problemas de funciones exponenciales y logarítmica

1º Bachillerato
IES EL PILES
Funciones
PROBLEMAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES
Y LOGARÍTMICA
La función exponencial se encuentra un poco en todas partes. En la naturaleza y en la
sociedad. En el desarrollo de una planta, en la extensión de una epidemia, en la
evolución de una población, de la radiactividad, etc. Una frase idónea para ella sería:
Cuando el grado de desarrollo es proporcional al estado de desarrollo, eso puede que
sea una exponencial"
1. La concentración de alcohol en la sangre de una persona puede medirse. Recientes
investigaciones médicas sugieren que el riesgo R (dado con un porcentaje) de tener
un accidente al conducir un vehículo puede presentarse por medio de la ecuación
R=6.ekx donde x es la concentración variable de alcohol en la sangre y k es una
constante.
a. Suponiendo que una concentración de alcohol en la sangre de 0,04 da
como resultado un riesgo del 10% (R=10) de tener un accidente.
Encuentra la constante k de la ecuación.(Solución:k=12,77)
b. Con este valor k, ¿cuál es el riesgo si la concentración es de 0,17?
(Solución: 52,6%)
c. Con este mismo valor de k, ¿qué concentración de alcohol corresponde a
un riesgo del 100%? (Solución: 0,22)
d. Si la ley establece que cualquier persona con un riesgo de tener un
accidente del 20% o mayor no está autorizada para conducir, ¿qué
concentración de alcohol en la sangre debe tener un conductor para ser
arrestado? (Solución: ≥ 0,094)
2. Supongamos que el porcentaje R de personas que responden al anuncio de
un producto nuevo en un periódico y que lo compran después de t días, viene
dado por la fórmula R(t ) = 50 − 100 ⋅ e −0,3t
a. ¿Qué porcentaje de personas ha respondido y comprado después
de 5 días? (Solución: 27,68% ≈ 28%)
b. ¿Qué porcentaje ha respondido y comprado después de 10 días?
(Solución: 45,021 ≈ 45%)
c. ¿Cuál es el máximo porcentaje esperado de gente que responde y
compra? Solución: lim 50 − 100 ⋅ e −0,3t = 50%
x→∞
(
)
3. La cicatrización normal de una herida puede obtenerse por medio de una
función exponencial. Si A0 representa el área original de la herida y A es
igual al área de la herida después de n días, entonces la fórmula
A(n) = A0 ⋅ e −0,35n describe el área de la herida en el enésimo día después de
ocurrida la lesión. Suponiendo que una herida tenía inicialmente un área de
100 centímetros cuadrados
a. Una vez comenzada la cicatrización ¿cuál será el área de la
herida después de tres días? (Solución: A=34,99 ≈ 35cm 2 )
b. ¿Cuál será la superficie de la herida después de 10 días?
(Solución: A = 3,019 ≈ 3cm 2 )
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4. ADMINISTRACIÓN La ecuación de demanda para x unidades de un
producto con respecto al precio por unidad, P, está dado por
P = 100 + 0,2 ⋅ e 0,005 x
a. Encontrar el precio si la demanda es de 1000 unidades.
(Solución: 101)
b. Encontrar la demanda si el precio es de 80 000$. (Solución:
2718,34 ≈ 2719 )
5. CRIMINOLOGÍA Cuando un médico forense que investiga la causa de un
fallecimiento llegó al mediodía al lugar del homicidio, descubrió que la
temperatura del cuerpo de la víctima era de 31ºC. La habitación en la que se
encontraba tenía una temperatura constante de 20ºC. Suponiendo que la
constante k es -0,0044, utilizar la fórmula de la Ley de enfriamiento de
Newton ( u = T + (u 0 − T ) ⋅ e kt ) para determinar la hora aproximada de la
muerte (Sugerencia: la temperatura normal de una persona viva es de 37ºC)
(Solución: t=98,93minutos=98m56sg)
6. Después del escape de material radiactivo hacia la atmósfera en la planta
nuclear de Chernobyl (Ucrania) en 1986, el heno en Austria estaba
contaminado por yodo-131, el cual se desintegra según la ley
A = A0 ⋅ e −0, 0871t donde A0 es la cantidad inicial presente de I-131 y A es la
cantidad del mismo presente después de t días. Si se permite dar el heno al
ganado cuando le quede un10% del I-131, ¿Cuánto tiempo deberán esperar
los ganaderos para poder usar ese heno? (Solución : t=26,43 años= 26 años y
medio)
7. Con la finalidad de determinar la retención de conceptos aprendidos, se practicó un
examen a un grupo de estudiantes y, a partir de esa fecha se les reexaminó cada mes
utilizando una prueba equivalente. Los resultados mostraron que el
promedio en puntuación D satisfacía la fórmula D = 80 − 12 ln( x + 1) dónde x es el
tiempo en meses
a) ¿Cuál fue la puntuación promedio inicial en el examen? (Solución: 80)
b) ¿Cuál fue la puntuación promedio de 1 año? (Solución: 49,22)
c) ¿Después de cuántos meses la puntuación promedio cayó por debajo de 60?
(Solución 4,29 meses =4 meses y 9 días aproximadamente)
8. Duración de la ropa. La degradación de un tejido después de n lavados en una
lavadora, viene dada por la fórmula F = e − an , donde F es la fracción de tejido que
se permanece, n es el número de lavados y “a” la constante de degradación que es
para un cierto tejido a = 1,5.10 −4 . Si asumimos que las prendas dejan de ser aptas
para vestir cuando han perdido un 1,5 por ciento de sus fibras ¿Cuántos lavados
serán posibles?
9. Facturas de electricidad. En el invierno, la Commonwealth Edison Company
suministra corriente eléctrica a los hogares con un cargo mensual de 9,06$ +10,819
centavos por kilowatio-hora (kWh) en los primeros 400 kWh suministrados en el
mes y 7,093 centavos por cada kWh que pase de 400 kWh en el mes
a. ¿Cuánto debe pagarse por usar 300kWh en un mes?
b. ¿Cuál es el importe de la factura por usar 700 kWh en un mes?
c. Si C es el importe de la factura mensual por x kWh, expresa C en
función de x.
d. Haz una gráfica aproximada
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10. Trabajo de consultoría para la Silver Satellite & Cable TV CO. Como empleado
de la compañía Silver Satellite & Cable TV Company en el departamento de
investigación y desarrollo, se te ha encargado obtener una fórmula para determinar
el coste de tender cable desde un registro hasta una nueva residencia. El primer caso
que analizarás es el de la familia Stevens que posee una casa de campo con una
calzada de acceso de 2 millas de longitud, que va de la casa a una carretera cercana.
El registro más próximo está a 5 millas a lo largo de la carretera desde la calzada.
A la compañía le cuesta 10$ por milla instalar el cable a lo largo de la carretera y
24$ por milla instalarlo fuera de la carretera. Como la casa de los Stevens está
rodeada por terreno agrícola del cual ellos son los dueños, sería posible tender el
cable a través de este terreno directamente desde el registro o desde cualquier
punto entre el registro y la calzada.
• Dibuja un croquis que muestre la situación topográfica del problema;
suponiendo que la carretera es recta y que la calzada de acceso a la casa es
también recta y perpendicular a la carretera. Incluye dos o más posibles rutas
para el tendido del cable.
• Suponiendo que x representa la distancia en millas de cable tendido a lo
largo de la carretera desde el registro hasta antes de desviarse hacia la casa.
Expresa el coste total de la instalación en función de x
• Haz una tabla de los posibles valores enteros de x y el coste correspondiente
en cada caso. ¿Hay algún caso que parezca conducir a un coste mínimo?
• Si se cobra 80$ por la instalación a los Stevens ¿aceptaría la compañía que
ellos escogieran la ruta del cable? Explica la respuesta.