Razones y proporciones

Razones y proporciones
Llamaremos razón a toda relación de comparación entre dos cantidades distintas de cero.
Por ejemplo si en un grupo hay 12 varones y 8 damas, las razones a encontrar pueden ser
N° de Varones
N° de Varones
Total de personas
,
,
, etc.…
N° de Damas Total de personas
N° de Damas
Usaremos la notación
a
o bien a : b la cual se leerá como “a” es a “b”.
b
A la parte inicial “ a” le llamaremos Antecedente y a la segunda, “ b”, Consecuente
El cuociente entre ambas partes se conoce como el valor de la razón.
Luego
antecedente
= valor de la razón
con sec uente
Proporciones
Llamaremos proporción a toda igualdad entre dos razones
Se anotara de la forma a : b = c : d o
a c
= y se leerá de la forma “ a es a b como c es a d”
b d
Llamaremos media proporcional geométrica a un termino tal que sea el consecuente de la
primera razón y el antecedente de de la segunda
Ejemplo
La media proporcional entre 4 y 100
4
x
=
x 100
Desarrollo
4 ⋅100 = x 2
x = 400 = ±20
3. Calcular la media proporcional geométrica entre:
a) 121 y 25
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R: 55
b) 72 y 32
1
R: 48
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Razones y proporciones
Las proporciones se dirán directas si en la situación de que una de ellas aumenta, la otra
también lo hace. En este caso particular la técnica de trabajo será operar multiplicando
cruzado.
Por ejemplo
Si en 2 horas camino 10 kilómetros ¿Cuántos puedo caminar en 6 horas?
Al plantear la situación se llega a la siguiente estructura
Es decir que la situación se puede expresar de la forma
2 x = 6 ⋅10
60
x=
2
x = 30 [ kilometros ]
+
+
Tiempo en horas Distancia
2
10
6
x
Analice la idea. Si camina MÁS horas, recorre MÁS distancia. Por ende ambas partes
aumentan. Esa es la técnica para identificar el proceso a usar
Ejercicios
1. Indicar si las siguientes expresiones corresponden a una proporción:
1
1
4
8 4
1, 2 3, 6
3 0,5
=
=
=
= 2
2
1
16 8
4
12
7 1, 2
3
4
2. Encontrar el término desconocido en las proporciones :
a)
t 5
=
6 3
b)
0,5
5
=
x
0,3
c)
3
y
=
0,18 4
1
1
d) 4 = 9
6
z
R: t = 10 ; x = 0,03 ; y = 66,6 ; z = 8/3
Nota: Al graficar los elementos de una proporción directa siempre tendremos una curva
derechita que pasa por el origen. La pendiente de dicha recta siempre corresponderá al
valor de la razón.
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Razones y proporciones
Las proporciones se dirán inversas si al aumentar una de ellas la otra disminuye. Tal es el
caso entre la velocidad y el tiempo que demora en recorrer una distancia, El número de
trabajadores y la cantidad de trabajo para cada uno de ellos, el número de personas
ganadoras Kino y el monto que recibirá cada uno. En estos casos una cantidad permanece
constante, correspondientemente la distancia, la cantidad de trabajo y el monto del premio.
El como enfrentar este tipo de situaciones se ilustrara con un ejemplo
Supongamos que una persona viaja en su auto a 60 km/h, demorándose 2 horas en
llegar a su trabajo. ¿Cuanto se demoraría si viajara a 80 km/h?
La estrategia es escribir adecuadamente las partes de tal que se evidencien las
características del proceso. No es difícil coincidir en el criterio de que si aumenta su rapidez
disminuirá el tiempo del viaje, por ende la distancia recorrida es contante, en consecuencia
el producto entre antecedente y consecuente de la prima razón es equivalente al producto en
la segunda, lo cual permite plantear la igualdad que se ve a la izquierda
80 x = 60 ⋅ 4
240
x=
80
x = 3 [ horas ]
+
Rapidez Tiempo
60
4
80
x
La grafica de los elementos de una proporción inversa siempre corresponderá a una
hipérbola tal que sus asíntotas son los ejes ordenados.
Por
ejemplo,
para
el
problema
planteado,
podemos graficar la relación
entre la rapidez y el tiempo,
siendo este ultimo el que
podemos controlar.
Anotando en el eje vertical la
variable de tiempo y en el eje
vertical la rapidez se puede
leer perfectamente la relación
entre ambas variables. A
mayor
rapidez,
menor
tiempo, y a mayor tiempo
menor rapidez
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Razones y proporciones
Composición y descomposición en proporciones
Si conocemos una razón entre dos elementos, podemos combinar sus partes para
relacionarlas en torno a situaciones específicas, para así simplificarnos el proceso de
resolución de algún problema.
Por ejemplo
Si
a c
a+b c+d
a c
a
c
= ⇒
=
=
y del mismo modo = ⇒
b d
b
d
b d
a+b c+d
A este proceso se le conoce como composición de términos
Y por otra parte
a c
a −b c−d
a c
a
c
y del mismo modo = ⇒
= ⇒
=
=
b d
b
d
b d
a −b c−d
¿La ventaja?
Podemos componer y descomponer alternativamente sin que por ello se pierda la
proporcionalidad. De hecho
a c e g
α a + β c − λe + δ g
= = = = valor , entonces
= el mismo valor , si y solo si los
αb + β d − λ f + δ h
b d f h
valores de α , β , λ y δ son distintos de cero
Si
Aplicaciones generales en distribución de elementos
Supongamos que se desea repartir una cierta cantidad, ($175), entre dos personas de tal
que por cada $3 que le demos a una de ellas, a la otra le entreguemos $4.
Claramente se trata de una proporción directa, pues ambas cantidades aumentan
¿Cómo plantearlo?
Use la siguiente estrategia
Considere como “a” la cantidad de la primera persona y “b” la cantidad de la segunda,
entonces la suma de “a” y “b” corresponderá a la cantidad total
De aquí es evidente que la razón entre las
cantidades es 25, es decir, repartirá 25 veces
las cantidades indicadas, por ende la primera
persona recibe $25 ⋅ 3 = $75 y la segunda
$25 ⋅ 4 = $100
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4
a b a + b 175
= =
=
= 25
3 4 3+ 4
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Razones y proporciones
Plantear y resolver los siguientes problemas:
a) Dos amigos se reparten $ 75.000 en la razón 2:3 . ¿Cuánto recibe cada uno?
R: $ 30.000 y $ 45.000.
a b a + b $75000
= =
=
= $15000
2 3 2+3
5
Luego cada uno recibe en directa proporción
2 ⋅ $15000 = $30.000
3 ⋅ $15000 = $45.000
b) En una ciudad la razón entre el número de autos y el número de camionetas es 4:3.
Si hay 204.000 autos ¿Cuántas son las camionetas?
R: 153.000 camionetas.
autos
camionetas
4
3
204.000 ⋅ 3
=
→
= →x=
= 153.000
204.000
204.000
4
x
x
c) Tres personas han efectuado un trabajo por el cual han cobrado $ 840.000. Si la
primera ha trabajado 8 días, la segunda 10 días y la tercera 12 días, ¿cuánto cobra
cada una ?
R: La 1ª: 224.000 ; la 2ª: 280.000 y la 3ª : 336.000.
a b
c
a+b+c
$840000
= = =
=
= $28000
8 10 12 8 + 10 + 12
30
d) Un determinado automóvil consume 8 galones de gasolina para recorrer 150 millas.
Con el mismo consumo de gasolina, determinar cuánto combustible se necesita para
recorrer una distancia de 400 millas.
R: 21,33 galones.
galones millas
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8
150 → x =
x
400
5
8 ⋅ 400
150
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Razones y proporciones
e) Para embaldosar un piso de 15 m2 de superficie, se utilizaron 300 baldosas.
¿Cuántas baldosas de igual tamaño se necesitarán para cubrir un piso de 8 m de
largo por 3 m de ancho?
R: 480 baldosas.
2
mt baldosas
24 ⋅ 300
15
300 → x =
15
x
24
f) Un buque hace una travesía en 7 horas 10 minutos, con una velocidad de 20 nudos.
¿Cuántas horas empleará a la velocidad de 28,66 nudos? R: 5 horas.
tiempo
velocidad
430 min
20
x
28.6
→x=
430 ⋅ 20
= 300 min = 5 horas
28.6
g) Hay diapositivas que miden 3,5 cm de largo por 2,45 cm de ancho. Si una
proyectora da una imagen de 90 cm de largo. ¿Qué ancho tiene la imagen ?R: 63
cm.
largo ancho
90 ⋅ 2, 45
3,5
2.45 → x =
3,5
90
x
h) Un automóvil recorre 225 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 10
horas con la misma velocidad?
R: 750 km.
distancia
225 km
x
tiempo
3 horas → x =
10 horas
225 ⋅10
3
i) Para imprimir 3 páginas de 55 líneas una impresora emplea 60 segundos. ¿Cuántas
páginas de 40 líneas entregará en 80 segundos?
R: 5,5 páginas.
paginas tiempo lineas
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3
60 seg
55 → x =
x
80 seg
40
6
3 ⋅ 80 ⋅ 55
60 ⋅ 40
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Razones y proporciones
j) Una provisión de alimento alcanza 15 días para 1000 personas. ¿Cuánto durará la
provisión para 1200 personas?
R: 12,5 días.
dias
personas
15
1000
x
1200
→x=
15 ⋅1200
1000
Proporciones compuestas
Cuando relacionamos varias situaciones la estrategia adecuada está en ordenar las ideas de
talque se puedan comparar por pares.
Por ejemplo
Si 3 obreros pueden pintar 200 m2 en 4 días trabajando una jornada de 6 horas. ¿Cuánto
demorarían 8 obreros en pintar 300 m2 en jornadas de 5 horas? ¿Cuantos metros cuadrados
pintarían 8 obreros en 20 días en jornadas de 4 horas?
Desarrollemos
Analicemos el caso en forma simple.
Más obreros implican más metros
cuadrados.
Más metros cuadrados implican más días
Más días implica menos horas, por día de
trabajo.
+
+
+
2
Obreros m Días horas
3
200
4
6
8
300
x
5
Luego la solución al problema esta dada por
8 ⋅ 200 ⋅ x ⋅ 5 = 3 ⋅ 300 ⋅ 4 ⋅ 6
3 ⋅ 300 ⋅ 4 ⋅ 6
= 2, 7 Dias
x=
8 ⋅ 200 ⋅ 5
es decir, 3 días.
Desarrolle la segunda pregunta y decida adecuadamente
Para la segunda pregunta puedes usar la misma estructura, o simplemente cambiar
adecuadamente según la forma en que tú lo entiendas.
La solución es 1777 metros
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Razones y proporciones
Ejercicios
a) 12 operarios confeccionan 192 artículos en 20 días de 8 horas de trabajo. ¿Cuántas
horas deben trabajar diariamente 18 operarios para confeccionar 270 artículos en 25
días?
R: 6 horas.
b) Una familia de 4 personas consume 12 litros de leche en 5 días. La familia recibe
invitados y el consumo aumenta a 18 litros en 2 días. ¿Cuántas personas recibió la
familia si el consumo por persona se mantiene?
R: 11 personas.
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Ahora a ejercitar
Proporcionalidad Directa.
1) Si 5 m de género valen $8500, ¿cuánto valen 8 m? R: valen $13600
2) Veinte alumnos hicieron una excursión y consumieron 15 botellas de jugo. ¿Cuántas
botellas de jugo se habrían consumido, si hubieran ido los 50 alumnos del curso? R: 38
botellas
3) A cierta hora de un día asoleado, una persona, de 1,75 m de altura, proyecta una sombra
de 1,25 m de longitud. Calcula la altura de un árbol del lugar que, en el mismo momento,
tiene una sombra de 12 m de largo. R: 16,8 metros
4) Una piscina con un largo de 12cm y un ancho de 4cm., dibujada en un plano. Si en la
realidad el largo es 36m, ¿cuál es el ancho? R: 12 metros
5)¿Existe proporcionalidad entre las áreas de dos cuadrados y sus lados? Justifica tu
respuesta.
6) Un automóvil puede recorrer 93 km con 12 litros de gasolina. ¿Qué distancia podrá
recorrer con 20 litros? R:155 kilometros
7) Un buey atado a un árbol con una cuerda de 5 m, tarda 8 días en consumir la hierba que
tiene a su alcance. Si se alarga la cuerda 2 m, ¿para cuántos días tendrá comida?
(sugerencia: las áreas de dos círculos son proporcionales a los cuadrados de sus radios)
R:15 dias
8) Dos automóviles permanecieron, durante un mismo tiempo, en movimiento. Si el
primero recorrió 240 km y la razón de sus velocidades es de 3 : 4, ¿cuántos km recorrió el
segundo? R:320 kilometros.
9) Para azulejar una pared de 15 m2 de superficie, fueron necesarios 300 azulejos. ¿Cuántos
azulejos, de igual tamaño, se necesitan para cubrir una pared rectangular de 8 m de largo
por 3 m de ancho? R:480 azulejos
10) Una hoja de aluminio de 250 cm2 de superficie masa 400 g. ¿Cuánto masará, una hoja
cuadrada, de 10 cm de lado, del mismo material? R:160 g
11) EI agua de mar contiene 2,5 g de sal por cada 100 g de agua. ¿Cuántos gramos de sal
hay en 5 kg de agua de mar? R:125 g
12) Una avenida de 600 m de longitud está siendo asfaltada. Si en 6 días fueron asfaltados
180 m, ¿en cuántos días el trabajo será terminado, suponiendo que el trabajo continúa al
mismo ritmo? R:14 dias
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13) Un comerciante invierte, en un negocio, un capital de $ 18 000 y obtiene, en cierto
tiempo, una utilidad de $ 5 000. ¿Cuánto debería haber invertido en este negocio para
obtener, durante el mismo tiempo, una utilidad de $ 6 000? R:21600
14) Los marinos miden la velocidad de los barcos en nudos. Un nudo equivale a 1,852
km/h (1.852 metros equivalen a una milla marina, que no hay que confundir con la milla
terrestre).
Calcular
• La velocidad en kilómetros de un barco que va a 32 nudos. R:59,264 km/h
• La velocidad en nudos de un barco que va a 60 km/h.
R: 32,39 nudos
• ¿Qué va más rápido, un barco a 30 nudos o a 55 km/h?
R: el barco a 30 nudos
15) En 12 barriles se pueden guardar 660 litros de bencina. ¿Cuántos barriles se necesitan
para guardar 4.290 litros? R:78 Barriles
16) Un segmento AB mide 33 cm. Se quiere dividir en dos segmentos que están en la razón
5 : 6. ¿Cuánto mide cada segmento? R:15 y 18 cm
17) El peso total de 3 personas es 120 kilos en la razón de 4 : 3 : 1. ¿Cuál es el peso de cada
persona? R:60, 45 y 15 kilos
18) Rosa pesa 48 kilos y José pesa 52 kilos. Dividir una barra de chocolate de 200 gramos
en la misma razón que sus pesos. R:96 y 104 gramos
19) Un automóvil gasta 40 litros de bencina para recorrer 510 kilómetros. ¿Cuántos litros
gastará al recorrer 96 kilómetros? R:7,53 litros
20) Un jardinero ocupa 2 kilos de fertilizante para un jardín de 125 m2. ¿Cuántos kilos
necesita para un jardín de 300 m2? R:4,8 kilos
21) Cristóbal corta un cordel de 72 metros en 4 partes que están en la razón 1 : 2 : 3 : 2.
Calcular la medida de cada segmento. R: 9, 18, 27 y 18 metros
22) Un transportista traslada 90 toneladas de ripio en 5 viajes. Si debe transportar 144
toneladas, ¿cuántos viajes debe realizar? R:8 viajes
23) En una fiesta, la cantidad de bebidas gaseosas con que se cuenta se puede repartir
totalmente en 50 vasos de 0,3 litros.
•
•
•
¿Cuántos vasos de 0,2 litros se podrían ocupar?
R:75 vasos
¿Cuántos vasos de 0,1 litros se podrían ocupar?
R: 150 vasos
Si la bebida viene envasada en botellas 1,5 litros, ¿cuántas botellas hay? R:10
botellas
24) Una rueda de un auto da 4.590 vueltas en 9 minutos. ¿Cuántas vueltas dará en 24 horas
y 24 minutos? R: 746640 vueltas
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25) Un termo consume 900 litros de gas en 5 horas y media. Otro termo consume 100 litros
de gas en 3 horas y media. ¿Cuál de los dos termos gasta más por hora? R: el primero a
razón de 163,63 litros/hora
26) Cada página de un libro tiene 32 líneas. El libro tiene 70 páginas. ¿Cuántas páginas
ocuparía el mismo libro si en cada página se colocaran 35 líneas? R:64 paginas
27) En un grupo de personas, por cada 3 mujeres hay 5 hombres. Si el número total de
mujeres es 120, ¿cuántos hombres hay? R:200 varones
28) En un mapa, 14 cm representan 238 km de una carretera. ¿Por qué longitud viene dada
la de otra carretera que mide 306 km? R:18 cm.
29) Se sabe que las alturas y las sombras de los árboles son proporcionales. La sombra del
árbol grande es 40 m. La sombra del árbol pequeño es 2 m, y su altura es 1,5 m. Halla la
altura del árbol grande. R:30 metros
30) Dos figuras semejantes tienen sus lados directamente proporcionales y sus ángulos
iguales. Si dos hexágonos tienen sus lados en la razón 1 : 3, ¿cuál es la razón de sus
perímetros? R: 1/3
31) La mamá de Sofía hizo un queque para 6 personas y ocupó 4 huevos. ¿Cuántos huevos
ocuparía en hacer un queque para 9 personas? R: 6 huevos
32) Para que ardan 12gr de carbón se necesitan 22,4 litros de oxígeno.¿Cuántos litros de
oxígeno se necesitan en la combustión de 42gr de carbón? R:78,4 litros
33) En 10 vueltas una tuerca avanza 12mm ¿Cuántas vueltas habrá que darle para que
avance 70cm? R:600 vueltas
34) Me llenaron con miel una botella de 0,9 litros y pagué $2.100. ¿Cuánto pagaría por 8
litros de miel? R: $18.667.35) En el envase de una leche descremada en polvo dice que cada 100gr de leche contienen
51,8gr de lactosa. ¿Cuántos gramos de lactosa consume al mes una persona que toma 2
tarros de esa leche de 350gr cada una? R:1352 gramos de lactosa
36) El curso de Alejandra. Que tiene 35 niños, está planificando una visita a la casa de
Pablo Neruda en Isla Negra. Tendrán que arrendar un bus cuyo precio es de $42000. No
hay seguridad de que irá el curso completo. ¿Cuánto deberá pagar cada niño si el paseo
asisten solamente 34, 33, 32 31 niños? R: $1234, $1273, $1313 y $1355.37) En un establo hay suficientes fardos de pasto para que 4 caballos se alimenten 20 días,
consumiendo la misma ración cada día. ¿Cuántos días alcanzarán los fardos si hay 1, 2, 5, 8
o 10 caballos en el establo? R: 80, 40, 16, 10 y 8 dias, correspondientemente
38) Felipe gana $12.000 diarios en su trabajo. ¿Cuánto dinero obtiene si trabaja 20 días?
R:240.000.Profesor Eduardo Flores
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Razones y proporciones
39) Marcela gana $540.000 mensuales (considera 30 días). ¿Cuánto dinero gana en 10 días?
R:$180.000.40) Francisca recorre 90 km en una hora, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas viajando
con la misma rapidez? R: 450 kilometros
41) Juan Pablo y Rodrigo compraron un número de rifa en $1.000. Juan Pablo puso $600 y
Rodrigo el resto. Si obtuvieron un premio de $200.000 y se lo repartieron en forma
proporcional al dinero que aportó cada uno, ¿cuánto dinero le corresponde a Rodrigo? R:
$120.000 y $80.000.42) Los ángulos interiores del triángulo, son entre sí como 1 : 2 : 3, ¿cuál es la medida de
cada uno de ellos? R: 30°, 60° y 90°
Proporcionalidad Compuesta
1. Si 30 máquinas fabrican 5 000 metros de tejido en 20 días, ¿cuántas máquinas, iguales a
las anteriores, será preciso poner en marcha para producir 7 000 m en 14 días? R: 60
maquinas
2. Un depósito de capacidad 500 litros es llenado por un grifo de 5 cm2 de sección en 12
horas. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse un depósito de 750 litros por un grifo de 8 cm2
de sección? R:11 horas y 15 minutos
3. Seis digitadores preparan 720 páginas en 18 días. ¿En cuántos días, 8 digitadores, de
igual eficiencia que los primeros, prepararán 800 páginas? R: 15 dias.
4. En una residencia con 30 estudiantes, se gastan $ 18 000 en 25 días. ¿Cuánto gastarían
42 estudiantes en 34 días, viviendo en idénticas condiciones? R: $34272.5. La alimentación de 12 animales, durante 8 días, cuesta $ 8 000. ¿Cuál sería el costo de
alimentación de 15 animales en 5 días? R: $6250.6. Un automóvil con una rapidez de 60 km/h , rodando 5 horas por día, hace cierto
recorrido en 12 días. Si su rapidez fuese 75 km/h y rodase 6 horas por día, ¿en cuántos días
haría el mismo recorrido? R: 8 dias
7. Un horno a petróleo consume 18 litros en 5 días, funcionando 4 horas diarias. ¿En
cuántos días consumirá 48 litros, si funciona 9 horas por día? R: 6 dias, aproximadamente.
8. Si con 300 Kg. de algodón pueden trabajar 8 telares durante 2 días, a razón de 6 horas
diarias, ¿cuántos kilogramos necesitarán 15 telares para trabajar 5 días, a razón de 10 horas
diarias? R:2343,75 kilos
9. Veinticinco ampolletas originan un gasto de $ 6000 al mes, estando encendidas 6 horas
diarias. ¿Qué gasto originarían 5 ampolletas en 45 días, encendidas durante 8 horas diarias?
R: $72.000.Profesor Eduardo Flores
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Razones y proporciones
10) Dieciséis operarios, trabajando 8 horas por día, producen 120 pares de zapatos por día.
Si se desea ampliar el mercado de ventas, ¿cuántos operarios, trabajando 10 horas por día,
pueden asegurar una producción de 300 zapatos por día? R: 32 operarios
11) Se sabe que 18 animales consumen 480 kg de alimento en 12 días. ¿Para cuántos días
les alcanzarían 360 kg del mismo alimento a 24 animales? R: 6 días
12) Un libro tiene 120 páginas de 27 líneas de 16 cm de largo cada una. Si se reimprime
con 36 líneas de 15 cm de largo por página, ¿cuántas páginas tendría el libro? R: 96 paginas
13) Cinco obreros instalan 50 postes trabajando 8 horas diarias. ¿Cuál es el número de
obreros que se necesitaría para instalar 120 postes de iguales características, trabajando 12
horas diarias? R: 8 obreros
14) Si 10 máquinas fabrican 4.000 unidades de un producto en 5 días, ¿cuántas máquinas
serán necesarias para triplicar la producción en 6 días, trabajando la misma cantidad de
horas diariamente? R: 25 maquinas
15) Una empresa constructora estima que son necesarios 30 obreros para terminar una obra
en 3 meses trabajando 8 horas diarias, ¿cuántos obreros necesitarían para terminar la obra
en 2 meses, trabajando 6 horas diarias? R: 60 obreros
16) Cuatro operarios producen en 10 días 320 unidades de un cierto producto. ¿Cuántas
unidades del mismo producto pueden producir 10 operarios en 16 días? R: 1280 unidades
17) Doce campesinos recogen una cosecha en 9 días trabajando 6 horas diarias, ¿cuántos
campesinos serán necesarios para recoger la cosecha en 3 días trabajando 8 horas diarias?
R: 27 campesinos
18) En 18 días, 20 máquinas aran un terreno de 60 hectáreas. ¿Cuántas máquinas iguales
aran un terreno de 36 hectáreas en 12 días? R: 18 maquinas
19) En un taller de confecciones, 6 operarios hacen 100 polerones en 1 día, trabajando 8
horas diarias. ¿Cuántos operarios serán necesarios para hacer 500 polerones en 2 días,
trabajando la misma cantidad de horas diarias? R: 15 operarios
20) Si 10 ampolletas originan un gasto de $6.000 al mes si se encienden 6 horas diarias,
¿cuántas ampolletas se deben apagar para que el gasto sea de $4.000 si se encienden 5
horas diarias? R: se deben apagar dos ampolletas.
21) Nueve obreros trabajan 8 horas diarias y pintan una casa en 12 días. ¿Cuántos días
demoran 18 obreros en pintar la misma casa trabajando 6 horas diarias? R: 8 dias
Profesor Eduardo Flores
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Razones y proporciones
22)Se quiere terminar de reparar una iglesia en Chiloé. Si 4 personas trabajando 8 horas
diarias durante 10 días repararon 5/8 del total,
a) ¿cuántos días, en las mismas condiciones, faltan para terminar de reparar la
iglesia? R: 6 días
b) ¿cuánto se demoran en reparar la iglesia 6 personas trabajando 6 horas diarias?
c) Si se duplica el número de personas y se disminuye a la mitad las horas diarias de
trabajo, ¿en cuánto tiempo terminan de reparar la iglesia?
23) Siete obreros cavan, en dos horas, una zanja de 10 m. ¿Cuántos metros cavarán, en el
mismo tiempo, 42 obreros, trabajando en las mismas condiciones? R. 60 metros
20) Si 4 gallinas en 4 días ponen 4 huevos cada una, ¿cuántos huevos ponen 12 gallinas en
12 días? R: 36 huevos
Proporcionalidad Inversa
1) La empresa “El Rica Manzana” necesita transportar 1.080.000 kg de manzana a
Concepción. Para ello, posee camiones cuya capacidad es de 15 toneladas. Si, en ese
momento, se dispone sólo de uno, ¿cuántos viajes deberá realizar?. ¿Y si tuviera dos o más
camiones?. Hace una tabla para observar cómo varía el número de viajes al cambiar el
número de camiones.
2) Con el dinero que tengo, puedo comprar 20 chocolates a $ 20 cada uno. Si los chocolates
suben a $ 25, ¿cuántos podré comprar? R: puede comprar 16 chocolates
3) La rapidez de un automóvil es de 70 km/h y demora 5 horas en recorrer una cierta
distancia. ¿Cuántas horas demorará, en recorrer la misma distancia, otro automóvil con una
rapidez de 80 km/h? R: 4 horas, 22 minutos y 30 segundos
4) Un grifo de 3 cm2 de sección demora 16 horas en llenar un estanque. ¿Cuántas horas
empleará, en llenar el mismo estanque, otro grifo de 6 cm2 de sección? R. 8 horas
5) Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 60 horas, ¿cuántas horas emplearán 42
telares iguales en producir la misma cantidad de tela? R:35 horas, 42 minutos y 52
segundos
6) Usando tuberías de 3,80 m de largo, se necesitan 5 000 tubos para construir un
acueducto. ¿Cuántos tubos de 4,20 m de largo se necesitarán para construir el mismo
acueducto? R:4524 tubos
7) Dos ruedas dentadas están engranadas. La primera tiene 12 dientes y la segunda 28.
¿Cuántas vueltas habrá dado la segunda, cuando la primera ha dado 84 vueltas? R: 36
vueltas
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Razones y proporciones
8) Veinte hombres hacen un determinado servicio en 10 días. ¿Cuántos hombres, de igual
capacidad que los primeros, serían necesarios para hacer el mismo servicio en 8 días? R:16
días
9) Cuarenta obreros pintan un edificio en 10 días. ¿Cuántos obreros serían necesarios para
realizar el mismo trabajo en 8 días? R:32 obreros
10) Una guarnición de 500 hombres tiene víveres para 20 días, a razón de 3 raciones
diarias. ¿Cuántas raciones diarias tomará cada hombre, si se quiere que los víveres duren 5
días más? R: 2, 4 raciones. (2 raciones)
11) Una mesa tiene 6 m de largo y 1,5 m de ancho. ¿En cuánto se debe disminuir el largo,
para que, sin variar el área, el ancho sea de 2 m? R: 4,5 metros
12) María Laura tarda 8 minutos en llegar a la escuela ¿Cuánto tardará si un día decide ir a
la mitad de velocidad que de costumbre? R: 6 minutos
13) Juan y Martín quieren construirse una pileta. Hacen cálculos y llegan a la conclusión
que trabajando 9 horas diarias tardarán 22 días en terminarla. ¿Cuántos días emplearán si
dedican dos horas más cada día? R: 18 días
14) Ricardo es un ganadero que tiene 720 ovejas que puede alimentar durante 60 días.
¿Cuántas deberá vender si quiere darles de comer durante 75 días sin modificar la ración de
cada animal? R: Debe vender 144 ovejas
15) Un granjero tiene suficiente alfalfa para alimentar 20 vacunos por 30 días. ¿Cuánto le
durará el alimento si compra 5 vacas más? R: 24 días
16) Un contratista estima que con 6 obreros puede terminar la obra en 15 días. ¿Cuántos
obreros necesitaría para terminar la obra en 8 días? R: 12 obreros
17) Si 8 trabajadores logran terminar una obra en 24 días, ¿cuántos días demoran 24
trabajadores? R: 8 dias
18) Una piscina se llena en 12 horas empleando una llave que arroja 180 litros de agua por
minuto.
a) ¿Cuántas horas tardará si la llave arroja 90 litros? R: 24 horas
b) ¿Cuántos litros debe arrojar la llave por minuto para que tarde 36 horas en llenar la
piscina? R: 60 litros por minuto
19) Jorge tarda 25 minutos de casa al colegio, dando 100 pasos por minuto. Un día se
retrasa al salir y tiene que llegar al colegio en 15 minutos. ¿Cuántos pasos deberá dar por
minuto? R: 167 pasos
20) Un barco lleva víveres para alimentar durante 45 días a sus 120 pasajeros y 40
tripulantes. Si acogen a 40 personas más, procedentes de un barco averiado, ¿cuántos días
durarán los víveres? R: 36 dias
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Razones y proporciones
21) Se ha excavado la mitad de un foso en 35 días con 119 obreros. Si el grupo de obreros
aumenta en 25, ¿en cuántos días acabarán el trabajo? R: 29 días
22) Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos
días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas? R: 22 dias
23) Dos trabajadores quieren construir una piscina. Ellos estiman que trabajando 9 horas
diarias tardarán 22 días en terminarla.¿Cuántos días se demorarán si trabajan 11 horas cada
día? R:18 dias
24) La señora María y su esposo Juanito quieren empapelar el dormitorio y el comedor de
su casa. Al medir, el empapelador les dijo que para ambas piezas se necesita la misma
cantidad de papel. El papel que compraron para el dormitorio tiene 60cm de ancho y se
necesitan 120 tiras.¿Cuántas tiras se necesitan para el comedor si el papel que compraron
para esta pieza tiene 50cm de ancho? R: 144 tira por habitación
Observación: En este caso las cantidades son inversamente proporcionales porque
mientras más ancho es el papel menos tiras se ocupan.
24) El papá de Marcelo ofreció llevar las bebidas para el paseo al que asistirían 12
personas. Llevó 9 botellas pensando que cada persona tomaría tres vasos de bebida y que de
cada botella salen 4 vasos. Si en el último momento deciden it 6 personas más.¿Cuántos
vasos de bebida podría tomar cada persona?
25) Una llave por la que salen dos litros de agua por segundo se demora medio minuto para
llenar un estanque. Si queremos que lo llene en 10 segundos, ¿qué cantidad de agua deberá
salir por segundo? R: 6 segundos
26) Pedro y Lucho ayudaron a su papá a cambiar el piso de la cocina de su casa. Antes
estaba cubierta por 100 baldosas cuadradas de 40cm2 cada una. Si al cambiarlo se ponen
baldosas de 20cm2 cada una, ¿cuántas baldosas ocupan? R: 200 baldosas
27) Luis compró 5 kg de papas a $200 la semana pasada. Si 1 kg de papas vale ahora $250,
¿cuántos kilogramos podrá comprar con la misma cantidad de dinero? R: 4 kilos
28) Si 10 obreros construyen una casa en seis meses, ¿cuánto tiempo demoran en construir
una casa similar 15 obreros, trabajando la misma cantidad de horas diarias? R: 4 meses
29) Dos ciclistas se demoran 4 horas en llegar a la playa viajando con una rapidez de 30
km/h. ¿A qué rapidez deberán viajar para demorar 3 horas? R: 40 horas
30) Un rectángulo cuyo ancho mide 8 cm y su largo 12 cm, tiene un área de 96 cm2. ¿Qué
ocurre con el ancho si su largo aumenta a 16 cm y su área permanece constante? R: el
ancho será 6 centímetros.
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Razones y proporciones
PROBLEMAS COMBINADOS
Clasifica los problemas planteados según el tipo de proporcionalidad: directa, inversa
o compuesta. Y luego resolver cada uno.
1. Para pintar una muralla de 45 m2 dos trabajadores necesitan 20 litros de pintura.
¿Cuántos litros de pintura se necesitan para pintar una muralla de superficie similar que
mide 18 m2? R: directa. 8 litros
2. Se desea limpiar un canal en dos semanas; se sabe que el año pasado se debió realizar el
mismo trabajo y que 21 obreros ocuparon 30 días, ¿cuántos obreros es necesario contratar?
R: inversa, 45 obreros
3. El año pasado 6 hombres cavaron una acequia de 12 metros. ¿Cuántos hombres se
necesitan para cavar en el mismo tiempo una acequia de 44 metros? Directa . 22 hombres
4. Un tren tarda cuatro horas en ir de Linares a Santiago a una velocidad de 80 km/h. ¿A
qué velocidad promedio debe ir si necesita llegar 45 minutos antes? R: Inversa,
aproximadamente 98,5 km/h
5. Un equipo de 4 arquitectos dibujó 34 planos en 1 mes. Si para el mes siguiente deben
entregar 51 planos, ¿cuántos ayudantes necesitan contratar? R: Directa. Deben contratar a
dos dibujantes más
6. Para construir una terraza un trabajador encarga 720 baldosas cuadradas de 25 cm de
lado. Su proveedor le indica que sólo tiene baldosas cuadradas de 40 cm de lado, ¿cuántas
baldosas debe comprar?
8. Cuatro llaves llenan una piscina con una capacidad de 18 m3 en 12 horas. ¿Cuánto
tiempo se necesita para llenar la misma piscina con 3 llaves?
9. Para una biblioteca infantil se dispone de $150.000 que alcanzan para comprar 120 libros
de cuentos. Si se recibe una donación de $375.000, ¿cuántos libros más, del mismo tipo, se
pueden comprar?
10. Se sabe que 12 operarias confeccionan 192 abrigos en 20 días trabajando 8 horas
diarias. ¿Cuántas horas deben trabajar diariamente 18 mujeres para confeccionar 270
abrigos en 25 días?
11. Se necesitan 18 máquinas para construir un dique trabajando 9 horas diarias durante 15
días. ¿Cuántos días deberán funcionar 27 máquinas en el mismo tipo de trabajo si lo
hacen durante 10 horas diarias?
12. Un grupo de 10 jóvenes realizó una excursión ciclística por 20 días, el costo total
resultó ser $300.000. ¿Cuánto dinero gastarán 8 muchachos en una excursión similar cuya
duración será de 25 días?
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Razones y proporciones
13. Un fabricante de detergente introduce al azar tres premios de $100.000 por cada 5.000
cajas de detergente.
a) ¿Cuántos premios deberá introducir en una producción de 2 millones de cajas? ¿Cuánto
dinero es la suma de los premios en este caso?
b) ¿A qué producción corresponde un total de premios equivalente a $600.000?
14. Los tres integrantes de un grupo de rock se reparten las ganancias y los gastos en partes
proporcionales a 3, 5 y 2. Calcula en cada caso lo que corresponde a cada uno sabiendo que
Por un concierto obtuvieron $800.000.
En viajes gastaron $300.000.
El primer disco les ocasionó gastos por $1.000.000 a ingresos por $1.760.000.
15. Si en una casa se encienden 8 lámparas iguales entre las 8.00 y las 23.00 y esto produce
un costo mensual de $12.000:
•
•
•
•
¿Cuál es el costo diario por encender las lámparas?
¿Cuál sería el costo mensual por mantener encendidas 5 lámparas durante la misma
cantidad de horas?
Si las 8 lámparas se encienden hasta las 22.00 todos los días, ¿cuál sería el costo
mensual?
Si el número de lámparas disminuye en una y el número de horas diarias aumenta
en una, ¿cuál sería el costo mensual?
16. Si tres secretarias tardan 21 días en escribir a máquina un texto, entonces, ¿cuántos días
requieren 7 secretarias en escribir dos textos iguales al anterior, si trabajan a un ritmo
similar?
17. Si 10 obreros se demoran 4 días en pavimentar una calle, ¿cuánto se demoran 15
obreros en hacer el trabajo, trabajando la misma cantidad de horas diariamente?
18. Tres obreros pintan en 2 días 400 m2
•
•
•
¿Cuánto demoran 4 obreros en hacer el mismo trabajo?
Si los 3 obreros pintan solamente 300 m2, ¿en cuánto tiempo lo harán?
Si el número de obreros aumenta en uno y se quiere pintar 600 m2, ¿cuánto
tardarán?
19) Un campesino tiene alimento para 20 vacunos por 30 días. Si compra 10 vacas más,
¿Cuánto le durará el alimento ahora? ¿Más de 30 días o menos? Estima el resultado.
20) Un productor de vino de exportación ocupa 12 depósitos para guardar 660 litros.
¿Cuántos depósitos necesita para guardar tres veces esa cantidad?
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Razones y proporciones
21) Un contratista estima que con 10 trabajadores termina la obra en 60 días. ¿Cuántos
trabajadores terminarán la obra en 30 días? Si la obra debe terminarse en la mitad del plazo,
¿en cuánto debe aumentarse el número de trabajadores?
22) Si 4 gallinas ponen 4 huevos cada una en 4 días, ¿cuántos huevos ponen 12 gallinas en
12 días? Aumenta la cantidad de huevos al aumentar el número de días y de gallinas
ponedoras? Estima el resultado.
23) Un agricultor ocupa 2 kilos de fertilizante cada 100 m2.¿Cuántos kilos necesitará para
cubrir diez veces esa cantidad de m2.? ¿Cuánto fertilizante ocupará en 50 m2?
24) Si una máquina logra etiquetar 520 productos en 4 minutos, ¿cuántas etiquetas serán
puestas en 1 hora?
25) Un auto que viaja a una velocidad promedio de 60 km/h recorre 240 km en 4 horas. A
qué velocidad promedio debe ir para hacer el mismo recorrido en 2 horas? ¿Es posible?
Explica por qué.
26) Una fotocopiadora saca 50 hojas por minuto. Elabora una tabla de datos para registrar
la cantidad de copias en 5, 10, 15, 20, 25 y 30 minutos.
¿Cuántas copias sacará en 1 hora?
27) Una familia de 8 personas consume 24 m3 de agua diariamente. ¿Cuánto consumirá
una familia de 12 personas si las condiciones de consumo individual son las mismas?
28) Para una red de alcantarillado se necesitan 5.000 tubos de 3,20 m ¿Cuántos tubos de 4
metros se ocuparían para la misma obra?
29) Para tejer un chaleco de bebé se necesitan 80 gramos de lana. ¿Cuántos chalecos se
tejerán con 1 kilo 280 gramos de lana?
Razones
1. Una prueba de matemática tiene 10 preguntas. Un alumno responde correctamente 6 de
estas preguntas y omite una. Escribe la razón entre:
•
•
•
el número de preguntas correctas y el número total de preguntas,
el número de preguntas incorrectas y el número de preguntas correctas,
el número de preguntas omitidas y el número total de preguntas.
2. En un curso de 50 alumnos, 10 fueron reprobados. ¿Cuál es la razón entre el número de
reprobados y el número de alumnos del curso?
3. En una casa, el área construida es de 120m2 y el área libre es de 80 m2 .¿Cuál es la razón
entre el área construida y el área del terreno total?
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Razones y proporciones
4. Los lados de dos terrenos cuadrados miden, respectivamente, 10 m y 20 m . ¿En qué
razón están sus áreas?
5. Las aristas de dos cubos miden, respectivamente, 2 cm y 4 cm ¿En qué razón están sus
volúmenes?
6. La escala de un diseño es la razón entre la longitud representada en el dibujo y la
correspondiente longitud real, expresadas ambas en la misma unidad. ¿Cuál fue la escala
utilizada en el diseño de una casa, si una longitud de 6 m fue representada por una longitud
de 3 cm?
7. En un curso, la razón entre el número de niños y de niñas es 3 : 2 . Si el número de niños
es 18, ¿Cuál es el número de niñas?
8. En una residencia, la razón entre el área construida y el área libre es 2 : 3. Si el área
construida es de 140 m2, ¿cuál es el área libre?
9. La razón entre las velocidades de un avión y de un tren es de 15 : 2. Si la velocidad del
avión es de 600 km/h, ¿ cuál es la velocidad del tren?
10. La razón de las longitudes de los lados de un rectángulo es 3 : 4. Si el lado menor mide
15 cm, ¿cuánto mide el perímetro del rectángulo?
11. El perímetro de un rectángulo mide 54 cm . Si uno de sus lados mide 15 cm, ¿en qué
razón están las longitudes de los lados?
12. El plano de una ciudad está dibujado a escala 1 : 10 000 . ¿Qué longitud en el plano
representa una distancia de 5 000 m?
13. Un mapa está dibujado a una escala tal que 2,5 cm corresponde a 40 km .
• Expresa esta escala como una razón.
• ¿Cuántos km separan dos ciudades A y B, cuyos puntos en el mapa están separados
10 cm?
• La distancia entre dos unidades C y D es 240 km . ¿A qué distancia están los puntos
que representan esas ciudades en el mapa?
14. Un avión vuela 4 000 km en 5 horas y otro vuela 1 000 km en 75 minutos.
• ¿Cuál es la razón entre las distancias recorridas por los aviones?
• ¿Cuál es la razón entre los tiempos de vuelo de los aviones?
• ¿Cuál es la velocidad de cada avión, en km/h ?
• ¿En qué razón están las velocidades de los aviones?
15. El tío Jaime fue a visitar a sus sobrinos de 7 y 5 años. Les llevó una bolsa de dulces de
regalo y le dijo a la mamá "repárteles los dulces en la misma razón que están sus edades".
Si la bolsa tenía 60 dulces, ¿cuánto debería recibir cada niño? (Suponiendo que la mamá
siguió las instrucciones del tío).
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Razones y proporciones
16. Patricio vende empanadas los domingos. Él ha observado que la razón entre las
empanadas de pino y las empanadas de queso que vende es aproximadamente de 5 es a 2.
El último domingo Patricio vendió un total de 259 empanadas. ¿Cuántas empanadas de
queso calculas tú que vendió ese día?
17. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo están en la razón de 1 : 5. ¿Cuánto mide
el mayor de ellos?
18. Renato desea cortar un pedazo de madera que mide 2,8 metros de largo en tres pedazos
en la razón de 1 : 2 : 4. ¿Cuántos centímetros medirá cada pedazo?
19. Un parque cuya superficie es de 630 m2 debe ser diseñado de tal manera que las áreas
de las flores, prados y juegos de niños estén en la razón de 2 : 4 : 3. Determina el área de
cada uno de los sectores en que queda dividido el parque.
20. Se desea preparar 20 litros de jugo para un paseo. Para esto se usará un jugo de naranja
concentrado que debe disolverse en la razón de 1 : 3 (1 litro de jugo concentrado por 3
litros de agua). ¿Cuántos litros de jugo de naranja concentrado deben usarse?
21. La razón entre el largo y el ancho de una fotografía rectangular es de 5 : 3. a) Calcula el
largo de la fotografía si el perímetro es 72 cm. b) Calcula el largo y el ancho de la
fotografía si el área es 60 cm2.
22. Luis tiene 5 kg de un detergente en polvo para limpiar alfombras. Debe limpiar 2
piezas, una de 72 m2 y la otra de 48 m2. ¿Cómo debe dividir el detergente de tal manera que
cada alfombra se limpie con la misma cantidad de kilogramos por metro cuadrado?
23 Un basquetbolista encesta 12 veces en 20 intentos. ¿Cuál es la razón? R: 3/5
24 Un albañil siempre mezcla cada balde de cemento con 2 baldes de arena, ¿cuál es la
razón de la arena a la cal en la mezcla que prepara? R: 2/1
25 Un barril contiene 180 kg de agua. Si el área del barril es de 1.500 cm2, ¿cuál es la
razón del peso del agua al área del barril?
26 Una molécula de agua se forma con 2 átomos de hidrógeno y 1 de oxígeno. ¿Cuál es la
razón de la cantidad de oxígeno a la de hidrógeno en cualquier número de moléculas de
agua?
27 El rendimiento de un automóvil es la razón de la distancia recorrida a la cantidad de
combustible consumido. Si un automóvil recorre 196,85 km y consume 15,5 litros de
bencina, ¿cuál es su rendimiento?
28. Un rayo de luz recorre aproximadamente una distancia de 1.290.000 km en 4,3
segundos. ¿Cuál es la razón de la distancia recorrida al tiempo que tarda en hacerlo?
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Razones y proporciones
29 Si una circunferencia mide aproximadamente 4,71 cm y su diámetro es de 1,5 cm, ¿cuál
es la razón de la circunferencia al diámetro?
30. Las edades de Carolina y Marcela están en la razón 3 : 2. ¿Qué edad tiene cada una si la
suma de sus edades es 80 años?
31 La suma de dos números es 91 y están en la razón 4 : 3. Calcula el valor de cada
número.
32. La diferencia entre la tara (masa) de dos vehículos es 1.200 kg y están en la razón 7 : 4.
Calcula la tara de cada vehículo.
33. El perímetro de un rectángulo es 128 cm y la razón entre las medidas de sus lados es 5 :
3. Calcula su área.
34 Dos amigos deben repartirse $27.000. Las cantidades respectivas están en la razón 5 : 4.
¿Cuánto dinero recibirá cada uno?
35.Dos montañistas están subiendo un cerro de 4.000 m de altura. ¿Cuántos metros les
quedan por subir si ya han recorrido 5/8 del total?
36.El auto de Gabriel tiene un estanque de bencina con una capacidad de 40 litros. Como se
va de paseo, llena el estanque, por lo que paga $ 5.000. Si el litro de bencina vale $ 246,
¿qué parte del estanque estaba con bencina?
37.La relación entre dos números es 4 es a 9. Si su diferencia es 95, ¿cuáles son los
números?
38 En un curso la cantidad total de alumnas y de alumnos es 24. Si se sabe que la razón
entre el número de mujeres y el de hombres es 5 : 7, ¿cuántas mujeres hay?
39.La razón entre las edades de dos hermanos es 6 : 7. Si la suma de sus edades es 39 años,
¿cuál es la edad de cada uno?
40.Cuatro cuadernos universitarios valen $2.520. Una señora necesita comprar dos docenas
de esos mismos cuadernos para sus hijos, ¿cuánto dinero tendrá que gastar?
Porcentaje
•
Un velocímetro reduce las lecturas un 15 %. ¿Cuál es la velocidad real aproximada
a la Milla por hora más próxima, si la lectura indicada es de 65 millas por hora?
R: 76 millas por hora..
•
Si de un mineral el 38 % es desperdicio, ¿cuánto metal se obtendrá de 87 toneladas
Métricas de mineral?
R: 53,94 toneladas métricas.
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Razones y proporciones
•
La distancia medida entre dos placas es 0,453 pulgadas. El error de medida es más o
menos 0,0005 pulgadas. Calcular el porcentaje de error.
R: 0,11 %
•
Una empresa recibe $ 20.000.000 y debe entregar el 35 % para una construcción, el
40 % del resto, para obras sanitarias y lo restante para mantención. ¿Cuánto destinó
para mantención?
R: $ 7.800.000
•
Por errores en la administración de recursos, un taller confecciona sólo 2584
artículos durante un mes. Si el mes anterior se confeccionaron 3400, ¿cuál fue el
porcentaje de producción que disminuyó el taller ?
R: 24 %
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