todo por temas que normalmente se dificultan a los
alumnos. De esta manera se logra establecer la relación entre las matemáticas, el
conocimiento y la diversión, de manera que se eviten los conceptos complicados o
difíciles. Por otro lado se diseñó un juego de mesa, donde se pusó a prueba los
conocimientos del alumno sobre alguna de las unidades del programa de Matemáticas,
en nuestro caso Unidad 2 de Matemáticas V, con el tema funciones trigonométricas,
además de buscar formar lazos afectivos para los alumnos que aprenden matemáticas.
Si los conocimientos se desarrollan en un contexto conocido y agradable para el
alumno, por lo que se logró mejorar su rendimiento en los contenidos.
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BIBLIOGRAFÍA
· De
Oteyza,
Elena
et
al.,
Geometría
Analítica.
México,
Prentice-Hall
Hispanoamericana, 1994.
· Dolciani, Mary P. et al., Álgebra moderna y Trigonometría 2. México,
Publicaciones Cultural, 1991.
· Guerra, Manuel y Silvia Figueroa, Geometría Analítica para bachillerato. México,
McGraw-Hill, 1994
· Documento de Ayuda para GeoGebra Manual Oficial de la Versión 3.0 Markus
Hohenwarter y Judith Preiner www.geogebra.org, Ultima modificación: de versión
en castellano, 21 de Julio del 2007
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